【專題復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題07 函數(shù)中的雙變量問題.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn), 近幾年高考試卷及各地模擬試卷中常出現(xiàn)在函數(shù)背景下借組導(dǎo)數(shù)處理含有兩個變量的等式與不等式問題,這類問題由于變量多,不少同學(xué)不知如何下手,其實(shí)如能以函數(shù)思想為指導(dǎo),把雙變量問題轉(zhuǎn)化為一個或兩個一元函數(shù)問題,再利用導(dǎo)數(shù)就可有效地加以解決.
二、解題秘籍
(一) 與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的雙變量問題
此類問題一般是給出含有的不等式,若能通過變形,把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為同源函數(shù),可利用函數(shù)單調(diào)性定義構(gòu)造單調(diào)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求解.
常見結(jié)論：
(1)若對任意,當(dāng)時恒有,則在D上是增函數(shù)；
(2)若對任意,當(dāng)時恒有,則在D上是增函數(shù)；
(3)若對任意,當(dāng)時恒有,則在D上是增函數(shù)；
(4)若對任意,當(dāng)時恒有,則在D上是增函數(shù).
【例1】（2024屆四川省仁壽第一中學(xué)校高三上學(xué)期第一次調(diào)研）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)存在且，使成立，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意得，令得，
時，，在上單調(diào)遞增；
時，，在上單調(diào)遞減；
綜上，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由題意存在且，不妨設(shè)，
由（1）知時，單調(diào)遞減．
等價于，
即，
即存在且，使成立．
令，則在上存在減區(qū)間．
即在上有解集，即在上有解，
即，；
令，，，
時，，在上單調(diào)遞增，
時，，在單調(diào)遞減，
∴，∴．
(二) 與極值點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題
與極值點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題,一般是根據(jù)是方程的兩個根,確定的關(guān)系,再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有或的關(guān)系式,再構(gòu)造函數(shù)解題,有時也可以把所給條件轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，此外若題中含有參數(shù)也可考慮把所給式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式.
【例2】（2024屆福建省福州第一中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)量檢查）已知函數(shù)．
(1)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，證明：．
【解析】（1）當(dāng)時，
，在時，，單調(diào)遞減，
又，所以，不滿足題意；
當(dāng)時，，
若，即時，，在上單調(diào)遞增，
又，所以，滿足題意；
若，即時，
令，可得，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
而，所以，
不滿足在上.
綜上所述，；
（2）當(dāng)時，
由得，單調(diào)遞減，無極值，不滿足題意；
當(dāng)時，，
若，即時，，在上單調(diào)遞增，
無極值，不滿足題意；
若，即時，
令，可得，，此時，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以為極大值，為極小值，
且，，，
要證，即證
，
即，
即證：，
即證：
則，
因?yàn)椋?br>故在上為減函數(shù)，故，
故成立，
故.
【例3】（2023屆云南省曲靖市高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，試討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，證明：.
【解析】（1）當(dāng)時，定義域?yàn)椋?br>，
令解得或，且當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)或時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，
綜上在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.
（2）由已知，可得，
函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，即在上有兩個不等實(shí)根，
令，只需，故，
又，，
所以
，
要證，即證，
只需證，
令，，
則，
令，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
又，，
由零點(diǎn)存在性定理得，使得，
即，
所以時，，單調(diào)遞增，
時，，單調(diào)遞減，
則，
又由對勾函數(shù)知在上單調(diào)遞增，
所以
所以，即得證.
(三) 與零點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題
與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題,一般是根據(jù)是方程的兩個根,確定的關(guān)系,再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有或的關(guān)系式,再構(gòu)造函數(shù)解題,有時也可以把所給條件轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),有時也可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),若函數(shù)中含有參數(shù),可考慮把參數(shù)消去,或轉(zhuǎn)化為以參數(shù)為自變量的函數(shù).
【例4】已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不相等的零點(diǎn)．
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②證明：．
【解析】 (1)當(dāng)時，函數(shù)，定義域?yàn)椋?br>．
由，得．
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
(2)①若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不相等的零點(diǎn)，
則方程有兩個不等的實(shí)根．
即方程有兩個不等的實(shí)根．
記，則，
記，則在上單減，且，
∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，
∴在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
∴．
又∵且當(dāng)時，，
∴方程為有兩個不等的實(shí)根時，．
∴當(dāng)時函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不相等的零點(diǎn)．
②要證，
只需證，
只需證，
因?yàn)椋瑑墒较鄿p得：
．
整理得．
所以只需證，
即證，
即，不妨設(shè)，令，
只需證，
只需證，
設(shè)，
只需證當(dāng)時，即可．
∵，
∴在（單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時，，
∴在單調(diào)遞增，當(dāng)時，
∴原不等式得證．
明.
