【專題復習】高考數(shù)學專題9 指數(shù)型函數(shù)取對數(shù)問題.zip-試卷下載-教習網(wǎng)

函數(shù)與導數(shù)一直是高考中的熱點與難點, 在導數(shù)解答題中有些指數(shù)型函數(shù)，直接求導運算非常復雜或不可解，這時常通過取對數(shù)把指數(shù)型函數(shù)轉化對數(shù)型函數(shù)求解，特別是涉及到形如的函數(shù)取對數(shù)可以起到化繁為簡的作用，此外有時取對數(shù)還可以改變式子結構，便于發(fā)現(xiàn)解題思路，故取對數(shù)的方法在解高考導數(shù)題中有時能大顯身手.
二、解題秘籍
(一) 等式兩邊同時取對數(shù)把乘法運算轉化為對數(shù)運算，再構造函數(shù)
通過兩邊取對數(shù)可把乘方運算轉化為乘法運算，這種運算法則的改變或能簡化運算，或能改變運算式子的結構，從而有利于我們尋找解題思路，因此兩邊取對數(shù)成為處理乘方運算時常用的一種方法.有時對數(shù)運算比指數(shù)運算來得方便，對一個等式兩邊取對數(shù)是解決含有指數(shù)式問題的常用的有效方法.
【例1】（2024屆遼寧省大連市高三上學期期初考試）已知函數(shù).
(1)討論的單調性；
(2)若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，求導得則，由得，
若，當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增，
若，當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減；
所以當時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）由，兩邊取對數(shù)得，即，
由（1）知，當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
，而，時，恒成立，
因此當時，存在且，滿足，
若，則成立；
若，則，記，，
則，
即有函數(shù)在上單調遞增，，即，
于是，
而，，，函數(shù)在上單調遞增，因此，即，
又，則有，則，
所以.
(二) 等式或不等式兩邊同時取對數(shù)把乘積運算運算轉化為加法運算，
形如或的等式或不等式通過兩邊取對數(shù)，可以把乘積運算，轉化為加法運算，使運算降級.
【例2】（2024屆遼寧省名校聯(lián)盟高三上學期聯(lián)考）已知，，函數(shù)和的圖像共有三個不同的交點，且有極大值1．
(1)求a的值以及b的取值范圍；
(2)若曲線與的交點的橫坐標分別記為，，，且．證明：．
【解析】（1）因為，，所以當時，，，
所以在上單調遞增，無極大值；
當時，，，
所以當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以為極大值點，
所以，解得．
因為，圖像共有三個不同的交點，
所以方程有三個不等正實根．
設，則，且當時，t與x一一對應，
所以問題轉化為關于t的方程有三個不等實根．
又0不滿足方程，
所以方程有三個實根．
設，則函數(shù)與函數(shù)的圖像有三個交點，
當或時，，
，所以在，上單調遞增；
當時，，
，所以在上單調遞減．
當，時，，而；
當時，，
無論還是，當時，都有，
當時，．
根據(jù)以上信息，畫出函數(shù)的大致圖像如下圖所示，

所以當時，函數(shù)與函數(shù)的圖像有三個交點，
故b的取值范圍為．
（2）證明：要證，只需證，
只需證．
設（1）中方程的三個根分別為，，，
且，，，2，3，
從而只需證明．
又由（1）的討論知，，．
下面先證明，設，
則．
當時，，在上單調遞增，
當時，，在上單調遞增，
所以，所以當時，，
從而當，時，．
又由（1）知在，上單調遞增，在上單調遞減．
所以當時，，令，解得，
由得；
當時，，令，解得，
由得；
當時，，令，解得，
由得．
綜上，，得證．
(三) 把比較轉化為比較的大小
比較兩個指數(shù)式的大小，有時可以通過取對數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調性比較大小，如比較的大小，可通過取對數(shù)轉化為比較的大小，再轉化為比較的大小，然后可以構造函數(shù)，利用的單調性比較大小.
【例3】一天，小錘同學為了比較與的大小，他首先畫出了的函數(shù)圖像，然后取了離1.1很近的數(shù)字1，計算出了在x=1處的切線方程，利用函數(shù)與切線的圖像關系進行比較.
（1）請利用小錘的思路比較與大小
（2）現(xiàn)提供以下兩種類型的曲線，試利用小錘同學的思路選擇合適的曲線，比較的大小.
