【專題復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題1 用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識(shí),單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)主要應(yīng)用,可以說(shuō)在高考導(dǎo)數(shù)解答題中單調(diào)性問(wèn)題是繞不開(kāi)的一個(gè)問(wèn)題,這是因?yàn)閱握{(diào)性是解決后續(xù)問(wèn)題的關(guān)鍵,單調(diào)性在研究函數(shù)圖像、比較函數(shù)值大小、確定函數(shù)的極值與零點(diǎn)、解不等式及證明不等式中都起著至關(guān)重要的作用.函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用一直是高考考查的熱點(diǎn)、而含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用更是高考中的熱點(diǎn)難點(diǎn).
二、解題秘籍
連續(xù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn),也就是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),即方程的根,所以求解含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,一般要根據(jù)的根的情況進(jìn)行分類,分類時(shí)先確定導(dǎo)函數(shù)是一次型、二次型還是其他類型
1.若導(dǎo)函數(shù)是一次型,分類步驟是：
①判斷是否有根,若沒(méi)有根,會(huì)出現(xiàn)恒成立的情況；
②若有根,求出導(dǎo)的根,并判斷根是否在定義域內(nèi)；若根不在定義域內(nèi)會(huì)出現(xiàn)恒成立的情況；
③若根在定義域內(nèi),會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)單調(diào)區(qū)間,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),確定單調(diào)性；
2. 若導(dǎo)函數(shù)是二次型,分類步驟是：
①先判斷二次型函數(shù)是否有根,若沒(méi)有根,會(huì)出現(xiàn)恒成立的情況；
②判斷根是否在定義域內(nèi),若僅有一個(gè)根在定義域內(nèi),會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)單調(diào)區(qū)間,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),確定單調(diào)性；
③若兩個(gè)根都在定義域內(nèi),需要根據(jù)兩個(gè)根的大小進(jìn)行討論,當(dāng)根的大小確定后,再討論每個(gè)單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.
3.若導(dǎo)函數(shù)是三角函數(shù)類型，需要借助三角函數(shù)的單調(diào)性及有界性進(jìn)行討論
下面我們根據(jù)的根的情況總結(jié)出11類題型及解法,幫助同學(xué)們掌握這類問(wèn)題的求解方法.
類型一：定義域不是,可化為單根型一次方程
思路：根據(jù)根是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類
【例1】討論的單調(diào)性
分析：,根的情況轉(zhuǎn)化為根的情況
根據(jù)是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類
答案：
(1),在上是增函數(shù)；
(2),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
類型二：定義域不是,可化為單根型類一次方程
思路：根據(jù)方程是否有根及根是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類
【例2】討論的單調(diào)性
分析：,根的情況轉(zhuǎn)化為在上根的情況.
步驟一：討論(無(wú)實(shí)根)；
步驟二：討論,由得(不在定義域內(nèi))；
步驟三：討論,根據(jù)是否在定義域內(nèi)再分.
答案：
(1),在上是減函數(shù)；
(2),在上是減函數(shù)；
(3)
( = 1 \* rman i), ,在上是增函數(shù)；
( = 2 \* rman ii),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
類型三：定義域?yàn)? 可化為單根型類二次（或高次）方程
思路：根據(jù)的系數(shù)符號(hào)進(jìn)行分類
【例3】討論的單調(diào)性
分析：,因?yàn)?
根的情況轉(zhuǎn)化為根的情況,
步驟一：討論；
步驟二：討論,注意此時(shí) ；
步驟三：討論,注意不等式兩邊除以,不等式要改變方向.
答案：
(1)時(shí)在上遞增,在上遞減；
(2)時(shí)在上遞減；
(3) 時(shí)在上遞減,在上遞增.
類型四：定義域不是,可化為單根型二次方程
思路：根據(jù)方程的根是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類
【例4】討論的單調(diào)性
分析：,因?yàn)?根的情況轉(zhuǎn)化為在上根的情況.
步驟一：討論(無(wú)實(shí)根)；
步驟二：討論,由得；
答案：
(1),在上是增函數(shù)；
(2),, ,在上是增函數(shù)；,,在上是減函數(shù).
類型五：定義域?yàn)? 可化為雙根型二次方程
思路：根據(jù)根的大小進(jìn)行分類
【例5】討論的單調(diào)性
分析：,根的情況轉(zhuǎn)化為的根的情況,根據(jù)與的大小進(jìn)行討論.
步驟一：討論；
步驟二：討論,注意此時(shí)；
步驟三：討論.
答案：
(1)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；
(2),在上是增函數(shù)；
(3), 在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).
