【專項復習】高考數(shù)學專題01 利用導函數(shù)研究函數(shù)的切線問題（題型訓練）.zip-試卷下載-教習網(wǎng)

目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29784" 一、必備秘籍 PAGEREF _Tc29784 \h 1
\l "_Tc3113" 二、典型題型 PAGEREF _Tc3113 \h 2
\l "_Tc31782" 題型一：在型求切線方程 PAGEREF _Tc31782 \h 2
\l "_Tc15187" 題型二：過型求切線方程 PAGEREF _Tc15187 \h 4
\l "_Tc28689" 題型三：已知切線斜率求參數(shù) PAGEREF _Tc28689 \h 6
\l "_Tc23547" 題型四：確定過一點可以做切線條數(shù) PAGEREF _Tc23547 \h 8
\l "_Tc5883" 題型五：已知切線條數(shù)求參數(shù) PAGEREF _Tc5883 \h 9
\l "_Tc21038" 題型六：距離問題轉(zhuǎn)化為相切問題 PAGEREF _Tc21038 \h 13
\l "_Tc25263" 題型七：公切線問題 PAGEREF _Tc25263 \h 14
\l "_Tc5836" 三、專項訓練 PAGEREF _Tc5836 \h 18
一、必備秘籍
1、切線的斜率：函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即.
2、曲線的切線問題（基礎題）
（1）在型求切線方程
已知：函數(shù)的解析式.計算：函數(shù)在或者處的切線方程.
步驟：第一步：計算切點的縱坐標（方法：把代入原函數(shù)中），切點.
第二步：計算切線斜率.
第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率。
根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.
（2）過型求切線方程
已知：函數(shù)的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.
步驟：第一步：設切點
第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第四步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.
3、已知，過點，可作曲線的（）條切線問題
第一步：設切點
第二步：計算切線斜率；
第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.
第四步：將代入切線方程，得：，整理成關于得分方程；
第五步：題意已知能作幾條切線，關于的方程就有幾個實數(shù)解；
4、已知和存在（）條公切線問題
二、典型題型
題型一：在型求切線方程
1．（2023下·遼寧阜新·高二?？计谀┮阎€在處的切線與直線垂直，則實數(shù) .
【答案】-2
【詳解】因為，定義域為，所以，
所以曲線在處的切線斜率為，
因為曲線在處的切線與直線垂直，
所以不符合題意，所以直線的斜率為，
所以，所以.
故答案為：.
2．（2023上·山東德州·高三統(tǒng)考期中）函數(shù)在處的切線方程為．（結(jié)果寫成一般式）
【答案】
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
所以在處的切線方程為，整理得，
故答案為：.
3．（2023上·上海閔行·高三?？计谥校┣€在點處的切線方程為．
【答案】
【詳解】∵，∴，則點即為.
∵，∴切線斜率為，
∴切線方程為，即.
故答案為：.
4．（2023·安徽·池州市第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)（其中）在處的切線為，則直線過定點的坐標為 .
【答案】
【詳解】根據(jù)題意：函數(shù)在處有切線，切點為，
又，故切線斜率為，
直線的方程為，
該直線過定點的坐標為.
故答案為：
5．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預測）已知曲線在點處的切線與曲線相切，則 .
【答案】/
【詳解】因為的導數(shù)為，則，
所以曲線在處的切線方程為，即，
又切線與曲線相切，設切點為，
因為，所以切線斜率為，解得，
所以，則，解得.
故答案為；.
題型二：過型求切線方程
1．（2022·四川廣安·廣安二中?？级＃┖瘮?shù)過點的切線方程為（）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【詳解】由題設，若切點為，則，
所以切線方程為，又切線過，
則，可得或，
當時，切線為；當時，切線為，整理得.
故選：C
2．（2022下·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，則曲線過坐標原點的切線方程為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】設切點為，，則切線斜率為，
所以，所求切線方程為，
將原點坐標代入所求切線方程可得，即，解得，
因此，所求切線方程為.
