2023真題展現(xiàn)
考向一 三角函數(shù)的圖象與性質
考向二 三角恒等變換
真題考查解讀
近年真題對比
考向一 三角函數(shù)的圖象與性質
考向二 三角恒等變換
考向三 同角三角函數(shù)間的基本關系
命題規(guī)律解密
名校模擬探源
易錯易混速記/二級結論速記
考向一 三角函數(shù)的圖象與性質
1．（2023?新高考Ⅱ?第15題）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ），如圖，A，B是直線y=12與曲線y＝f（x）的兩個交點，若|AB|=π6，則f（π）＝ ．
【答案】?32
解：由題意：設A（x1，12），B（x2，12），則x2﹣x1=π6，
由y＝Asin（ωx+φ）的圖象可知：
ωx2+φ﹣（ωx1+φ）=5π6?π6=2π3，即ω（x2﹣x1）=2π3，
∴ω＝4，
又f（2π3）＝sin（8π3+φ）＝0，∴8π3+φ＝kπ，k∈Z，
即φ=?8π3+kπ，k∈Z，
觀察圖象，可知當k＝2時，φ=?2π3滿足條件，
∴f（π）＝sin（4π?2π3）=?32．
故答案為：?32．
2．（2023?新高考Ⅰ?第15題）已知函數(shù)f（x）＝csωx﹣1（ω＞0）在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是 ．
【答案】[2，3）
【解答】解：x∈[0，2π]，函數(shù)的周期為2πω（ω＞0），csωx﹣1＝0，可得csωx＝1，
函數(shù)f（x）＝csωx﹣1（ω＞0）在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，
可得2?2πω≤2π＜3?2πω，
所以2≤ω＜3．
考向二 三角恒等變換
3．（2023?新高考Ⅱ?第7題）已知α為銳角，csα=1+54，則sinα2=（ ）
A．3?58B．?1+58C．3?54D．?1+54
【答案】D
解：csα=1+54，
則csα=1?2sin2α2，
故2sin2α2=1﹣csα=3?54，即sin2α2=3?58=(5)2+12?2516=(5?1)216，
∵α為銳角，
∴sinα2＞0，
∴sinα2=?1+54．
4．（2023?新高考Ⅰ?第8題）已知sin（α﹣β）=13，csαsinβ=16，則cs（2α+2β）＝（ ）
A．79B．19C．?19D．?79
【答案】B
解：因為sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣sinβcsα=13，csαsinβ=16，
所以sinαcsβ=12，
所以sin（α+β）＝sinαcsβ+sinβcsα=12+16=23，
則cs（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×49=19．
【命題意圖】
考查同角三角函數(shù)的基本關系式、誘導公式、和角差角公式、三角函數(shù)的圖象與性質、y=Asin（wx+）的圖象與性質．應用三角公式進行化簡、求值和恒等變形及恒等證明．
【考查要點】
三角函數(shù)高考必考．?？疾楹徒遣罱枪健⒑愕茸冃位喦笾?、誘導公式、同角三角函數(shù)公式，輔助角公式等．常考查y=Asin（wx+）的圖象與性質，涉及到增減性、周期性、對稱性、圖象平移、零點等．
【得分要點】
1．同角三角函數(shù)的基本關系
（1）平方關系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商數(shù)關系：sinαcsα=tanα．
2．誘導公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tanα．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin（π2?α）＝csα，cs（π2?α）＝sinα．
公式六：sin（π2+α）＝csα，cs（π2+α）＝﹣sinα．
3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ．
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ．
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ．
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ．
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1?tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα?tanβ1+tanαtanβ．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα．
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
（3）T2α：tan 2α=2tanα1?tan2α．
5．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質
6．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換
y＝sin x的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的步驟
7．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式
在由圖象求三角函數(shù)解析式時，若最大值為M，最小值為m，則A=M?m2，k=M+m2，ω由周期T確定，即由2πω=T求出，φ由特殊點確定．
考向一 三角函數(shù)的圖象與性質
1．（2022?新高考Ⅰ）記函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T．若＜T＜π，且y＝f（x）的圖像關于點（，2）中心對稱，則f（）＝（ ）
