專題10.2事件的獨(dú)立性  TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"   HYPERLINK \l "_Toc127540782" 【基礎(chǔ)知識(shí)】  PAGEREF _Toc127540782 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc127540783" 【考點(diǎn)1：獨(dú)立事件的判斷】  PAGEREF _Toc127540783 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc127540784" 【考點(diǎn)2：獨(dú)立事件的乘法公式】  PAGEREF _Toc127540784 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc127540785" 【考點(diǎn)3：獨(dú)立事件的實(shí)際應(yīng)用】  PAGEREF _Toc127540785 \h 10  【基礎(chǔ)知識(shí)】 【知識(shí)點(diǎn)：事件的互相獨(dú)立性】 相互獨(dú)立事件概率的求法 與相互獨(dú)立事件A，B有關(guān)的概率的計(jì)算公式如下表： [方法技巧] 求相互獨(dú)立事件概率的步驟 第一步，先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件，并把題中涉及的事件分為若干個(gè)彼此互斥的事件的和； 第二步，求出這些彼此互斥的事件的概率； 第三步，根據(jù)互斥事件的概率計(jì)算公式求出結(jié)果． 此外，也可以從對(duì)立事件入手計(jì)算概率． 【考點(diǎn)1：獨(dú)立事件的判斷】 【知識(shí)點(diǎn)：獨(dú)立事件的判斷】 1．（2024高一下·江蘇宿遷··階段練習(xí)）下列關(guān)于互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件（上述事件的概率都大于零）的說(shuō)法中正確的是（????） A．互斥事件一定是對(duì)立事件 B．對(duì)立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是獨(dú)立事件 D．獨(dú)立事件一定是互斥事件 【答案】B 【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概念進(jìn)行判斷即可. 【詳解】互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件，故A錯(cuò)誤，B正確； 互斥事件一定不能同時(shí)發(fā)生，而獨(dú)立事件可以同時(shí)發(fā)生，所以互斥事件一定不是獨(dú)立事件，獨(dú)立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均錯(cuò)誤. 故選：B. 2．（2024高二下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知是兩個(gè)概率大于0的隨機(jī)事件，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（????） A．若是對(duì)立事件，則是互斥事件 B．若事件相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立 C．若事件相互獨(dú)立，則與不互斥 D．若事件互斥，則與相互獨(dú)立 【答案】D 【分析】根據(jù)互斥，對(duì)立事件的定義，以及事件的相互獨(dú)立性，即可判斷選項(xiàng). 【詳解】A.兩個(gè)事件是對(duì)立事件，則一定是互斥事件，故A正確； B.若事件相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立，故B正確； C.若事件相互獨(dú)立，則與可以同時(shí)發(fā)生，不互斥，故C正確； D. 若事件互斥，則與不能同時(shí)發(fā)生，即事件是否發(fā)生，對(duì)另一個(gè)事件是有影響的，所以兩個(gè)事件不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤. 故選：D 3．（2024高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，設(shè)“第一枚硬幣正面朝上”為事件A，“第二枚硬幣反面朝上”為事件B，則下述正確的是（????）. A．A與B對(duì)立 B．A與B互斥 C． D．A與B相互獨(dú)立 【答案】D 【分析】根據(jù)題意，列舉出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果，再逐一分析判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果. 【詳解】由題意可得，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 則事件包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反）， 顯然事件，事件都包含“（正，反）”這一結(jié)果，即事件，事件能同時(shí)發(fā)生， 所以，事件，事件既不互斥也不對(duì)立，故AB錯(cuò)誤. 又因?yàn)?，而，?所以，，故C錯(cuò)誤，D正確. 故選：D 4．（2024高一下·河北衡水·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（????） A．