(四) 獨(dú)立雙變量,各自構(gòu)造一元函數(shù)
此類問題一般是給出兩個獨(dú)立變量,通過變形,構(gòu)造兩個函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)知識求解.
【例5】（2024屆陜西省寶雞實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高三一模）已知函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時，求整數(shù)的值，使得函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)；
(2)若存在使得，試求的取值范圍.
【解析】（1），，
當(dāng)時，，，故是上的增函數(shù)，
同理是上的減函數(shù)，
，且時，，
故當(dāng)時，函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi)，滿足條件．
同理，當(dāng)時，函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi)，滿足條件，
綜上．
（2）問題當(dāng)時，，
，
①當(dāng)時，由，可知；
②當(dāng)時，由，可知；
③當(dāng)時，，在上遞減，上遞增，
時，，
而，設(shè)
（僅當(dāng)時取等號），
在上單調(diào)遞增，而，
當(dāng)時，即時，，
即，
構(gòu)造，易知，在遞增，
，即的取值范圍是．
(五) 構(gòu)造一元函數(shù)求解雙變量問題
當(dāng)兩個以上的變元或是兩個量的確定關(guān)系在解題過程中反復(fù)出現(xiàn).通過變量的四則運(yùn)算后,把整體處理為一個變量,從而達(dá)到消元的目的.
【例6】已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(3)證明：對任意的，有．
【解析】 (1)解：因?yàn)?，所以?br>即切點(diǎn)坐標(biāo)為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
(2)解：因?yàn)椋?
所以，
令，
則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上單調(diào)遞增.
(3)解：原不等式等價于，
令，，
即證，
∵，
，
由（2）知在上單調(diào)遞增，
∴，
∴
∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?br>∴，所以命題得證.
(六) 獨(dú)立雙變量,把其中一個變量看作常數(shù)
若問題中兩個變量沒有明確的數(shù)量等式關(guān)系,有時可以把其中一個當(dāng)常數(shù),另外一個當(dāng)自變量
【例7】已知函數(shù)，
(1)若函數(shù)在處的切線也是函數(shù)圖像的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若函數(shù)的圖像恒在直線的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若，且，證明：>
【解析】 (1)，在處切線斜率，，所以切線，
又，設(shè)與相切時的切點(diǎn)為，則斜率，
則切線的方程又可表示為，
由，解之得．
(2)由題可得對于恒成立，即對于恒成立，
令，則，由得，
則當(dāng)時，，由，得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
(3)由題知，
由得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以，即?br>所以，①同理，②
①+②得，
因?yàn)椋?br>由得，即，
所以，即，所以．
(七) 雙變量,通過放縮消元轉(zhuǎn)化為單變量問題
此類問題一般是把其中一個變量的式子放縮成常數(shù),從而把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題
【例8】（2023屆湖北省武漢市江漢區(qū)高三上學(xué)期7月新起點(diǎn)考試）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點(diǎn).
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②求證：.
【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，時，，時，，所以時，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，1），遞增區(qū)間為（1，+∞）.
（2）①∵函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，∴方程，即有兩個解.令，則的圖象與的圖象有兩個交點(diǎn).而當(dāng)時，，遞減，；當(dāng)時，，遞增，∴又∵時，；時，，∴當(dāng)時，g（x）單調(diào)遞減，且；當(dāng)時，g（x）單調(diào)遞增，且∴的圖象與的圖象有兩個交點(diǎn)的充要條件是故a的取值范圍為（－，0）②不妨設(shè)是的兩個極值點(diǎn)，且，由①可知，或時，，時，，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∵，∴∴（是極大值），∴要證，只需證設(shè)，其中，則，令，則，令，，∴在（－1，+∞）上單調(diào)遞增.∵.∴∴t（x）在（－1，+∞）上單調(diào)遞增，∴，即∴h（x）在（－1，+∞）上單調(diào)遞增，∴，又，∴故．
三、典例展示
【例1】（2024屆湖北省武漢市部分學(xué)校高三上學(xué)期九月調(diào)研）已知函數(shù)．
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，，且有兩個極值點(diǎn)，分別為和，求的最小值．
【解析】（1）時，，
，
令，可得或，
當(dāng)或時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2），
令，可得.
由題意可得，是關(guān)于的方程的兩個實(shí)根，
所以.
由，有，
所以.
將代入上式，得，
同理可得.
所以
①.