A．1B．C．D．3
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T，
則T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，
∵y＝f（x）的圖像關于點（，2）中心對稱，∴b＝2，
且sin（+）＝0，則+＝kπ，k∈Z．
∴，k∈Z，取k＝4，可得．
∴f（x）＝sin（x+）+2，則f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．
故選：A．
2.（多選）（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖像關于點（，0）中心對稱，則（ ）
A．f（x）在區(qū)間（0，）單調遞減
B．f（x）在區(qū)間（﹣，）有兩個極值點
C．直線x＝是曲線y＝f（x）的對稱軸
D．直線y＝﹣x是曲線y＝f（x）的切線
【解答】解：因為f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象關于點（，0）對稱，
所以+φ＝kπ，k∈Z，
所以φ＝kπ﹣，
因為0＜φ＜π，
所以φ＝，
故f（x）＝sin（2x+），
令2x+，解得﹣＜x＜，
故f（x）在（0，）單調遞減，A正確；
x∈（﹣，），2x+∈（，），
根據函數(shù)的單調性，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣，）只有一個極值點，故B錯誤；
令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C顯然錯誤；
f（x）＝sin（2x+），
求導可得，f'（x）＝，
令f'（x）＝﹣1，即，解得x＝kπ或（k∈Z），
故函數(shù)y＝f（x）在點（0，）處的切線斜率為k＝，
故切線方程為y﹣，即y＝，故D正確．
故選：AD．
3．（2021?新高考Ⅰ）下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）＝7sin（x﹣）單調遞增的區(qū)間是（ ）
A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）
【解答】解：令，k∈Z．
則，k∈Z．
當k＝0時，x∈[，]，
（0，）?[，]，
故選：A．
考向二 三角恒等變換
4．（2022?新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cs（α+β）＝2cs（α+）sinβ，則（ ）
A．tan（α﹣β）＝1B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1D．tan（α+β）＝﹣1
【解答】解：解法一：因為sin（α+β）+cs（α+β）＝2cs（α+）sinβ，
所以sin（）＝2cs（α+）sinβ，
即sin（）＝2cs（α+）sinβ，
所以sin（）csβ+sinβcs（）＝2cs（α+）sinβ，
所以sin（）csβ﹣sinβcs（）＝0，
所以sin（）＝0，
所以＝kπ，k∈Z，
所以α﹣β＝k，
所以tan（α﹣β）＝﹣1．
解法二：由題意可得，sinαcsβ+csαsinβ+csαcsβ﹣sinαsinβ＝2（csα﹣sinα）sinβ，
即sinαcsβ﹣csαsinβ+csαcsβ+sinαsinβ＝0，
所以sin（α﹣β）+cs（α﹣β）＝0，
故tan（α﹣β）＝﹣1．
故選：C．
考向三 同角三角函數(shù)間的基本關系
5．（2021?新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，則＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【解答】解：由題意可得：
＝
＝
＝．
故選：C．
結合近三年命題規(guī)律，命制三角函數(shù)恒等變換題目，諸如“給值求角”“給值求值”“給角求值”，給定函數(shù)部分圖象，求解函數(shù)解析式。以選擇題、填空題為主，分值為5~10分。
一．三角函數(shù)的周期性（共3小題）
1．（2023?江西模擬）已知函數(shù)，則（ ）
A．f（x）的最小正周期是π
B．f（x）在上單調遞增
C．f（x）的圖象關于點對稱
D．f（x）在上的值域是
【解答】解：
＝，
對于A，f（x）的最小正周期，A錯誤；
對于B，當時，，此時y＝sin（4x+）單調遞減，
∴f（x）在上單調遞增，B正確；
對于C，令，解得，此時f（x）＝0，
∴f（x）的圖象關于點對稱，C錯誤；
對于D，當時，，則，
∴f（x）在上的值域為，D錯誤．
故選：B．
2．（2023?河東區(qū)一模）已知函數(shù)，下列說法錯誤的為（ ）
A．最小正周期為B．f（x）為偶函數(shù)
C．在單調遞減D．
【解答】解：因為函數(shù)為奇函數(shù)，故B錯誤；
最小正周期為，故A正確；
令，k∈Z，解得，k∈Z，
即函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為，k∈Z，
當k＝0時，即為，k∈Z，故C正確；
且，故D正確．
故選：B．
3．（2023?商洛三模）記函數(shù)的最小正周期為T，且f（T）＝﹣1，若f（x）在[0，π]上恰有3個零點，則ω的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因為函數(shù)的最小正周期為T＝，
且f（T）＝2sin（ω×+φ）＝﹣1，所以sinφ＝﹣，所以φ＝﹣．
x∈[0，π]，則ωx﹣∈[﹣，ωπ﹣]，
若f（x）在[0，π]上恰有3個零點，
則2π≤ωπ﹣＜3π，所以≤ω＜，
所以ω的取值范圍為．
故選：A．
二．運用誘導公式化簡求值（共4小題）
