【專題復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題4 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn),函數(shù)的最值是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),有些復(fù)雜的函數(shù)的最值,只能借助導(dǎo)數(shù)來求,高考?？碱}型一是給出確定函數(shù)或含有參數(shù)的函數(shù)求最值,二是求解不等式恒成立問題,常常利用函數(shù)的最值來求解,此類問題一般難度較大,多以壓軸題形式出現(xiàn).
二、解題秘籍
(一) 求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
一般地,如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值與最小值．
求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟
(1)求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；
(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b)；
(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值．
【例1】（2023屆河南省洛陽市創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高三摸底）已知函數(shù)．
(1)求的圖像在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求在上的值域．
【解析】 (1)因?yàn)?，所以，所以，?br>故所求切線方程為，即．
(2)由（1）知，．
令，得；令，得．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以．
又，，
所以，即在上的值域?yàn)椋?br>(二) 求函數(shù)在非閉區(qū)間上的最值
求函數(shù)在非閉區(qū)間上的最值,一般通過函數(shù)的研究函數(shù)的單調(diào)性與極值來確定,若函數(shù)在某一區(qū)間上有唯一極值點(diǎn),則該點(diǎn)處的極值一定是函數(shù)的最值.
【例2】（2024屆云南師范大學(xué)附中高三適應(yīng)性月考）已知，.
(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；
(2)若在上恒成立，求a的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以的最小值為
（2）在上恒成立等價(jià)于：恒成立，
即，在恒成立，
令，由（1）知：上面不等式等價(jià)于：
，在上恒成立，
所以，在上恒成立，
令
所以.
又令，且，
而，即在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增；
所以在上的最小值為，
所以
(三) 含單參數(shù)的函數(shù)的最值問題
含單參數(shù)的函數(shù)的最值一般不通過比值求解,而是先討論函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性求出最值．含參函數(shù)在區(qū)間上的最值通常有兩類：一是動(dòng)極值點(diǎn)定區(qū)間,二是定極值點(diǎn)動(dòng)區(qū)間,這兩類問題一般根據(jù)區(qū)間與極值點(diǎn)的位置關(guān)系來分類討論．
【例3】已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)求在上的最大值．
【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，則.
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，由，可得，由，可得.
此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，.
綜上所述，.
(四) 把不等式恒成立或有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題
有些不等式恒成立或有解問題,常通過分類參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,常用結(jié)論是：若的值域?yàn)?則恒成立,有解.
【例4】（2024屆浙江省名校新高考研究聯(lián)盟（Z20名校聯(lián)盟）高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：當(dāng)時(shí)，
【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，
由，可得，由，可得，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，
由，可得，由，可得，
所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
所以，下證：，即證：．
記，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
所以，，所以恒成立，即．
(五) 含雙參數(shù)的函數(shù)的最值問題
含雙參數(shù)的函數(shù)的最值一般與恒成立問題有關(guān)，通常是先通過函數(shù)的最值把問題兩個(gè)參數(shù)的等式或不等式，再把其中一個(gè)參數(shù)看作自變量，構(gòu)造函數(shù)求解．
【例5】（2023屆河南省安陽市高三上學(xué)期名校調(diào)研）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，若，求b的最小值．
【解析】 (1)當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)時(shí)，由（1）若，則有解即可，即有解，即有解，設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故，故當(dāng).故b的最小值為
(六) 根據(jù)恒成立,求整數(shù)a的最大值
根據(jù)恒成立,求整數(shù)a的最大值,通常情況是有最小值,但無法求出,這種情況下一般設(shè)出函數(shù)的極值點(diǎn),把最小值轉(zhuǎn)化為關(guān)于極值點(diǎn)的式子,根據(jù)極值所在范圍,確定最小值的大致范圍,由此確定整數(shù)a的最大值.
【例6】（2023屆江西省臨川第一中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，
(2)若，當(dāng)時(shí)，恒成立時(shí)，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）
【解析】（1）由可得.
當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，恒成立即，
設(shè)，則，
令，則，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故，
綜上有，故，故為增函數(shù)，
又，
因?yàn)?，故?br>所以，
故存在唯一零點(diǎn)使得，
故當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，
又，
即，
所以
設(shè)，則，故為增函數(shù)，
又，所以，
所以，故要且為正整數(shù)則的最大值為3.
三、典例展示
【例1】（2024屆陜西省西安中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若時(shí)函數(shù)有最大值，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?br>由可得，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，
即，
因此有，得，
設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以，得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【例2】（2024屆寧夏吳忠市高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)在處的切線與直線：垂直．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求整數(shù)的最大值．
【解析】（1）由，得，又切線與直線：垂直，所以，即．
所以，令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，
即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立．
設(shè)，即．
，令，
所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增．
又，，所以存在，使得，
即，所以．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
所以
，
當(dāng)時(shí)，，
所以，由題意知且
所以，即整數(shù)的最大值為1．
【例3】（2024屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期診斷測試）已知函數(shù).
(1)求的最大值;
(2)證明：
【解析】（1），定義域?yàn)椋?br>則，
令，
因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即當(dāng)時(shí)，，
令，可得，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
（2）要證，即證，
令
令得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即，
即欲證，只需證也就是證明
設(shè)，則，令，得
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，取到最小值
故式成立，從而成立.
【例4】（2023屆北京名校高三二輪復(fù)習(xí)檢測）已知函數(shù)，其中．
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
（2）依題意，，而，則，
①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，；
②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，；
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，當(dāng)時(shí)，遞減，
當(dāng)時(shí)，遞增，，
由，得，，
由，得，，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值是，最大值是；
當(dāng)時(shí)，的最小值是，最大值是；
當(dāng)時(shí)，的最小值是，最大值是；
當(dāng)時(shí)，的最小值是，最大值是．
四、跟蹤檢測
1．（2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三上學(xué)期階段檢測）已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的最值；
(2)若，函數(shù)在上是增函數(shù)，求a的最大整數(shù)值．
2．（2023屆江蘇省南通市如皋市2高三上學(xué)期模擬）設(shè)，函數(shù)，函數(shù)
(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和最值；
(2)若當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，都有成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
3．（2024屆四川省成都市高三上學(xué)期開學(xué)考試）已知函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
(3)若存在實(shí)數(shù)、，使得恒成立，求的最小值．
4．（2024屆百師聯(lián)盟高三上學(xué)期開學(xué)摸底聯(lián)考）已知函數(shù)，且.
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若關(guān)于的不等式恒成立，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
5．（2024屆寧夏銀川一中高三上學(xué)期月考）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，證明：；
(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.
6．（2024屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù).
(1)證明：有唯一的極值點(diǎn)；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
7（2023屆黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期月考）設(shè)函數(shù)
(1)若，，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若，不等式對(duì)任意恒成立，求整數(shù)k的最大值．
8．（2023屆河南省南陽市高三上學(xué)期期中）已知.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)是的導(dǎo)數(shù).當(dāng)時(shí)，記函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最大值為.求證：.
9．（2023屆福建省三明市高三上學(xué)期期末）已知函數(shù)，.
(1)求證：在上單調(diào)遞增；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.
10．（2023屆河南省開封市模擬）設(shè)函數(shù)，．
(1)若函數(shù)在上存在最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：．
11．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(2)若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
12.已知（）
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí),若在上恒成立,證明：的最小值為.

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