函數(shù)與導數(shù)一直是高考中的熱點與難點, 我們知道二次函數(shù)是重要的且具有廣泛應用的基本初等函數(shù),學生對此已有較為全面、系統(tǒng)、深刻的認識,并在某些方面具備了把握規(guī)律的能力,由于三次函數(shù)的導數(shù)是二次函數(shù),使得我們可以利用二次函數(shù)研究三次函數(shù)的圖象與性質,這使得三次函數(shù)成為高考數(shù)學的一個熱點.
二、解題秘籍
(一) 三次函數(shù)的圖象與性質
三次函數(shù)的圖象有六種,如圖：
圖(2)
圖(1)

圖(4)
圖(3)

圖(5)
圖(6)
2.對函數(shù)進行求導：是二次函數(shù),原函數(shù)的極值點與單調性與導函數(shù)的正負有關,所以容易發(fā)現(xiàn)導函數(shù)中的參數(shù)與的符號起決定性作用.當為正時,原函數(shù)的圖象應為上圖中的（1）、（3）、（5）三種情況；而當為負時,原函數(shù)的圖象則為（2）、（4）、（6）三種情況.當時,二次方程有兩相異實根,且在的兩邊的符號相反,故函數(shù)存在兩個極值點,圖象為上圖中的（3）、（4）兩種；當時,二次方程有兩相等實根,且在根的兩邊的符號相同,這時函數(shù)只存在駐點（但不是極值點）,函數(shù)的圖象為上圖中（1）、（2）兩種,當時；方程無實根,的值恒為正（或負）,函數(shù)的圖象為上圖中的（5）、（6）兩種.
仔細觀察圖象,我們還不難發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)是中心對稱曲線,這一點可以得到進一步的驗證:設,得
整理得,.據(jù)多項式恒等對應系數(shù)相等,可得且,從而三次函數(shù)是中心對稱曲線,且由知其對稱中心仍然在曲線上.而是否具有特殊的意義？對函數(shù)進行兩次求導,再令等于0,得,恰好是對稱中心的橫坐標,這可不是巧合,因為滿足的正是函數(shù)拐點的橫坐標,這一性質剛好與圖象吻合.除此,三次函數(shù)的對稱中心還有一個很少引起注意的性質---過三次曲線的對稱中心且與該三次曲線相切的直線有且僅有一條；而過三次曲線上除對稱中心外的任一點與該三次曲線相切的直線有二條.由于三次曲線都是中心對稱曲線,因此,將其對稱中心移至坐標原點便可將三次函數(shù)的解析式簡化為.
若M（x1,y1）是三次曲線上的任一點,設過M的切線與曲線y=f（x）相切于（x0,y0）,則切線方程為,因點M上此切線上,故,又,所以,整理得：,解得,或.
綜上所述,當點M是對稱中心即時,過點M作曲線的切線切點是惟一的,且為M,故只有一條切線；當點M不是對稱中心即時,過點M作曲線的切線可產(chǎn)生兩個不同的切點,故必有兩條切線,其中一條就是以M為切點（亦即曲線在點M處）的切線.
由此可見,不僅切線與曲線的公共點可以多于一個,而且過曲線上點的切線也不一定惟一求以曲線上的點(x0,f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化簡．
【例1】（2023屆黑龍江省哈爾濱市高三上學期12月月考）設函數(shù)
(1)若，，求曲線在點處的切線方程；
(2)若，不等式對任意恒成立，求整數(shù)k的最大值．
【解析】（1）當，時，，所以，即切點為
因為，所以，
所以切線方程為，即，
（2），由，所以，
所以函數(shù)在R上單調遞增
不等式，對恒成立，
構造，，
構造，，對有，
所以在遞增，，，
所以，，
所以，，即，在遞減，
，，即，在遞增，
所以，結合，故，
所以對恒成立，故，
所以整數(shù)k的最大值為3；
(二)三次函數(shù)的零點
1.若三次函數(shù)沒有極值點,則有1個零點；
2. 三次函數(shù)有2個極值點,則時有1個零點；時有2個零點；時有3個零點.
【例2】（2023屆江西省贛撫吉十一校高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù),其中.
(1)若的極小值為－16,求；
(2)討論的零點個數(shù).
【解析】（1）由題得,其中,當時,,單調遞增,無極值；當時,令,解得或；令,解得,所以的單調遞減區(qū)間為,單調遞增區(qū)間為,,所以當時,取得極小值,所以,解得.
（2）由（1）知當時,的極小值為,的極大值為, 當,即時,有三個零點,如圖①曲線 ；當,即時,有兩個零點,如圖②曲線；當,即時,有一個零點,如圖③曲線；當時,,易知有一個零點. 綜上,當時,有一個零點；當時,有兩個零點；當時,有三個零點.
(三)過平面上一點P作三次函數(shù)圖象的切線的條數(shù)
此類問題一般是先設出切點Q,寫出曲線在處的切線方程,把點P坐標代入,整理出一個關于t的三次方程,該方程實根個數(shù)就是切線條數(shù).
【例3】（2024屆江蘇省南通市高三上學期期初質量監(jiān)測）已知函數(shù)的極小值為，其導函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點.
(1)求的解析式；
(2)若曲線恰有三條過點的切線，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1），
因為，且的圖象經(jīng)過，兩點.
所以當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增.
所以在處取得極小值，所以，
又因為，，所以，，
解方程組得，，，
所以.
（2）設切點為，則，
因為，所以，
所以切線方程為，
將代入上式，得.
因為曲線恰有三條過點的切線，所以方程有三個不同實數(shù)解.
記，則導函數(shù)，
令，得或1.
列表：
所以的極大值為，的極小值為，
所以，解得.故的取值范圍是.
(四)含參數(shù)的三次函數(shù)的單調性的討論
求含參數(shù)的三次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,一般根據(jù)函數(shù)極值點與閉區(qū)間的位置關系進行討論.
【例4】（2024屆內蒙古包頭市高三上學期調研）已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)若有2個零點，求的值．
（注：）
【解析】（1），，
當，即時，，所以在上單調遞增，
當，即或時，
令，解得，，
當時，，
當時，，
當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
綜上所述，當時，在上單調遞增，
當或時，在上單調遞增，在上單調遞減；
（2）當時，，此時函數(shù)無零點，
當時，等價于，
設，，則，
當時，，故單調遞增，且，
當時，，故單調遞減，
當時，，故單調遞增，
又，當且時，，當時，，
如圖作出函數(shù)的大致圖象，