【解析】（1）構造函數(shù)，由f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，得，即，取x=1，得
（2）通過取對數(shù)，把比較的大小轉化為比較e與3的大小，即比較與大小
選，令與公切于e
則有，
記，
∴在上單調遞減，在上單調遞增,
，下證：
只需證
只需證
而，即
選，通過取對數(shù)，把比較的大小轉化為比較e與3的大小，即比較與大小，即較與大小
令與y=kx+t切于，則有
令
∴在上單調遞增，在上單調遞減,
，當取等
下證，只需證
，
.
三、典例展示
【例1】（2021全國甲卷高考試題）已知且，函數(shù)．
(1)當時，求的單調區(qū)間；
(2)若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．
【解析】（1）當時，,
令得,當時，,當時，,
∴函數(shù)在上單調遞增；上單調遞減；
（2）,設函數(shù),
則,令，得,
在內,單調遞增；
在上,單調遞減；
,
又，當趨近于時，趨近于0，
所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,
所以的取值范圍是．
【例2】（2023屆新疆高三第三次適應性檢測）已知函數(shù)，．
(1)討論的單調性；
(2)若方程有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明．
【解析】（1）因為，
所以，
當時，，所以在區(qū)間上單調遞增，
當時，令，得；令，得，
所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，
綜上當時，在區(qū)間上單調遞增，當時，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.
（2）方程，即，等價于，
令，其中，則，顯然，
令，則，
所以在區(qū)間上單調遞減，且由時可得在區(qū)間上，
在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，
所以，
因為方程有兩個實根，
所以關于的方程有兩個實根，，且，，所以，
要證，即證，即證，只需證，
因為，所以，整理可得，
不妨設，則只需證，
即，
令，，其中，
因為，所以在區(qū)間上單調遞增，
所以，故．
【例3】已知函數(shù)，，．
(1)求的極值；
(2)若有兩個零點a，b，且，求證：．
【解析】 (1)函數(shù)的定義域為，．
當時，，則在上單調遞增；
當時，，則在上單調遞減，
所以函數(shù)的極大值為，無極小值．
(2)令，則．
設，
則，
易知函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增．
又，所以，
又有兩個零點，所以．
因為，所以．
要證，即證，
即證．
又，則，
故即證，
即證．
設，，
則，
所以在上單調遞減，
所以，
故得證．
【例4】設函數(shù).
(1)設、且，求證：對任意的、，總有成立；
(2)設，，且，求證：.
【解析】（1）證明：
.
不妨設，
令，其中，
則，
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，
因為，則，
所以，，即，
所以，當、且，對任意的、，總有成立.
（2）證明：，，且，
要證.
即證，
即，
當時，由（1）可知，不等式成立，
假設當時不等式成立，
即，
則當時，設，
由（1）可得，
則
，
這說明當時，結論也成立，
故對任意的，，
所以，，
因此，，
故當，，且時，.
【例5】已知函數(shù)
（1）討論g(x)的單調性；
（2）若，對任意恒成立，求a的最大值；
【解析】（1），
當時，，在上單調遞增；
當時，令，解得，令，解得，
在上單調遞減，在上單調遞增；
綜上，當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
（2）即為，即，
設，則，
易知函數(shù)在上單調遞增，
而，所以（兩邊取對數(shù)），即，當時，即為，
設，則，
易知函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
（e），
，即的最大值為．
【例6】已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)設a，b為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．
【解析】 (1)，定義域為，
由，解得，
由，解得，
由，解得，
所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．
(2)∵a，b為兩個不相等的正數(shù)，且，
∴，即，
由（1）可知，且，時，，
則令，
則為的兩根，且，
不妨設，則，
先證，即證，即證，
令，即證在上，，
則，
在上單調遞增，即，
∴在上恒成立，即在上單調遞減，，
∴，即可得；
再證，即證，
由（1）單調性可得證，
令，
，
在上單調遞增，
∴，且當，
所以存在使得，
即當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
又有，
且，
所以恒成立，
∴，
則，即可證得．
四、跟蹤檢測
1.已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)當時，證明：函數(shù)有兩個零點；
(3)若函數(shù)有兩個不同的極值點（其中），證明：．
【解析】 (1)，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以函數(shù)的單調區(qū)間為和；
(2)證明：由（1）知，
因為，所以，
又當時，，，
所以函數(shù)在上存在一個零點，在上存在一個零點，
所以函數(shù)有兩個零點；
(3)證明：，
則，
因為函數(shù)有兩個不同的極值點（其中），
所以，，
要證等價于證，
即證，
所以，
因為，
所以，
又，，
作差得，所以，
所以原不等式等價于要證明，
即，
令，
則上不等式等價于要證：，
令，
則，
所以函數(shù)在上遞增，
所以，
所以，
所以．
2.形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)在求導時，可以利用對數(shù)法：在函數(shù)解析式兩邊取對數(shù)得，兩邊對求導數(shù)，得，于是.已知，.
