同角三角函數(shù)基本關(guān)系和誘導公式的應(yīng)用【例1】　(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，則＝________.(2)已知f(α)＝.①化簡f(α)；②若f(α)＝，且＜α＜，求cos α－sin α的值；③若α＝－，求f(α)的值．[思路點撥]　先用誘導公式化簡，再用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值．(1)　[由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2，則＝＝＝.](2)[解]　①f(α)＝＝sin α·cos α.②由f(α)＝sin α·cos α＝可知，(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝，又∵＜α＜，∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0，∴cos α－sin α＝－.③∵α＝－π＝－6×2π＋，∴f＝cos·sin＝cos·sin＝cos·sin＝×＝.1．將本例(2)中“”改為“－”“＜α＜”改為“－＜α＜0”求cos α＋sin α.[解]　因為－＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|，所以cos α＋sin α＞0，又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×＝，所以cos α＋sin α＝.2．將本例(2)中的用tan α表示.[解]　＝＝＝.1．牢記兩個基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能應(yīng)用兩個關(guān)系式進行三角函數(shù)的求值、化簡、證明．在應(yīng)用中，要注意掌握解題的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意應(yīng)用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.2．誘導公式可概括為k·±α(k∈Z)的各三角函數(shù)值的化簡公式．記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號看象限． 三角函數(shù)的圖象變換問題【例2】　(1)已知曲線C1：y＝cos x，C2：y＝sin，則下面結(jié)論正確的是(　　)A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2(2)將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移個單位長度后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則φ的一個可能取值為(　　)A.　　　 B.C．0   D．－(1)D　(2)B　[(1)因為y＝sin＝cos＝cos，所以曲線C1：y＝cos x上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到曲線y＝cos 2x，再把得到的曲線y＝cos 2x向左平移個單位長度，得到曲線y＝cos 2＝cos.故選D.(2)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移個單位后得y＝sin＝sin.若該函數(shù)為偶函數(shù)，則＋φ＝kπ＋，k∈Z，故φ＝kπ＋.當k＝0時φ＝.故選B.]1．函數(shù)y＝sin x的圖象變換到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R圖象的兩種方法2．對稱變換(1)y＝f(x)的圖象y＝－f(x)的圖象．(2)y＝f(x)的圖象y＝f(－x)的圖象．(3)y＝f(x)的圖象y＝－f(－x)的圖象．1．將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為(　　)A．y＝2sin   B．y＝2sinC．y＝2sin   D．y＝2sinD　[函數(shù)y＝2sin的周期為π，將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個周期即個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為y＝2sin＝2sin，故選D.] 三角函數(shù)的性質(zhì)【例3】　(1)若函數(shù)f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函數(shù)，則f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)A.   B.C.   D.(2)已知函數(shù)f(x)＝2sin＋a＋1(其中a為常數(shù))．①求f(x)的單調(diào)區(qū)間；②若x∈時，f(x)的最大值為4，求a的值．[思路點撥]　(1)先根據(jù)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，求θ，再依據(jù)單調(diào)性求增區(qū)間，最后與[0，π]求交集．(2)①由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z求增區(qū)間，由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z求減區(qū)間．②先求f(x)的最大值，得關(guān)于a的方程，再求a的值．