類型六：定義域不是,可化為雙根型二次方程
思路：根據(jù)根是否在定義域內(nèi)及根的大小進(jìn)行分類
【例6】討論的單調(diào)性
分析：,根的情況轉(zhuǎn)化為在上根的情況.
步驟一：討論(根不在定義域內(nèi)).
步驟二：討論(根據(jù)的大小再分)
答案：
(1),在上是增函數(shù)；
(2)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；
(3),在上是增函數(shù)；
(4), 在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).
類型七：定義域是,可化為雙根型類二次方程
思路：根據(jù)根的個(gè)數(shù)及根的大小進(jìn)行分類
【例7】討論的單調(diào)性
分析：,根的情況轉(zhuǎn)化為根的情況.
步驟一：討論(無(wú)實(shí)根)；
步驟二：討論,此時(shí)；
步驟三：討論(根據(jù)的大小再分)
答案：
(1),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；
(2) 在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)；
(3)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；
(4),在上是增函數(shù)；
(5), 在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).
提醒：對(duì)于類二次方程,不要忽略對(duì)項(xiàng)的系數(shù)為零的討論
類型八：定義域不是,可化為雙根型類二次方程
思路：根據(jù)根是否在定義域內(nèi)、根的個(gè)數(shù)及根的大小進(jìn)行分類
【例8】討論的單調(diào)性
分析：,根的情況轉(zhuǎn)化為根的情況.
步驟一：討論(有1個(gè)根).
步驟二：討論(不在定義域內(nèi))
步驟三：討論(均在定義域內(nèi),根據(jù)的大小再分)
答案：
(1),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；(步驟一二合并)
(2)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；
(3),在上是增函數(shù)；
(4), 在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).
類型九：先化為指數(shù)型方程,再通過(guò)擬合化為一次（或類一次）或二次（或類二次）方程
【例9】討論的單調(diào)性
分析：,根的情況轉(zhuǎn)化為根的情況.
步驟一：討論(有1個(gè)根).
步驟二：討論,的擬合函數(shù)為 (根據(jù)的大小再分)
答案：
(1),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；
(2)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；
(3),在上是增函數(shù)；
(4), 在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).
類型十：先化為對(duì)數(shù)型方程,再通過(guò)擬合化為一次（或類一次）或二次（或類二次）方程
【例10】討論的單調(diào)性
分析：的擬合函數(shù)為(根據(jù)與0,1大小分類)
步驟一：討論( ).
步驟二：討論, (再分)
答案：
(1),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)；
(2)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；
(3),在上是增函數(shù)；
(4), 在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).
類型十一：導(dǎo)函數(shù)為三角函數(shù)類型
【例10】判斷在上的單調(diào)性
分析：
步驟一：，
步驟二：令，，
步驟三：利用弦函數(shù)有界性得，
步驟四：為增函數(shù)，．
答案：在上單調(diào)遞增.
三、典例展示
【例1】（2024屆重慶市南開(kāi)中學(xué)校高三上學(xué)期7月月考）已知函數(shù)，其中且.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)，有，求證：.
【解析】（1），
當(dāng)時(shí)，，可得，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）①當(dāng)時(shí)，在上單減，因?yàn)?，故?br>所以，不符題意，故舍去.
（也可用時(shí)，，舍去）
②當(dāng)時(shí)，在單減，單增，，
故，
令，則有，
令，且，
，
令，，故在單減，
因?yàn)椋?，故使得?br>當(dāng)時(shí)，，，單增，
當(dāng)時(shí)，，，單減，
又，，
故存在使得，
所以由不等式解得，即，
又，，所以函數(shù)在單減，
所以，，
記，則，
所以在單減，，
而，顯然成立，
綜上：.
【例2】（2024屆山西省朔州市懷仁市高三上學(xué)期摸底）已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>.
①當(dāng)時(shí)，由，有，令，可得，
可得函數(shù)的減區(qū)間為，
令，函數(shù)的增區(qū)間為；
②當(dāng)時(shí)，，
可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；
③當(dāng)時(shí)，，令，可得，
可得函數(shù)的減區(qū)間為，
令，可得，或，所以函數(shù)的增區(qū)間為，；
④當(dāng)時(shí)，，令，可得，
令，可得，或，
可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，；
綜上，當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.
（2）.
由（1）可知：
①當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，有，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，，
由，函數(shù)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.
由，若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，必需，
令，有，
令，有，
可得函數(shù)單調(diào)遞增，有，
可得函數(shù)單調(diào)遞增，又由，
故滿足不等式的a的取值范圍為.
又由，可得當(dāng)時(shí)，，
又由，，，可得函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn).