4．（2023?南關區(qū)校級模擬）已知，，則角θ所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：因為＝﹣sin，可得sin＝﹣，
＝cs，
則sinθ＝2sincs＝﹣＜0，csθ＝2cs2﹣1＝﹣＜0，
所以角θ所在的象限是第三象限．
故選：C．
5．（2023?撫松縣校級模擬）已知tanθ＝2，則＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：＝．
故選：D．
6．（2023?南寧模擬）已知sin2α＝csα﹣1，則＝（ ）
A．1B．﹣1C．2D．
【解答】解：∵sin2α＝csα﹣1，
∴1﹣cs2α＝csα﹣1，可得cs2α+csα﹣2＝0，解得csα＝1（csα＝﹣2舍）；
∴＝﹣csα＝﹣1，
故選：B．
7．（2023?通州區(qū)模擬）已知，α是第一象限角，且角α，β的終邊關于y軸對稱，則tanβ＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵α是第一象限角，且角α，β的終邊關于y軸對稱，
∴β＝π﹣α+2kπ，k∈Z，
∴＝．
故選：D．
三．正弦函數(shù)的圖象（共4小題）
8．（2023?湖南模擬）已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在區(qū)間上單調，且滿足．若函數(shù)f（x）在區(qū)間上恰有5個零點，則ω的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵f（x）在區(qū)間上單調，，
∴f（x）的對稱中心為，且，
∴，即，即，
∴．
又∵f（x）的對稱中心為，
∴，
∵f（x）在區(qū)間上恰有5個零點，相鄰兩個零點之間的距離為，五個零點之間即2T，六個零點之間即，
只需即可，即，
又∵，
∴．
故選：B．
9．（2023?惠州模擬）記函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T，若＜T＜π，且y＝f（x）的圖象關于點（，2）中心對稱，則f（）＝（ ）
A．1B．C．D．3
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T，
則T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，
∵y＝f（x）的圖象關于點（，2）中心對稱，∴b＝2，
且sin（ω+）＝0，則ω+＝kπ，k∈Z．
∴ω＝（k﹣），k∈Z，取k＝4，可得ω＝．
∴f（x）＝sin（x+）+2，
則f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．
故選：A．
10．（2023?如皋市校級模擬）已知直線y＝kx+t與函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象恰有兩個切點，設滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個值分別為k1和k2，且k1＞k2，則（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵直線y＝kx+t與函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象恰有兩個切點，
設k1對應的切點為（x1，sinx1），（x1′，sinx1′），x1＜x1′，
設k2對應的切點為（x2，sinx2），（x2′，sinx2'），x2＜x2′，
只考慮x1+x1′＝2π，x2+x2′＝4π，
則k1＝﹣，k2＝﹣，其中﹣＜x2＜x1＜0，
所以＝?，其中sinx1＝（x1﹣π）csx1，sinx2＝（x2﹣2π）csx2，
易得x1＜﹣，
則＞＞，
則＜＜＜．
故選：B．
11．（2023?濮陽模擬）已知f（x）＝sin（3x+φ）（|φ|＜）為奇函數(shù)，若對任意α∈[﹣，]，存在β∈[﹣，α]，滿足f（α）+f（β）＝0，則實數(shù)α的取值范圍是 [0，]∪{} ．
【解答】解：∵f（x）＝sin（3x+φ）（|φ|＜）為奇函數(shù)，
∴φ＝0，f（x）＝sin3x．
由f（α）+f（β）＝0，
可得sin3α+sin3β＝0，即sin3α＝﹣sin3β，
所以3β＝3α+π+2kπ，或3β＝﹣3α+2kπ，k∈Z，
所以β＝α++，或β＝﹣α+，k∈Z．
若對任意α∈[﹣，]，存在β∈[﹣，α]，滿足f（α）+f（β）＝0，
故﹣≤α++≤α，k∈Z，則+≤0，α≥﹣﹣，k取負整數(shù)，
則k只能取﹣1，此時，α＝．
或﹣≤﹣α+≤α，k∈Z，則≤α≤+，k∈Z，
則k只能取0，故0≤α≤，
綜上可得，實數(shù)α的取值范圍是[0，]∪{}，
故答案為：[0，]∪{}．
四．正弦函數(shù)的單調性（共9小題）
12．（2023?湖南三模）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）滿足，且f（x）在上單調，則ω的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+Φ）（ω＞0）滿足，，
∴，即，
∴，
∵f（x）在上單調，
∴，即，
∴當n＝1時ω最大，最大值為，
故選：B．
13．（2023?廣州二模）已知函數(shù)的圖象關于點對稱，且f（x）在上單調，則ω的取值集合為（ ）
A．{2}B．{8}C．{2，8}D．{2，8，14}
【解答】解：f（x）關于點對稱，所以，
所以①；，而f（x）在上單調，
所以，0＜ω≤8②；
由①②得ω的取值集合為{2，8}．
故選：C．
14．（2023?瀘縣校級模擬）已知函數(shù)，且在上單調遞增，則滿足條件的ω的最大值為 ．
【解答】解：
由，
得，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為，
由題知，，
∴∴，
∵ω＞0，∴當k＝0時，，∴，
當k＝1時，；當k≥2，k∈Z時，ω∈?．∴．
