【專題復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題10 切線問(wèn)題.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn), 用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線是一個(gè)主要命題點(diǎn),如2023年高考全國(guó)卷已卷在解答題中考查曲線的切線問(wèn)題,曲線的切線內(nèi)容主要涉及求曲線的斜率與方程、曲線的條數(shù)、公切線問(wèn)題,確定切線滿足條件的切線是否存在或由切線滿足條件求參數(shù)或參數(shù)范圍等.
二、解題秘籍
(一) 求曲線在某點(diǎn)處的切線
求以曲線上的點(diǎn)(x0,f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；
②求切線的斜率f′(x0)；③寫(xiě)出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化簡(jiǎn)．
【例1】（2024屆陜西省榆林市府谷縣高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知函數(shù)（）．
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)性．
【解析】（1）若，則，所以，
所以，又，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．
（2），
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
(二)求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線
求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線,一般是設(shè)出切點(diǎn)(x0,y0),解方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切點(diǎn)(x0,y0),進(jìn)而確定切線方程．
【例2】（2024屆重慶市第一中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)設(shè)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線，求切線的方程；
(2)若函數(shù)有極大值，無(wú)最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）時(shí)，
設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，
切線方程：，
將點(diǎn)帶入得：，
此時(shí)斜率，所以切線方程為.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則
（1）當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞增，
注意到時(shí)，，注意到時(shí)，，
故存在，使得，在時(shí)單調(diào)遞減，在時(shí)，單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無(wú)極大值，不符合題意.
（2）當(dāng)時(shí)，令，令，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以，
若，則恒成立，在單調(diào)遞減，無(wú)極值和最值.
若，即，此時(shí)存在，使得，
且在有單調(diào)遞減；在有單調(diào)遞增，此時(shí)為的極大值.
注意到時(shí)，要使無(wú)最大值，則還應(yīng)滿足，
即，同時(shí)，
帶入整理得.
由于，且在單調(diào)遞減，故，
即，
綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.
(三)求曲線的切線條數(shù)
求曲線切線的條數(shù)一般是設(shè)出切點(diǎn),由已知條件整理出關(guān)于t的方程,把切線條數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問(wèn)題.
【例3】（2024屆江蘇省南通市如東縣高三上學(xué)期期初學(xué)情檢測(cè)）已知是函數(shù)的極值點(diǎn).
(1)求的極值；
(2)證明：過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線.
【解析】（1）因?yàn)?，所?
因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以，所以.
即，
易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值.
（2）設(shè)切點(diǎn)，
則切線方程是.
代入得，
整理得.
設(shè)，則
.
易知在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
又因，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
又因?yàn)椋?br>所以在上有且只有一個(gè)等點(diǎn).
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以在上沒(méi)有零點(diǎn)；
即有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，也即過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線.
綜上可知，命題得證.
(四)曲線的公切線
研究曲線的公切線,一般是分別設(shè)出兩切點(diǎn),寫(xiě)出兩切線方程,然后再使這兩個(gè)方程表示同一條直線.
【例4】（2024屆湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù).
(1)若.求證：；
(2)若函數(shù)與函數(shù)存在兩條公切線，求整數(shù)的最小值.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
令，則，
令，因?yàn)椋?br>所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，
所以存在，滿足，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
則當(dāng)時(shí)，取得最小值，
可得，
因?yàn)?，所以不成立，故等?hào)不成立，則，
所以當(dāng)時(shí)，.
（2）設(shè)公切線與兩函數(shù)的圖象分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>所以直線的方程可表示為或，
則有，①
，②
由①可得，代入②可得，
即，令，則，
令，則，，
所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理知，存在，使得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，
則，
又為整數(shù)，所以，故所求整數(shù)的最小值是.
(五)確定滿足條件的切線是否存在或根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍
此類問(wèn)題或判斷符合條件的切線是否存在,或根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍,求解思路是把切線滿足條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率或切點(diǎn)的方程或函數(shù),再根據(jù)方程根的情況或函數(shù)性質(zhì)去求解.
【例5】已知函數(shù),
(1)若直線與曲線和分別交于兩點(diǎn)且曲線在處的切線與在處的切線相互平行,求的取值范圍；
(2)設(shè)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)且.已知,若不等式恒成立,求的取值范圍.
