基礎(chǔ)篇

1．(5分)(多選)下列命題中，真命題是( )
A．向量eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(BA,\s\up6(→))的長度相等
B．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共線的單位向量都相等
2．(5分)(多選)下列命題中為假命題的是( )
A．任意兩個空間向量的模能比較大小
B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓
C．空間向量就是空間中的一條有向線段
D．不相等的兩個空間向量的模必不相等
3．(5分)如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，若eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，eq \(CC1,\s\up6(→))＝c，則eq \(A1B,\s\up6(→))等于( )
A．a(chǎn)＋b－c B．a(chǎn)－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
4．(5分)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中點，則( )
A.eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))＋eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
B.eq \(EF,\s\up6(→))－eq \(GH,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
C.eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
D.eq \(EF,\s\up6(→))－eq \(GH,\s\up6(→))＋eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
5．(5分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(A1C1,\s\up6(→))，若eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AA1,\s\up6(→))＋y(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，則( )
A．x＝1，y＝eq \f(1,2) B．x＝eq \f(1,2)，y＝1
C．x＝1，y＝eq \f(1,3) D．x＝1，y＝eq \f(1,4)
6.(5分)若|a|＝5，b與a的方向相反，且|b|＝7，則a＝________b.
7．(5分)若空間中任意四點O，A，B，P滿足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，則( )
A．P∈AB
B．P?AB
C．點P可能在直線AB上
D．以上都不對
8.(5分)設(shè)e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq \(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，且A，B，D三點共線，則k＝________.
9．(5分)已知空間三點坐標分別為A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)．又點P(x，－1，3)在平面ABC內(nèi)，則x的值為( )
A．－4 B．1
C．10 D．11
10．(5分)已知A，B，C不共線，對空間任意一點O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，則P，A，B，C四點( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．無法判斷
提升篇
11．(5分)(多選)已知正方體ABCDA1B1C1D1的中心為O，則在下列各結(jié)論中正確的結(jié)論是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))與eq \(OB1,\s\up6(→))＋eq \(OC1,\s\up6(→))是一對相反向量
B.eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))與eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OD1,\s\up6(→))是一對相反向量
C.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))與eq \(OA1,\s\up6(→))＋eq \(OB1,\s\up6(→))＋eq \(OC1,\s\up6(→))＋eq \(OD1,\s\up6(→))是一對相反向量
D.eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OC1,\s\up6(→))是一對相反向量
12．(5分)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))滿足|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|，則( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))同向
D.eq \(AC,\s\up6(→))與eq \(CB,\s\up6(→))同向
13．(5分)若a，b是平面α內(nèi)的兩個向量，則( )
A．α內(nèi)任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0
C．若a，b不共線，則空間任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
D．若a，b不共線，則α內(nèi)任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
14．(5分)已知i與j不共線，則存在兩個非零常數(shù)m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
15.(5分)已知點M是△ABC的重心，則eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝________.
16.(5分)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，若eq \(AC1,\s\up6(→))＝x·eq \(AB,\s\up6(→))＋2y·eq \(BC,\s\up6(→))＋3z·eq \(C1C,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝________________.
17.(10分)如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡：(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))；(2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))，并標出化簡結(jié)果的向量．
18.(10分)已知M，G分別是空間四邊形ABCD的兩邊BC，CD的中點，化簡下列各式：
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))；
(3)eq \(AG,\s\up6(→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
1.1.1 空間向量及其線性運算（練習）
(60分鐘 100分)
基礎(chǔ)篇