故答案為：．
15．（2023?大理州模擬）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝﹣是函數(shù)f（x）的一個零點，x＝是函數(shù)f（x）的一條對稱軸，若f（x）在區(qū)間（，）上單調，則ω的最大值是（ ）
A．14B．16C．18D．20
【解答】解：設函數(shù)f（x）的最小正周期為T，
∵函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝﹣是函數(shù)f（x）的一個零點，
x＝是函數(shù)f（x）的一條對稱軸，
∴，其中n∈N，
∴T＝＝，∴ω＝4n+2，
∵f（x）在區(qū)間（，）上單調，
∴≤＝，∴ω≤20，
∴ω的可能取值為2，6，10，14，18，
（i）當ω＝18時，f（x）＝sin（18x+φ），f（﹣）＝sin（﹣）＝0，
∴φ﹣＝kπ（k∈Z），則（k∈Z），
∵﹣，∴φ＝，∴f（x）＝sin（18x+），
當時，，
∴函數(shù)f（x）在（）上不單調，不合題意；
（ii）當ω＝14時，f（x）＝sin（14x+φ），f（﹣）＝sin（﹣+φ）＝0，
∴＝kπ（k∈Z），則φ＝kπ+（k∈Z），
∵﹣，∴φ＝﹣，∴f（x）＝sin（14x﹣），
當時，，
∴函數(shù)f（x）在（）單調遞減，符合題意，
∴ω的最大值為14．
故選：A．
16．（2023?雁塔區(qū)校級三模）已知函數(shù)f（x）＝sinωx+csωx，其中ω＞0．若f（x）在區(qū)間上單調遞增，則ω的取值范圍是（ ）
A．（0，4]B．C．D．
【解答】解：，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間內單調遞增，
∴，
∴ω≤4，
∵，
∴，
若f（x）在區(qū)間上單調遞增，
則，
解得，
當k＝0時，，
當k＝1時，，
當k取其它值時不滿足0＜ω≤4，
∴ω的取值范圍為，
故選：D．
17．（2023?廣西一模）函數(shù)恒有f（x）≤f（π），且f（x）在上單調遞增，則ω的值為（ ）
A．B．C．D．或
【解答】解：函數(shù)恒有f（x）≤f（π），
則，解得，
∵f（x）在，上單調遞增，
∴ω＞0，且，
故0＜ω≤3，
結合，可得ω的值為或，
當ω的值為時，
f（x）＝sin（），
令，解得﹣2π+6kπ≤x≤π+6kπ，k∈Z，
當k＝0時，f（x）在[﹣2π，π]上單調遞增，滿足f（x）在上單調遞增，
當ω的值為時，
f（x）＝sin（），
令，解得，
所以f（x）在上單調遞增，不滿足f（x）在上單調遞增．
故選：A．
18．（多選）（2023?福建模擬）已知函數(shù)f（x）＝sin（ω＞0）滿足：f（）＝2，f（）＝0，則（ ）
A．曲線y＝f（x）關于直線對稱
B．函數(shù)y＝f（）是奇函數(shù)
C．函數(shù)y＝f（x）在（，）單調遞減
D．函數(shù)y＝f（x）的值域為[﹣2，2]
【解答】解：，所以函數(shù)y＝f（x）的值域為[﹣2，2]，故D正確；
因為，所以，所以，
因為，所以，所以ω＝12k2+1，k2∈Z，
所以，即k1＝8k2+1，
所以ω∈{1，13，25，37，???}，
因為，
所以曲線y＝f（x）關于直線對稱，故A正確；
因為＝2sin（（12k2+1）x﹣4k2π）＝2sin（（12k2+1）x），
即，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，故B正確；
取ω＝13，則最小正周期，故C錯誤．
故選：ABD．
19．（多選）（2023?運城三模）已知函數(shù)，滿足，，且在上單調，則ω的取值可能為（ ）
A．1B．3C．5D．7
【解答】解：由，知函數(shù)f（x）的圖象關于直線對稱，
又，即是函數(shù)f（x）的零點，
則，n∈Z，
即ω＝2n+1，n∈Z．
由f（x）在上單調，
則，即ω≤6，
所以ω＝1，3，5．
當ω＝1時，由，k∈Z，得，k∈Z，
又|φ|＜，所以，此時當時，，
所以在上單調遞增，故ω＝1符合題意；
當ω＝3時，由，k∈Z，得，k∈Z，
又|φ|＜，所以，此時當時，，
所以在上單調遞增，故ω＝3符合題意；
當ω＝5時，由，k∈Z，得，k∈Z，
又|φ|＜，所以，此時當時，，
所以在上不單調，故ω＝5不符合題意．
綜上所述，ω＝1或3．
故選：AB．
20．（2023?青羊區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，，，且f（x）在上單調，則ω的最大值為 5 ．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ），
∴f（﹣）＝2sin（﹣ω+φ）＝0，
∴﹣ω+φ＝kπ，k∈Z①；
又，
∴x＝是f（x）圖象的對稱軸，
∴ω+φ＝k′π+，k′∈Z②；
由①②得，φ＝π+，k∈Z，
∴取φ＝，且ω＝﹣4k+1，k∈Z；
∴f（x）＝2sin（ωx+）的最小正周期為T＝；
又f（x）在上單調，
∴﹣≤，即≤，
解得ω≤6；
綜上，ω的最大值為5．
故答案為：5．
五．正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性（共7小題）
21．（2023?大通縣一模）下列坐標所表示的點是函數(shù)圖象的對稱中心的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：令2x﹣＝kπ，k∈Z，則x＝+，k∈Z，
當k＝0時，x＝，所以該函數(shù)的一個對稱中心為（，0）．
故選：A．
22．（2023?浉河區(qū)校級三模）已知函數(shù)f（x）＝asin2x+bcs2x（ab≠0）的圖象關于直線對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)
B．f（x）的最小正周期為2π
C．f（x）在區(qū)間上單調遞增
D．方程f（x）＝2b在區(qū)間[0，2π]上有2個實根
