函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn), 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式在近幾年高考中出現(xiàn)的頻率比較高．求解此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是要找出與待證不等式緊密聯(lián)系的函數(shù),然后以導(dǎo)數(shù)為工具來(lái)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值(值域),從而達(dá)到證明不等式的目的．
二、解題秘籍
(一) 把證明轉(zhuǎn)化為證明
此類(lèi)問(wèn)題一般是有最小值且比較容易求,或者有最小值,但無(wú)法具體確定,這種情況下一般是先把的最小值轉(zhuǎn)化為關(guān)于極值點(diǎn)的一個(gè)函數(shù),再根據(jù)極值點(diǎn)所在范圍,確定最小值所在范圍
【例1】（2024屆重慶市南開(kāi)中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù).
(1)求證：當(dāng)時(shí)，；
(2)求證：.
【解析】（1）證明：因?yàn)椋瑒t，，
當(dāng)時(shí)，，，，函數(shù)單調(diào)遞減，
則成立；
當(dāng)時(shí)，令，則，
因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為減函數(shù)，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以存在，使得，
且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
而，所以，
又因?yàn)?，所以存在，使得?br>當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以，?br>所以，對(duì)任意的時(shí)，成立，
綜上，對(duì)任意的恒成立.
（2）證明：由（1），對(duì)任意的，，則，
即，
對(duì)任意的，，
所以，，則，
所以，
從而可得，
上述兩個(gè)不等式相加可得
，
所以，，
又由（1），因?yàn)椋?br>則，
可得，
當(dāng)且時(shí)，，
所以，，即，
所以，當(dāng)時(shí)，，
從而有，
上述兩個(gè)不等式相加得：
，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以，對(duì)任意的，，
因此，.
(二) 把證明 轉(zhuǎn)化為證明
此類(lèi)問(wèn)題是證明不等式中最基本的一類(lèi)問(wèn)題,把兩個(gè)函數(shù)通過(guò)作差轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的性質(zhì),通過(guò)函數(shù)性質(zhì)證明該不等式.
【例2】（2024屆廣東省河源市高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考）已知函數(shù)，，其中.
(1)求過(guò)點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線方程；
(2)①求證：當(dāng)時(shí)，；
②若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：.
【解析】（1），
設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則切線方程為，
因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，
所以切線方程為.
（2）①令，，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
即當(dāng)時(shí)，；
②，
若，，則在上單調(diào)遞增，最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
若，，
令，因?yàn)?，，且?br>當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋?br>所以恰有一解，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以為函數(shù)的唯一的極大值點(diǎn)，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于，
即，
不妨設(shè)，當(dāng)，，所以，
由（1）得，直線與函數(shù)切于原點(diǎn)得：當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，結(jié)合①中有
，
令，即當(dāng)時(shí)，，
所以一定存在兩個(gè)不同的根，設(shè)為，，
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，位于單調(diào)遞減區(qū)間，
所以，同理，
所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋?br>所以，
所以.
(三) 把證明 轉(zhuǎn)化為證明
有時(shí)候把證明 轉(zhuǎn)化為證明后,可能會(huì)出現(xiàn)的導(dǎo)函數(shù)很復(fù)雜,很難根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究的最值,而的最小值及的最大值都比較容易求,可考慮利用證明的方法證明原不等式,但要注意這種方法有局限性,因?yàn)槲幢赜?
【例3】（2024屆廣東省部分學(xué)校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：.
【解析】（1）由題意可得.
則時(shí)，由，得，由，得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所?
要證，即證，即證.
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
故.
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
故.
因?yàn)?，且兩個(gè)最值的取等條件不同，
所以，
即當(dāng)時(shí)，.
(四) 把證明轉(zhuǎn)化為證明
若直接證明比較困難,有時(shí)可利用導(dǎo)數(shù)中的常見(jiàn)不等式如構(gòu)造一個(gè)中間函數(shù),或利用不等式的性質(zhì)通過(guò)放縮構(gòu)造一個(gè)中間函數(shù),再通過(guò)證明來(lái)證明原不等式.
【例4】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)．
(1)求的最大值；
(2)證明：當(dāng)時(shí),．
【解析】 (1)由已知得,,
要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),可知在區(qū)間上單調(diào)遞增,
令,得,即,
解得,（）,
當(dāng)時(shí)滿足題意,此時(shí),在區(qū)間上是單調(diào)遞增的,故的最在值為.
(2)當(dāng)時(shí),要證明,即證明,
而,故需要證明.
先證：,（）
記,
,
時(shí),,所以在上遞增,
,
故,即.