若A，B為兩個(gè)事件，則“A與B互斥”是“A與B相互對(duì)立”的充分不必要條件 B．若A，B為兩個(gè)事件，且，則A與B互斥 C．若，，則事件A，B相互獨(dú)立與事件A，B互斥可以同時(shí)成立 D．若事件A，B滿足，則A與B相互對(duì)立 【答案】B 【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件和獨(dú)立事件的定義和性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可. 【詳解】對(duì)于A，當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，A與B不一定相互對(duì)立，但A與B相互對(duì)立時(shí)，A與B一定互斥，故“A與B互斥”是“A與B相互對(duì)立”的必要不充分條件，故A錯(cuò)誤； 對(duì)于B，若A，B為兩個(gè)事件，因?yàn)?，所以，故B正確； 對(duì)于C，因?yàn)?，，若事件A，B相互獨(dú)立，則，故事件A，B不互斥，若事件A，B互斥，則，，故事件A，B不獨(dú)立，故C錯(cuò)誤； 對(duì)于D，拋擲一枚均勻的骰子，所得的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是，拋擲一枚硬幣，正面向上的概率是，滿足，但是A與B不對(duì)立，故D錯(cuò)誤． 故選：B． 5．（2024高一上·吉林·階段練習(xí)）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：“向上的點(diǎn)數(shù)為i”，其中，“向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（????） A．與B互斥 B． C．與相互獨(dú)立 D． 【答案】D 【分析】對(duì)于選項(xiàng)中的事件，分別寫出對(duì)應(yīng)的基本事件構(gòu)成的集合，依次分析，即可. 【詳解】對(duì)于A，，，與B不互斥，故A錯(cuò)誤； 對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤； 對(duì)于C，與不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件，故C錯(cuò)誤； 對(duì)于D，，，，故D正確. 故選：D. 6．（2024高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷正誤（正確的寫正確，錯(cuò)誤的寫錯(cuò)誤） （1）事件A與B相互獨(dú)立?.( ) （2）若事件A與B相互獨(dú)立，則事件與事件B也相互獨(dú)立．( ) （3）若事件A與B相互獨(dú)立，則.( ) （4）事件A與B可以相互獨(dú)立但不互斥．( ) 【答案】 正確 正確 正確 正確 【分析】根據(jù)獨(dú)立事件和互斥事件的概念結(jié)合概率的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷. 【詳解】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的定義可知：事件A與B相互獨(dú)立?，故正確； （2）若事件A與B相互獨(dú)立，則， 可得， 所以事件與事件B也相互獨(dú)立，故正確； （3）若事件A與B相互獨(dú)立，則，故正確； （4）例如：拋擲兩枚硬幣，“第一枚正面向上”，“第二枚正面向上”， 顯然事件A與B相互獨(dú)立，并且可以同時(shí)發(fā)生，即事件A與B不互斥，故正確； 故答案為：正確；正確；正確；正確. 【考點(diǎn)2：獨(dú)立事件的乘法公式】 【知識(shí)點(diǎn)：獨(dú)立事件的乘法公式】 1．（2024高二上·浙江舟山·階段練習(xí)）已知事件，且，如果與互斥，那么；如果與相互獨(dú)立，那么，則分別為（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)互斥事件的定義可求，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求，由此可判斷結(jié)論. 【詳解】如果事件與互斥，則，所以. 如果事件與相互獨(dú)立，則事件與也相互獨(dú)立， 所以， ，即. 故選：C. 2．（多選）（2024高二下·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）已知，是隨機(jī)事件，若，且，則下列結(jié)論正確的是（????） A． B．，為對(duì)立事件 C．，相互獨(dú)立 D． 【答案】AD 【分析】利用對(duì)立事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的性質(zhì)直接求解. 【詳解】，是隨機(jī)事件，，且， 對(duì)于A， ，即， ，即， 又，故，A正確； 對(duì)于BCD，因?yàn)椋?所以，由于，， 則，所以，不是對(duì)立事件； 又，所以，不是相互獨(dú)立事件，故BC錯(cuò)誤，D正確. 故選：AD 3．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（????） A．乙發(fā)生的概率為 B．丙發(fā)生的概率為 C．甲與丁相互獨(dú)立 D．丙與丁互為對(duì)立事件 【答案】BCD 【分析】先計(jì)算出甲乙丙丁的概率，故可判斷AC的正誤，再根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式可判斷C的正誤，根據(jù)對(duì)立事件的意義可判斷D的正誤. 