三角函數(shù)綜合 一、 選填綜合 經(jīng)典例題 1. 函數(shù)  的最大值是  ． 【備注】 類二次法研究三角函數(shù)：利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，將待研究的函數(shù)轉(zhuǎn)化為以三角函 【答案】 【解析】 ， 當 ，即 時，函數(shù) 取得最大值，且最大值為 ． 【標注】【知識點】類二次三角函數(shù)問題；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 2. 已知 ， ，則 （ ）． A. B. C. D. 【備注】 齊次化構(gòu)造與二倍角公式的綜合，當然本題也可以用消元的方法，以方程解出正弦、 【答案】C 【解析】把條件中的式子兩邊平方，得  ， 即 ， 所以 ，所以 ， 即 ， 解得 或 ， 所以 ． 故選 ． 【標注】【知識點】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；二倍角的正弦 3. 若在 中， ，則 的形狀一定是( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等邊三角形 【備注】 利用三角恒等變換判斷三角形形狀． 【答案】C【解析】 在  中，  ， ， ， ， ， 又 ， 是 的內(nèi)角， ，即 ， 為等腰三角形， 故選 ． 【標注】【知識點】利用三角恒等變換判斷三角形形狀 4. 已知函數(shù) ，則 的增區(qū)間 ． 【備注】 一"拆"（用和差角公式拆出括號內(nèi)角），二”降“（二倍角公式降冪），三"并"（用輔助 【答案】 【解析】  ， ． 令 故答案為：  ． 【標注】【知識點】二倍角的正弦；二倍角的余弦；兩角和與差的正弦；正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì) 5. 已知函數(shù) ．有下列四個結(jié)論： ①函數(shù)的值域為 ； ②函數(shù)的最小正周期為 ； ③函數(shù)在 上單調(diào)遞增； ④函數(shù)的圖像的一條對稱軸為  ． 其中正確的結(jié)論是（ ）． A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ①② 【備注】 可知 是函數(shù) 的一個周期，做出該函數(shù)在 上的圖象，即不難進行選項判 斷，本題體現(xiàn)了圖象在解決三角函數(shù)問題中的重要性和泛用性． y 3 2 1 –1 O –1 –2 1 2 3 4 5 6 7 x 【答案】B 【解析】對于①：∵  ，  ， 若 ，且 ， 則 ， ， ∴ ， 又 ， ， ∴不成立； 又若  ，  ， 則 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即滿足， 此時 ，故①錯； 對于②，當 時， ， ∴ ， 當 時， ， ∴ ， 當 時， ， ∴ ， ∴ 的最小正周期為 ，故②對； 對于③，∵ 在 上無單調(diào)性， 在 上單增， 在 上單減， 且 ，周期為 ， ∴ 在 上不單調(diào)遞增，故③錯； 對于④： ， ， ∴ ， ∴ 關(guān)于直線 對稱， 故④正確； 故選 ． 【標注】【知識點】正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì) 鞏固練習 6. 已知函數(shù) ， 的值域為 ，則實數(shù) 的取值范圍 是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意，可知： ， ． 令 ，則 ， 令 ，得 或 ， 由二次函數(shù)的圖象即性質(zhì)可知， 當 時， 的值域為 ， ． 故選： ． 【標注】【知識點】類二次三角函數(shù)問題 7. 已知 ， 則 的最大值為 ． 【答案】 【解析】因為  ，  ， 所以 ， 因為 ， ， 所以 ， 所以當 時 ， 的最大值為： ． 【標注】【知識點】類二次三角函數(shù)問題 8. 若 ，則 ， ． 【答案】 ; 【解析】∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴解得： ， ∴ ， ， ∴ ． 故答案為： ； ． 【標注】【知識點】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡和求值；兩角 和與差的正切；和差角公式化簡求值綜合運用 9. 已知在 中， ， ，則 的值為（ ）． A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】在  中，  ，  ，  ． 因為 ，所以 ． 又 ，所以 ，所以 ． 所以 為銳角，故 ． 從而 ． 【標注】【知識點】兩角和與差的余弦 10. ， ， 是 的三個內(nèi)角，且 ， 是方程 的兩個實數(shù)根，則 是（ ）． A. 鈍角三角形 B. 銳角三角形 C. 直角三角形 D. 以上均有可能 【答案】A 【解析】  由韋達定理可知，  ，所以  ，  故 ， 為銳角， ， 故 為鈍角， 答案為A． 