階段復(fù)習(xí) 一、 集合 1. 已知全集 ， ， ，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵全集  ，  ，  ， ∴ ， ∴ ， 則圖中陰影部分表示的集合為  ． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】維恩圖；交、并、補(bǔ)集混合運(yùn)算 2. 已知集合 ， ，則 （ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】  ，利用二次不等式的解法可得  或  ， 所以 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】交集 3. 設(shè)全集 ，集合 ， ，則 （ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵  ，∴  ． 故選： ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集混合運(yùn)算 4. 集合 ， ，若集合 滿足 ， ，則集合 的個(gè)數(shù)是 ． 【答案】 【解析】若  ，則滿足  ，  ； 若 ，由 ， 知， 是由屬于 且屬于 的元素構(gòu)成， 此時(shí)集合 可能為 ， ， ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】子集個(gè)數(shù)的計(jì)算 5. 已知集合 ， ． （ 1 ）當(dāng) 時(shí)，求 ． （ 2 ）若 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）當(dāng) 時(shí)， ， ∵ 或 ， ∴ ． （ 2 ）∵ ， ∴ ， 若 ，則 ，即 或 ， 即 或 ， 故 的取值范圍是 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】交集；連續(xù)性集合運(yùn)算中的含參問題 6. 請?jiān)冖?，② ，③ 這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題（ ）中． 已知集合 （ 1 ）化簡集合 ， ． ，集合 ． （ 2 ）若 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍． （注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分） 【答案】（ 1 ） ； ． （ 2 ）若①， ；若②， ；若③， ． 【解析】（ 1 ）由 得 ， ∴ ， 即 ， 由 得 ， ∵ ， ∴ ， 即 （ 2 ）若①， ． ∵ ， ∴ ，解得： ， 則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ； 若②， 易知  ，若  ，則 ，解得 ， 則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ； 若③， 若  ， 則 或 ， 解得 或 ， 則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式；分式不等式；集合關(guān)系中的含參問題 7. 已知集合 為非空數(shù)集，定義： ， ． （ 1 ）若集合（ 2 ）若集合 ，直接寫出集合 ， ． ，  ，且  ，求證：  ． （ 3 ）若集 ， ，記 為集合 中元素的個(gè)數(shù)，求 的最 大值． 【答案】（ 1 ）  ，  ． （ 2 ）證明見解析． （ 3 ） ． 【解析】（ 1 ） ， ， ， 則 ， ， ， ∴ ． （ 2 ） 中必有 ，則 ， ∴ ， 則 ， 則 ， ， 必與 ， ， ， 中的一個(gè)相等， 任 ， ， 均小于 ，大于 ， 故 ， ， 必定與 ， 中的一個(gè)相等， 而 ， 故 ， ∴ ， ∴ ， 即 （ 3 ）設(shè) ，得證． 且  ， 則 ， ∴ 至少有 個(gè)元素， 又∵ ， ∴ 至少有 個(gè)元素， ∵ ，則 ，至少有 個(gè)元素， 而 中最小的元素為 ，最大的元素為 ， 中元素個(gè)數(shù)至多為 ， ∴ ， ∴ ， 當(dāng) 時(shí)，滿足條件． ∴ 中元素個(gè)數(shù)的最大值為 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】集合的概念；集合中元素的個(gè)數(shù)；綜合法與分析法 8. 已知集合 ．若 ，且對任意的 ， ，均有 ，則集合 中元素個(gè)數(shù)的最大值為（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題知  ，  ，若  ，  ， 則 ， 解得 ， 故橫，縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)在集合 中至多一個(gè)． 不妨設(shè) ，則 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 都是集合 中的元素，故符合題意的集合 中可以有 個(gè)元素． 假設(shè) 且 ， ，所以 與 矛盾，則假設(shè)不成 立，故符合題意的集合 中至多有 個(gè)元素，所以集合 中元素個(gè)數(shù)的最大值為 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】子集；描述法 9. 