【專題復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題13 導(dǎo)數(shù)的運算法則在抽象函數(shù)中的應(yīng)用.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

導(dǎo)數(shù)與不等式都是高考中的重點與難點,與抽象函數(shù)有關(guān)的導(dǎo)數(shù)問題更是一個難點,求解此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則構(gòu)造合適的函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)的運算法則確定所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì),最后再利用函數(shù)性質(zhì)求解.
二、解題秘籍
(一) 抽象函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用
若可導(dǎo)函數(shù)是偶（奇）函數(shù)，則是奇（偶）函數(shù).
【例1】已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，是偶函數(shù)，記，也是偶函數(shù)，求的值.
【解析】因為是偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)，即，
所以，所以，令可得，即，
因為為偶函數(shù)，所以，即，
所以，即，得，
所以4是函數(shù)的一個周期，所以．
(二)和差型抽象函數(shù)的應(yīng)用
解答此類問題時一般要根據(jù)題意構(gòu)造輔助函數(shù)求解,構(gòu)造時要結(jié)合所求的結(jié)論進行分析、選擇,然后根據(jù)所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性求解．如給出式子,可構(gòu)造函數(shù)，給出式子,可構(gòu)造函數(shù) ，一般地，若給出通常構(gòu)造函數(shù).
【例2】已知的導(dǎo)函數(shù)滿足且，求不等式的解集．
【解析】令，則，∴在上為單調(diào)遞增．
又∵，∴，則可轉(zhuǎn)化為，
根據(jù)單調(diào)性可知不等式的解集為．
(三)積型抽象函數(shù)的應(yīng)用
若給出形如的式子通常構(gòu)造函數(shù) ，如給出可構(gòu)造函數(shù)，如給出，可構(gòu)造函數(shù)，如給出，可構(gòu)造函數(shù).
【例3】設(shè)是定義在上的非負可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，當時，證明:.
【解析】是定義在上的非負可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，
故不為常數(shù)函數(shù)，且，構(gòu)造函數(shù)，
則，在上單調(diào)遞減，
又，且，故，則①，
又，所以②，
①②兩式相乘得，即.
【例4】設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，求不等式（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集
【解析】設(shè)，則,
∵，∴,
而,故,
∴在R上單調(diào)遞增，
又，故，
∴的解集為，
即不等式的解集為.
【例5】定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是，且恒有成立，比較
與的大小.
【解析】因為，所以，．
由，得．
即．
令，，則．
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
則，即，所以，即．
(四)商型抽象函數(shù)的應(yīng)用
若給出形如的式子通常構(gòu)造函數(shù) ，如給出可構(gòu)造函數(shù)，給出，可構(gòu)造函數(shù)，給出，可構(gòu)造函數(shù).
【例6】已知函數(shù)在恒有，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若，為銳角三角形兩個內(nèi)角，比較的大小.
【解析】設(shè)，則
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
，為銳角三角形兩個內(nèi)角,則
所以，由正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增.
則
所以，即
所以.
(五)根據(jù)構(gòu)造函數(shù)
若給出形如的式子通常構(gòu)造偶函數(shù)或奇函數(shù).
【例7】設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù),,有,在上有,若,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】因為,所以
令
即函數(shù)為偶函數(shù),因為上有,
所以
即函數(shù)在單調(diào)遞增；
又因為
所以

即,所以,解得 ,故選B.
(六)信息遷移題中的抽象函數(shù)
求解此類問題關(guān)鍵是如何利用題中的信息.
【例8】已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意恒成立，則稱函數(shù)為“線性控制函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)和是否為“線性控制函數(shù)”，并說明理由；
(2)若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且在上嚴格增，設(shè)為函數(shù)圖像上互異的兩點，設(shè)直線的斜率為，判斷命題“”的真假，并說明理由；
(3)若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且是以為周期的周期函數(shù)，證明：對任意都有.
【解析】（1），故是“線性控制函數(shù)”；
，故不是“線性控制函數(shù)”.
（2）命題為真，理由如下：
設(shè)，其中
由于在上嚴格增，故，因此
由于為“線性控制函數(shù)”，故，即
令，故，因此在上為減函數(shù)
，
綜上所述，，即命題“”為真命題.
（3）根據(jù)（2）中證明知，對任意都有
由于為“線性控制函數(shù)”，故，即
令，故，因此在上為增函數(shù)
因此對任意都有，即
當時，則恒成立
當時，
若，則，故
若時，則存在使得
故1，因此
綜上所述，對任意都有.
