一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值問題
例1 (1)函數f(x)＝3sin x＋4cs x，x∈[0，π]的值域為________．
答案 [－4,5]
解析 f(x)＝3sin x＋4cs x＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)sin x＋\f(4,5)cs x))
＝5sin(x＋φ)，
其中cs φ＝eq \f(3,5)，sin φ＝eq \f(4,5)，00)的圖象關于直線x＝eq \f(π,2)對稱，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝1，當φ＝eq \f(π,4)ω時f(x)在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)，－\f(3π,16)))上單調遞增，求ω的最大值和最小值之和．
解 函數f(x)＝eq \r(2)sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖象關于直線x＝eq \f(π,2)對稱，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝±eq \r(2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝1.
當eq \f(π,2)－eq \f(3,8)π＝eq \f(T,8)時，T取最大值．此時ω最小，ωmin＝2.
當φ＝eq \f(π,4)ω時，f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)ω))＝eq \r(2)sin ωeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，
函數f(x)＝eq \r(2)sin ωeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的圖象向右平移eq \f(π,4)個單位長度得函數g(x)＝eq \r(2)sin ωx的圖象，問題等價于函數g(x)＝eq \r(2)sin ωx在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,16)))上單調遞增，
故只要eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)ω≥－\f(π,2)，,\f(π,16)ω≤\f(π,2)，))即ω≤4.
綜上可知2≤ω≤4，故ω的最大值和最小值之和為6.
反思感悟 根據已知的函數性質，確定ω滿足的條件求得其最值或者取值范圍．

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版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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