由圖可知，要使，兩個函數(shù)有兩個交點，則，
即當時，有且只有2個零點．
(五)三次函數(shù)與韋達定理的交匯
由于三次函數(shù)的導數(shù)是二次函數(shù),而二次函數(shù)常與韋達定理交匯,故有時可以用定理交匯處理三次函數(shù)問題
【例5】設是函數(shù)的兩個極值點,且
(1)求a的取值范圍；
(2)求證：.
【解析】(1),的兩個實根,又a＞0
,
由得
(2)設則
上單調遞增
,
三、典例展示
【例1】（2024屆海南省瓊中縣高三上學期9月全真模擬）已知函數(shù)，．
(1)當時，求在上的值域；
(2)若的極小值為，求m的值．
【解析】（1）當時，，則，
令，得或，
當x變化時，，的變化情況如表所示：
所以在上的值域為．
（2）由，得，
令，得或，
因為，
令，得；
令，得或，
所以在和上單調遞增，在上單調遞減，
在處取得極小值，
令，
解得，故m的值為6．
【例2】（2024屆貴州省貴陽第一中學高三上學期適應性月考）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若過點存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍；
(3)請問過點，，，，分別存在幾條直線與曲線相切？（請直接寫出結論，不需要證明）
【解析】（1）因為，所以.
又，
根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)在處的切線的斜率為，
所以，切線方程為.
（2）設切點為，則，
切線方程為，
整理可得，.
又點在切線上，則.
要使過點存在3條直線與曲線相切，則該方程有個解.
令，則.
解，可得，所以在上單調遞增；
解，可得或，所以在上單調遞減，在上單調遞減.
所以，在處取得極小值，在處取得極大值.
又，，由題意可知，.
（3）設切點為，則，
切線方程為.
①當點在切線上時，有，此時，即點為切點.
由（1）知，切線為1條；
②當點在切線上時，
由（2）知，在處取得極小值，且，
所以，此時，只有1個解，即只存在1條切線；
③當在切線上時，
由（2）知，，解得或.
所以此時存在2條切線；
④設切線過
此時有.
令，則.
解，可得，所以在上單調遞增；
解，可得或，所以在上單調遞減，在上單調遞減.
所以，在處取得極小值，在處取得極大值.
又，，
所以，當時，有3條切線.
所以，過點的切線有3條.
又方程，可化為，
解得或，
所以，過點的切線有2條.
【例3】（2023屆江蘇省徐州市睢寧縣高三下學期5月模擬）已知函數(shù)，，且在上的極大值為1．
(1)求實數(shù)的值；
(2)若，，，求的值．
【解析】（1），，
① 時，，∴，無極值．
② 時，，∴，
當，即時，，無極大值；
當時，時，；時，，
∴在處取極大值，即，∴，舍去．
③時，，
∴，
時，；時，；時，．
∴在處取極大值，∴符合題意．
綜上，．
（2）由（1）可知，，，
令可得，令可得或，
如圖所示．