（事實上，對任意都有，此處不再贅述）
【例9】定義：若曲線C1和曲線C2有公共點P，且在P處的切線相同，則稱C1與C2在點P處相切．
(1)設(shè)．若曲線與曲線在點P處相切，求m的值；
(2)設(shè)，若圓M：與曲線在點Q（Q在第一象限）處相切，求b的最小值；
(3)若函數(shù)是定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為，且滿足和都恒成立.是否存在點P，使得曲線和曲線y=1在點P處相切？證明你的結(jié)論．
【解析】（1）設(shè)點，由，求導(dǎo)得，
于是，解得，由，得，解得，
所以m的值為9.
（2）設(shè)切點，由求導(dǎo)得，則切線的斜率為，
又圓M：的圓心，直線的斜率為，
則由，得，令，求導(dǎo)得，
當時，，當時，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，
因此當時，，
所以當時，.
（3）假設(shè)存在滿足題意，
則有，對函數(shù)求導(dǎo)得：，
于是，即，
平方得，
即有，因此，
整理得，而恒有成立，則有，
從而，顯然，于是，即與恒成立矛盾，
所以假設(shè)不成立，即不存在點滿足條件.
三、典例展示
【例1】已知函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)為，若恒成立，求證：.
【解析】設(shè)函數(shù)，因為，，
所以，則，
所以在上單調(diào)遞減，
從而,即，所以.
【例2】已知函數(shù)滿足，且，判斷函數(shù)零點的個數(shù).
【解析】，∴，，∵代入，得，∴.
或，
；，
如圖所示，
函數(shù)與函數(shù)的圖像交點個數(shù)為2個，所以的解得個數(shù)為2個；綜上，零點個數(shù)為3個.
【例3】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，求不等式的解集
【解析】令，則，
在上遞增，
，
，
由，化為，
即，
，
即不等式的解集為.
【例4】已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,且滿足,當時 ,求不等式的解集.
【解析】設(shè),則,所以
=,所以是偶函數(shù),設(shè),則,所以,即,所以時 , 所以時,在上是增函數(shù),所以
,故選C.
【例5】已知定義域為的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿足對任意的都有.
(1)若，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若存在，對任意，成立，試判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由；
(3)若存在a、，使得，證明：對任意的實數(shù)、，都有.
【解析】（1）若，則，
由題意，對任意的都有，
則，即，
所以，
由于的最小值為，的最大值為，
所以，即實數(shù)a的取值范圍為；
（2）依題意，，
所以，在上為減函數(shù)，所以至多一個零點；
，，
當時，，
當時，，
所以存在零點，綜上存在1個零點；
（3）因為，由導(dǎo)數(shù)的定義得，
即，
不妨設(shè)
若，則
若，
則
.
【例6】若定義域為D的函數(shù)使得是定義域為D的嚴格增函數(shù)，則稱是一個“T函數(shù)”．
(1)分別判斷，是否為T函數(shù)，并說明理由；
(2)已知常數(shù)，若定義在上的函數(shù)是T函數(shù)，證明：；
(3)已知T函數(shù)的定義域為，不等式的解集為．證明：在上嚴格增．
【解析】（1），定義域為，則是在上嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，則是“T函數(shù)”；
，定義域為，則不是在上嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，則不是“T函數(shù)”；
（2）定義在上的函數(shù)是T函數(shù)，則在上嚴格單調(diào)遞增，
設(shè)，則，
故在上單調(diào)遞增，故，
即，
（3）T函數(shù)的定義域為，故在上嚴格單調(diào)遞增，
，設(shè)，則，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故，
即，
當時，恒成立，則恒成立，
故，
若存在，使，則當時，，
這與，矛盾，故不存在使，故恒成立，
故在上嚴格增.
四、跟蹤檢測
1. 函數(shù)滿足（為自然數(shù)的底數(shù)），且當時，都有（為的導(dǎo)數(shù)），比較的大小 .
2.設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且．求證： .
3. 定義在上的函數(shù)有不等式恒成立，其中為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求證：.
4．已知為定義域上函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，且，求不等式的解集
5.定義在區(qū)間上函數(shù)使不等式恒成立，（為的導(dǎo)數(shù)），求的取值范圍.
6.設(shè)是定義在上的奇函數(shù).若是嚴格減函數(shù)，則稱為“函數(shù)”.
(1)分別判斷和是否為函數(shù)，并說明理由；
(2)若是函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍；
(3)已知奇函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為.判斷“在上嚴格減”是“為函數(shù)”的什么條件，并說明理由.
7.設(shè)是定義在上且滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：
①方程有實數(shù)解；
②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足．
（1）試判斷函數(shù)是否集合的元素，并說明理由；
（2）若集合中的元素具有下面的性質(zhì)：對于任意的區(qū)間，都存在，使得等式成立，證明：方程有唯一實數(shù)解．
（3）設(shè)是方程的實數(shù)解，求證：對于函數(shù)任意的，當，時，有．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多