【標注】【知識點】利用三角恒等變換判斷三角形形狀 11. 在 中，若 ，則 的形狀為（ ）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】  ，即 ． 即 ． 故 或 ． 即 為直角或等腰三角形． 故選 ． 【標注】【素養(yǎng)】邏輯推理；數(shù)學運算 【知識點】利用三角恒等變換判斷三角形形狀 12. 已知函數(shù) A. B.  ，  ， ，下列命題中的真命題有（ ）． 為奇函數(shù) 對 恒成立 C. D. ， ， ，若 ，若 ，則 ，則 的最小值為 【答案】BC 【解析】A 選項：由題意，  ； ∵ 的圖象如圖所示： y x O （ ） 函數(shù) 的圖象是 的圖象向左或向右平移 個單位， 它不會是奇函數(shù)的，故 錯誤． B 選項： ，∴ ， ∴ ，∴ ， ； 又 ，∴取 或 時， ∴ 對 恒成立， 正確． C 選項： 時， 的最小值為 ，∴ 正確． D 選項：當 時， ∴ 錯誤． 故選 B C . 【標注】【知識點】奇偶性；半角公式；二倍角的余弦；余弦型三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；余弦函數(shù) 的圖象和性質(zhì) 13. 函數(shù) ，下列四個結(jié)論不正確的有（ ）． A. B. C. D. 是以 為周期的函數(shù)圖象的對稱軸為直線 當且僅當 當且僅當  時，  取得最小值 時， 【答案】BC 【解析】如圖可知，  最小正周期為 ，對稱軸為  ，  ， 當 或 時，取最小值 ， 由 ， 得 ， 綜上所述，正確的為 ，此外，由之前的習題可知，  的解析式還可以寫為 ． 【標注】【知識點】正余弦、正切函數(shù)的圖象性質(zhì)綜合考察 14. 若兩個銳角 ， 滿足 ，則下列四個選項中成立的是（ ）． A. B. C. D. 【備注】 可用特殊值法或利用銳角的三角函數(shù)的不等關(guān)系： ． 【答案】C 【解析】方法一：  ，令  ，那么  ，又 為銳角， 故 ， 在 上單調(diào)遞減． ① ， 令 ， ， 故 在 上單調(diào)遞增，即 ， （當 時）則 ，又 ， 則 ， ； ② ， 令 ， ， 故 在 單調(diào)遞減， （當 時）， 故 ，且 ，故 ，即 ， 綜上， ． 故選 ． 方法二：特殊值快解 令  ，則  ， ． 故選 ． 方法三：（利用銳角三角函數(shù)的不等關(guān)系） ， ． ， ． ， ． 綜上： ． 故選 ． 【標注】【知識點】通過構(gòu)造函數(shù)證明不等式；利用公式和四則運算法則求導；二倍角的正弦 15. 已知 ，若 滿足不等式 ，則 的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【備注】 構(gòu)造單調(diào)性已知的函數(shù)． 【答案】A 【解析】解：  ， ， 即 ， 則 且 ．即 且 ，即 ， 設(shè) ， ， 則不等式 等價為 恒成立， 函數(shù) ，則當 時， 恒成立，即 在定義域上為增函數(shù)， 則 等價于 恒成立， ， ，即  ， 即 ，即 的取值范圍是 ， 故選：A． 【標注】【知識點】利用導數(shù)證明不等式恒成立問題 二、 三角函數(shù)的實際應用 經(jīng)典例題 16. 摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如深圳前海的“灣區(qū)之光”摩天輪，如圖所示，某摩天輪最 高點離地面高度 米，轉(zhuǎn)盤直徑為 米，設(shè)置若干個座艙，游客從離地面最近的位置進艙，開啟 后按逆時針勻速旋轉(zhuǎn) 分鐘，當 時，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠處．以下關(guān)于摩天輪的說法 中，正確的是（ ）． A. B. C. 摩天輪離地面最近的距離為 米 若旋轉(zhuǎn) 分鐘后，游客距離地面的高度為 米，則 若在 ， 時刻，游客距離地面的高度相等，則  的最小值為 D. ， ，使得游客在該時刻距離地面的高度均為 米 【備注】 仿照用在單位圓上研究三角函數(shù)，得出高度 關(guān)于時間 的函數(shù)． 【答案】BC 【解析】A 選項：  米， ∴離地面最近的距離為 米，故 錯誤； B 選項：∵ 時，旋轉(zhuǎn)角度為 ， ∴ 分鐘后角度 ， ∴ ， ∴ ，故 正確； C 選項：若在 ， 時刻，游客距離地面高度相等，則在摩天輪轉(zhuǎn)一圈內(nèi)， ， ∴ ，但摩天輪不止轉(zhuǎn)一圈，當?shù)诙胃叨认嗟葧r， ，故 D 選項：設(shè) ，故 正確； ，則  時，存在 使  米，  ，當  時， 最小， ， ∴不存在 ， ，使高度均為 米，故 錯誤． 故選 B C . 【標注】【知識點】三角函數(shù)的實際應用 17. 筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．