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝asin2x+bcs2x（ab≠0）的圖象關于直線對稱，
∴f（0）＝f（），即b＝asin+bcs，所以a＝b，
所以f（x）＝bsin2x+bcs2x＝2bsin（2x+），
此時f（）＝2bsin（2×+）＝2b，
故函數(shù)圖象關于x＝對稱，
f（x﹣）＝2bsin（2x﹣2×+）＝2bsin（2x﹣），
令g（x）＝f（x﹣）＝2bsin（2x﹣），
則g（）＝2bsin（﹣）＝0，而g（﹣）＝2bsin（﹣2×）＝﹣b≠0，
故g（x）＝f（x﹣）＝2bsin（2x﹣）不是偶函數(shù)，故A錯誤；
f（x）的最小正周期為＝π，故B錯誤；
因為b的正負無法確定，故f（x）在區(qū)間上的單調性無法確定，故C錯誤；
令f（x）＝2b，x∈[0，2π]，因2b≠0，
則sin（2x+）＝1，
因為x∈[0，2π]，所以2x+∈[，]，
所以2x+＝或2x+＝，
解得x＝或x＝，故D正確．
故選：D．
23．（2023?秦都區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）＝sinωx+csωx（ω＞0）圖象兩個相鄰的對稱中心的間距為，則下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sinωx+csωx＝sin（），
因為函數(shù)f（x）圖象兩個相鄰的對稱中心的間距為，
所以T＝，所以，又ω＞0，所以ω＝4，
所以，
對于A，，函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯誤；
對于B，，
所以當時，，
當時，，
所以函數(shù)不為偶函數(shù)，故B錯誤；
對于C，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故C正確；
對于D，，
所以當時，，
當時，，
所以函數(shù)不為偶函數(shù)，故D錯誤．
故選：C．
24．（多選）（2023?惠州模擬）關于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)f（x）的圖像的一個對稱中心是
B．函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調遞減
C．直線是函數(shù)f（x）圖像的一條對稱軸
D．將函數(shù)f（x）的圖像沿x軸向左平移個單位長度，將得到函數(shù)的圖像
【解答】解：f（x）的對稱中心即為f（x）的零點，則，A正確；
，則，y＝sinx在單調遞增，B不正確；
f（x）在對稱軸處取到最值，則，C正確；
將函數(shù)f（x）的圖像沿x軸向左平移個單位長度，
將得到函數(shù)，D不正確．
故選：AC．
25．（多選）（2023?東方模擬）已知函數(shù)f（x）＝|2sin（2x﹣）|，則下列說法中正確的有（ ）
A．函數(shù)f（x）的圖象關于點（，0）對稱
B．函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸是x＝
C．若x∈[，]，則函數(shù)f（x）的最小值為
D．若f（x1）f（x2）＝4，x1≠x2，則|x1﹣x2|的最小值為
【解答】解：因為y＝|sinx|≥0，該函數(shù)不是中心對稱圖象，A錯誤；
由于f（）＝|2sin（﹣2x﹣）|＝2|sin（2x﹣）|＝f（x）|，故x＝是該函數(shù)的對稱軸，B正確；
由x∈[，]得2x﹣∈[]，
所以sin（2x﹣）≤1，
故f（x）＝|sin（2x﹣）|的最小值，C正確；
結合正弦函數(shù)的性質可知y＝|sinx|的最小正周期T＝π，
故f（x）＝|2sin（2x﹣）|的最小正周期T＝，最大值為2，最小值為0，
若f（x1）f（x2）＝4，x1≠x2，則|x1﹣x2|的最小值為，，D正確．
故選：BCD．
26．（2023?昌江縣二模）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓C與f（x）的圖象交于M，N兩點，且M在y軸上，則下列說法中正確的是（ ）
A．函數(shù)f（x）的最小正周期是 2π
B．函數(shù)f（x）的圖象關于點成中心對稱
C．函數(shù)f（x）在單調遞增
D．函數(shù)f（x）的圖象向右平移后關于原點成中心對稱
【解答】解：由圓的性質知，C＝＝，
則＝﹣（﹣）＝，即周期T＝π，
則＝π，得ω＝2，故A錯誤，
∵函數(shù)關于點（，0），對稱，
∴函數(shù)的對稱中心為（+，0），則當k＝2時，對稱中心為（，0），故B正確，
函數(shù)的一條對稱軸為x＝＝，函數(shù)的相鄰最小值的對稱軸x＝+＝，前一條對稱軸為x＝﹣＝﹣，
則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，
當k＝0時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為[﹣，]，k∈Z，此時f （x）在單調遞增錯誤，故C錯誤，
∵f（x）的一條對稱軸為x＝﹣，
∴函數(shù)f （x）的圖象向右平移，此時函數(shù)關于y軸對稱，故D錯誤，
故選：B．
27．（多選）（2023?平江縣校級模擬）設函數(shù)，若f（x）在[0，π]上有且僅有3條對稱軸，則（ ）
A．f（x）在[0，π]上有且僅有2個最大值點
B．f（x）在[0，π]上有且僅有2個零點
C．ω的取值范圍是
D．f（x）在上單調遞增
【解答】解：∵x∈[0，π]，ω＞0，
∴0≤ωx≤πω，∴，
令，∴，
畫出y＝sint圖象進行分析：
對于A選項：由圖象可知：f（x）在[0，π]上有且僅有x1，x3對應的這2個最大值點，故A選項正確；
對于B選項：當，即時，f（x）在[0，π]有且僅有2個零點；
當，即時，f（x）在[0，π]有且僅有3個零點，故B選項不正確；
對于C選項：∵f（x）在[0，π]有且僅有3條對稱軸，