故選：C.
3．（2023·全國·模擬預測）過原點與曲線相切的一條切線的方程為 .
【答案】或或(寫出其中一條即可)
【詳解】解：設曲線表示拋物線的一部分，
設其切線方程為，代入，
得.由，得.
當時，，符合題意，
當時，，均符合題意，
所以切線方程.
設的切線的切點為.
由，得，，
得切線方程為.
將的坐標代入切線方程，得，
所以，所以切線方程為.
故答案為：或或(寫出其中一條即可)
4．（2023下·甘肅天水·高二秦安縣第一中學?？计谥校┣€在點處切線的斜率為，過點的切線方程 .
【答案】
【詳解】設
，，解得：，；
當是切點時，切線方程為：，即；
當不是切點時，設切點坐標為，
則在點處的切線方程為：，
代入點得：，
，
解得：，切點為，與重合，不合題意；
綜上所述：切線方程為.
故答案為：.
5．（2023下·四川綿陽·高二期末）過點作曲線的切線，則切線方程為．
【答案】
【詳解】因為點不在曲線上，設切點，且，則，①
又，則切線斜率為，②
由①②解得，，所以，切線的斜率為，
切線方程為，即.
故答案為：.
題型三：已知切線斜率求參數(shù)
1．（2023下·遼寧阜新·高二?？计谀┤糁本€與曲線相切，則實數(shù)a的值為（）
A．B．0C．D．
【答案】A
【詳解】，則，
設直線l與曲線的切點，則直線l的斜率，
由于直線斜率為，則，解得，
所以，即切點為，
故，解得．
故選：A.
2．（2023上·貴州六盤水·高三校聯(lián)考階段練習）已知直線與曲線相切，則（）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【詳解】設切點為，
，故斜率為，
則切線方程為，
整理得，
所以，解得.
故選：B
3．（2023上·遼寧·高三校考階段練習）函數(shù)（、）在點處的切線斜率為，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】的定義域為R，，
又在點處的切線斜率為，∴，
∴，
當且僅當，即，時，“”成立，
∴的最小值為.
故選：C．
4．（2023上·青海西寧·高三統(tǒng)考開學考試）已知直線與曲線相切，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】設切點為，則，解得，
所以．令，所以，
令，解得，令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．
故選：A
5．（2023上·天津·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若曲線的一條切線的方程為，則 .
【答案】3
【詳解】設切點坐標為，易知，
則，由切線方程為可得，
即，解得，即切點坐標為，
將代入切線方程可得，解得.
故答案為：3
題型四：確定過一點可以做切線條數(shù)
1．（2023上·湖北·高三鄂南高中校聯(lián)考期中）函數(shù)為上的奇函數(shù)，過點作曲線的切線，可作切線條數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．不確定
【答案】A
【詳解】，故，，
，，
設切點為，則，且，
整理得到，解得，，
故切線方程為，
故選：A
2．（2021下·北京·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)，則曲線過點的切線有（）
A．0條B．1條C．2條D．3條
【答案】C
【詳解】設切點為A，直線AP的斜率為k,則，
又，，
∴
又方程的判別式為，且，
∴ 方程有兩個不同的解，
∴ 曲線過點的切線有兩條，
故選：C.
3．（2021下·湖南·高二校聯(lián)考階段練習）經(jīng)過點作曲線的切線有（）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】C
【詳解】因為，
設切點為，所以曲線在點處的切線方程為.
將代入，得即：或，
所以，此時，切點為；
或
因為，所以方程有兩個不同的根，且根不為0，所以方程共有3個不同的根，即經(jīng)過點作曲線的切線有3條.
故選：C.
4．（2019上·四川內(nèi)江·高三統(tǒng)考階段練習）已知曲線，則過點可向引切線，其切線條數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】設在曲線上的切點為，，則，
所以，曲線在點處的切線方程為，
將點的坐標代入切線方程得，即，
解得，，.
因此，過點可向引切線，有三條.
故選：C.