【解析】 (1),,,；
在處的切線與在處的切線相互平行,
,即在上有解,
則問(wèn)題等價(jià)于與在上有交點(diǎn),
當(dāng)直線與相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為,
,,解得：,；
由圖象可知：當(dāng),即時(shí),與在上有交點(diǎn),
實(shí)數(shù)的取值范圍為.
(2),；
是的兩個(gè)極值點(diǎn),,,；
,,
則由得：,
,即,；
令,則；
令,則；
①當(dāng)時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞增,
,即恒成立,滿足題意；
②當(dāng)時(shí),若,則,在上單調(diào)遞減,
此時(shí),即,不合題意；
綜上所述：若不等式恒成立,則,又,,
即的取值范圍為.
三、典例展示
【例1】（2024屆河南省新未來(lái)高三上學(xué)9月聯(lián)考）已知函數(shù).
(1)若的圖緣在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求；
(2)為的極值點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，
于是函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，
即，而切線過(guò)點(diǎn)，
因此，整理得，解得或，
所以或.
（2）由（1）知，方程，即有兩個(gè)不等實(shí)根，則，解得，
且，于是
，
由，得，解得，因此，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【例2】（2022高考全國(guó)卷甲文）已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．
（1）若,求a；
（2）求a的取值范圍．
【解析】（1）由題意知,,,,
則在點(diǎn)處的切線方程為,即,
設(shè)該切線與切于點(diǎn),,則,解得,則,解得.
（2）因?yàn)?所以在點(diǎn)處的切線方程為,整理得,
設(shè)該切線與切于點(diǎn),,則,
則切線方程為,整理得,
則,整理得,
（另法：求出在點(diǎn)處的切線方程后代入解析式,用求解）
令,則,令,解得或,
令,解得或,則變化時(shí),的變化情況如下表：
則的值域?yàn)?故的取值范圍為.
【例3】（2024屆四川省成都市第七中學(xué)高三上學(xué)期入學(xué)考試）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)（）.
(1)求a的取值范圍；
(2)過(guò)點(diǎn)與分別作的切線，兩切線交于M點(diǎn)，求M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離.
【解析】（1）由得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由題意只需使在有兩個(gè)異號(hào)根即可，
所以，解得；
綜上，.
（2）當(dāng)時(shí)，.又，故，.
又知當(dāng)時(shí)，有，
所以，即，故.
又，所以在處的切線方程為，
所以在處的切線方程為，
聯(lián)立整理得兩直線交點(diǎn)橫坐標(biāo).故M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離0.
【例4】（2024屆黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸，軸分別交于點(diǎn)，，求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
(2)求與曲線相切，并過(guò)點(diǎn)的直線方程.
【解析】（1）∵，∴，又，
∴在處的切線方程為：，即，
∴可得，，
∴；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，
由，∴，∴切線方程為：
又切線過(guò)點(diǎn)，
∴，解得：，
∴所求切線方程為：，即.
【例5】（2024屆江蘇省南通市高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知函數(shù)的極小值為，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).
(1)求的解析式；
(2)若曲線恰有三條過(guò)點(diǎn)的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1），
因?yàn)?，且的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
所以在處取得極小值，所以，
又因?yàn)?，，所以，?br>解方程組得，，，
所以.
（2）設(shè)切點(diǎn)為，則，
因?yàn)椋裕?br>所以切線方程為，
將代入上式，得.
因?yàn)榍€恰有三條過(guò)點(diǎn)的切線，所以方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解.
記，則導(dǎo)函數(shù)，
令，得或1.
列表：
所以的極大值為，的極小值為，
所以，解得.故的取值范圍是.
【例6】（2023屆湖北省九校教研協(xié)作體高三上學(xué)期起點(diǎn)考試）設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知,曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．證明：
（?。┤?則；
（ⅱ）若,則．
（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
【解析】（1）,當(dāng),；當(dāng),,故的減區(qū)間為,的增區(qū)間為.
（2）（ⅰ）因?yàn)檫^(guò)有三條不同的切線,設(shè)切點(diǎn)為,故,故方程有3個(gè)不同的根,該方程可整理為,設(shè),則,當(dāng)或時(shí),；當(dāng)時(shí),,故在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn),故且,故且,整理得到：且,此時(shí),設(shè),則,故為上的減函數(shù),故,故.（ⅱ）當(dāng)時(shí),同（ⅰ）中討論可得：故在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),不妨設(shè),則,因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn),故且,故且,整理得到：,因?yàn)?故,又,設(shè),,則方程即為：即為,記則為有三個(gè)不同的根,設(shè),,要證：,即證,即證：,即證：,即證：,而且,故,故,故即證：,即證：即證：,記,則,設(shè),則即,故在上為增函數(shù),故,所以,記,則,所以在為增函數(shù),故,故即,故原不等式得證：
四、跟蹤檢測(cè)
1．（2024屆福建省莆田哲理中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)試討論函數(shù)的單調(diào)性.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，則，切點(diǎn)為
又因?yàn)?br>所以，即
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，
即.