已知集合 ，對于 ， ，定義 與 之間的距離為： ，若集合 滿足： ，且任意 兩元素間的距離均為 ，則集合 中元素個(gè)數(shù)的最大值為（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 中含有 個(gè)元素，可將其看成正方體的 個(gè)頂點(diǎn)， 集合 中的元素所對應(yīng)的點(diǎn)，應(yīng)該兩兩位于該正方體對角線的兩個(gè)端點(diǎn)， ∴ 或 ， ∴集合 中元素個(gè)數(shù)最大值為 ． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】歸納推理 二、 常用邏輯用語 10. 下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）． A. 命題：“ ， ”的否定是“ ， ” B. 命題“至少有一個(gè)整數(shù) ， 是 的倍數(shù)”是真命題 C. “ 且 ”是“ ”的充要條件 D. 當(dāng) 時(shí)，冪函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減 【答案】AD 【解析】A 選項(xiàng)：命題“  ，  ” 的否定為“ ， ”，正確； B 選項(xiàng)：假設(shè)命題為真，則 為偶數(shù)， ∴ 為奇數(shù)，即 為奇數(shù)，設(shè) ， ， 則 C 選項(xiàng)：“  且 ，即 ”可得“ 除以 余數(shù)為 ，矛盾，錯(cuò)誤；”成立， “ ”不能得到“ 且 ”，不正確； D 選項(xiàng)：當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減，正確． 故選 A D . 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)；全稱量詞命題與存在量詞命題的否定；充要條件與不等 式結(jié)合 11. 若命題“ ，使得 ”為假命題，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意知： 命題“  ，使得  ”的否定為， “ ，都有 ”， 由于命題“ ，使得 ”為假命題， 則其否定為“ ，都有 ”，為真命題， 即 ，解得 ， 則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ， 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式 【素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算 12. 設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)榧?．不等式 的解集為集合 ． （ 1 ）求集合（ 2 ）設(shè) ： ． ， ：  ，且 是 的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) 的取值范圍． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）記 ： ． ∵ 是 的充分不必要條件， ∴ 即 ， ∴ 的取值范圍是 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】充要條件與集合結(jié)合；交集 13. 下列說法正確的是（ ）． A. B. “ “ ”是“ ”的必要不充分條件 ”是“關(guān)于 的方程  有一正一負(fù)根”的充分不必要條件 C. 若 是 的充分條件，則 是 的必要條件 D. “函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增”的充要條件是“ ” 【答案】BC 【解析】A 選項(xiàng)：若  ，則  ；若  ，則  ， 所以“ ”是“ ”的充分不必要條件， 故 選項(xiàng)錯(cuò)誤．B 選項(xiàng)：若  ，則  ， 令 的兩根分別為 ， ， 則 ， ， 故 有一正一負(fù)根． 若 有一正一負(fù)根， 則 ， 解得 ． 所以“ 是“關(guān)于 的方程 有一正一負(fù)根”的充分不必要條件． 故選項(xiàng) 正確． C 選項(xiàng)：若 是 的充分條件，則 是 的必要條件， 選項(xiàng) 正確． D 選項(xiàng)：若函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增， 則 ，解得 ， 故選項(xiàng) 錯(cuò)誤．故選 B C . 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】充要條件與不等式結(jié)合；充要條件與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合 14. ， 表示不超過 的最大整數(shù)，十八世紀(jì)， 被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名高斯函 數(shù)，人們更習(xí)慣稱之為“取整函數(shù)”，則下列命題中是真命題的是（ ）． A. ， B. ， ， C. D. 函數(shù) 若存在 的值域?yàn)? ，使得  ，  ，  ， ，  同時(shí)成立，則正整數(shù) 的最 大值是 【答案】BCD 【解析】A 選項(xiàng)：當(dāng) 為整數(shù)時(shí)，若  ， 當(dāng) 不為整數(shù)時(shí) ， ∴ ，故 錯(cuò)誤； B 選項(xiàng)：由定義可得，對 ，  ，  ，  ，  ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故 正確． C 選項(xiàng)：由 可知 ,x為整數(shù)時(shí)等號(hào)成立 故 的值域?yàn)?