題型五：已知切線條數(shù)求參數(shù)
1．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）若經(jīng)過點可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項正確的是（）
A．B．C．D．或
【答案】D
【詳解】設切點．因為，所以，
所以點處的切線方程為，
又因為切線經(jīng)過點，所以，即.
令，則與有且僅有1個交點，，
當時，恒成立，所以單調(diào)遞增，顯然時，，于是符合題意；
當時，當時，，遞減，當時，，遞增，所以，
則，即．
綜上，或．
故選：D
2．（2023下·陜西漢中·高二校聯(lián)考期中）過點作曲線切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】設切點為，
由，則，
所以過的切線方程為，即，
故有且僅有兩根，
設，則，
當時，，此時單調(diào)遞增；
當，，此時單調(diào)遞減，
又當時，，，，
所以的圖象如下：
故有且僅有兩根，則b的取值范圍為．
故選：A．
3．（2023·全國·校聯(lián)考二模）若曲線有三條過點的切線，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設該切線的切點為，則切線的斜率為，
所以切線方程為，
又切線過點，則，整理得.
要使過點的切線有3條，需方程有3個不同的解，
即函數(shù)圖象與直線在R上有3個交點，
設，則，
令，令或，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，
且極小值、極大值分別為，如圖，
由圖可知，當時，函數(shù)圖象與直線在R上有3個交點，
即過點的切線有3條.
所以實數(shù)a的取值范圍為.
故選：B.
4．（2022上·山西運城·高三?？茧A段練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設曲線在點處的切線為，
由可知直線的斜率為，
故直線的方程為，
將代入直線可得關于的方程具有兩個不相等的正數(shù)解，
構(gòu)造函數(shù)，
則，
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增，
且當時，；
，當，即時，，
即當時，；
故為了使方程有兩個不相等的正數(shù)解，
則須使.
故選：B.
5．（2022上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，若過點能作三條直線與的圖像相切，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由已知：，故，設切點為
根據(jù)導數(shù)的幾何意義，知切線斜率為，切線方程為,
將點坐標代入切線方程可得
化簡可得
即函數(shù)與函數(shù)有三個不同的交點.
故，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.
則當時，有極小值，
當時，有極大值.
所以的取值范圍為.
故選：D.
題型六：距離問題轉(zhuǎn)化為相切問題
1．（2022上·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習）曲線上的點到直線的距離的最小值為（）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【詳解】設與已知直線平行且與曲線相切的直線為，
則，解得，
所以切點為，代入切線方程，可得，
即切線為，由兩平行線間的距離，
所以最小值為，
故選：C．
2．（2023上·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）若實數(shù)滿足，則的最小值是（）
A．8B．9C．10D．11
【答案】A
【詳解】由，得，令，則，
令得，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增；
由，得，令，
的圖像如下圖：

則表示上一點與上一點的距離的平方，
顯然，當過M點的的切線與平行時，最小，
設上與平行的切線的切點為，由，解得，
所以切點為，切點到的距離的平方為，
即的最小值為8；
故選：A.
3．（2023下·廣西河池·高二校聯(lián)考期中）若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（）
A．B．1C．D．
【答案】A
【詳解】點是曲線上的任意一點，設，
令，解得1或（舍去），，此時，
∴曲線上與直線平行的切線的切點為，
點到直線的最小距離.
故選：A.
題型七：公切線問題
1．（2023上·湖北荊州·高三荊州中學校考階段練習）若曲線與曲線有公切線，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】設公切線與函數(shù)切于點，
由，得，所以公切線的斜率為，
所以公切線方程為，化簡得，
設公切線與函數(shù)切于點，
由，得，則公切線的斜率為，
所以公切線方程為，化簡得，
所以，消去，得，
由，得，
令，則，
所以在上遞減，
所以，
所以由題意得，
即實數(shù)的取值范圍是，
故選：A
2．（2023·全國·模擬預測）試寫出曲線與曲線的一條公切線方程 .
