三角函數(shù)的概念
一、 任意角的概念與弧度制
1. 角的概念的推廣
（一）角的概念
角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．如下圖所示：
（1）始邊：射線的起始位置 ．
（2）終邊：射線的終止位置 ．
（3）頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn) ．
（4）記法：圖中的角可以記為“角 ”或“”或“”或“”．
（二）任意角
（1）按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做
，如下圖（左）所示；
（2）按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做，如下圖（中）所示；
（3）如果一條射線沒(méi)有旋轉(zhuǎn)，我們稱(chēng)它形成一個(gè)，即零角的始邊和終邊重合．如果 是零角，
那么，如下圖（右）所示．
這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負(fù)角和零角．（三）象限角與軸線角
為了研究角度方便，可以將角放入平面直角坐標(biāo)系中，即使角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與 軸正半
軸重合，終邊落在第幾象限，則稱(chēng)角 為第幾象限角；終邊落在坐標(biāo)軸上的角 稱(chēng)為．
（四）終邊相同的角
一般地，我們有：所有與角 終邊相同的角，連同角 在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合
，即任一與角 終邊相同的角，都可以表示成角 與整數(shù)個(gè)周角的
和．
經(jīng)典例題
1.角的終邊在（ ）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2. 如圖，分別寫(xiě)出適合下列條件的角的集合．
（ 1 ）終邊落在射線 上：．
（ 2 ）終邊落在直線 上：．
（ 3 ）終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）：
．
鞏固練習(xí)
3. 設(shè)集合為銳角 ，為第一象限角 ，為小于 的角 ，則（ ）．
A.B.，
C.D.，
4. 若，則與 具有相同終邊的最小正角為．
2.所在象限的確定方法
已知 終邊所在的象限，要確定所在的象限常用的方法有兩種：
方法一：分類(lèi)討論．由 的范圍得到 的范圍，然后就 進(jìn)行分類(lèi)討論，從而確定 所在象限．方法二：“輪盤(pán)法”
① 所在象限的問(wèn)題如下圖：
作出各個(gè)象限的角平分線，它們與坐標(biāo)軸把周角等分成 個(gè)區(qū)域，從 軸的非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針?lè)?br>向把這 個(gè)區(qū)域一次循環(huán)標(biāo)上號(hào)碼，則標(biāo)有某個(gè)數(shù)字的區(qū)域，就是 為該象限角時(shí)，
的終邊落在的區(qū)域．如圖中標(biāo) 的區(qū)域，就是當(dāng) 為第三象限角時(shí)， 的終邊落在的區(qū)域．② 所在象限的問(wèn)題
規(guī)律同上，下面直接給出示意圖，請(qǐng)讀者自行對(duì)比理解：
經(jīng)典例題
5. 若角 是第二象限的角，則 是（ ）．
A. 第一象限或第二象限的角B. 第一象限或第三象限的角
C. 第二象限或第四象限的角D. 第一象限或第四象限的角
6. 若 是第三象限的角， 是第二象限的角，則是第象限的角．
鞏固練習(xí)
7. 若角 是第四象限的角，則角 是．
8. 若角 為第一象限角，則角 （ ）．
A. 不是第三象限角B. 不是第四象限角C. 不是第二象限角D. 不是第一象限角
3. 弧度制
（一）弧度制的定義
長(zhǎng)度等于
的弧所對(duì)的圓心角叫做 弧度的角；用弧度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做弧度
制；在弧度制下， 弧度記作．
角 的弧度數(shù)的絕對(duì)值（其中 是以角 作為圓心角時(shí)所對(duì)的弧長(zhǎng)， 是圓的半徑）． 的正
負(fù)由角 終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定（為正，為負(fù)）．
一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是零．
（二）弧度制和角度制的轉(zhuǎn)換
，， 弧度．依據(jù)以上
公式，就可以自由的進(jìn)行弧度與角度的換算了．
角度
弧度
角度
弧度
經(jīng)典例題
9. 一個(gè)角的度數(shù)是，化為弧度數(shù)是．
10. 下面與角終邊相同的角是（ ）．
A.B.C.D.
鞏固練習(xí)
11. .在平面直角坐標(biāo)系中，以 軸的非負(fù)半軸為始邊，繞坐標(biāo)原點(diǎn) 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 弧度后所
得角的終邊在（ ）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
12. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系 中，動(dòng)點(diǎn) ， 從點(diǎn)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) 按逆時(shí)針
方向每秒鐘轉(zhuǎn) 弧度，點(diǎn) 按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，則 ， 兩點(diǎn)在第次相遇時(shí)，點(diǎn)
的坐標(biāo)為．
4. 扇形的弧長(zhǎng)和面積公式
若扇形的圓心角為，半徑為 ，弧長(zhǎng)為 ，周長(zhǎng)為 ，面積為 ，則有
，，．
經(jīng)典例題
13. 已知扇形的周長(zhǎng)等于它所在圓的周長(zhǎng)的一半，則這個(gè)扇形的圓心角是
．
14. 若扇形的周長(zhǎng)等于，則扇形面積的最大值是.
鞏固練習(xí)
15. 已知扇形的周長(zhǎng)為 ，圓心角為 弧度，則該扇形的面積為()
A.B.
C.D.
16. 已知一扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)這個(gè)扇形的面積最大時(shí)，半徑的長(zhǎng)為（ ）．
A.B.C.D.
17. 一段圓弧的長(zhǎng)度等于其圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為（ ）．
A.B.C.D.
二、 任意角的三角函數(shù)
1. 任意角的三角函數(shù)的定義
根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系上進(jìn)行對(duì)三角函數(shù)的研究．