﹐ 故 正確； D 選項(xiàng)：若  ，  ，  ， ，  同時(shí)成立， 則 ， ， ， ， ， ∵  ，若  ，則不存在 使  ，  ，只有 時(shí)，存在 滿足， 故正整數(shù) 的最大值為 ，故 正確．故選 B C D . 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】取整函數(shù)（高斯函數(shù)） 三、 不等式 15. 下列四個(gè)命題中，真命題是（ ）． A. 若 且 ，則 B. C. 若 若 ，則 ，則 D. 若 ，則 【答案】ACD 【解析】A 選項(xiàng)：  ， ∵ ，∴ B 選項(xiàng)：若 ，∴ ，比如 ，故 正確； ，  ， 則 ，故 錯(cuò)誤； C 選項(xiàng)： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，故 正確； D 選項(xiàng)：由 ， 且 可知， ， 當(dāng)且僅當(dāng) 即 ， 時(shí)，等號(hào)成立，故 正確． 故選 A C D . 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】倒數(shù)和形式；作差法比較大小 16. 若一元二次不等式 的解集為 ，則 的值為 ． 【答案】 【解析】若一元二次不等式  的解集為  ， 則 且 和 是 的兩根， 則 ， 解得 ， ， 則 ． 故答案為： ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】已知解集求參問題 17. 設(shè) ， ，且 ，則 （ ）． A. 有最小值為 B. 有最小值為 C. 有最小值為 D. 無最小值 【答案】C 【解析】∵  ，  ，且  ， ∴ ， 則  有最小值為  ． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】利用基本不等式求最值 18. 若正實(shí)數(shù) ， ，滿足 ，則 最小值為（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根據(jù)題意，若正實(shí)數(shù) ， ，滿足  ， 則 ， 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立， 即 的最小值為 ． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】倒數(shù)和形式；利用基本不等式求最值；基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 19. 若關(guān)于 的不等式 對于一切 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵  ， ∴ ， ① 時(shí)， 方程 無解， 即不等式 恒成立，則 ． ② 時(shí)，若 在 恒成立， 則 ， ∴ ， ∵ 或 ， ∴ ． 綜上所述， 的取值范圍是  ． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】已知解集求參問題 20. 《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重 要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn) 有圖形如圖所示， 為線段 上的點(diǎn)，且 ， ， 為 的中點(diǎn)，以 為直徑作半 圓．過點(diǎn) 作 的垂線交半圓于 ，連結(jié) ， ， ，過點(diǎn) 作 的垂線，垂足為 ．則該圖形可以完成的所有的無字證明為（ ）． A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】根據(jù)圖形，在 中，利用射影定理得： ， 所以 ，即 ， 由于 ， ， 所以 ． 同理，在 ，利用射影定理得： ， 所以 ， 由于 ， 所以 ． 故選： ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】二元不等式鏈的應(yīng)用 21. 若對任意使得關(guān)于 的方程 有實(shí)數(shù)解的 ， ， 均有 ，則實(shí)數(shù) 的最大值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】方法一：設(shè)關(guān)于 的方程  的實(shí)數(shù)解為 ， ， 則 ， ， 于是 ． 右側(cè)代數(shù)式的最小值為 ， 因此所求實(shí)數(shù) 的最大值為 ． 故選 ． 方法二：根據(jù)題意，不妨設(shè)  ，則  ， 且 ， 記右側(cè)代數(shù)式為 情形一：  ， 此時(shí) ． 情形二： ， 此時(shí) ． 當(dāng) 時(shí)第二個(gè)不等式取到等號(hào)． 綜上所述，實(shí)數(shù) 的最大值為 ．故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】韋達(dá)定理 22. 已知 ， ， 為正實(shí)數(shù)，則代數(shù)式  的最小值是  ． 【答案】 【解析】  令  ， 則 ， ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】多元均值不等式的應(yīng)用 四、 函數(shù)的概念與性質(zhì) 23. 函數(shù) 的定義域?yàn)?． 【答案】 【解析】解：要使  有意義，則  ，可得  ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】求具體函數(shù)（包括復(fù)合函數(shù)）的定義域 24. 