【答案】或（寫出一個即可）
【詳解】設公切線與曲線切于點，
與曲線切于點.
由，得.由，得.
令，即，則，
且，
即，
化為，
所以，解得或.
當時，，，
此時切線的方程為，即.
當時，，，
此時切線的方程為，即.
綜上可知，切線的方程為或，寫出任意一個即可.
故答案為：或，寫出任意一個即可.
3．（湖北省武漢市部分學校2023-2024學年高三上學期11月調(diào)研考試數(shù)學試題）寫出曲線與的一條公切線方程： .
【答案】（或）（答案不唯一）
【詳解】設公切線與曲線相切的切點為，與曲線相切的切點為，
由，求導得，由，求導得，
于是，即有，公切線方程為，
顯然該切線過點，因此，
整理得，即，解得或，
當時，，公切線方程為，當時，，公切線方程為.
故答案為：
4．（2023·全國·高三專題練習）若兩曲線與存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍是．
【答案】
【詳解】由題可知，，，
設與曲線相切的切點為，與相切的切點為，
則有公共切線斜率為，則，，
又，，可得，
即有，即，
可得，，
設，，，
可得時，，在上單調(diào)遞增，
當時，，在上單調(diào)遞減，,
可得處取得極大值，且為最大值，
則正實數(shù)a的取值范圍，
故答案為：
5．（2023上·重慶·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知函數(shù)
(1)當時，求的極值；
(2)若曲線與曲線存在2 條公切線，求a的取值范圍.
【答案】(1)極大值為，無極小值；
(2).
【詳解】（1）當時，設，顯然，
求導得，由，得，
當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，
所以在取得極大值，無極小值.
（2）設曲線上切點，則切線斜率為，方程為，
依題意，切線與曲線相切，于是方程有兩個相等的正實根，
而，則，且，即有，
由公切線有兩條，得關于的方程:有兩個不同的實數(shù)解，
令，則與的圖象有兩個交點，
由，求導得，由，得，
當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，
因此，函數(shù)的圖象如圖，
觀察圖象知，當，即時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，
所以a的取值范圍是.
三、專項訓練
1．（2024上·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則（）
A．B．C．-2D．
【答案】B
【詳解】由題意知在曲線上，所以.
又，所以曲線在點處的切線的斜率為.
又因為曲線在點處切線的傾斜角為，所以切線的斜率為1.
故而.由解得，所以.
故選：B
2．（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學考試）函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】∵，∴，∴，，
∴所求的切線方程為，即.
故選：D
3．（2023下·高二課時練習）若曲線在點處的切線方程為，則（）
A．B．
C．D．不存在
【答案】A
【詳解】由切線方程可以看出其斜率是2，又曲線在該點處的切線的斜率就是函數(shù)在該點處的導數(shù)，
即
故選：A
4．（2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級中學校聯(lián)考階段練習）若直線是曲線的一條切線，則的最小值為（）
A．B．C．ln 2D．
【答案】B
【詳解】設直線與曲線相切的切點為，由求導得，
于是，則，，
設，求導得，
當時，，函數(shù)遞減，當時，，函數(shù)遞增，
因此當時，，
所以的最小值為.
故選：B
5．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，過點可作曲線的切線條數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【詳解】解法一由，得．設切點坐標為，
則切線方程為，
把代入可得，即，
因為，所以該方程有2個不同的實數(shù)解，故切線有2條．
解法二由，得，令，得．
當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故的極小值為，且，則點在曲線的下方，
數(shù)形結(jié)合可知，過點可作曲線的2條切線．
故選：B
6．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，過點作曲線的兩條切線，切點分別為和，若，則實數(shù)（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【詳解】由題意知，
因為與曲線相切，
所以，整理得，
同理，
則，是方程的兩個實數(shù)根，
所以，
所以．
故選：.
7．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預測）若函數(shù)與函數(shù)的圖象在公共點處有相同的切線，則實數(shù)（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設函數(shù)與函數(shù)的圖象公共點坐標為，
求導得，依題意，，于是，
令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
則當時，，因此在中，，此時，經(jīng)檢驗符合題意，
所以.