【詳解】設(shè)A為事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，B為事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，C為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，D為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則，故A錯(cuò)； ，故B對(duì)； 而，故C對(duì)； 兩次取出的數(shù)字之和要么為奇數(shù)，要么為偶數(shù)，故丙與丁互為對(duì)立事件，故D正確. 故選：BCD. 4．（2024高二上·安徽·開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)口袋中有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，每次從中隨機(jī)抽取1個(gè)球，則（????） A．若不放回地抽取兩次，則“取到2個(gè)紅球”和“取到2個(gè)白球”是互斥事件 B．若不放回地抽取兩次，則“取到2個(gè)紅球”與“取到2個(gè)白球”相互獨(dú)立 C．若有放回地抽取兩次，則第1次取到紅球的概率大于第2次取到紅球的概率 D．若有放回地抽取兩次，則至少取到一次紅球的概率是 【答案】AD 【分析】對(duì)于A，根據(jù)互斥事件概念判斷；對(duì)于B，互斥事件不可能是相互獨(dú)立事件；對(duì)于C，有放回地抽取每次抽到紅球的概率均相等；對(duì)于D，使用對(duì)立事件計(jì)算概率. 【詳解】對(duì)于A，若不放回地抽取兩次，則取到的球不可能是2個(gè)紅球和2個(gè)白球，所以“取到2個(gè)紅球”和“取到2個(gè)白球”是互斥事件，故A正確； 對(duì)于B，若不放回地抽取兩次，記事件A：“取到2個(gè)紅球”，記事件B：“取到2個(gè)白球”，則A與B是互斥事件，所以，而，所以，所以A與B不是相互獨(dú)立事件，故B錯(cuò)誤； 對(duì)于C，若有放回地抽取兩次，則第1次取到紅球的概率為，第2次取到紅球的概率為，所以第1次取到紅球的概率等于第2次取到紅球的概率，故C錯(cuò)誤； 對(duì)于D，若有放回地抽取兩次，則至少取到一次紅球的概率是，故D正確. 故選：AD. 5．（2024高二上·上?！て谀┊?dāng)一個(gè)不均勻的骰子滾動(dòng)的時(shí)候，出現(xiàn)偶數(shù)的概率是奇數(shù)的3倍.骰子滾動(dòng)了兩次則出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是 . 【答案】/ 【分析】先確定出現(xiàn)一次偶數(shù)或一次奇數(shù)的概率，然后求出兩次都是偶數(shù)和兩次都是奇數(shù)的概率，最后相加即可. 【詳解】根據(jù)題意可得出現(xiàn)偶數(shù)的概率為，出現(xiàn)奇數(shù)的概率為， 則骰子滾動(dòng)了兩次，兩次都是偶數(shù)的概率為， 兩次都是奇數(shù)的概率為， 則兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是. 故答案為： 6．（2024高一·全國(guó)·課堂例題）甲、乙兩人練習(xí)射擊，甲命中的概率為0.8，乙命中的概率為0.7，兩人同時(shí)射擊，且中靶與否獨(dú)立，求： (1)甲或乙命中的概率； (2)甲中、乙不中的概率； (3)甲不中、乙中的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）設(shè)出事件，利用求解； （2）利用進(jìn)行求解； （3）利用進(jìn)行求解. 【詳解】（1）設(shè)“甲命中”，“乙命中”，則“甲或乙命中”， “甲中、乙不中”，“甲不中、乙中”，且，． 甲乙中靶與否獨(dú)立， 所以． （2）甲乙中靶與否獨(dú)立， 故． （3）甲乙中靶與否獨(dú)立， 故． 7．（2024高二下·湖南常德·期中）甲、乙準(zhǔn)備進(jìn)行一局羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球方.若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，每回合比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.經(jīng)抽簽決定，第1回合由甲發(fā)球. (1)求第3回合由乙發(fā)球的概率； (2)求前3個(gè)回合中甲贏的回合數(shù)不低于乙的概率. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）第3回合由乙發(fā)球包含兩種情況，分別求出概率相加即可得解； （2）前3個(gè)回合中甲贏的回合數(shù)不低于乙，則前3個(gè)回合中甲贏的回合數(shù)為2或3， 分別求出概率相加即可. 【詳解】（1）由題可知，第3回合由乙發(fā)球包含兩種情況：第1回合甲贏，第2回合乙贏；第1回合乙贏，第2回合乙贏， 所以第3回合由乙發(fā)球的概率為. （2）前3個(gè)回合中甲贏的回合數(shù)不低于乙，則前3個(gè)回合中甲贏的回合數(shù)為2或3， 甲贏的回合數(shù)為3的概率為， 甲贏的回合數(shù)為2的概率為， 所以前3個(gè)回合中甲贏的回合數(shù)不低于乙的概率為. 8．（2024高三上·河南焦作·階段練習(xí)）新高考實(shí)行“”模式，其中“3”為語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，外語(yǔ)這3門必選科目，“1”由考生在物理，歷史2門首選科目中選擇1門，“2”由考生在政治，地理，化學(xué)，生物這4門再選科目中選擇2門.