?專(zhuān)題01數(shù)與式的運(yùn)算

高中必備知識(shí)點(diǎn)1：絕對(duì)值

絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零．即：

絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．
兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離．

典型考題
【典型例題】
閱讀下列材料：
我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即=，也就是說(shuō)，表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；這個(gè)結(jié)論可以推廣為表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；
例1解方程||=2．因?yàn)樵跀?shù)軸上到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，所以方程||=2的解為．
例2解不等式|－1|＞2．在數(shù)軸上找出|－1|=2的解（如圖），因?yàn)樵跀?shù)軸上到1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為－1或3，所以方程|－1|=2的解為=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集為＜－1或＞3．

例3解方程|－1|+|+2|=5．由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到1和－2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和等于5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的值．因?yàn)樵跀?shù)軸上1和－2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為3（如圖），滿足方程的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在1的右邊或－2的左邊．若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在1的右邊，可得=2；若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在－2的左邊，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．
參考閱讀材料，解答下列問(wèn)題：
（1）方程|+2|=3的解為　 ；
（2）解不等式：|－2|＜6；
（3）解不等式：|－3|+|+4|≥9；
（4）解方程: |-2|+|+2|+|-5|=15.

【答案】（1）或x=－5；（2）－4＜x＜8；（3）x≥或x≤－5；（4）或 .
【解析】
（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3
解得或x=－5．
（2）在數(shù)軸上找出|－2|=6的解．∵在數(shù)軸上到2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為－4或8，
∴方程|－2|=6的解為x=－4或x=8，∴不等式|－2|＜6的解集為－4＜x＜8．
（3）在數(shù)軸上找出|－3|+|+4|=9的解．
由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到3和－4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和等于15的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x的值．
∵在數(shù)軸上3和－4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為7，∴滿足方程的x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在3的右邊或－4的左邊．
若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在3的右邊，可得x=4；若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在－4的左邊，可得x=－5，
∴方程|－3|+|+4|=9的解是x=或x=－5，
∴不等式|－3|+|+4|≥9的解集為x≥或x≤－5．
（4）在數(shù)軸上找出|-2|+|+2|+|-5|=15的解．
由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到2和－2和5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和等于9的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x的值．
∵在數(shù)軸上-2和5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為7，∴滿足方程的x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在-2的左邊或5的右邊．
若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在5的右邊，可得；若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在－2的左邊，可得，
∴方程|-2|+|+2|+|-5|=15的解是或 .
【變式訓(xùn)練】
實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示：化簡(jiǎn) .
【答案】a-2b
【解析】
解：由數(shù)軸知：a＜0，b>0，|a|＞|b|，
所以b-a>0，a-b＜0
原式=|a|-（b-a）-(b-a)
=-a-b+a-b+a
=a-2b
【能力提升】
已知方程組的解的值的符號(hào)相同.
(1)求的取值范圍；
(2)化簡(jiǎn)：.
【答案】(1) ?1

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