故選：B
8．（2023上·四川·高三校聯(lián)考階段練習）若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線的距離最小，
設切點為，則，
因為，所以切線斜率為，
由題知，解得或（舍），
所以，此時點到直線的距離，
故選：B.
9．（2023上·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習）過點作曲線的兩條切線，切點分別為，，則（）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【詳解】由，得，
設切點坐標為，
則，切線方程為，
將代入可得，即，
依題意關于的方程有兩個不同的解、，
即關于的方程有兩個不同的解、，
．
故選：A．
二、多選題
10．（2023下·高二課時練習）若曲線在點處的切線方程是，則（）
A．B．C．D．
【答案】AD
【詳解】因為點在直線上，所以.
由，則求導可得，
所以在點處的切線的斜率為.
故選：AD.
11．（2023上·福建福州·高三校聯(lián)考期中）已知直線l與曲線相切，則下列直線中可能與l平行的是（）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【詳解】，，則，當且僅當即等號成立，
根據(jù)導數(shù)的幾何意義知，切線的斜率，因為切線與直線l平行，所以l的斜率，
選項A中直線的斜率為，符合題意；
選項B中直線的斜率為，不符合題意；
選項C中直線的斜率為，符合題意；
選項D中直線的斜率為，符合題意；
故選：ACD.
12．（2023上·重慶榮昌·高三重慶市榮昌中學校校考階段練習）若過點可以作三條直線與函數(shù)相切，則實數(shù)a的值可能是（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】CD
【詳解】設切點，
由函數(shù)，可得，
則切線的斜率為，
所以切線方程為，
因為點在切線上，可得，
即，
又因為過點可以作三條直線與函數(shù)相切，
即方程有三個不同的實數(shù)解，且不是方程的解，
即有三個不同的實數(shù)解，
令，可得，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞增，
又由，且當時，，當時，，
當,
所以實數(shù)的取值范圍為，結(jié)合選項C、D符合題意.
故選：CD.

三、填空題
13．（2024上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)在點處的切線與直線平行，則實數(shù) .
【答案】
【詳解】由題設，則，故.
故答案為：
14．（2023·湖北·武漢市第三中學校聯(lián)考一模）若函數(shù)在處的切線與的圖像有三個公共點，則的取值范圍．
【答案】
【詳解】當時，，所以切點的坐標為，
當時，，，所以切線的斜率，
所以切線的方程為：
而，即過點
當切線過點時，切線與函數(shù)的圖象有三個公共點，
將代入切線方程得：，得
當切線與相切時，切線與數(shù)的圖象只有兩個公點，
設切線：與在處相切，
由，得，
所以，得，，所以切點坐標為
代入切線：，得，
因此在處的切線與的圖像有三個公共點時，的取值范圍為：.
故答案為：.
四、單空題
15．（2023下·高二課時練習）已知函數(shù)是曲線的一條切線，則 .
【答案】/
【詳解】設切點為，∵，∴，∴，
∴切線方程為，又點在曲線上，
∴，∴，∴，∴.
故答案為：
五、問答題
16．（2023上·江蘇淮安·高三淮陰中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，.
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，與有公切線，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，
當時，可得時，，單調(diào)遞減，
時，，單調(diào)遞增；
當時，可得時，，單調(diào)遞增，
時，，單調(diào)遞減.
（2）解：設公切線與和的切點分別為，
可得，可得切線方程為，
即，即
由，可得，則，所以切線方程為
所以，可得，
設，可得，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
所以，當時，函數(shù)取得極大值，極大值為，
又由當時，；當時，，
所以，所以時，即實數(shù)的取值范圍為.第一步
設的切點
設的切點
求公切線的斜率
寫出并整理切線
整理得：
整理得：
聯(lián)立已知條件
消去得到關于的方程，再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點個數(shù)；
消去得到關于的方程再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點個數(shù)；

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