如 圖，一個半徑為 的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn) 圈，筒車的軸心 距離水面的高度為 米．設(shè)筒車上的某個盛水筒 到水面的距離為 （單位： ）（在水面下則 為負數(shù)），若以盛水筒 剛浮出水面時開始計算時間，則 與時間 （單位： ）之間的關(guān)系為 ．則盛水筒出水后到達最高點的最少時間為 （ ）． 水面 A. B. C. D. 【備注】 可直接利用角速度解決本問題． 【答案】D 【解析】振幅 即為半徑，即  ， ∵逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn) 圈， ∴ ， ， ∵ 時， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，即 ． 當 ，即 時， 取最大值， 當 時， ． 故選 ． 【標注】【知識點】三角函數(shù)的實際應用 鞏固練習 18. 如圖，一個水輪的半徑為 ，水輪軸心 距離水面的高度為 ，已知水輪按逆時針勻速轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)動 圈，當水輪上點 從水中浮現(xiàn)時的起始（圖中點 ）開始計時，記 為點 距離水面的高度關(guān)于時間 的函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）． A. B. C. D. 若 ，則 不論 為何值，  是定值 【答案】BD 【解析】如圖，以水輪所在面為坐標平面，以水輪的軸心 為坐標原點， 軸和 軸分別平行和垂 直于水面建立平面直角坐標系， 依題意得 在 內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度為 ， 則 ， 則點 的縱坐標為 ， 點 距離水面的高度關(guān)于時間 的函數(shù)  ； ，選項 錯誤； ， ， ，選 項 正確； 由 得， 解得 ，選項 錯誤； , 展開整理，得 為定值，選項 正確， 故答案為 ． 【標注】【素養(yǎng)】數(shù)學建模 【知識點】三角函數(shù)的實際應用【思想】數(shù)形結(jié)合思想 19. 《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間．現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為 米，肩寬約為 米，“弓”所在圓的半徑約為 米，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】“弓”所在弧長  ， 對應的圓心角為 ， 故兩手間的距離 ， 故 項錯誤， 項正確． 故選 ． 【標注】【知識點】三角函數(shù)的實際應用 三、 解答綜合 經(jīng)典例題 20. 已知 ， ， ， ． （ 1 ）求 （ 2 ）求角 的值． 的大小． 【備注】 應用三角恒等變換求三角函數(shù)值、求角的問題．注意整體代換或角度范圍． 【答案】（ 1 ）（ 2 ） ． ． 【解析】（ 1 ）∵ ， ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ） ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 【標注】【知識點】利用正切和差角公式湊角求值；已知正弦余弦正切或其關(guān)系求值 21. 已知函數(shù) （ 1 ）求函數(shù) ． 的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心． （ 2 ）當 時，求函數(shù) 的值域． （ 3 ）當 時，解不等式 ． 【備注】 應用三角恒等變換化簡，轉(zhuǎn)換成正弦型函數(shù)． 【答案】（ 1 ）單調(diào)遞增區(qū)間： ， ，對稱中心 ， ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． 【解析】（ 1 ） ． 令  ，  ， 解得 ， ， 即 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， ． 令 ， ，解得 ， ， 即 的對稱中心為 ， ． （ 2 ） ，則 ，則 ， 故 的值域為 ． （ 3 ） ，則 ， 要使 ，即 ，則 ． 由 圖象可得 或 或 ， 解得 ． 【標注】【知識點】正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì) 22. 定義函數(shù) （ 1 ）求函數(shù)（ 2 ）將函數(shù) ． 的最小正周期． 的圖象向左平移  個單位得到函數(shù)  的圖象關(guān)于 軸對稱，求 的最小值． （ 3 ）判斷方程  的根的個數(shù)．（不需寫出解答過程） 【備注】 正弦型函數(shù)與函數(shù)圖象變換、函數(shù)零點綜合的問題，解決此類問題的核心思想是數(shù)形 【答案】（ 1 ） ．（ 2 ） ．（ 3 ） ． 【解析】（ 1 ）函數(shù)  的最小正周期  ， 函數(shù) 的最小正周期 ． 