有一些常見的函數，如等，在導數解答題常常出現其身影，在導數解答題中或利用其性質進行求解，或以其為模型進行改編命題，無論以哪一種方式命題，掌握這些函數的性質，并有目的的使用這些函數性質解題，能迅速找到解題思想，并使問題得以解決.
二、解題秘籍
(一)常見對數型函數模型
1.函數在上是增函數，在是減函數，在處取得最大值0，
2.的圖象與直線在相切，以直線為切線的函數有：，，，，.
3.與對數型函數有關的常見不等式有：，，.
4.利用可得到，再借助疊加法可得到一些復雜的數列不等式.
【例1】（2024屆四川省江油中學高三上學期9月月考）已知函數.
(1)當時，求函數在區(qū)間上的最大值；
(2)若為函數的極值點，求證：
【解析】（1）定義域為，則，
當時，，，
所以單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；
若，即時，在上單調遞減，故；
若，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，
故；
若，即時，則在上單調遞增，故.
所以，；
（2）（），
則，
因為是函數的極值點，所以，即，
要證，
只需證，即證：，
令，則，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；
所以，即：，
所以，所以，
①當時，因為，，所以.
②當時，因為，所以，
所以，要證，
只需證，
即證對任意的恒成立，
令（），則，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
所以，
即當時，成立.
綜上：原不等式成立.
(二)常見指數型函數模型
1.函數在上是減函數，在上是增函數，在處取得最小值0，
2.與對數型函數有關的常見不等式有：，，.
【例2】（2024屆黑龍江省哈爾濱市高三上學期9月月考）已知函數．
(1)若函數的圖象與直線相切，求實數的值；
(2)若函數有且只有一個零點，求實數的取值范圍．
【解析】（1）設直線與函數的圖象相切于點，
因為,
所以，由②③可得④，易知.
由①得，代入④可得，
即，即，解得.
故.
（2）令，可得，
由題意可得只有一個根.
易知不是方程的根，所以，
所以由，可得.
設，則與的圖象只有一個交點.
，
當時，，函數單調遞增；
當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增.
設，則，
當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增.
所以.
所以.
又，時，，時，，
畫出函數的圖象如圖所示：

由圖可知，若與的圖象只有一個交點，
則.
所以實數的取值范圍是.
(三) 常見三角函數模型
1.函數在上是減函數，函數在上是增函數 ，
2.與三角函數有關的常見不等式有：，，.
【例3】（2023屆四川省成都市高三上學期摸底）已知函數．
(1)記函數的導函數是．證明：當時，；
(2)設函數，，其中．若0為函數存在非負的極小值，求a的取值范圍．
【解析】 (1)．令，則．
∵，∴恒成立，即在R上為增函數．
∵，∴．∴．
(2)．
由（1）知在R上為增函數．
∴當時，有，即；
當時，有，即．
當時，由，解得，，且在R上單調遞減．
①當時，．
∵當時，有；當時，有；當時，有，
∴函數在上為減函數，在上為增函數，在上為減函數．
∴滿足0為函數的極小值點；
②當時，．
∴時，有恒成立，故在R上為減函數．
∴函數不存在極小值點，不符合題意；
③當時，．
∵當時，有；當時，有；當時，有，
∴函數在上為減函數，在上為增函數，在上為減函數．
∴0為函數的極大值點，不符合題意．
綜上所述，若0為函數的極小值點，則a的取值范圍為．
(四) 或.
在上是增函數，在上是減函數，時取得最大值，利用性質解題易錯點是該在上是減函數，但該函數在上沒有零點，因為時.
【例4】（2024屆海南省定安縣高三上學期開學考試）已知函數.
(1)若是的極值點，求的值；
(2)若a=1，討論函數的單調性；
(3)若恒成立，求a的取值范圍；
【解析】（1）由，得，
因為是的極值點，
所以，即，所以，經檢驗符合題意.
（2）若a=1，.
當，即時，，所以在上單調遞減；
當時，；在上單調遞增，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
（3）的定義域為，若恒成立，則恒成立，
即恒成立，
令，只需，又，
令得，
時，，則單調遞增；
時，，則單調遞減；
所以，解得：；
(五) 或
討論的性質要注意，該在和單調遞減，在單調遞增
【例5】設函數，其中是自然對數的底數，.