∴，∴，
∴ω的取值范圍是，故C選項正確；
對于D選項：∵，ω＞0，∴，∴，
由C選項可知，，∴，
即f（x）在上單調遞增，故D選項正確．
故選：ACD．
六．余弦函數(shù)的圖象（共5小題）
28．（2023?河南模擬）已知函數(shù)f（x）＝cs（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）在上沒有零點，則ω的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．（0，1]
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝cs（ωx﹣）（ω＞0），若函數(shù)f（x）在（，）上沒有零點，
ωx﹣∈（，），
∴≥2kπ﹣且≤2kπ+，或≥2kπ+且≤2kπ+，
∴4k+≤ω≤+或4k+≤ω≤+k∈Z．
令k＝0，由4k+≤ω≤+，k∈Z，可得≤ω≤．
令k＝﹣1時，由4k+≤ω≤+，k∈Z，可得﹣≤ω≤．
再根據ω＞0，可得0＜ω≤．
則ω的取值范圍是（0，]∪[，]，
故選：A．
29．（2023?安陽模擬）已知函數(shù)在[0，π]上有且僅有2個零點，則ω的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：
＝，
當x∈[0，π]時，，
∵f（x）在[0，π]內有且僅有2個零點，
∴，∴，
∴ω的取值范圍是．
故選：A．
30．（2023?一模擬）已知函數(shù)，（ω＞0）的圖象在區(qū)間（0，2π）內至多存在3條對稱軸，則ω的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵函數(shù)（ω＞0）的圖象在區(qū)間（0，2π）內至多存在3條對稱軸，
∴ωx∈（﹣，2ωπ﹣），∴2ωπ﹣≤3π，∴ω≤．
故選：A．
31．（多選）（2023?新鄉(xiāng)三模）已知函數(shù)f（x）＝cs（ωx+φ）（0＜ω＜10，0＜φ＜π）圖象的一個對稱中心是，點在f（x）的圖象上，則（ ）
A．
B．直線是f（x）圖象的一條對稱軸
C．f（x）在上單調遞減
D．是奇函數(shù)
【解答】解：因為點在f（x）的圖象上，
所以．又0＜φ＜π，
所以，
因為f（x）圖象的一個對稱中心是，
所以，則ω＝2+8k，k∈Z，
又0＜ω＜10，所以ω＝2，則，A正確；
，則直線不是f（x）圖象的一條對稱軸，B不正確；
當時，，單調遞減，C正確；
，是奇函數(shù)，D正確．
故選：ACD．
32．（2023?瀘州模擬）寫出使“函數(shù)f（x）＝cs（2x+φ）為奇函數(shù)”的φ的一個取值 ．
【解答】解：因為函數(shù)f（x）＝cs（2x+φ）為奇函數(shù)，所以．
即φ的一個取值為．
故答案為：（答案不唯一）．
七．余弦函數(shù)的單調性（共2小題）
33．（2023?全國一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)ω的取值范圍為（ ）
A．B．（1，2]C．（0，1]D．
【解答】解：由題意有T＝≥π，可得0＜ω≤2，
又由＜+≤，
必有+≤π，
可得0＜ω≤，即實數(shù)ω的取值范圍為（0，]．
故選：A．
34．（2023?白山三模）已知函數(shù)，則f（x）在[﹣2，0]上（ ）
A．單調遞增B．單調遞減C．先增后減D．先減后增
【解答】解：∵x∈[﹣2，0]，
∴2x﹣∈[﹣4﹣，﹣]，
∵﹣＜﹣4﹣＜﹣π＜﹣＜0，
∴函數(shù)在[﹣2，0]上先減后增，
故選：D．
八．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式（共1小題）
35．（2023?石景山區(qū)一模）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則φ的值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根據函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分圖象，
可得f（0）＝﹣f（），即有f（x）的圖象關于點（，0）對稱，
由圖象可得f（x）的最小正周期T＝2（+）＝π，即有ω＝＝2，①
又f（﹣）＝Asin（﹣+φ）＝0，
由圖象可得﹣+φ＝0，②
由①②解得φ＝，ω＝2，
故選：A．
九．同角三角函數(shù)間的基本關系（共4小題）
36．（2023?攀枝花一模）若tanθ＝2，則7cs2θ﹣2sin2θ＝（ ）
A．﹣B．C．﹣2D．2
【解答】解：若tanθ＝2，
則7cs2θ﹣2sin2θ＝＝＝＝﹣．
故選：A．
37．（2023?山西模擬）已知tanα＝﹣7，則＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因為tanα＝﹣7，
所以，
，
故．
故選：A．
38．（2023?陽泉二模）已知，0＜α＜π，則sinα﹣csα＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因為，所以，
即，
所以．
因為0＜α＜π，所以csα＜0＜sinα，所以sinα﹣csα＞0，
因為，
所以．
故選：B．
39．（2023?河南模擬）已知tanθ＝﹣3，則sin2θ﹣cs2θ＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因為tanθ＝﹣3，
所以
＝．
故選：D．
一十．兩角和與差的三角函數(shù)（共4小題）
40．（2023?射洪市校級模擬）若α為銳角，且，則＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因為α為銳角，所以，所以，
又因為，所以，
所以＝．
故選：D．
41．（2023?廣西模擬）已知，則＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因為，