已知武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學(xué)，生物至少1門. (1)從所有選科組合中任意選取1個(gè)，求該選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率； (2)假設(shè)甲，乙，丙三人每人選擇任意1個(gè)選科組合是等可能的，求這三人中恰好有一人的選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)古典概型計(jì)算即可； （2）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式計(jì)算即可. 【詳解】（1）用a,b分別表示“選擇物理”,“選擇歷史”, 用c,d,e,f分別表示選擇“選擇化學(xué)”,“選擇生物”,“選擇政治”,“選擇地理”, 則所有選課組合的樣本空間為 , 則, 設(shè)M為選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求, 則,, 所以選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率為； （2）設(shè)甲、乙、丙每人選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求分別是事件,,, 由題意可知,,相互獨(dú)立, 由（1）可得, 記N為甲、乙、丙三人中恰好有一人的選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求, 則, 因?yàn)槭录蓛苫コ?根據(jù)互斥事件概率加法公式可得. 【考點(diǎn)3：獨(dú)立事件的實(shí)際應(yīng)用】 【知識(shí)點(diǎn)：獨(dú)立事件的實(shí)際應(yīng)用】 1．（2024高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知甲、乙兩人射擊的命中率分別是和．現(xiàn)二人同時(shí)向同一獵物射擊，發(fā)現(xiàn)獵物只中一槍，則甲、乙分配獵物的比例應(yīng)該是（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】計(jì)算出只有甲或只有乙打中獵物的概率，即可得出甲、乙分配獵物的比例. 【詳解】因?yàn)榧?、乙兩人射擊的命中率分別是和， 現(xiàn)二人同時(shí)向同一獵物射擊，發(fā)現(xiàn)獵物只中一槍， 只有甲打中獵物的概率為，只有乙打中獵物的概率為 所以，甲、乙分配獵物的比例應(yīng)該是. 故選：A. 2．（2024高二上·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）2020年1月，教育部發(fā)布《關(guān)于在部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見(jiàn)》（簡(jiǎn)稱“強(qiáng)基計(jì)劃”），明確從2020年起強(qiáng)基計(jì)劃取代原有的高校自主招生方式．某高校筆試環(huán)節(jié)要求考生參加三個(gè)科目考核，考生通過(guò)三個(gè)科目的筆試考核才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．考生甲通過(guò)三個(gè)科目的筆試考核的概率分別為，且每個(gè)科目考核相互獨(dú)立，則甲順利進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的概率為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】記甲通過(guò)三個(gè)科目的筆試考核分別為事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算可得答案. 【詳解】記甲通過(guò)三個(gè)科目的筆試考核分別為事件， 顯然為相互獨(dú)立事件， 則事件“甲通過(guò)三個(gè)科目的筆試考核”相當(dāng)于事件， 所求概率． 故選：A． 3．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）在高二選科前，高一某班班主任對(duì)該班同學(xué)的選科意向進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：選物理的同學(xué)占全班同學(xué)的80%，同時(shí)選物理和化學(xué)的同學(xué)占全班同學(xué)的60%，且該班同學(xué)選物理和選化學(xué)相互獨(dú)立.現(xiàn)從該班級(jí)中隨機(jī)抽取一名同學(xué)，則該同學(xué)既不選物理也不選化學(xué)的概率為（????） A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.05 【答案】D 【分析】借助相互獨(dú)立事件的性質(zhì)與乘法公式計(jì)算即可得. 【詳解】設(shè)事件“選物理”，“選化學(xué)”， 則有，， 由該班同學(xué)選物理和選化學(xué)相互獨(dú)立， 即，則， 故，, 則. 故選：D. 4．（2024高三上·湖南·階段練習(xí)）為慶祝我國(guó)第39個(gè)教師節(jié)，某校舉辦教師聯(lián)誼會(huì)，甲?乙兩名數(shù)學(xué)老師組成“幾何隊(duì)”參加“成語(yǔ)猜猜猜”比賽，每輪比賽由甲?