(1)B　[因為函數(shù)f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函數(shù)，所以θ＝，f(x)＝3sin＝3cos 2x，令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－≤x≤kπ，可得函數(shù)f(x)的增區(qū)間為，k∈Z，所以f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為.](2)[解]　①由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z)．②∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，∴－≤sin≤1，∴f(x)的最大值為2＋a＋1＝4，∴a＝1.1．求本例(2)中函數(shù)y＝f(x)，x∈R取最大值時x的取值集合．[解]　當f(x)取最大值時，2x＋＝＋2kπ，∴2x＝＋2kπ，∴x＝＋kπ，k∈Z.∴當f(x)取最大值時，x的取值集合是.2．在本例(2)的條件下，求不等式f(x)＜1的解集．[解]　由f(x)＜1得2sin＋2＜1，所以sin＜－所以2kπ－＜2x＋＜2kπ－，k∈Z.解得kπ－＜x＜kπ－，k∈Z.所以不等式f(x)＜1的解集為. 三角恒等變換的綜合應(yīng)用【例4】　已知函數(shù)f(x)＝sinsin x－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)討論f(x)在上的單調(diào)性．[解]　(1)f(x)＝sinsin x－cos2x＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，因此f(x)的最小正周期為π，最大值為.(2)當x∈時，0≤2x－≤π，從而當0≤2x－≤，即≤x≤時，f(x)單調(diào)遞增，當≤2x－≤π，即≤x≤時，f(x)單調(diào)遞減．綜上可知，f(x)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是三角函數(shù)的重要內(nèi)容.如果給出的三角函數(shù)的表達式較為復雜，我們必須先通過三角恒等變換，將三角函數(shù)的表達式變形化簡，然后根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì).?1?求三角函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間、圖象變換、周期性、對稱性等問題，一般先要通過三角恒等變換將函數(shù)表達式變形為y＝Asin?ωx＋φ?＋k或y＝Acos?ωx＋φ?＋k等形式，讓角和三角函數(shù)名稱盡量少，然后再根據(jù)正、余弦函數(shù)基本性質(zhì)和相關(guān)原理進行求解.?2?要注意三角恒等變換中由于消項、約分、合并等原因，函數(shù)定義域往往會發(fā)生一些變化，所以一定要在變換前確定好原三角函數(shù)的定義域，并在這個定義域內(nèi)分析問題.2．已知函數(shù)f(x)＝.(1)求f(x)的定義域及最小正周期；(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．[解]　(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定義域為{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因為f(x)＝＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)函數(shù)y＝sin x的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)．由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)． 三角函數(shù)的平面幾何中的應(yīng)用【例5】　直角走廊的示意圖如圖所示，其兩邊走廊的寬度均為2米，過點P的一直線與走廊的外側(cè)兩邊交于A，B兩點，且與走廊的一邊的夾角為θ.(1)將線段AB的長度l表示為θ的函數(shù)；(2)一根長度為5米的鐵棒能否水平(即鐵棒與地面平行)通過該直角走廊？并說明理由．(鐵棒的粗細忽略不計)[思路點撥]　(1)長度l可分成PA，PB兩段分別用θ表示．(2)判斷鐵棒能否水平通過該直角走廊需要比較鐵棒長度與AB長度的最小值．[解]　(1)由題意可知：l＝＋＝，其中0＜θ＜.(2)l＝，設(shè)t＝sin θ＋cos θ＝sin，因為0＜θ＜，所以＜θ＋＜，所以t∈(1，]，所以l＝＝.因為t－在(1，]上是增函數(shù)，所以t－的最大值為，所以l＝的最小值為4.因為4＞5，所以長度為5米的鐵棒能水平通過該直角走廊．三角函數(shù)的實際應(yīng)用多與最值有關(guān)，解決這類問題的一般步驟如下：?1?審讀題意，合理地選取“角”為自變量，建立三角函數(shù)關(guān)系式.?2?利用和、差、倍、半角公式進行化簡整理，通常要整理為y＝Asin?ωx＋φ?＋b的形式.?3?在符合實際問題意義的情形下求目標式的最值.3．福建沿海的超強臺風過后，當?shù)厝嗣穹e極恢復生產(chǎn)，焊接工王師傅每天都很忙碌．今天他遇到了一個難題：如圖所示，有一塊扇形鋼板，半徑為1米，圓心角θ＝，施工要求按圖中所畫的那樣，在鋼板OPQ上裁下一塊平行四邊形鋼板ABOC，要求使裁下的鋼板面積最大．試問王師傅如何確定A的位置，才能使裁下的鋼板符合要求？最大面積為多少？[解]　連接OA，設(shè)∠AOP＝α，過A作AH⊥OP，垂足為點H，在Rt△AOH中，OH＝cos α，AH＝sin α，所以BH＝＝sin α，所以OB＝OH－BH＝cos α－sin α，設(shè)平行四邊形ABOC的面積為S，則S＝OB·AH＝·sin α＝sin αcos α－sin2α＝sin 2α－(1－cos 2α)＝sin 2α＋cos 2α－＝－＝sin－.由于0＜α＜，所以＜2α＋＜π，當2α＋＝，即α＝時，Smax＝－＝，所以當A是的中點時，所裁鋼板的面積最大，最大面積為平方米． 

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