所以＝＝＝，＝＝，
所以＝＝＝＝．
故選：D．
42．（2023?淮安模擬）已知cs（40°﹣θ）+cs（40°+θ）+cs（80°﹣θ）＝0，則tanθ＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因為cs（40°﹣θ）+cs（40°+θ）+cs（80°﹣θ）＝0，
所以cs40°csθ+sin40°sinθ+cs40°csθ﹣sin40°sinθ+cs80°csθ+sin80°sinθ＝0，
所以2cs40°csθ+cs80°csθ+sin80°sinθ＝0，
所以2cs40°+cs80°+sin80°tanθ＝0，
所以
＝
＝．
故選：A．
43．（2023?烏魯木齊模擬）若，則＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：
＝．
故選：B．
一十一．二倍角的三角函數(shù)（共6小題）
44．（2023?九江模擬）已知sinθ+2cs2，則sin2θ＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因為sinθ+2cs2，
所以sinθ+csθ＝，
兩邊平方得1+2sinθcsθ＝
則sin2θ＝﹣．
故選：A．
45．（2023?樂山模擬）已知，則sinα＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，可得cs2α+1＝2sin2α，
∴2cs2α＝4sinαcsα，
∴csα＝2sinα，
又cs2α+sin2α＝5sin2α＝1，
∴sinα＝．
故選：C．
46．（2023?武漢模擬）已知，則＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵＝，
∴＝＝．
故選：D．
47．（2023?惠州一模）若，則＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因為，所以，即3sinα﹣sin2α＝cs2α，
所以3sinα＝sin2α+cs2α＝1，即，
所以．
故選：D．
48．（2023?懷仁市校級二模）已知，且，則tanθ＝（ ）
A．B．C．D．或
【解答】解：∵，
∴或，
∵，
∴tanθ＞1，
故．
故選：B．
49．（2023?鄭州模擬）已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：cs2（x﹣）+cs2（x+）
＝（csxcs+sinxsin）2+（csxcs﹣sinxsin）2
＝（csx+sinx）2+（csx﹣sinx）2
＝cs2x+sinxcsx+sin2x+cs2x﹣sinxcsx+sin2x
＝cs2x+sin2x
＝+cs2x
＝+
＝1+×（﹣）
＝．
故選：B．
一十二．半角的三角函數(shù)（共2小題）
50．（2023?江西模擬）若，α是第三象限的角，則＝（ ）
A．2B．C．﹣2D．
【解答】解：由 ，α是第三象限的角，
∴可得 .，
∴
故選：C．
51．（2023?寶雞三模）若α∈（0，π），且sinα+2csα＝2，則tan等于（ ）
A．3B．2C．D．
【解答】解：∵α∈（0，π），
∴∈（0，），
設tan＝x，x＞0，
∵sinα＝＝，csα＝＝，
∴sinα+2csα＝+2?＝＝2，
即x+1﹣x2＝1+x2，
即x（2x﹣1）＝0，
解得x＝
故選：C．
一十三．三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值（共5小題）
52．（2023?安陽三模）已知，則＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因為，
所以，
又，解得tanα＝7，
所以．
故選：B．
53．（2023?湖南一模）已知＝2，則tanθ＝（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
【解答】解：∵＝＝tan＝2，
∴tanθ＝＝＝﹣，
故選：C．
54．（2023?興慶區(qū)校級模擬）若sin（﹣α）＝，cs（+2α）＝（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【解答】解：∵sin（﹣α）＝，
∴cs[﹣（﹣α）]＝cs（+α）＝，
∴cs（+2α）＝2cs2（+α）﹣1＝﹣1＝﹣，
故選：D．
55．（2023?迎江區(qū)校級模擬）已知，則＝ 2 ．
【解答】解：已知，所以sinθ＝2csθ，tanθ＝2，
．
故答案為：2．
56．（2023?萬州區(qū)校級模擬）在△ABC中，若+＝3，則sinA的最大值為 ．
【解答】解：在△ABC中，+＝3，
∴．
∴，即，
∴．
根據正弦定理得：．
∴a2＝3bccsA．
又根據余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccsA，
∴b2+c2﹣2bccsA＝3bccsA．
∴．
當且僅當b＝c時等號成立，
∴．
∴，即，
∴．
故答案為：
一十四．三角函數(shù)中的恒等變換應用（共4小題）
57．（2023?南江縣校級模擬）已知函數(shù)在[0，π]上恰有3個零點，則ω的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由題意可得，
因為x∈[0，π]，所以，
則，解得．
故選：A．
58．（2023?安徽二模）已知函數(shù)f（x）＝sin2ωx+sinωxcsωx﹣1（ω＞0）在上恰有4個不同的零點，則實數(shù)ω的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：f（x）＝sin2ωx+sinωxcsωx﹣1＝＝，
函數(shù)f（x）在上恰有4個不同的零點，
則f（x）＝0，即在上恰有4個不同的解，
∵，
∴，
∴由正弦函數(shù)圖象可知，，解得3，
故實數(shù)ω的取值范圍是（3，]．
故選：D．