故答案為： ． （ 2 ）將函數(shù) 的圖象向左平移 個單位得到 ，由其圖象關(guān)于 軸對稱可得 ， ， ， 又 ，故 的最小值為 ． 故答案為： ． （ 3 ）函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象有 個交點，故方程 的根的個數(shù)為 個． 故答案為： ． y x O 【標注】【知識點】正弦型函數(shù)與零點綜合問題 鞏固練習 23. 已知 ， ，且 ， （ 1 ）求 和 ． （ 2 ）求 的值． 【答案】（ 1 ）  ，  ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）∵ ， ， ∴ ， ． （ 2 ）∵ ， ∴ ， ， 即 ， 又 ， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ 且 ， ∴ ． 【標注】【知識點】和差角公式化簡求值綜合運用；兩角和與差的正弦；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 式；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡和求值 24. 化簡： ． 【答案】 ． 【解析】解法一： 原式 ． 解法二：原式 ． 【標注】【知識點】倍角、和差角公式綜合 25. 已知函數(shù) ， ， ，且 ， ． （ 1 ）求（ 2 ）若  1 2 的解析式． ． 求 的單調(diào)遞增. 區(qū)間． 求 的圖象位于 軸右. 側(cè). 的. 第. 三. 條. 對稱軸方程． （ 3 ）若 【答案】（ 1 ） 在區(qū)間 ． 上恰. 有. 個零點，求 的取值范圍． （ 2 ）1 ， ． 2 ． （ 3 ） ． 【解析】（ 1 ）∵ ， ， 且 ， ， ∴ ， 即 ， 解得 ， ， ∴ ． （ 2 ）1 ， 令 ， ， 解得： ， ， 則 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， ． 2 令 ， ，解得 ， ， 則 的圖象位于 軸右側(cè)的第三條對稱軸方程為 ，即 ． （ 3 ） ， 當 時， ， 若 在區(qū)間 上恰有 個零點，則 ， 解得： ， 即 的取值范圍是 ． 【標注】【知識點】函數(shù)求值問題；正弦型函數(shù)與零點綜合問題；求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 26. 已知函數(shù) ，函數(shù) 為奇函數(shù)． （ 1 ）求函數(shù)（ 2 ）將函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間． 的圖象向右平移 個單位，然后將所得的圖象上各點的橫坐標縮小到原來的 倍（縱坐標不變），得到函數(shù) 的圖象，證明：當 時， ． 【答案】（ 1 ） （ 2 ）證明見解析． ． 【解析】（ 1 ）由題意知： 為奇函數(shù)， 所以 ， ， 因為 ， 所以 ， ， 所以 ， 由 ， ， 解得： ， ， 所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為 （ 2 ）由題知：將 的圖象向右平移 個單位得 ．  即 ， 再將圖象各點的橫坐標縮小到原來的 倍，得  ， 因為 ， 所以 ， 因此 ， 所以 ． 【標注】【知識點】正余弦型、正切型函數(shù)圖象變換；求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；求固定區(qū)間正弦 型函數(shù)值域；利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式 出門測 27. 已知 ，則 的值為（ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ∴ ． 故選： ． 【標注】【知識點】倍角、和差角公式綜合；輔助角公式；和差角公式化簡求值綜合運用；兩角和 與差的余弦 28. 已知 ，則 （ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ． 【標注】【知識點】半角公式；二倍角的余弦 29. 已知函數(shù) ． （ 1 ）求 的最小正周期． （ 2 ）若 在區(qū)間 上的圖象與直線 有且僅有兩個公共點，求實數(shù) 的取值范圍． 【答案】（ 1 ） 的最小正周期為 ． （ 2 ） 的取值范圍為 ． 【解析】（ 1 ） ， ∴ （ 2 ）若 的最小正周期為 ， ． 則 ， 由 的圖象知，要使 與 有且僅有兩個公共點， 則需 ， 即 ， ∴ 的取值范圍為  ． 【標注】【知識點】函數(shù)零點的概念；已知零點情況求參數(shù)的取值范圍；正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì) 22

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