乙兩人各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為.在每輪比賽中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，則“幾何隊(duì)”在一輪比賽中至少猜對(duì)一個(gè)成語(yǔ)的概率為（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用事件的相互獨(dú)立性求解.法一，所求事件轉(zhuǎn)化為互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用對(duì)立事件的概率和為，間接法可得. 【詳解】設(shè)事件“甲猜對(duì)”，“乙猜對(duì)”，“幾何隊(duì)至少猜對(duì)一個(gè)成語(yǔ)”， 所以，則. 由題意知，事件相互獨(dú)立，則與，與，與也相互獨(dú)立， 法一：，且兩兩互互斥， 則 . 法二：事件的對(duì)立事件“幾何隊(duì)一個(gè)成語(yǔ)也沒(méi)有猜對(duì)”，即， 則. 故選：B. 5．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知甲投籃命中的概率為0.6，乙投籃不中的概率為0.3，乙、丙兩人都投籃命中的概率為0.35，假設(shè)甲、乙、丙三人投籃命中與否是相互獨(dú)立的. (1)求丙投籃命中的概率； (2)甲、乙、丙各投籃一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； (3)甲、乙、丙各投籃一次，求恰有一人命中的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先設(shè)甲，乙，丙投籃命中分別為事件，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式，即可求解； （2）根據(jù)（1）的結(jié)果，根據(jù)公式，即可求解； （3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根據(jù)概率的運(yùn)算公式，即可求解. 【詳解】（1）設(shè)甲投籃命中為事件，乙投籃命中為事件，丙投籃命中為事件， 由題意可知，，，， 則，, 所以丙投籃命中的概率為； （2）甲和乙命中，丙不中為事件， 則， 所以甲和乙命中，丙不中的概率為； （3）甲、乙、丙各投籃一次，求恰有一人命中為事件， 則, 6．（2024高二下·浙江杭州·期中）在信道內(nèi)傳輸0， 1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為， 收到1的概率為. (1)重復(fù)發(fā)送信號(hào)1三次，計(jì)算至少收到兩次1的概率； (2)依次發(fā)送1，1， 0， 判斷以下兩個(gè)事件：①事件A：至少收到一個(gè)正確信號(hào)； ②事件B：至少收到兩個(gè)0，是否互相獨(dú)立，并給出證明. 【答案】(1)； (2)事件A與事件B不互相獨(dú)立，證明見(jiàn)解析. 【分析】（1）利用事件的相互獨(dú)立求“至少收到兩次1”的概率； （2）利用事件的相互獨(dú)立性計(jì)算，，，利用獨(dú)立事件的概率公式驗(yàn)證. 【詳解】（1）重復(fù)發(fā)送信號(hào)1三次，“至少收到兩次1”的可能情況為： (1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)， 因?yàn)樾盘?hào)的傳輸相互獨(dú)立， 故“至少收到兩次1”的概率為：. （2）事件A與事件B不互相獨(dú)立，證明如下： 若依次發(fā)送1，1， 0， 則三次都沒(méi)收到正確信號(hào)的概率為， 故至少收到一個(gè)正確信號(hào)的概率為； 若依次發(fā)送1，1，0，“至少收到兩個(gè)0”的可能情況為： (0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根據(jù)事件的相互獨(dú)立性， 故， 若依次發(fā)送1，1，0，“至少收到兩個(gè)0且至少收到一個(gè)正確信號(hào)”的可能情況為： (0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根據(jù)事件的相互獨(dú)立性， 故， 因?yàn)?，所以事件A與事件B不互相獨(dú)立. 7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日在北京國(guó)家體育場(chǎng)開(kāi)幕，“冬奧熱”在國(guó)民中迅速升溫.某電視臺(tái)舉辦“冬奧會(huì)”知識(shí)挑戰(zhàn)賽，初賽環(huán)節(jié)，每位選手先從A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三類問(wèn)題中選擇一類.該類題庫(kù)隨機(jī)提出一個(gè)問(wèn)題，該選手若回答錯(cuò)誤則被淘汰，若回答正確則需從余下兩類問(wèn)題中選擇一類繼續(xù)回答.該類題庫(kù)隨機(jī)提出一個(gè)問(wèn)題，該選手若回答正確則取得復(fù)賽資格，本輪比賽結(jié)束，否則該選手需要回答由最后一類題庫(kù)隨機(jī)提出的兩個(gè)問(wèn)題，兩個(gè)問(wèn)題均回答正確該選手才可取得復(fù)賽資格，否則被淘汰.已知選手甲能正確回答A，B兩類問(wèn)題的概率均為，能正確回答C類問(wèn)題的概率為，每題是否回答正確與回答順序無(wú)關(guān)，且各題回答正確與否相互獨(dú)立. (1)已知選手甲先選擇A類問(wèn)題且回答正確，接下來(lái)他等可能地選擇B，C中的一類問(wèn)題繼續(xù)回答，求他能取得復(fù)賽資格的概率； (2)為使取得復(fù)賽資格的概率最大，選手甲應(yīng)如何選擇各類問(wèn)題的回答順序？