如下圖，以單位圓的圓心 為原點(diǎn)，以射線 為 軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn) 的坐標(biāo)為
，點(diǎn) 的坐標(biāo)為．射線 從 軸的負(fù)半軸開(kāi)始，繞點(diǎn) 按逆時(shí)針?lè)聪蛐D(zhuǎn)角 ，終止位置為
．
一般地，任意給定一角
，它的終邊 與單位圓交點(diǎn) 的坐標(biāo)，無(wú)論是 還是 ，都是唯一確
定的．所以點(diǎn) 的橫坐標(biāo) ，縱坐標(biāo) 都是角 的函數(shù)．
（1）將 叫做角 的正弦，記為，即；
（2）將 叫做角 的余弦，記為，即；
（3）將分式 叫做角 的正切，記為，即．
可以看出，當(dāng)時(shí)， 的終邊落在 軸上，此時(shí)，所以無(wú)意義．
除此之外，對(duì)于確定的角 ，上述三個(gè)值都是唯一確定的，符合構(gòu)成函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)，所以：正弦、余弦、正切都是以角為自變量，一單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們?nèi)齻€(gè)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)．
假設(shè)點(diǎn) 為任意角 終邊上的任意一點(diǎn)， 坐標(biāo)為，點(diǎn) 與原點(diǎn)間的距離為 ．此時(shí)利用勾股定
理和相似三角形不難證明：
；
；
．
只要知道角 終邊上任意一點(diǎn) 的坐標(biāo)，就可以求得角 的各個(gè)三角函數(shù)值，并且這些函數(shù)值不會(huì)隨 點(diǎn)位置的改變而改變．
經(jīng)典例題
18. 若角 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）．
A.B.C.D.
19. 角 的終邊過(guò)點(diǎn)，則（ ）．
A.B.
C.或D. 與 的值有關(guān)
鞏固練習(xí)
20. 如果角 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）．
A.B.
C.D.
21. 已知，若，則．
2. 三角函數(shù)線(選講)
設(shè)角 的終邊與單位圓交于點(diǎn) ，與過(guò)點(diǎn)
的單位圓切線交于 點(diǎn)（當(dāng)終邊與切線不相交時(shí)，
取終邊的反向延長(zhǎng)線與切線的交點(diǎn)為 ），過(guò) 做軸于 ，則有向線段、、
分別叫做角 的正弦線、余弦線、正切線．即，，
，如下圖：
經(jīng)典例題
22. 已知 為銳角，利用三角函數(shù)線的有關(guān)知識(shí)證明：
．
鞏固練習(xí)
23. 設(shè) 與 分別是角的正弦線和余弦線，則（ ）．
A.B.
C.D.
24.年 月 日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日．歷史上，求圓周率 的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)
數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾 卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù) 充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正 邊形的周長(zhǎng)和外切正 邊形(各邊均與圓相切的正 邊形)的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為 的近似
值，按照阿爾 卡西的方法， 的近似值的表達(dá)式是()
A. B. C. D.
三、 三角函數(shù)的定義域、值域和符號(hào)
1. 三角函數(shù)的定義域和值域
結(jié)合三角函數(shù)的定義和單位圓，不難得出三角函數(shù)的定義域和值域：
三角函數(shù)定義域值域
2. 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)
（1）三角函數(shù)值的符號(hào)是根據(jù)三角函數(shù)定義和各象限內(nèi)的坐標(biāo)符號(hào)導(dǎo)出的．根據(jù)三角函數(shù)的定義表達(dá)式得知：正弦的符號(hào)取決于縱坐標(biāo) 的符號(hào)；余弦的符號(hào)取決于橫坐標(biāo) 的符號(hào)；正切的符號(hào)由橫縱坐標(biāo)共同決定（同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)）．這樣，各三角函數(shù)值在每個(gè)象限的符號(hào)見(jiàn)下圖：
（2）三角函數(shù)在各象限的符號(hào)可簡(jiǎn)記為“全正切余”，具體解釋為：第一象限全為正；第二象限正弦為正；第三象限正切為正，第四象限余弦為正．
經(jīng)典例題
25. 下列三角函數(shù)判斷錯(cuò)誤的是（ ）．
A.B.
C.D.
26. 已知角 的終邊過(guò)點(diǎn)，則 是第（ ）象限角．
A. 一B. 二C. 三D. 四
27. 函數(shù)的值域是．
鞏固練習(xí)
28. 下列三角函數(shù)值的符號(hào)判斷正確的是（）．
A.
C.
B.
D.
29. 已知，，則 是第象限角．
30. 已知點(diǎn)在第三象限，則角 的終邊在第象限．
31. 已知 終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，，則 的取值范圍為．
四、 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
如下圖：
在單位圓中，是圓上一點(diǎn)．正弦線 、余弦線 和半徑 三者構(gòu)成直角三角形，而且
，因此，即
．
顯然，當(dāng) 的終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí)，這個(gè)公式也成立．
根據(jù)三角函數(shù)的定義，當(dāng)，有
．
語(yǔ)言描述為：同一個(gè)角 的正弦、余弦的平方和等于 ，商等于角 的正切．
經(jīng)典例題
32. 若象限角 滿足，則 是（ ）．
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
33. 已知角 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則的值為（ ）．
A.B.C.D.
34. 若，則（ ）．
A.B.C.D.
35. 已知，且，求下列各式的值．
（ 1 ）．
（ 2 ）．
鞏固練習(xí)
36. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， ， ， ， 是以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的四段弧，點(diǎn) 是