(1)若在上恒成立，求實數的取值范圍；
(2)當時，若函數有兩個零點，求實數的取值范圍.
【解析】 (1)解：因為在上恒成立，即，又，故，所以只需恒成立，故只需，
令，，當時，，當時，，所以，故，即.
(2)當時, ，
當時，，
當時，令，分離參數得，
由（1）得，在和單調遞減，在單調遞增，可得圖像為：
所以，即,即.
三、典例展示
【例1】（2024屆河南省部分名校高三上學期核心模擬）已知函數.
(1)當時，求的單調區(qū)間;
(2)若,當時,證明:.
【解析】（1）的定義域為,
當時,,
所以,
當時,;當時,,
所以的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.
（2）由,得,
所以,
則,
要證,只需證,
即證,需證.
令,設,則,
設,則,
所以在上單調遞增,則,
所以,所以在上單調遞增,
由,得,則,
所以,
所以需證,即證.
令，則,即證,設,
則,
所以在上單調遞減,則,
所以,即成立,
故.
【例2】（2023屆河南省信陽高級中學高三下學期3月測試）已知函數.
(1)是的導函數，求的最小值；
(2)證明：對任意正整數，都有（其中為自然對數的底數）；
(3)若恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】（1）依題意，，
所以，
，所以在區(qū)間上單調遞減；
在區(qū)間上單調遞增，
所以當時取得最小值為.
（2）要證明：對任意正整數，都有，
即證明，
即證明，
由（1）得，即
令，所以，
所以
，
所以對任意正整數，都有.
（3）若不等式恒成立，此時，
則恒成立，
令，
令，
所以在區(qū)間上單調遞增，
所以，當時等號成立，
所以，
當時等號成立，所以.
【例3】（2024屆廣西百色市貴百聯考高三上學期9月月考）已知函數．
(1)當時，討論在區(qū)間上的單調性；
(2)當時，，求a的取值范圍．
【解析】（1），
當時，；當時，
故在上單調遞增，在上單調遞減；
（2）設，；
設，則，
令，則，
當，，當，，故函數在單調遞增，在單調遞減，
所以；
令，可得，故在單調遞增時，；
當時，，故在上單調遞增.
當時，，且當趨向正無窮時，趨向正無窮，
若，則，函數在上單調遞增，因此，，符合條件；
若，則存在，使得，即，
當時，，則在上單調遞減，此時，不符合條件．
綜上，實數的取值范圍是
【例4】已知函數.
(1)若，求函數的單調區(qū)間；
(2)若存在兩個極小值點，求實數的取值范圍.
【解析】 (1)當時，函數，
可得，
令，可得，所以函數單調遞增，
因為，所以，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
即函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.
(2)由函數，
可得，
令，可得，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，
當時，可得，所以，
①當時，，此時當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以函數的極小值為，無極大值；
②當時，，
又由在上單調遞增，所以在上有唯一的零點，且，
因為當時，令，可得，
又因為，所以，即，所以，
所以，，
因為在上單調遞減，所以在上有唯一的零點，且，
所以當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以函數有兩個極小值點，故實數的取值范圍為.
【例5】已知函數．
(1)當時，若在上恒成立，求實數的取值范圍；
(2)設為的兩個不同零點，證明：．
【解析】 (1)當時，，
因為在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，即在上恒成立，則，
令，解得，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.
故，
所以實數的取值范圍是．
(2)證明：要證明，
即證，
只需證和．
由（1）知，當，時，，即，
所以．
要證，即證．
因為為的兩個不同零點，不妨設，
所以，，
則，
兩邊同時乘以，可得，
即．
令，則．
即證，即證，
即證．
令函數，，則，
所以在上單調遞增，所以．
所以．故．
四、跟蹤檢測
1．（2023屆陜西省咸陽市武功縣高三上學期11月期中）已知函數，.
(1)若，求函數的單調區(qū)間；
(2)若關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；
(3)若實數滿足且，證明：.
【解析】（1）當時，，
，由，得，由，得，
故的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；
（2），
令，
則，
令，則，
由，得，由，得，
故在遞增，在遞減，，
，所以，
在上單調遞增，，
，
的取值范圍；
（3），
又，在上遞增，
所以，
下面證明：，
即證，
令，則，
即，
令，則，
令，則，
∴函數在上單調遞減，
，
在遞減，
，
所以.