① 當時，，
當時，，則，矛盾；
當時，，∴，矛盾．
② 當時，符合題意．
③ 當時，時，，∴，
則，，∴，矛盾．
④ 當時，符合題意．
⑤ 當時，時，，∴，
則，，∴，矛盾．
⑥ 當時，符合題意．
⑦ 當時，，則，∴，與矛盾．
⑧ 當時，，，∴，與矛盾．
綜上，，或，或．
【例4】（2023屆重慶市第十一中學校高三上學期11月質量檢測）已知函數(shù)，在處取極大值，在處取極小值.
(1)若，求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)在方程的解中，較大的一個記為，在方程的解中，較小的一個記為，證明：為定值.
【解析】（1）當時，，定義域為R，，
當時，或；當時，；
即函數(shù)的單調增區(qū)間為，；單調減區(qū)間為.
（2）由，
根據(jù)題意，得的兩根為，且，
即，得，
，
所以，
因為，則，
可知，
因為，即，
即，
可知，同理，由，
可知；
得到，
所以.
【例5】（2023屆上海市嘉定區(qū)高三三模）已知函數(shù)，其導函數(shù)為，
(1)若函數(shù)有三個零點，且，試比較與的大小.
(2)若，試判斷在區(qū)間上是否存在極值點，并說明理由.
(3)在（1）的條件下，對任意的，總存在使得成立，求實數(shù)的最大值.
【解析】（1）因為，故一正一負，
，所以，所以是方程的兩根，
由韋達定理得，
因為
所以，故，，，
因為，，所以；
（2），開口向上，
，，，
①當時，，
根據(jù)零點存在定理可知，存在使得，
且時，，單調遞增，時，，單調遞減，
所以在區(qū)間上存在極大值點，
②當時，，，
根據(jù)零點存在定理可知，存在使得，且時，，
時，，所以在區(qū)間上存在極小值點；
（3）對任意的，總存在使得成立，
設，的最大值為，則，
即①，②，③，
由①+③得④，
由②得⑤，
④+⑤得，即，
當且僅當，即時取等，所以的最大值為2.
【例6】設函數(shù),其中,為常數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)若函數(shù)有且僅有3個零點,求的取值范圍．
【解析】 (1)．
當時,,或,,,
當時,,或,,,
當時,,
綜上,當時,在,上單調遞增,上單調遞減；
當時,在和上單調遞增,上單調遞減；
當時,在上單調遞增．
(2)由（1）可知,有3個零點,
則且,
∴,
∴．
四、跟蹤檢測
1.（2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市高三上學期期初檢測）已知函數(shù)在處有極小值.
(1)求m的值；
(2)求函數(shù)在上的最大值.
2.（2023河南省新未來3月聯(lián)考）已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)當時，若對，恒成立，求的最小值．
3．（2023屆安徽省卓越縣中聯(lián)盟高三上學期第一次聯(lián)考）已知函數(shù)，．
(1)若在上的值域為，求在上的單調區(qū)間；
(2)若函數(shù)，則當時，求的零點個數(shù)．
4．（2023屆湖南省湘潭市部分學校高三上學期期末聯(lián)考）已知函數(shù)，其中．
(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)已知函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù))，若，曲線與曲線都有唯一的公共點，求實數(shù)m的取值范圍．
5．（2023屆北京市第五中學高三下學期3月檢測）設函數(shù)，
(1)當時，求函數(shù)的單調增區(qū)間；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍；
(3)若函數(shù)在區(qū)間內存在兩個極值點，，且，求的取值范圍.
6．已知函數(shù)（）有極值，且導函數(shù)的極值點是的零點．
(1)求關于的函數(shù)關系式，并寫出定義域；
(2)求證：；
(3)若這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍．
7．已知.
(1)當時，求函數(shù)的單調減區(qū)間；
(2)當時，曲線在相異的兩點點處的切線分別為和和的交點位于直線上，證明：兩點的橫坐標之和小于4.
8．（2024屆江西省穩(wěn)派上進教育高三上學期摸底考試）已知函數(shù)，，，分別為，的導函數(shù)，且對任意的，存在，使．
(1)求實數(shù)a的取值范圍；
(2)證明：，有．
9.已知函數(shù),,,
（1）若函數(shù)在區(qū)間上不單調,求的取值范圍；
（2）求的最大值；
（3）若對任意恒成立,求的取值范圍．
10.已知函數(shù)在處的切線與軸平行．
（1）求的值和函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)的圖象與拋物線恰有三個不同交點,求的取值范圍．
11.已知函數(shù)
（1）（i）求函數(shù)的圖象的交點A的坐標；
（ii）設函數(shù)的圖象在交點A處的切線分別為是否存在這樣的實數(shù)a,
使得？若存在,請求出a的值和相應的點A坐標；若不存在,請說明理由.
（2）記上最小值為F（a）,求的最小值.
12.已知函數(shù)在時有極小值.
(1)當時,求在處的切線方程；
(2)求在上的最小值.
13.已知函數(shù),其中．
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,證明：．
14.已知函數(shù),其中.
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）若存在實數(shù),使得不等式的解集為,求的取值范圍.
15.已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為,求的最小值．
16.已知函數(shù)在上的最小值為．
（1）求a的值；
（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．0
1
+
0
-
0
+
↗
極大
↘
極小
↗
x
0
1
＋
0
－
0
＋
單調遞增
極大值0
單調遞減
極小值
單調遞增
0

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