其中一段弧上的動(dòng)點(diǎn)，角 以 為始邊， 為終邊，且恒有，則點(diǎn) 所在的
圓弧是（ ）．
A.B.
C.D.
37. 已知中，，則等于（ ）．
A.B.C.D.
38. 已知．
（ 1 ）求的值．
（ 2 ）求的值．
39. 已知 為第二象限角且
（ 1 ）．
（ 2 ）．
，求：
40. 若，則（ ）．
A.B.C.D.
五、 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
角
的終邊
的終邊
圖示
的終邊的終邊的終邊
終邊關(guān)系相同關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)
公式
角
的終邊
的終邊的終邊
圖示的終邊的終邊的終邊
終邊關(guān)系
關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)
關(guān)于
對(duì)稱(chēng)
先關(guān)于對(duì)稱(chēng)
再關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)
公式
（1）六組誘導(dǎo)公式揭示了終邊具有某種對(duì)稱(chēng)關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，誘導(dǎo)公式可以概括
為：各三角函數(shù)值與角 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，得 的同名三角函
數(shù)值；當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，得 的異名三角函數(shù)值，然后在前面加上一個(gè)把 看作銳角時(shí)原函數(shù)的符號(hào)．
（2）記憶口訣為：奇變偶不變，符號(hào)看象限．其中“奇、偶”是指中 的奇偶性，當(dāng) 為
奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，“符號(hào)”看的應(yīng)該是誘導(dǎo)公式中，把 看
作銳角時(shí)原函數(shù)的符號(hào)，而不是 的三角函數(shù)值的符號(hào)．
利用上述公式，可以將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)值，一般可以按照下面的步驟進(jìn)
行：
（1）先把負(fù)角化為正角，公式選用“”或“”誘導(dǎo)公式；
（2）把大角（大于 ）化為小角（），公式選用“”誘導(dǎo)公式；
（3）再把角化為銳角（），公式選用“”、“”或“”誘導(dǎo)公式．
例題講解
41. 已知，則的值等于()
A.B.
C.D.
42.（ ）．
A.B.C.D.
43. 已知，且 是第三象限角．
（ 1 ）求的值．
（ 2 ）求的值．
鞏固練習(xí)
44. 已知，的值為（ ）．
A.B.C.D.
45. 已知，求：的值．
46. 已知
是
的根，且 為第三象限角，則
（ ）．
A.B.C.D.
導(dǎo)圖總結(jié)
你學(xué)會(huì)了嗎？快來(lái)用思維導(dǎo)圖總結(jié)本節(jié)課所學(xué)吧！
出門(mén)測(cè)
47. 若 為第二象限角，且，則（ ）．
A.B.C.D.
48.
已知，則等于（ ）．
A.B.C.D.
49. 已知扇形的周長(zhǎng)是 ，面積是，則扇形的中心角的弧度數(shù)是（ ）．
A.B.C. 或D. 或
50. 已知，求下列各式的值.
（ 1 ）．
（ 2 ）．
14

相關(guān)學(xué)案

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義學(xué)案，文件包含導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算-講義教師版docx、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算-講義學(xué)生版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共38頁(yè)， 歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)5.5 三角恒等變換導(dǎo)學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)5.5 三角恒等變換導(dǎo)學(xué)案，文件包含三角恒等變換-講義教師版docx、三角恒等變換-講義學(xué)生版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共42頁(yè)， 歡迎下載使用。

必修 第一冊(cè)5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案：

這是一份必修 第一冊(cè)5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案，文件包含三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-講義教師版docx、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-講義學(xué)生版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共45頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

數(shù)學(xué)3.3 冪函數(shù)學(xué)案設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)3.3 冪函數(shù)學(xué)案設(shè)計(jì)
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）優(yōu)質(zhì)學(xué)案

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）優(yōu)質(zhì)學(xué)案
人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)3.1 函數(shù)的概念及其表示優(yōu)秀導(dǎo)學(xué)案

人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)3.1 函數(shù)的概念及其表示優(yōu)秀導(dǎo)學(xué)案
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)5.2 三角函數(shù)的概念學(xué)案

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)5.2 三角函數(shù)的概念學(xué)案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

5.2 三角函數(shù)的概念

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部