2．（2023屆四川省綿陽市涪城區(qū)南山中學高三仿真）已知函數，且．
(1)求實數a的取值范圍；
(2)已知，證明：．
【解析】（1）函數定義域為R，，
由解得，故在區(qū)間上單調遞增，
由解得，故在區(qū)間上單調遞減，
故的最小值是，解得，所以實數a的取值范圍為．
（2）在（1）中，令時，，令，得，即，
令，則，
所以，，
令，則．且不恒為零．
所以，函數在上單調遞增，故，則．
所以，，
所以，
.
3．（2024屆海南省瓊中縣高三上學期9月高考全真模擬）已知函數，且在處取得極值．
(1)求a；
(2)求證：．
【解析】（1）由題意可得的定義域為，且．
因為在處取得極值，
所以，解得，
當時，則，，，
令，得；令，得；
故函數在上單調遞增，在上單調遞減，
可知在處取得極值，符合題意，
所以．
（2）由（1）可得的最大值為，
所以，即，
可得，當且僅當時等號成立．
令，
則，故．
所以，，，…，，，
以上式子相加，
得，
則，
即，
所以，
即，命題得證．
4．（2024屆河南省周口市項城市高三5校青桐鳴大聯考9月）已知函數，.
(1)求實數的值；
(2)證明：時，.
【解析】（1）因為，則，
則，
令，其中，則，
由可得，由可得，
所以，函數的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為.
故有最小值，故.
（2）由（1）可知，，
當時，要證，即證，即證，
令，則上式等價于，
構造函數則
故當時，為增函數；
當時，為減函數；
由得，故，
故.
當時，
，
故
又是的增區(qū)間，而
故故
即，
當時，，即
在上，為減函數，故
即，
故原命題得證.
5．（2024屆湖北省黃岡市高三上學期9月調研）已知函數.
(1)討論函數的極值點個數；
(2)若不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】（1），，.
令，方程的判別式為，
①：當即時，，單調遞增，無極值點；
②：當即時，函數有兩個零點，，
（i）當時.，，當時，單調遞減，
當時，單調遞增，有一個極小值點；
（ii）當時，，
當與時，單調遞增，
當時，單調遞減，有兩個極值點.
綜上：當時無極值點；當時有兩個極值點；
當時有一個極小值點.
（2）不等式恒成立，即.
令，，
.
令，，
當時，，單調遞增，又，
時，不合題意，.
當時，單調遞減，當時單調遞增，.
而，.
令，，當時單調遞增，
當時單調遞減，
，即.
..
6．（2024屆湖南省長沙市長郡中學高三上學期月考）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)證明：當時，．
【解析】（1）因為，定義域為，所以．
當時，由于，所以恒成立，此時在上單調遞減；
當時，，令，得，
則當時，，有在上單調遞增；
當時，，有在上單調遞減；
綜上所述：當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減．
（2）我們先證明引理：，恒有且．
引理的證明：
設，．
故只需證明，恒有，．
由于，知當時，；當時，；
則在上單調遞減，在上單調遞增，所以，
所以，恒有．
由于，知當，均有，
所以恒有，故在上單調遞增，
則．
所以，恒有．
綜上，引理得證．回到原題：
由（1）得，
故只需證明：對，恒有，即．
由引理得．命題得證．
7．（2024屆福建省漳州市高三上學期第一次教學質量檢測）已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)當時，，求實數a的取值范圍.
【解析】（1）依題意，得.
當時，，所以在單調遞增.
當時，令，可得；
令，可得，
所以在單調遞增，在單調遞減.
綜上所述，當時，在單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減.
（2）因為當時，，所以，
即，
即，
即.
令，則有對恒成立.
因為，所以在單調遞增，
故只需，
即對恒成立.
令，則，令，得.
當時，，當時，，
所以在單調遞增，在單調遞減，
所以.
因此，所以.
8．（2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三上學期考試）已知函數.
(1)求函數的單調區(qū)間；
(2)若對于任意的，關于x的不等式恒成立，求實數a的取值范圍.