1．(5分)(多選)下列命題中，真命題是( )
A．向量eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(BA,\s\up6(→))的長度相等
B．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共線的單位向量都相等
ABC 解析：共線的單位向量方向相同或相反，只有D錯誤．
2．(5分)(多選)下列命題中為假命題的是( )
A．任意兩個空間向量的模能比較大小
B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓
C．空間向量就是空間中的一條有向線段
D．不相等的兩個空間向量的模必不相等
BCD 解析：對于選項A，向量的模即向量的長度，是一個數(shù)量，所以任意兩個向量的模可以比較大??；對于選項B，其終點構(gòu)成一個球面；對于選項C，零向量不能用有向線段表示；對于選項D，向量a與向量b不相等，它們的?？梢韵嗟龋?br>3．(5分)如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，若eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，eq \(CC1,\s\up6(→))＝c，則eq \(A1B,\s\up6(→))等于( )
A．a(chǎn)＋b－c B．a(chǎn)－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
D 解析：eq \(A1B,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA1,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－(eq \(CC1,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＝b－(c＋a)＝－a＋b－c.
4．(5分)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中點，則( )
A.eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))＋eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
B.eq \(EF,\s\up6(→))－eq \(GH,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
C.eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
D.eq \(EF,\s\up6(→))－eq \(GH,\s\up6(→))＋eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
A 解析：由題圖觀察，eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(GH,\s\up6(→))，eq \(PQ,\s\up6(→))平移后可以首尾相接，故有eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))＋eq \(PQ,\s\up6(→))＝0.
5．(5分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(A1C1,\s\up6(→))，若eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AA1,\s\up6(→))＋y(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，則( )
A．x＝1，y＝eq \f(1,2) B．x＝eq \f(1,2)，y＝1
C．x＝1，y＝eq \f(1,3) D．x＝1，y＝eq \f(1,4)
D 解析：因為eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(A1C1,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，所以x＝1，y＝eq \f(1,4).
6.(5分)若|a|＝5，b與a的方向相反，且|b|＝7，則a＝________b.
－eq \f(5,7) 解析：因|a|＝eq \f(5,7)|b|且a與b方向相反，所以a＝－eq \f(5,7)b.
7．(5分)若空間中任意四點O，A，B，P滿足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，則( )
A．P∈AB
B．P?AB
C．點P可能在直線AB上
D．以上都不對
A 解析：因為m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－n)eq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，即eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝n(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
即eq \(AP,\s\up6(→))＝neq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))與eq \(AB,\s\up6(→))共線．
又eq \(AP,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))有公共起點A，
所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈AB.
8.(5分)設(shè)e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq \(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，且A，B，D三點共線，則k＝________.
－8 解析：eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝(－e1－3e2)＋(2e1－e2)＝e1－4e2，
又A，B，D三點共線，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，
即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝λ，,k＝－4λ，))所以k＝－8.
9．(5分)已知空間三點坐標分別為A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)．又點P(x，－1，3)在平面ABC內(nèi)，則x的值為( )
A．－4 B．1
C．10 D．11
D 解析：∵點P(x，－1，3)在平面ABC內(nèi)，∴存在實數(shù)λ，μ使得eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
∴(x－4，－2，0)＝λ(－2，2，－2)＋μ(－1，6，－8)．
即eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(x－4＝－2λ－μ，,－2＝2λ＋6μ，,0＝－2λ－8μ，))消去λ，μ解得x＝11.
10．(5分)已知A，B，C不共線，對空間任意一點O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，則P，A，B，C四點( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．無法判斷
B 解析：因為eq \f(3,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)＝1，
所以點P，A，B，C四點共面．
提升篇
11．(5分)(多選)已知正方體ABCDA1B1C1D1的中心為O，則在下列各結(jié)論中正確的結(jié)論是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))與eq \(OB1,\s\up6(→))＋eq \(OC1,\s\up6(→))是一對相反向量
B.eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))與eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OD1,\s\up6(→))是一對相反向量
C.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))與eq \(OA1,\s\up6(→))＋eq \(OB1,\s\up6(→))＋eq \(OC1,\s\up6(→))＋eq \(OD1,\s\up6(→))是一對相反向量
D.eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OC1,\s\up6(→))是一對相反向量
ACD 解析：利用圖形及向量的運算可知，B是相等向量，ACD是相反向量．
12．(5分)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))滿足|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|，則( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))同向
D.eq \(AC,\s\up6(→))與eq \(CB,\s\up6(→))同向
D 解析：由|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＋|eq \(CB,\s\up6(→))|，知C點在線段AB上，否則與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾，所以eq \(AC,\s\up6(→))與eq \(CB,\s\up6(→))同向．
13．(5分)若a，b是平面α內(nèi)的兩個向量，則( )
A．α內(nèi)任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0
C．若a，b不共線，則空間任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
D．若a，b不共線，則α內(nèi)任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
D 解析：當a與b共線時，A項不正確；當a與b是相反向量，λ＝μ≠0時，λa＋μb＝0，故B項不正確；若a與b不共線，則與a，b共面的任意向量可以用a，b表示，對空間向量則不一定，故C項不正確，D項正確．
14．(5分)已知i與j不共線，則存在兩個非零常數(shù)m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
A 解析：若i與j不共線，則k與i，j共面?存在唯一的一對實數(shù)x，y，使k＝xi＋yj，x，y不一定非零．故選A.
15.(5分)已知點M是△ABC的重心，則eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝________.
0 解析：設(shè)D為AB的中點，則eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＝2eq \(MD,\s\up6(→)).
又M為△ABC的重心，則eq \(MC,\s\up6(→))＝－2eq \(MD,\s\up6(→))，
所以eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0.
16.(5分)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，若eq \(AC1,\s\up6(→))＝x·eq \(AB,\s\up6(→))＋2y·eq \(BC,\s\up6(→))＋3z·eq \(C1C,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝________________.
eq \f(7,6) 解析：如圖所示，有eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋(－1)·eq \(C1C,\s\up6(→)).
又因為eq \(AC1,\s\up6(→))＝x·eq \(AB,\s\up6(→))＋2y·eq \(BC,\s\up6(→))＋3z·eq \(C1C,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,2y＝1，,3z＝－1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝\f(1,2)，,z＝－\f(1,3).))
所以x＋y＋z＝1＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(7,6).
17.(10分)如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡：(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))；(2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))，并標出化簡結(jié)果的向量．
解：(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
(2)因為E，F(xiàn)，G分別為BC，CD，DB的中點．
所以eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(GD,\s\up6(→)).
所以eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→)).
故所求向量eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))，如圖所示．
18.(10分)已知M，G分別是空間四邊形ABCD的兩邊BC，CD的中點，化簡下列各式：
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))；
(3)eq \(AG,\s\up6(→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
解：(1)如圖所示，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
(2)取BD的中點H，連接MG，GH.
因為M，G分別為BC，CD的中點，
所以MG＝BH，MG∥BH，
所以BMGH為平行四邊形，
所以eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \(BH,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BG,\s\up6(→))，
從而eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→)).
(3)分別取AB，AC的中點S，N，連接SM，AM，MN，
則易證得ASMN為平行四邊形，
所以eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AS,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，
所以eq \(AG,\s\up6(→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AG,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(MG,\s\up6(→)).

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高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.1 空間向量及其運算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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