（2）因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
2．（2024屆四川省成都市蓉城聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)．
(1)求過(guò)原點(diǎn)的切線方程；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，都有不等式恒成立．
【解析】（1）因?yàn)?，，設(shè)切點(diǎn)為，
所以切線斜率為，切線為，
將點(diǎn)代入切線解得，故切線方程為；
（2）令，，
則原不等式即為，顯然，
又，且，
再令，則，
當(dāng)時(shí)，，，所以恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，恒有，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，
即在區(qū)間上為增函數(shù)，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，
所以在上為增函數(shù)，所以，不等式恒成立．
3．（2024屆遼寧省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知函數(shù)，．
(1)若，，求a的取值范圍；
(2)設(shè)函數(shù)，，若斜率為1的直線與曲線，都相切，求b的值．
【解析】（1）解：由題意，，
得，即在時(shí)有解．
設(shè)，
則，易知．
令，則，
所以單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
所以，所以．
（2）由題意得，所以，
令，解得，，
所以直線與的兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，
所以切線方程分別為和．
令，得，
令，解得或．
令，得，
令，無(wú)解．
經(jīng)檢驗(yàn)，直線與的兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，
綜上，或．
4．（2024屆四川省成都市石室中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）設(shè)．
(1)證明：的圖象與直線有且只有一個(gè)橫坐標(biāo)為的公共點(diǎn)，且；
(2)求所有的實(shí)數(shù)，使得直線與函數(shù)的圖象相切；
(3)設(shè)（其中由（1）給出），且，，求的最大值．
【解析】（1）考慮函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，．
因此有且只有使得，
即的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
且該公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
（2），
．設(shè)是的圖象上一點(diǎn)，
則該點(diǎn)處的切線為，
整理得．令，解得或．
因此與與函數(shù)的圖象相切．因此所求實(shí)數(shù)的值為或．
（3）設(shè)，則．
設(shè)，則．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
從而在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．
注意到，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時(shí)，．另一方面，注意到，
故必然存在，使得，
且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)．
因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
顯然，而．
因此當(dāng)時(shí)，．
綜上可知當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
由于，故當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
因此的最大值為．
5．（2023屆河南省部分學(xué)校高三押題信息卷）已知函數(shù)．
(1)求證：曲線僅有一條過(guò)原點(diǎn)的切線；
(2)若時(shí)，關(guān)于的方程有唯一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）的定義域?yàn)?，，設(shè)切點(diǎn)，
則切線方程為，
當(dāng)切線過(guò)原點(diǎn)時(shí)有，即，
故，因?yàn)椋?，即切點(diǎn)有且只有一個(gè)，則曲線僅有一條過(guò)原點(diǎn)的切線，即得證.
（2）關(guān)于的方程有唯一解，即方程，有唯一解，
令，則.
因?yàn)?，故?dāng)，即時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
易知的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，此時(shí)；
當(dāng)，即時(shí)，設(shè)有兩個(gè)根，，則，，故.
①若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
故要使得有唯一解，則或恒成立.
此時(shí)，即，，.
則極大值，
令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
所以，
又恒成立，故，；
同理，極小值，當(dāng)時(shí)無(wú)最小值，此時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)使得恒成立.
②若，則，，不滿足；
③若，由①可得；
故當(dāng)時(shí)，.
綜上所述：
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
6．（2023屆四川省成都市四七九名校高三全真模擬）已知函數(shù)在處的切線與y軸垂直.（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)設(shè)，，當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)在的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方.
【解析】（1）由，求導(dǎo)可得，
則在處切線斜率為，
由在處的切線與軸垂直，則，解得.
（2）要證：函數(shù)在的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方，
只需證：在恒成立，
不等式，由，，則，化簡(jiǎn)為，
令，求導(dǎo)可得，
令，則，令，解得，
，由，則，
所以在單調(diào)遞增，則，
故在恒成立.
