絕密★啟用前|滿分?jǐn)?shù)學(xué)命制中心2022-2023學(xué)年上學(xué)期第五章 三角函數(shù)單元測(cè)試卷（基礎(chǔ)版）高一數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘  試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4．測(cè)試范圍：人教必修一2019第五單元 三角函數(shù)。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．（2021·河北衡水中學(xué)高一期末）（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行求值.【詳解】．故選：A．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，故選C．【名師點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)最小正周期(3)由求對(duì)稱軸.(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.3．（2020·天津·漢沽一中高一期末）為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的（    ）A．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變【答案】B【分析】直接利用三角函數(shù)伸縮變換法則得到答案.【詳解】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變故選：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的伸縮變換，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)圖像變換的理解和掌握.4．（2021·北京二中高一期末）函數(shù)的值域?yàn)椋?/span>    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用二倍角的余弦把函數(shù)式化成關(guān)于的二次型函數(shù)，再換元求解即得.【詳解】，令，則，于是有時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>.故選：D5．（2021·北京十五中高三期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用給定圖象列出周期和初相關(guān)系式即可作答.【詳解】觀察圖象得：，則，而時(shí)，，于是有，又，則，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故選：A6．（2021·河北衡水中學(xué)高一期末）17世紀(jì)德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形).例如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在其中一個(gè)黃金中，.根據(jù)這些信息，可得（    ）
 A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出，再根據(jù)二倍角余弦公式求出，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式求出.【詳解】由題意可得：，且，所以，所以，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.7．（2021·北京二中高一期末）將函數(shù)的圖像先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像，若且，則的最大值為A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函數(shù)的圖象變換，得到，根據(jù)若，得到，解得，得到，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，若且，則，則，解得，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，，，且在上單調(diào)，有下列命題：（1）的圖象向右平移個(gè)單位后關(guān)于軸對(duì)稱（2）（3）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱（4）在上單調(diào)遞增其中正確的命題有（        ）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先根據(jù)條件確定解析式，再根據(jù)圖象變換以及正弦函數(shù)性質(zhì)逐一判斷選擇.【詳解】，或或或或因?yàn)?/span>在上單調(diào)，所以因此或，（驗(yàn)證舍去）或的圖象向右平移個(gè)單位得，不關(guān)于軸對(duì)稱，（1）錯(cuò)；，（2）對(duì)；，（3）錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，（4）對(duì)；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)解析式、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。）9．（2020·江蘇·儀征市第二中學(xué)高三月考）下列結(jié)論正確的是（　?。?/span>A．是第三象限角B．若圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為，則該扇形面積為C．若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則D．若角為銳角，則角為鈍角【答案】BC【分析】利用象限角的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用扇形面積公式可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用三角函數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用特殊值法可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，且為第二象限角，故為第二象限角，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，扇形的半徑為，因此，該扇形的面積為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由三角函數(shù)的定義可得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，取，則角為銳角，但，即角為銳角，D錯(cuò).故選：BC.10．（2021·河北衡水中學(xué)高一期末）已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)的定義以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式確定正確選項(xiàng).【詳解】由題意可得，則，，．.所以ACD選項(xiàng)正確.故選：ACD11．（2021·安徽·池州市江南中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法不正確是（    ）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象D．若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象求出函數(shù)解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷．【詳解】解:由函數(shù)的圖象可得，由，求得．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，又，求得，∴函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不是最值，故A不成立；當(dāng)時(shí)，，不等于零，故B不成立；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，故C不成立；當(dāng)時(shí)，，∵，，故方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，則的取值范圍是，故D成立．故選:ABC.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是由函數(shù)的部分圖象求出函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題．12．（2021·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖，摩天輪的半徑為，其中心點(diǎn)距離地面的高度為，摩天輪按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)一圈，若摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最高點(diǎn)處，則摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中（    ）A．轉(zhuǎn)動(dòng)后點(diǎn)距離地面B．若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，則轉(zhuǎn)動(dòng)一圈所需的時(shí)間變?yōu)樵瓉?lái)的C．第和第點(diǎn)距離地面的高度相同D．摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，點(diǎn)距離地面的高度不低于的時(shí)間為【答案】AC【分析】求出摩天輪的周期，設(shè)出時(shí)間，求出點(diǎn)上升的高度，求出點(diǎn)距離地面的高度，再逐個(gè)分析判斷即可【詳解】解：摩天輪轉(zhuǎn)一圈，在內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)是以軸正半軸為始邊，表示點(diǎn)的起始位置為終邊的角，以軸正半軸為始邊，為終邊的角為，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又由題知，點(diǎn)起始位置在最高點(diǎn)處，點(diǎn)距地面高度關(guān)于旋轉(zhuǎn)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為：即當(dāng)時(shí)，，故A正確；若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，，則其周期變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，故B錯(cuò)誤；第點(diǎn)距安地面的高度為第點(diǎn)距離地面的高度為第和第時(shí)點(diǎn)距離地面的高度相同，故C正確；摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，點(diǎn)距離地面的高度不低于，即，即，，得，或，解得或，共，故D錯(cuò)誤．故選：AC．第Ⅱ卷三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。） 13．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）______________【答案】【詳解】由二倍角公式可得： .14．（2021·河北衡水中學(xué)高一期末）若，則________.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式，求得所求表達(dá)式的值.【詳解】依題意.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.15．（2021·北京二中高一期末）已知，且，則的值是___________.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式化成表示，并求出這個(gè)函數(shù)值，再根據(jù)給定條件求出，最后經(jīng)角的變換即可作答.【詳解】因，即，則又，即，則，而，，即，，則有，所以的值是.故答案為：16．（2021·北京二中高一期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】由可得出，分析可知，其中，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)且時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值，則，其中，所以，，解得，由，可得，因?yàn)?/span>且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（2020·天津·漢沽一中高一期末）已知．（1）求和的值；（2）求的值．【答案】（1） ，  （2）【分析】（1）直接利用同角三角函數(shù)的關(guān)系計(jì)算得到答案.（2）直接利用和差公式展開(kāi)得到答案.【詳解】（1）由，（2）【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18．（2021·河北衡水中學(xué)高一期末）已知，，且.（1）求的值；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先根據(jù)，且，求出，則可求，再求；（2）先根據(jù)，，求出，再根據(jù)求解即可.【詳解】（1）∵且，∴，∴，∴；（2）∵，∴，又∵，∴，，所以.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值有三類，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．本題考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.19．（2021·河北衡水中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示.（1）求函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】（1），遞增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）由三角函數(shù)的圖象，求得函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.（2）由三角函數(shù)的圖象變換，求得，根據(jù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求得的值，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由圖象可知，，所以，所以，由圖可求出最低點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，由，可得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意知，函數(shù)，因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，所以.當(dāng)時(shí)，，可得，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?/span>.【點(diǎn)睛】解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基本方法：1、根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)得出三角函數(shù)的解析式為的形式；2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性與最值等），進(jìn)而加深理解函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、零點(diǎn)及有界性等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯(cuò)解.20．（2021·河北衡水中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，，圖象上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離為．（1）若函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)為，求的值；（2）若存在，使得（a）（b）（c）成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)周期計(jì)算，根據(jù)零點(diǎn)計(jì)算；（2）求出在，上的最值，解不等式得出的范圍．【詳解】（1），的圖象上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離為，的最小正周期為：，故．是的一個(gè)零點(diǎn)，，，（2），若，，則，，，故在，上的最大值為，最小值為，若存在，使得（a）（b）（c）成立，則，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)屬于存在，使不等式成立，即轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值.21．（2020·天津·漢沽一中高一期末）已知函數(shù)，．（1）求使得的最大值時(shí)的集合；（2）求在，上的單調(diào)減區(qū)間；（3）若方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）   （2）   （3）【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，計(jì)算得到答案.（2）設(shè)，根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到計(jì)算得到答案.（3）根據(jù)（2）得到在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，計(jì)算最值得到答案.【詳解】（1）設(shè)，函數(shù)取得最大值的集合為，解得：所以使得的最大值時(shí)的集合為：.（2）設(shè)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是即，解得 所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是.（3）由（2）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減且若方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，最值，方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.22．（2021·北京二中高一期末）設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸方程；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值及相對(duì)應(yīng)的的值.【答案】(1)最小正周期為，對(duì)稱軸方程為；(2)的最大值是2，此時(shí)，的最小值是1，此時(shí).【分析】(1)利用二倍角的正余弦公式把函數(shù)作三角變換，再利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得解；(2)x在區(qū)間內(nèi)時(shí)，討論相位所在區(qū)間，再利用正弦函數(shù)取最值的性質(zhì)即可作答.【詳解】(1) ，的最小正周期為，由得，，所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程為；(2)由(1)知，時(shí)，，則，即時(shí)，，，即時(shí)，，的最大值是2，此時(shí)，的最小值是1，此時(shí). 
 

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