請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1)選擇回答B(yǎng)類取得復(fù)賽資格的概率為，選擇回答C類問(wèn)題取得復(fù)賽資格的概率為 (2)按或順序回答問(wèn)題取得復(fù)賽資格的概率最大，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式分類討論計(jì)算即可； （2）根據(jù)甲回答A，B兩類問(wèn)題正確的概率相同，從，，這三種回答順序考慮，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算比較大小即可. 【詳解】（1）甲接下來(lái)選擇回答B(yǎng)類問(wèn)題并取得復(fù)賽資格的概率為， 甲接下來(lái)選擇回答C類問(wèn)題并取得復(fù)賽資格的概率為， ∴所求概率為. （2）由于甲回答A，B兩類問(wèn)題的概率相同，故只需考慮，，這三種回答順序， 按順序回答，取得復(fù)賽資格的概率為， 按順序回答，取得復(fù)賽資格的概率為， 按順序回答，取得復(fù)賽資格的概率為， ∵， ∴按或順序回答問(wèn)題取得復(fù)資資格的概率最大. 8．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，四名選手參加某項(xiàng)比賽，其中，為種子選手，，為非種子選手，種子選手對(duì)非種子選手種子選手獲勝的概率為，種子選手之間的獲勝的概率為，非種子選手之間獲勝的概率為．比賽規(guī)則：第一輪兩兩對(duì)戰(zhàn)，勝者進(jìn)入第二輪，負(fù)者淘汰；第二輪的勝者為冠軍. (1)若你是主辦方，則第一輪選手的對(duì)戰(zhàn)安排一共有多少不同的方案？ (2)選手與選手相遇的概率為多少？ (3)以下兩種方案，哪一種種子選手奪冠的概率更大？ 方案一：第一輪比賽種子選手與非種子選手比賽； 方案二：第一輪比賽種子選手與種子選手比賽． 【答案】(1)； (2) (3)方案一種子選手奪冠的概率更大 【分析】（1）由題意分析知第一輪選手的對(duì)戰(zhàn)情況分別為，，，即可得出答案； （2）設(shè)事件“選手與選手相遇”，分為對(duì)戰(zhàn)情況分別為，，，求出其概率，相加即可得出答案. （3）設(shè)采用方案一，二種子選手奪冠的概率分別為，，由獨(dú)立事件的乘法公式求出、，比較，的大小即可得出答案. 【詳解】（1）第一輪選手的對(duì)戰(zhàn)情況分別為，，，故總方案數(shù)3； （2）設(shè)事件“選手與選手相遇”， 當(dāng)對(duì)戰(zhàn)為時(shí)，，兩選手相遇的概率為1； 當(dāng)對(duì)戰(zhàn)為時(shí)，，兩選手相遇的概率為； 當(dāng)對(duì)戰(zhàn)為時(shí)，，兩選手相遇的概率為； 抽到三種對(duì)戰(zhàn)的概率均為，則. 綜上可知選手與選手相遇的概率為. （3）設(shè)采用方案一，二種子選手奪冠的概率分別為，，則 采用方案一，假設(shè)分組為， 第一輪兩種子選手獲勝，則第二輪種子選手一定奪冠：， 第一輪選手獲勝，第二輪獲勝：， 第一輪選手獲勝，第二輪獲勝：， 第一輪選手獲勝，則種子選手不能獲勝， 所以； 采用方案二：假設(shè)分組為， 第一輪選手獲勝，第二輪獲勝：， 第一輪選手獲勝，第二輪獲勝：， 第一輪選手獲勝，第二輪獲勝：， 第一輪選手獲勝，第二輪獲勝：， 則，所以， 因此方案一種子選手奪冠的概率更大. 定義設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立性質(zhì)①若事件A與B相互獨(dú)立， P(AB)＝P(A)P(B)； ②如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq \o(B,\s\up6(－))，eq \o(A,\s\up6(－))與B，eq \o(A,\s\up6(－))與eq \o(B,\s\up6(－))也都相互獨(dú)立事件A，B相互獨(dú)立概率計(jì)算公式A，B同時(shí)發(fā)生P(AB)＝P(A)P(B)A，B同時(shí)不發(fā)生P(eq \o(A,\s\up6(－))eq \o(B,\s\up6(－)))＝P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－))) ＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一個(gè)不發(fā)生P＝1－P(AB) ＝1－P(A)P(B)A，B至少有一個(gè)發(fā)生P＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－))eq \o(B,\s\up6(－))) ＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－))) ＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰有一個(gè)發(fā)生P＝P(Aeq \o(B,\s\up6(－))＋eq \o(A,\s\up6(－))B) ＝P(A)P(eq \o(B,\s\up6(－)))＋P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(B) ＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)

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