下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ）． A. B. ， ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】A 選項(xiàng)：  定義域?yàn)? ，  定義域?yàn)? ， 故 錯(cuò)； B 選項(xiàng)：∵  ， ∴ 和 C 選項(xiàng)： 是同一個(gè)函數(shù)，故 對； 定義域  ，  定義域?yàn)? ，故 錯(cuò)；D 選項(xiàng)：∵  ， ∴ ，則 定義域?yàn)?， ∵ ， ∴ 或 ，則 定義域?yàn)?，故 錯(cuò)． 故選 B . 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】相同函數(shù) 25. 在同一坐標(biāo)系中，函數(shù) 與 的圖像可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由圖可知， 選項(xiàng)： 開口向上， ， 一、二、三象限， ， ， 無矛盾之處，故 正確，故 錯(cuò)誤； 選項(xiàng)： 開口向下， ， 一、二、三象限， ， ，矛盾，故 錯(cuò)誤，故 錯(cuò)誤． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖象的識(shí)別問題 26. 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分 家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢 磨函數(shù)的圖象特征．將函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位長度，得到函數(shù) 的圖象， 則函數(shù) 的圖象大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題得  ， 得 ， 得 ， 得 ， 所以 為奇函數(shù)， 故 錯(cuò)誤． ， 故 錯(cuò)誤． 當(dāng) 時(shí)，得 ， ∴ ， 故 錯(cuò)誤． 綜上所述選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖象的識(shí)別問題；平移變換問題 27. 函數(shù) 是定義在 上的增函數(shù)，如果對于任意正實(shí)數(shù) ， ，恒有 ，且 ，則不等式 的解集是 ． 【答案】 【解析】∵  ，  ， ∴ ， 則不等式 等價(jià)為 ， ∵函數(shù) 在定義域 上為增函數(shù)， ∴不等式等價(jià)為 ， 即 ， 解得 ， ∴不等式的解集為  ． 故答案為： ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性解不等式；抽象函數(shù) 28. 已知函數(shù)  在區(qū)間  上的最大值和最 小值分別為 ， ，則 ． 【答案】 【解析】 ， 令 ， 則 ， ， 為奇函數(shù)，對稱中心為  ， ∴ ，對稱中心為 ， ∵ 在區(qū)間 上的最大值和最小值分別為 ， ， ∴ ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】利用奇偶性求值 29. 函數(shù) 的函數(shù)值表示不超過 的最大整數(shù)，例如： ， ．若 ，則 中所有元素的和為 ． 【答案】 【解析】當(dāng)  時(shí)，  ，  ， ∴ ， 當(dāng) 時(shí)， ， ， ∴ ， 當(dāng) 時(shí)， ， ， ∴ ， 當(dāng) 時(shí)， ， ， ∴ ， 當(dāng) 時(shí)， ， ， ∴ ， ∴ 中元素之和為： ． 故答案為： ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)求值問題；分段函數(shù) 30. 設(shè)函數(shù) 的定義域 ，且滿足： ① 時(shí) ；② ， ， ． 則下列說法正確的是（ ）． A. 是奇函數(shù) B. 是偶函數(shù) C. 在定義域上是減函數(shù) D. 在定義域上是增函數(shù) 【答案】AC 【解析】奇偶性： 在②式中，令  ，則②變?yōu)? ③ 令 得 ， 則 ，四代③式： ， ∴ 為奇函數(shù)，故 正確，故 錯(cuò)誤； 單調(diào)性： 任取 ，  且  ， ， ∵ 且 ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ 時(shí)， ， ∴ ， 即 ， 又 ， ∴ 在 上單調(diào)遞減，故 正確；故 錯(cuò)誤． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】抽象函數(shù) 31. 若函數(shù) 對于任意 都滿足 ，則 的最小值 是 ． 【答案】 【解析】解：提示：  ，又  ，所以  ，所以 ． 令 ，則 ， 所以 的最小值是 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的概念 32. 已知函數(shù) ， ，則不等式 的解集為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)  ， 其圖象大致為： 若  ，則有  ， 解可得： ， 即不等式的解集為 ； 故選：A． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性解不等式 33. 