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）若，求的單調區(qū)間；
（3）求證：恒成立.
【解析】（1）由冪指函數(shù)導數(shù)公式得，
所以，又，
所以，曲線在處的切線方程為.
（2），
則
，
所以的單調增區(qū)間為，無單調減區(qū)間.
（3）構造，，
則，
令，
所以，
因為與同號，所以，所以，
又，所以，
所以即為上增函數(shù)，
又因為，
所以，當時，；
當時，.
所以，為上減函數(shù)，為上增函數(shù)，
所以，，
即，
因此，恒成立，即證.
3.已知函數(shù)．
(1)求的極值點．
(2)若有且僅有兩個不相等的實數(shù)滿足．
（i）求k的取值范圍
（ⅱ）證明．
【解析】 (1)
函數(shù)的導函數(shù)為.
當時，，所以函數(shù)單調遞減；當時，，所以函數(shù)單調遞增.
所以為的極值點.
(2)因為有且僅有兩個不相等的實數(shù)滿足，所以.
（i）問題轉化為在(0,+∞)內有兩個零點,則.
當時, ,單調遞減；當時, ,單調遞增.
若有兩個零點,則必有,解得：.
若k≥0,當時, ,無法保證有兩個零點；
若,又,，,
故存在使得,存在使得.
綜上可知, .
（ⅱ）設則t∈(1,+∞).將代入,可得，（*）.
欲證: ，需證即證，將（*）代入，則有，則只需要證明：，即.
構造，則，.
令，則.所以，則，所以在內單減.
又，所以當時，有，單調遞增；當時，有，單調遞減；
所以，因此，即.
綜上所述，命題得證.
4.已知，.
(1)記，討論的單調區(qū)間；
(2)記，若有兩個零點a，b，且.
請在①②中選擇一個完成.
①求證：；
②求證：
【解析】 (1)函數(shù)的定義域為，，
當時，，在單調遞增；
當時，令，解得，令，解得，
∴在單調遞增，在單調遞減；
綜上，當時，的單調遞增區(qū)間為；
當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為
(2)證明：因為，令，則，
設（），則，
函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，且時，，
當時，，，
∴，
又，則,
若證①所證不等式，即，
即證，
又，則，故即證，
即證，
設，，則，
∴在上單調遞減，
∴，即得證；
若證②所證不等式，即，即證，
即證，
又，即，故即證，
即證，
設，，則，
∴在單調遞減，故，即得證.
5．已知，，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）若，函數(shù)有兩個零點，，求證：.
【解析】（1）解：
∵，∴時，，
∴時，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；
時，，∴時，增區(qū)間為：；
時，，，
∴時，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；
（2）因為時，函數(shù)有兩個零點，，
則兩個零點必為正實數(shù)，
故問題轉化為有兩個正實數(shù)解；
令（）
則（），在單調遞增，在單調遞減，且
令，，則
所以在單調遞增，
又，故，
又，所以，
又，所以，，
又在單調遞增，所以
所以．
6.已知函數(shù)存在極大值.
（1）求實數(shù)的值；
（2）若函數(shù)有兩個零點，，求實數(shù)的取值范圍，并證明：.
【解析】（1），
，令，，
此時，在上，遞增；在上，遞減，所以當時，取得極大值為符合題意，所以.
（2）由（1）知：在上遞增，在上遞減，極大值為.
，，當時，；當時，；當時，.
由于函數(shù)有兩個零點，，
所以.
因為，是的兩個零點，則.