再證：,（）
令,
則則,
故對(duì)于,都有,因而在,上遞減,
對(duì)于,都有,
因此對(duì)于,都有.
所以成立,即成立,
故原不等式成立.
(五) 改變不等式結(jié)構(gòu),重新構(gòu)造函數(shù)證明不等式
此類(lèi)問(wèn)題要先對(duì)待證不等式進(jìn)行重組整合,適當(dāng)變形,找到其等價(jià)的不等式,觀察其結(jié)構(gòu),根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù).常見(jiàn)的變形方法有：
= 1 \* GB3 ①去分母,把分?jǐn)?shù)不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式；
= 2 \* GB3 ②兩邊取對(duì)數(shù),把指數(shù)型不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)型不等式；
= 3 \* GB3 ③不等式為類(lèi)型,且的解集比較容易確定,可考慮兩邊同時(shí)除以；
= 4 \* GB3 ④不等式中含有,有時(shí)為了一次求導(dǎo)后不再含有對(duì)數(shù)符號(hào),可考慮不等式兩邊同時(shí)除以；
= 5 \* GB3 ⑤通過(guò)換元把復(fù)雜的不等式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單不等式.
【例5】（2024屆江西省穩(wěn)派上進(jìn)教育高三上學(xué)期8月考試）已知函數(shù)，，，分別為，的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的，存在，使．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)證明：，有．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故．
因?yàn)椋?br>所以．
令，則，
又，所以，
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以．
又對(duì)任意的，存在，使，
所以，
即，解得，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
（2）令，，則．
令，解得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．
令，則．
令，解得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），
故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．
又，所以．
因?yàn)?，所以?br>故，即．
(六) 通過(guò)減元法構(gòu)造函數(shù)證明不等式
對(duì)于多變量不等式 ,一般處理策略為消元或是把一個(gè)看作變量其他看作常量；當(dāng)都不能處理的時(shí)候,通過(guò)變形,再換元產(chǎn)生一個(gè)新變量,從而構(gòu)造新變量的函數(shù).
【例6】（2024屆江西省宜春市宜豐中學(xué)高三上學(xué)期考試）已知函數(shù).注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，極值點(diǎn)為，證明：
（i）；
（ii）.
【解析】（1）由，
得，
令得，令得.
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
（2）（i），
設(shè)，
存在唯一且，使得.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞減，在上遞增，是極小值點(diǎn).
若，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以，
所以，此時(shí)不存在兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足要求，
故要使函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，則.
于是.
（ii）①，②，
①-②得，整理得③.
下證：.不妨設(shè)，令，則.
可化為，即.
令，于是在上單調(diào)遞增，
又，所以，從而，
得.
于是③式可化為，得.
得證.
(七) 與數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式的證明
此類(lèi)問(wèn)題一般先由已知條件及導(dǎo)數(shù)得出一個(gè)不等式,再把該不等式中的自變量依次用1,2,3,,n代換,然后用疊加法證明.
【例7】（2024屆黑龍江省哈爾濱高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，其中．
(1)討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)求證：．
【解析】（1）
①當(dāng)時(shí)，即在單調(diào)遞減，
又，只有一個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)時(shí)，令則，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，
令，則，
故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
故，
又，，
故當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，
綜上可知：故當(dāng)或時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，
（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，，故，
取，則，即，
相加可得，
，
三、典例展示
【例1】（2023屆福建省三明市高三三模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，證明：.
【解析】（1）定義域?yàn)椋驗(yàn)椋?br>所以.
令，則，
所以，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，令，則，
所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，令，則，
所以當(dāng)時(shí)，，
即在和上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞增.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增
（2）要證明：，只要證明：，
只要證明：
只要證明：.
只要證明：，
只要證明：，
只要證明：.
由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.
即要證明，即要證明.
即證明.因?yàn)?，所以，所以原不等式成?
解法二：
要證明：，只要證明：.
只要證明：
只要證明：
只要證明：.
令，
所以
所以.
因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增.
所以，即原不等式成立
【例2】（2024屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期8月診斷測(cè)試）已知函數(shù).
(1)求的最大值;
(2)證明：
【解析】（1），定義域?yàn)椋?br>則，
令，
因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即當(dāng)時(shí)，，
令，可得，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
（2）要證，即證，
令
令得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即，
即欲證，只需證也就是證明
設(shè)，則，令，得
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，取到最小值
故式成立，從而成立.
【例3】（2024屆湖北省高中名校聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)合測(cè)評(píng)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)a，b滿足，求證：；
(3)若，求證：.
【解析】（1）函數(shù)的定義域是.