59．（2023?山西模擬）已知函數(shù)f（x）＝，集合{x∈（0，π）|f（x）＝1}中恰有3個元素，則實數(shù)ω的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵f（x）＝sinωx﹣csωx（ω＞0），
∴，
又集合A＝{x∈（0，π）|f（x）＝1}含有3個元素，
∴方程f（x）＝1，在（0，π）上只有三解，
∴，在（0，π）上只有三解，
∴或，
∴或，
又，在（0，π）上只有三解，
∴、、，其他值均不在（0，π）內，
∴，解得，
故選：D．
60．（2023?天津模擬）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到g（x）的圖象，再將g（x）圖象上的所有點的橫坐標變成原來的，得到h（x）的圖象，則下列說法正確的個數(shù)是（ ）
①函數(shù)h（x）的最小正周期為2π；
②是函數(shù)h（x）圖象的一個對稱中心；
③函數(shù)h（x）圖象的一個對稱軸方程為；
④函數(shù)h（x）在區(qū)間上單調遞增
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：函數(shù)＝sin2x+＝2sin（2x+）的圖象向右平移個單位，得到g（x）＝2sin（2x﹣）的圖象，
再將函數(shù)g（x）的圖象上的所有點的橫坐標變成原來的，得到的函數(shù)關系式h（x）＝2sin（4x﹣）；
對于①函數(shù)h（x）的最小正周期為，故①錯誤；
對于②當x＝時，h（）＝2sin（）＝0，故是函數(shù)h（x）圖象的一個對稱中心，故②正確；
對于③令4x﹣（k∈Z），整理得x＝（k∈Z），函數(shù)h（x）圖象的對稱軸方程不為，故③錯誤；
對于④由于，所以，故函數(shù)h（x）在區(qū)間上單調遞增，故④正確．
故選：B．
1.重要結論－輔助角公式
y＝asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ)(a，b不同時為0)，其中cs θ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin θ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)).
2.兩角和與差的正切公式
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
4.余弦的二倍角公式的變形
5．正弦的二倍角公式的變形
(1)sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α，cs α＝eq \f(sin 2α,2sin α).
(2)1±sin 2α＝(sin_α±cs_α)2.
6.半角公式
(1)sineq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,2))，
(2)cseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cs α,2))，
(3)taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))，
(4)taneq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2cs\f(α,2),cs\f(α,2)·2cs\f(α,2))＝eq \f(sin α,1＋cs α)，
taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cs\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq \f(1－cs α,sin α).
函數(shù)
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
圖象
定義域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
單調性
遞增區(qū)間：
（2kπ?π2，2kπ+π2）
（k∈Z）；
遞減區(qū)間：
（2kπ+π2，2kπ+3π2）
（k∈Z）
遞增區(qū)間：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
遞減區(qū)間：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
遞增區(qū)間：
（kπ?π2，kπ+π2）
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+π2（k∈Z）時，ymax＝1；
x＝2kπ?π2（k∈Z）時，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 時，
ymin＝﹣1
無最值
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
對稱性
對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）
對稱軸：x＝kπ+π2，k∈Z
對稱中心：（kπ+π2，0）（k∈Z）
對稱軸：x＝kπ，k∈Z
對稱中心：（kπ2，0）（k∈Z）
無對稱軸
周期
2π
2π
π
名稱
簡記符號
公式
使用條件
兩角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
兩角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
記法
公式
S2α
sin 2α＝2sin_αcs_α
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)

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