所以，，，兩邊取對數(shù)得，
要證，只需證明，
即證，不妨設，令，則，
即證對恒成立.
令，，
所以在上遞增，所以，即，
所以.從而成立.
7.已知函數(shù).
（1）若是曲線的切線，求a的值；
（2）若有兩不同的零點，求b的取值范圍；
（3）若，且恒成立，求a的取值范圍.
【解析】(1)依題意，設切點為，則，
，于是得，則有且，
時，，無解，
所以；
(2)由得，令，
則有時時，在上遞增，在上遞減，
，又時，恒成立，
于是得有兩個不同的零點，等價于直線與函數(shù)圖象有兩個不同的公共點，
即，，所以有兩不同的零點，b的取值范圍是；
(3)，
，
令，，
令，，即在上遞增，
而，即，使得，
時，時，，
在上遞減，在上遞增，從而有，
而，即，令，兩邊取對數(shù)得，則，
即有，顯然函數(shù)在上單調遞增，從而得，
于是得，
，
所以，.
8．已知函數(shù)，．
（1）當時，
①求的極值；
②若對任意的都有，，求的最大值；
（2）若函數(shù)有且只有兩個不同的零點，，求證：．
【解析】（1）①時，，則，
令，解得：，令，解得：，
∴在遞減，在,遞增，故的極小值是，沒有極大值；
②對任意都有，即恒成立，
由，有，故，
由①知，在,單調遞增，故，可得，即，
當時，的最小值是，故的最大值是；
（2）證明：要證，只需證明即可，
由題意，、是方程的兩個不相等的實數(shù)根，又，
∴，消去，整理得：，
不妨設，令，則，故只需證明當時，，即證明，
設，則，
∴在單調遞增，從而，
故，即得證．
9.已知函數(shù)，，．
(1)討論的單調性；
(2)設有兩個極值點，，證明：．（…為自然對數(shù)的底數(shù)）
【解析】 (1)，，
①當時，，在單調遞增；
②當時，令解得，時，，單調遞增；
時，，單調遞減．
綜上，當時，在單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
(2)由題意知，，，是的兩根，
即，，解得，
要證，即證，即，
把（*）式代入得，
所以應證，
令，，即證成立，
而，
所以在上單調遞增，
所以，
所以命題得證．
10.已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點．
(1)若，求在處的切線方程；
(2)若的兩個零點分別為，證明：．
【解析】(1)當時，，，
又，所以切點坐標為，切線的斜率為．
所以切線方程為，即
(2)由已知得有兩個不等的正實跟．
所以方程有兩個不等的正實根，即有兩個不等的正實根，①
要證，只需證，即證，
令，，所以只需證，
由①得，，
所以，，消去a得，只需證，
設，令，則，
則，即證
構建則，
所以在上單調遞增，則，
即當時，成立，
所以，即，即，
所以，證畢．
11．已知函數(shù).
(1)若有兩個零點，的取值范圍；
(2)若方程有兩個實根、，且，證明：.
【解析】 (1)函數(shù)的定義域為.
當時，函數(shù)無零點，不合乎題意，所以，，
由可得，
構造函數(shù)，其中，所以，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，
，由可得，列表如下：
所以，函數(shù)的極大值為，如下圖所示：
且當時，，
由圖可知，當時，即當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，
故實數(shù)的取值范圍是.
(2)證明：因為，則，
令，其中，則有，
，所以，函數(shù)在上單調遞增，
因為方程有兩個實根、，令，，
則關于的方程也有兩個實根、，且，
要證，即證，即證，即證，
由已知，所以，，整理可得，
不妨設，即證，即證，
令，即證，其中，
構造函數(shù)，其中，
，所以，函數(shù)在上單調遞增，
當時，，故原不等式成立.
12.已知函數(shù)
（1）若是的極值點，求的值，并討論的單調性；
（2）當時，證明：
【解析】（1）函數(shù)的定義域，
因為，是的極值點，
所以（1），所以，
所以，
因為和在上單調遞增，所以在上單調遞增，
所以當時，；時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）當時，，
設，則，
因為和在上單調遞增，所以在上單調遞增，
因為，
所以存在使得，
所以當時，，當時，，
所以在單調遞減，在上單調遞增，所以，
因為，即，兩邊取對數(shù)得，
所以，
因為，所以，所以.增
極大值
減

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