7．（2024屆陜西省漢中市高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)．
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；
(2)當(dāng)時(shí)，求在上的最大值．
【解析】（1）由，得，
，
又曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
故，
．
（2）當(dāng)時(shí)，，
由、在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減可得：
在上單調(diào)遞增，
而，
，使得，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，
在上的最大值為．
8．（2024屆西省贛州市第四中學(xué)高三上學(xué)期考試）設(shè)m為實(shí)數(shù)，函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，直線是曲線的切線，求的最小值；
(2)已函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（），若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，
設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，
∴切線方程為，∴，，
∴，
令，則，
由，可得；由，可得，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，即的最小值為；
（2）∵有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（），
∴，，，
∴，∴，
設(shè)，則，
又，
∴，
將代入上式可得：恒成立，
又，則，∴恒成立，
設(shè)，，
則，，
（?。┊?dāng)時(shí)，，
∴，∴在上單調(diào)遞減，恒成立，
∴；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，∵，
∴時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
∴時(shí)，，
綜上可得.
9．（2024屆湖北省武漢市江漢區(qū)高三上學(xué)期考試）已知，函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)求證：存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．
【解析】（1）的定義域是，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，則，顯然成立，
解得：，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．
（2），則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為．
由直線與函數(shù)的圖象相切，則，解得：．
顯然直線過(guò)原點(diǎn)，則，所以．
整理得，即：，得：．
設(shè)，．
當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增．
又，．所以存在，使得．
存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．
10．（2023屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期適應(yīng)性月考）已知函數(shù)在時(shí)取得極小值,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)、的值；
(2)若曲線在點(diǎn)處的切線過(guò)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值.
【解析】（1）解：因?yàn)?該函數(shù)的定義域?yàn)?則,由已知可得,解得.此時(shí),,由可得,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,合乎題意.綜上,,.
（2）解：曲線在點(diǎn)處的切線方程為,將原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得,即,解得.
11.已知（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),）.
(1)對(duì)任意,證明：的圖象在點(diǎn)處的切線始終過(guò)定點(diǎn)；
(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】 (1)因?yàn)?所以,,所以.
所以的圖象在點(diǎn)處的切線為經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
即的圖象在點(diǎn)處的切線始終過(guò)定點(diǎn).
(2)因?yàn)楹愠闪?即為對(duì)恒成立.
記,只需.
.
不妨設(shè).
因?yàn)?所以在上單增,
當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,
故在存在唯一零點(diǎn),
記.
因?yàn)?令,解得：；令,解得：；
所以在上單減,在上單增,所以.
所以.
而,所以,所以.
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,即,所以.
解得：,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
12.已知函數(shù)
(1)若在時(shí)取得極小值,求實(shí)數(shù)k的值；
(2)若過(guò)點(diǎn)可以作出函數(shù)的兩條切線,求證：
【解析】 (1)解：
∴,
∴
當(dāng)時(shí),令,得
∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
所以在時(shí)取得極小值,
∴
(2)證明：設(shè)切點(diǎn)為,
∴切線為,
又切線過(guò)點(diǎn),
∴
∴,(*)
設(shè)
則
∴在單詞遞減,在單調(diào)遞增.
∵過(guò)點(diǎn)可作的兩條切線,
∴方程(*)有兩解
∴,
由,得
∴,即.
13.已知函數(shù),.
(1)若與在處有相同的切線,求實(shí)數(shù)的值；
(2)當(dāng),時(shí),求證：.
【解析】 (1),；
,,解得：.
(2)由題意得：,
令,
與在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,
；
令,則；
令,則,
在上單調(diào)遞增,,即,
在上單調(diào)遞增,,.
綜上所述：.
14.已知函數(shù),其中.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)若過(guò)點(diǎn)P(1,0)且與曲線相切的直線有且僅有兩條,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),．
①當(dāng)時(shí),,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí),,令可得,令可得,
∴f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,+∞)上單調(diào)遞減；
綜上所述,當(dāng)時(shí),f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a0,
則在點(diǎn)Q處的切線方程：,
將P(1,0)的坐標(biāo)代入得：,
整理為：,
令,x>0,
若過(guò)點(diǎn)P(1,0)且與曲線)相切的直線有且僅有兩條,
相當(dāng)于函數(shù)y=g(x)的圖像和函數(shù)y=-a+1的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)．
,
當(dāng)時(shí),,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,g(x)單調(diào)遞增；
∴,易知x→0時(shí),g(x)→+?；x→+?時(shí),g(x)→+?,故g(x)如圖：
由圖可知,,則a

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