令，①式化為，
設(shè)，即，
則，
記，則.
記，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，在上單調(diào)遞增，所以.
所以，在上單調(diào)遞減.
又
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，取到最大值，即的最大值為2.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以.
所以的最小值為.
【例2】（2024屆重慶市第十一中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，
(1)當(dāng)時，
（i）求曲線在處的切線方程；
（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，求證：對任意的，有.
【解析】（1）（i）當(dāng)時，，
則，，
所以在處切線的斜率，
所以切線方程為.
（ii）由（i）可知，
所以，
令解得，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由題意可知，，
對任意的，令，，
則
①，
令，，
當(dāng)時，，
由此可得在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，
因?yàn)?，，?br>所以
②，
由（1）（ii）可知當(dāng)時，，即，
故③，
由①②③可得，
所以當(dāng)時，對任意的，.
【例3】（2023屆內(nèi)蒙古烏蘭察布市高三上學(xué)期期中）設(shè)函數(shù)，
(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)如果且關(guān)于的方程有兩個解，證明：.
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?br>∴，
令，解得，或，
當(dāng)時，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，恒成立，即在上是增函數(shù)，
綜上可得，當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，在上是增函數(shù)，
（2）證明：
當(dāng)且關(guān)于的方程有兩個解等價于當(dāng)存在
，
由（1）當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
不妨設(shè)，
設(shè)，，
∴
∴在上單調(diào)遞減，∴，
即當(dāng)時，，
由于，∴，即，
∵，∴，
又，，在上為增函數(shù)，
∴，即.
【例4】已知函數(shù)，.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)任取兩個正數(shù)，當(dāng)時，求證：.
【解析】 (1).
當(dāng)時，，令，得；令，得.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)，即時，令，得或；令，得.
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.
當(dāng)，即時，令，得或；令，得.
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上所述，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
(2)證明：由題意得，.
要證，
只需證，
即證，
即證.
令，
所以只需證在上恒成立，
即證在上恒成立.
令，則，
令，則.
所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以.
所以.
【例5】已知
（1）求的取值范圍；
（2）若,證明：；
（3）求所有整數(shù),使得恒成立.注：為自然對數(shù)的底數(shù).
【解析】（1）當(dāng)時,有與矛盾；
當(dāng)時,有與而,與矛盾；
當(dāng)時,有則,由得,所以；
綜上所述：；
（2）設(shè),則,當(dāng) 時,,則在上遞增,
由于得,即,由（1）知,又,
故要證即證
即證且
①要證,需證,即證
需證,設(shè),需證
由,又,所以
所以在單調(diào)減,則,所以成立,則成立；
②要證,由于,則
需證,即證
需證,設(shè),需證
由,
又,,
故有,,所以在單調(diào)減,在單調(diào)增
又,
所以,則,得
所以成立；
（3）因?yàn)?
所以
由
設(shè),由,得在上單調(diào)減,在上單調(diào)增
又因?yàn)?則
所以
由恒成立,所以的值可以是
四、跟蹤檢測
1．（2024屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)．其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若恒成立，求的取值范圍．
2．（2024屆貴州省思南中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性．
(2)若有兩個不相等的實(shí)數(shù)滿足，求證：．
3．（2024屆重慶市拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟高三上學(xué)期九月聯(lián)考）已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，當(dāng)時，的最小值為4.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)令，對，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
4．（2024屆重慶市渝北中學(xué)高三上學(xué)期8月月考）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
(2)若任意、且，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
5.（2024屆江西省贛州市第四中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考）設(shè)m為實(shí)數(shù)，函數(shù).
(1)當(dāng)時，直線是曲線的切線，求的最小值；
(2)已函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，（），若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.
6.（2024屆安徽省安慶、池州、銅陵三市部分學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考）已知函數(shù)，，若曲線與相切.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若曲線上存在兩個不同點(diǎn)，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)均在圖象上.
①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②證明：.
7.（2023屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三三模）已知函數(shù)，.
(1)討論零點(diǎn)的個數(shù)；
(2)當(dāng)時，若存在，使得，求證：.
8.（2023屆安徽省五校高三5月聯(lián)考）已知正實(shí)數(shù)，函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù).
(1)若，求證：；
(2)求證；對任意正實(shí)數(shù)m，n，，有.
9.（2023屆湖南省長沙市第一中學(xué)高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試）已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.
(1)若（）是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，證明：；
(2)當(dāng)時，若對于，曲線C：與曲線都有唯一的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
10.已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個不同的零點(diǎn)，為其極值點(diǎn)，證明：.+
0
↗
極大值
↘

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多