第2課時　公式五和公式六 學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1.了解公式五和公式六的推導方法．2．能夠準確記憶公式五和公式六．(重點、易混點)3．靈活運用誘導公式進行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明．(難點)1.借助誘導公式求值，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)．2．通過誘導公式進行化簡和證明，提示邏輯推理素養(yǎng).1．公式五(1)角－α與角α的終邊關于直線y＝x對稱，如圖所示．(2)公式：sin＝cos_α，cos＝sin_α.2．公式六(1)公式五與公式六中角的聯(lián)系＋α＝π－.(2)公式：sin＝cos_α，cos＝－sin_α.思考：如何由公式四及公式五推導公式六？提示：sin＝sin＝sin＝cos α.cos＝cos＝－cos＝－sin α.1．下列與sin θ的值相等的是(　　)A．sin(π＋θ)　　　　 B．sinC．cos   D．cosC　[sin(π＋θ)＝－sin θ；sin＝cos θ；cos＝sin θ；cos＝－sin θ.]2．已知sin 19°55′＝m，則cos(－70°5′)＝________.m　[cos(－70°5′)＝cos 70°5′＝cos(90°－19°55′)＝sin 19°55′＝m.]3．計算：sin211°＋sin279°＝________.1　[因為11°＋79°＝90°，所以sin 79°＝cos 11°，所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]4．化簡sin＝________.－cos α　[sin＝sin＝－sin＝－cos α.]利用誘導公式化簡求值【例1】　(1)已知cos 31°＝m，則sin 239°tan 149°的值是(　　)A.　　 B.C．－   D．－(2)已知sin＝，則cos的值為________．[思路點撥]　(1)→(2)→(1)B　(2)　[(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝＝.(2)cos＝cos＝sin＝.]1．將例1(2)的條件中的“－α”改為“＋α”，求cos的值．[解]　cos＝cos＝－sin＝－.2．將例1(2)增加條件“α是第二象限角”，求sin的值．[解]　因為α是第二象限角，所以－α是第三象限角，又sin＝，所以－α是第二象限角，所以cos＝－，所以sin＝sin＝－sin＝－cos＝.解決化簡求值問題的策略：?1?首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關運算之間的差異及聯(lián)系.?2?可以將已知式進行變形，向所求式轉化，或將所求式進行變形，向已知式轉化.提醒：常見的互余關系有：常見的互補關系有：利用誘導公式證明恒等式【例2】　(1)求證：＝.(2)求證：＝－tan θ.[證明]　(1)右邊＝＝＝＝＝＝＝左邊，所以原等式成立．(2)左邊＝＝＝－tan θ＝右邊，所以原等式成立．三角恒等式的證明的策略?1?遵循的原則：在證明時一般從左邊到右邊，或從右邊到左邊，或左右歸一，總之，應遵循化繁為簡的原則.?2?常用的方法：定義法，化弦法，拆項拆角法，公式變形法，“1”的代換法.1．求證：＝－1.[證明]　因為＝＝＝＝－1＝右邊，所以原等式成立．誘導公式的綜合應用[探究問題]1．公式一～四和公式五～六的主要區(qū)別是什么？提示：公式一～四中函數(shù)名稱不變，公式五～六中函數(shù)名稱改變．2．如何用一個口訣描述應用誘導公式化簡三角函數(shù)式的過程？提示：“奇變偶不變、符號看象限”．【例3】　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．[思路點撥]　→→→[解]　方程5x2－7x－6＝0的兩根為x1＝－，x2＝2，因為－1≤sin α≤1，所以sin α＝－.又α是第三象限角，所以cos α＝－，tan α＝＝，所以·tan2(π－α)＝·tan2α＝·tan2α＝－tan2α＝－.誘導公式綜合應用要“三看”一看角：①化大為?。?/span>②看角與角間的聯(lián)系，可通過相加、相減分析兩角的關系.二看函數(shù)名稱：一般是弦切互化.三看式子結構：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對分子分母同乘一個式子變形.2．已知sin·cos＝，且＜α＜，求sin α與cos α的值．[解]　sin＝－cos α，cos＝cos＝－sin α，∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝，②－①得(sin α－cos α)2＝.又∵α∈，∴sin α＞cos α＞0，即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0，∴sin α＋cos α＝，③sin α－cos α＝，④(③＋④)÷2得sin α＝，(③－④)÷2得cos α＝.1．公式五反映了終邊關于直線y＝x對稱的角的正、余弦函數(shù)值之間的關系，其中角－α的正弦(余弦)函數(shù)值，等于角α的余弦(正弦)函數(shù)值．2．由于＋α＝π－，因此由公式四及公式五可以得到公式六．3．利用誘導公式可在三角函數(shù)的變形過程中進行角的轉化．在求任意角的過程中，一般先把負角轉化為正角，正角轉化為0～2π的范圍內(nèi)的角，再將這個范圍內(nèi)的角轉化為銳角．也就是“負化正，大化小，化到銳角再查表(特殊角的三角函數(shù)值表)”．1．思考辨析(1)公式五和公式六中的角α一定是銳角．(　　)(2)在△ABC中，sin＝cos.(　　)(3)sin＝sin＝cos(－α)＝cos α.(　　)[提示]　(1)錯誤．公式五和公式六中的角α可以是任意角．(2)正確．因為＋＝，由公式五可知sin＝cos.(3)正確．[答案]　(1)×　(2)√　(3)√2．若sin<0，且cos>0，則θ是(　　)A．第一象限角　　 B．第二象限角C．第三角限角   D．第四象限角B　[由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以角θ的終邊落在第二象限，故選B.]3．已知cos α＝，且α為第四象限角，那么cos＝________.　[因為cos α＝，且α為第四象限角，所以sin α＝－＝－，所以cos＝－sin α＝.]4．化簡：－.[解]　原式＝－＝sin α－(－sin α)＝2sin α. 

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