由上知，若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
【例3】（2023屆福建省三明市高三三模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，證明：.
【解析】（1）定義域?yàn)椋驗(yàn)椋?br>所以.
令，則，
所以，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，令，則，
所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，令，則，
所以當(dāng)時(shí)，，
即在和上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞增.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增
（2）要證明：，只要證明：，
只要證明：
只要證明：.
只要證明：，
只要證明：，
只要證明：.
由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.
即要證明，即要證明.
即證明.因?yàn)椋?，所以原不等式成?
解法二：
要證明：，只要證明：.
只要證明：
只要證明：
只要證明：.
令，
所以
所以.
因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增.
所以，即原不等式成立
【例4】（2023屆福建省福州高三適應(yīng)性考試）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證:(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
【解析】（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)恒成立，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)令，解得或，
當(dāng)，即時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)即時(shí)，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，
令，解得，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)即時(shí)，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，
令，解得，則在上單調(diào)遞減；
綜上可得，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）因?yàn)椋?br>由題意，是方程的兩個(gè)根，
①，②，
①②兩式相加，得③，
①②兩式相減，得④，
聯(lián)立③④，得，
，
設(shè)，，，
，，
因?yàn)?，所以，則，
若，則一定有，
只需證明當(dāng)時(shí)，不等式成立即可，即不等式成立，
設(shè)函數(shù)，，
在上單調(diào)遞增，故時(shí)，，
即證得當(dāng)時(shí)，，即證得，
，即證得，則．
【例5】（2023屆湖北省新高三摸底聯(lián)考）已知,函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)如果我們用表示區(qū)間的長(zhǎng)度,試證明：對(duì)任意實(shí)數(shù),關(guān)于的不等式的解集的區(qū)間長(zhǎng)度小于．
【解析】 (1),定義域?yàn)?
若恒成立,所以在上單調(diào)遞減；
若,
當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增．
綜上,時(shí),在上單調(diào)遞減；時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增．
(2)令,則,因?yàn)?
由（1）知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
又,所以,
令,
由恒成立,
所以在上單調(diào)遞增．
又,所以,即．從而,
所以,即．
因?yàn)?所以,
所以存在唯一,使得,所以的解集為,
即的解集為,又的區(qū)間長(zhǎng)度為,
原命題得證．
四、跟蹤檢測(cè)
1.（2024屆湖北省黃岡市高三上學(xué)期8月質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù)，，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若方程在上有實(shí)根，求的取值范圍.
【解析】（1），令，則
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，得，，得.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）知，，方程在上有實(shí)根等價(jià)于方程在上有實(shí)根.
令，則
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，得，，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，所以，所?br>綜上所述，的取值范圍為
2．（2024屆廣東省羅定中學(xué)高三上學(xué)期8月調(diào)研）已知函數(shù)，其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
【解析】（1）由題意知：定義域?yàn)?，?br>令，解得：，，又，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）取，則當(dāng)時(shí)，，，，
；
，由（1）知：在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即在上無(wú)零點(diǎn)；
下面討論的情況：
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
又，，
在和上各存在一個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，
有唯一零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，無(wú)零點(diǎn)；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn).
3.（2023屆四川省內(nèi)江市高三零?？荚嚕┮阎瘮?shù),
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若不等式對(duì)任意恒成立,求的最大值．
【解析】 (1),
當(dāng)時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí),令得,令得,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；
(2)依題意得：對(duì)任意恒成立,等價(jià)于恒成立.
令,則,則當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又,
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
,
,即的最大值為.
4.（2023屆河南省安陽(yáng)市高三上學(xué)期名校調(diào)研摸底考試）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí),若,求b的最小值．
【解析】 (1)當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),令有,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)時(shí),由（1）若,則有解即可,即有解,即有解,設(shè),則,故當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.故,故當(dāng).故b的最小值為
5.（2023屆三省三校高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若,設(shè)在上的最小值為,求證： .
【解析】 (1).
①當(dāng),即時(shí)：恒成立.故在上單調(diào)遞減.
②當(dāng),即時(shí)：令,即,解得：;
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
綜上所述：當(dāng)時(shí)：在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)：在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)時(shí),.
.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,.
所以必存在點(diǎn),使,即
且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞減.
所以..
又因在上單調(diào)遞減.
所以.
故恒成立.
6．（2024屆海南省陵水黎族自治縣高三上學(xué)期第一次模擬）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，記較小零點(diǎn)為，求證：.