已知函數(shù) ． （ 1 ）判斷函數(shù) 在 上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明． （ 2 ）關(guān)于 的方程 有 個(gè)不同的實(shí)數(shù)根 ． 則：1 2  ． 求 ， 滿足的條件．（直接寫出答案） 【答案】（ 1 ）（ 2 ）1 在 上單調(diào)遞減，證明見解析． 2 ， ． 【解析】（ 1 ） 在 上單調(diào)遞減， 證明：任取 ， 則 ， ∴ ， ∴ 在 上單調(diào)遞減． （ 2 ）1 ∵ 的定義域?yàn)?， 且 ， ∴ 為奇函數(shù)， ∵ 在 上單調(diào)遞減， ∴ 在 上單調(diào)遞減， ∴ 圖象的如圖所示： 令 ， 則方程 有 個(gè)不同的實(shí)根， 故 定有 個(gè)不同的實(shí)數(shù)解， 且 必為方程 的解， 否則會(huì)有 個(gè)解， 故 ， ∵ 且 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 的另一個(gè)解為 ， 若 ， 則 ， 故由韋達(dá)定理知： ， 若 ， 則 ， 故由韋達(dá)定理知： ， ∴ ． 2 由（ ）知， ， ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；利用函數(shù)圖象研究方程根的分布問題（圖象與零 點(diǎn)綜合） 34. 已知函數(shù) ，對于給定的 （ 且 ），存在 ，使得 ，則 的最大值為（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 的最大值為 ， 首先當(dāng) 時(shí)，取 ， 則 ， ，符合題意， 假設(shè)存在 ，使得函數(shù) 成立， 則 ， 當(dāng) 時(shí)， ， ， ， ， 當(dāng) 時(shí)， ， ， ， ， 所以不存在 ，使得 ， 所以， 的最大值為 ．故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù) 35. 已知二次函數(shù) 滿足 ，且 的最小值是 ． （ 1 ）求 的解析式． （ 2 ）若關(guān)于 的方程  在區(qū)間  上有唯一實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) 的取值范圍． （ 3 ）函數(shù) ，對任意 都有 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ）（ 3 ） ． ． 【解析】（ 1 ）設(shè) ， 則由 ，可得 ， 的對稱軸為 ， 所以 ， 解得 ， ， ， 所以 （ 2 ）由方程 ． ，得  ， 令 ，則可知其在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增， 因?yàn)?在區(qū)間 上有唯一的實(shí)數(shù)根， 即 與 只有一個(gè)交點(diǎn)， 所以 或 ， 解得 或 ， 故 的取值范圍是 ． （ 3 ）由題意知， ， 假設(shè)存在實(shí)數(shù) 滿足條件，對任意 ，  都有  成立， ①當(dāng) 時(shí)， 在 上為增函數(shù)， ， 解得 ，即 ； ②當(dāng) 時(shí)，有 ， 解得 ，即 ； ③當(dāng) 時(shí)，有 ， 解得 ，即 ； ④當(dāng) 時(shí)，有 ， 解得 ，即 ． 綜上所述， ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】解析法；用待定系數(shù)法求解析式；函數(shù)的值域；動(dòng)軸定區(qū)間求值域；函數(shù)零點(diǎn) 的概念；一元二次方程根的分布 36. 已知函數(shù) （ 1 ）當(dāng) （ 2 ）若方程  ，  在 ， ． 時(shí)，求方程 的解． 上有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) 的取值范圍． （ 3 ）當(dāng) 時(shí)，若對任意的 ，總存在 ，使 成立，求實(shí)數(shù) 的取 值范圍． 【答案】（ 1 ）（ 2 ）  或 ．  ． （ 3 ） ． 【解析】（ 1 ）當(dāng) ， 時(shí)，求方程 化為 ， 解得： 或 ． （ 2 ）∵函數(shù) 的對稱軸是 ， ∴ 在區(qū)間 上是減函數(shù)， ∵函數(shù)在區(qū)間 上存在零點(diǎn)，則必有： ，即 ，解得 ， 故所求實(shí)數(shù) 的取值范圍為 （ 3 ）若對任意的 ，總存在 ．  ，使  成立， 只需函數(shù) 的值域?yàn)楹瘮?shù) 的值域的子集， ， 的值域?yàn)?， 下面求 的值域， ①當(dāng) 時(shí)， 為常數(shù)，不符合題意舍去； ②當(dāng) 時(shí)， 的值域?yàn)?，要使 ， 需 ，解得 ； ③當(dāng) 時(shí)， 的值域?yàn)?，要使 ， 需 ，解得 ， 綜上， 的取值范圍為 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】用單調(diào)性觀察法求值域；二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；函數(shù)零點(diǎn)存在定理；已知零 點(diǎn)情況求參數(shù)的取值范圍；一元二次方程根的分布 27

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

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版本： 人教A版 (2019)

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