由，得在上單調(diào)遞減；
由，得在上單調(diào)遞增，
綜上知，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
（2）由（1）得在的值域?yàn)椋?br>在上的值域?yàn)?注意到，.
不妨設(shè)，則欲證，即證.
由于由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞增，
故只需證，
由已知，即證，也即，
方法一：令，.
，
由，在單調(diào)遞增，
得單調(diào)遞增，
且.
由于，故滿足.
由單調(diào)遞增知：
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?br>設(shè)，，則，單調(diào)遞減，
故，即，
取，得，即
綜上，得，即，得證.
方法二：（重新同構(gòu)）
令，即，證：，
由于，從而.
故要證成立，只需在單調(diào)遞增成立即可.
，
令，，則，
在單調(diào)遞減，，，
故在單調(diào)遞增成立，原命題成立.
方法三：（比值代換）由對(duì)稱性，不妨設(shè)，，
則
由于，欲證，
即證：，即證，
可變?yōu)?，由證法二可知成立，從而得證；
方法四：（切、割線放縮）1、由于故，即；
2、由方法二知，，
故，即，故，；
由1、2知，故成立，原命題成立.
（3）由（2）知，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
故.
②當(dāng)時(shí)，
由，取，
得（）時(shí)，
有，即.
由在上單調(diào)遞增，故，
綜上，得時(shí)，當(dāng)成立.
【例4】（2023屆貴州省貴陽(yáng)市2023屆高三3 3 3高考備考診斷性聯(lián)考）實(shí)數(shù)，，.
(1)討論的單調(diào)性并寫(xiě)出過(guò)程；
(2)求證：.
【解析】（1）若，令，的定義域?yàn)?
.
此時(shí)
①當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在上是增函數(shù)；
時(shí)，，在上是減函數(shù)；
時(shí)，，在上是增函數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在上是增函數(shù)，
時(shí)，，在上是減函數(shù)，
時(shí)，，是增函數(shù).
若時(shí)，，
時(shí)，，在上是減函數(shù)；
時(shí)，，在上是增函數(shù)；
若，則的定義域?yàn)椋?br>此時(shí)且，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)
（2）由（1）得時(shí)，，在上是減函數(shù)，
即當(dāng)時(shí)，，即，
即.
令，，
求和即得.
【例5】（2024屆黑龍江省鶴崗市高三上下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，．（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值；
(2)已知，，且滿足，求證：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>則，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故的極大值為；
（2）由題意知，，由可得，
所以，令，
由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，
令，，又，，所以，，則，
①若，則，即，所以；
②若，設(shè)，且滿足，如圖所示，

則，所以，下證：．
令，，
則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，即，
又因?yàn)?，所以，，?br>所以，即，
又因?yàn)?，所以，即?br>由①②可知，得證.
四、跟蹤檢測(cè)
1. （2024屆云南省昆明市第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考）已知函數(shù)，．
(1)若，求a；
(2)若，的極大值大于b，證明：．
2．（2024屆全國(guó)名校大聯(lián)考高三上學(xué)期第一聯(lián)考）已知函數(shù)（）．
(1)若在上恒成立，求a的取值范圍：
(2)設(shè)，，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．
3．（2024屆山東省青島市高三上學(xué)期期初調(diào)研檢測(cè)）已知，函數(shù).
(1)若，求在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求證：；
(3)若為的極值點(diǎn)，點(diǎn)在圓上.求.
4．（2024屆湖南省株洲市第二中學(xué)教育集團(tuán)2高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考）已知函數(shù)，
(1)證明：當(dāng)時(shí)，恒成立；
(2)若關(guān)于的方程在內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
5．（2024屆遼寧省十校聯(lián)合體高三上學(xué)期八月調(diào)研考試）設(shè)方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根.
(1)求的取值范圍；
(2)請(qǐng)?jiān)谝韵聝蓚€(gè)問(wèn)題中任選一個(gè)進(jìn)行作答，注意選的序號(hào)不同，該題得分不同.若選①則該小問(wèn)滿分4分，若選②則該小問(wèn)滿分9分.
①證明：；
②證明：.
6．（2024屆安徽省江淮十校高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù)，.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，證明：.
7．（2024屆內(nèi)蒙古包頭市高三上學(xué)期調(diào)研考試）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn).
(1)求；
(2)設(shè)函數(shù)，證明：.
8．（2024屆北京市景山學(xué)校高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程是.
(1)求、的值；
(2)求證：；
(3)若函數(shù)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍.
9．（2024屆山西省大同市高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，證明：．
10．（2024屆黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)測(cè)試）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)求證：，.

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