【解析】（1）解：的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，有，即在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，可得，令，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由第一問(wèn)可知，且較小的零點(diǎn)，
則要證，即證，即證，
而可得（易檢驗(yàn)），代換上式中，
所以即證，即證，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，而，
所以，即，得證.
7．（2023屆貴州省貴陽(yáng)市高三3 3 3高考備考診斷性聯(lián)考）實(shí)數(shù)，，.
(1)討論的單調(diào)性并寫(xiě)出過(guò)程；
(2)求證：.
【解析】（1）若，令，的定義域?yàn)?
.
此時(shí)
①當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在上是增函數(shù)；
時(shí)，，在上是減函數(shù)；
時(shí)，，在上是增函數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在上是增函數(shù)，
時(shí)，，在上是減函數(shù)，
時(shí)，，是增函數(shù).
若時(shí)，，
時(shí)，，在上是減函數(shù)；
時(shí)，，在上是增函數(shù)；
若，則的定義域?yàn)椋?br>此時(shí)且，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)
（2）由（1）得時(shí)，，在上是減函數(shù)，
即當(dāng)時(shí)，，即，
即.
令，，
求和即得.
8．（2024屆江西省高三第一次穩(wěn)派大聯(lián)考）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）定義域?yàn)椋?br>①當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)單調(diào)遞增，
令，得，此時(shí)單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)單調(diào)遞增，
令，得，此時(shí)單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
（2）記，
由（1）知，當(dāng)時(shí)，，
則，則，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
即對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，
則，即對(duì)恒成立，
令，對(duì)恒成立，
則在單調(diào)遞增，所以，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
9.已知
(1)若,討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),,若恒成立,求的范圍．
【解析】 (1)定義域?yàn)?br>?。┘磿r(shí),
,或
ⅱ）即時(shí),,恒成立
ⅲ）即,
,或
綜上：
時(shí),,單調(diào)遞減；、,單調(diào)遞增
時(shí),,單調(diào)遞增
時(shí),,單調(diào)遞減；、,單調(diào)遞增
(2),由題,
則,設(shè)
∴
∴
恒成立
,
∴
∴恒成立
設(shè),
∴恒成立
?。r(shí),,
∴,
∴在上單調(diào)遞增
∴恒成立,
∴合題
ⅱ）,,
∴,
∴在上單調(diào)遞增
時(shí),,
∴在上單調(diào)遞減
∴,,不滿足恒成立
綜上：
10.已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】 (1)的定義域是,.
①當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí),令,解得或（舍）,令,解得,令,解得,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)若在上恒成立,即在上恒成立.
令,,
則.
當(dāng)時(shí),,,不符合題意；
當(dāng)時(shí),在上恒成立,所以在上單調(diào)遞減,又,所以,不符合題意；
當(dāng)時(shí),若,即,在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,又,所以在上恒成立,符合題意.
若,即,令,解得,令,解得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,不符合題意；
若,即,在上恒成立,所以在上單調(diào)遞減,又,所以,不符合題意.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
11.已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若,函數(shù)在上恒成立,求整數(shù)的最大值.
【解析】 (1)
若時(shí),,在上單調(diào)遞增；
若時(shí),,當(dāng)或時(shí),,為增函數(shù),
當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),
若時(shí),,當(dāng)或時(shí),,為增函數(shù),
當(dāng)時(shí),,為減函數(shù).
綜上,時(shí),在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)由,解得 ,
所以,
由時(shí),,可知在上恒成立
可化為在上恒成立,設(shè),
則,
設(shè),則 ,所以在上單調(diào)遞增,
又,,
所以方程有且只有一個(gè)實(shí)根,且 ,,
所以在上,, 單調(diào)遞減,在上,,單調(diào)遞增,
所以函數(shù)的最小值為,
從而,又為整數(shù),所以的最大值為.
12．已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若在上只有一個(gè)極值,且該極值小于,求的取值范圍.
【解析】（1）由題意,函數(shù),
可得,
當(dāng)時(shí),,令,解得；令,解得,
故在遞減,在遞增,
當(dāng)時(shí),令,解得或,
設(shè),可得,
當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,
故,故,
由,解得或,
由,解得,
故在遞增,在遞減,在遞增,
綜上可得：當(dāng)時(shí),在遞減,在遞增,
時(shí),在遞增,在遞減,在遞增；
（2）當(dāng)時(shí),由（1）知,在遞減,在遞增,
故,解得,
當(dāng)時(shí),,由（1）知在處取極大值,
設(shè),
則,
因?yàn)?可得,所以,在遞減,
所以,所以不合題意,
當(dāng)時(shí),,由（1）知在遞增,
此時(shí)在無(wú)極值,不符合題意,
綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍是.

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