【解析】（1）由得，
令，
故當時，單調遞減，當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
故的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，
（2）由可得對任意的恒成立，
所以對任意的恒成立，
設，
當單調遞增，當單調遞減，所以，故，當且僅當時等號成立，
，
當且僅當時取等號，令，注意到，
，所以存在使，所以等號取得到，故
9.已知函數，．
(1)若，求函數的極值；
(2)設，當時，（是函數的導數），求a的取值范圍．
【解析】 (1)，
令，得或，
當或時，，當時，，
所以函數在（0，1）上單調遞增，在（1，e）上單調遞減，在上單調遞增，
所以函數的極大值為，函數的極小值為．
(2)，
，即，
即，
設，，
設，，
當時，，當時，，
所以函數在（0，1）上單調遞減，在上單調遞增，
，即，
則函數在上單調遞增，則由，
得在上恒成立，即在上恒成立．
設，，
當時，，當時，，
所以函數在（0，e）上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
故．
10．設函數，．
(1)若對任意，都有，求a的取值范圍；
(2)設，．當時，判斷，，是否能構成等差數列，并說明理由．
【解析】 (1)的定義域是，．
①若，則當時，，在單調遞增，等價于，即，由得．
設，．，故在單調遞減，在單調遞增，而，所以的解集為．
②若，則在單調遞減，在單調遞增，等價于，即，即，矛盾，故a的取值范圍是．
(2)．
．
同理可得，
．
所以．
下面證明．
，且由（1）知，所以只需證明時，．令，即證．
設，，，
所以．
設，，故在（0，1）單調遞減，．
所以，故，，不能構成等差數列．
11．已知函數
(1)若對任意的，都有恒成立，求實數的取值范圍；
(2)設是兩個不相等的實數，且．求證：
【解析】 (1)當時，，
因為，所以，即，不符合題意；
當時，，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減．
所以．
由恒成立可知，所以．
又因為，所以的取值范圍為．
(2)因為，所以，即．
令，由題意可知，存在不相等的兩個實數，，使得．
由（1）可知在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．
不妨設，則．
設，
則，
所以在上單調遞增，
所以，即在區(qū)間上恒成立．
因為，所以．
因為，所以．
又因為，，且在區(qū)間上單調遞增，
所以，即．
12．已知函數.
(1)若在單調，求的取值范圍.
(2)若的圖像恒在軸上方，求的取值范圍.
【解析】 (1)由題意得，.
在上單調，即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.
令，則，當時，.
當時，，∴在上單調遞減，
∴由題意得，或，
解得或，
∴的取值范圍是.
(2)的圖象恒在軸上方，也即當時，恒成立.
也即在上恒成立.
令，，
令，則，由得，當時，當時，，即時，有極大值，也是最大值，所以，
所以（當時取等號），再由可得：，
列表如下：
由上表知為極大值，所以.
∴的取值范圍是.
13．已知函數.
(1)若函數，討論的單調性.
(2)若函數，證明：.
【解析】 (1)因為，所以，
的定義域為，
.
當時，在上單調遞增.
當時，若，則單調遞減；
若，則單調遞增.
綜上所述：當時，f(x)在上單調遞增; 當時,f(x)在(0,1-a)上單調遞減，在(1-a,+)上單調遞增 ；
(2)證明：.
設，則.
當時，單調遞減；當時，單調遞增.
所以，
因此，當且僅當時，等號成立.
設，則.
當時，單調遞減：當時，單調遞增.
因此，
從而，則，
因為，所以中的等號不成立，
故.
14．已知函數．
(1)當時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
【解析】（1）當時，，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以；
（2），則，當時，，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，此時函數無零點，不合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；又，由（1）得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；此時，由（1）得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.
15．（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學期8月診斷）已知函數．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
【解析】（1）的定義域為，令,得當單調遞減當單調遞增，若,則,即所以的取值范圍為
（2）由題知,一個零點小于1,一個零點大于1不妨設要證,即證因為,即證因為,即證即證即證下面證明時，設，則設所以,而所以,所以所以在單調遞增即,所以令所以在單調遞減即,所以；綜上, ,所以.
16．已知函數，.
(1)試討論f（x）的單調性；
(2)若對任意， 均有，求a的取值范圍；
(3)求證: .
【解析】 (1) ,
若 則，在 上單調遞減；
若，則由,得,
當時,在上單調遞增,
當時,,在 上單調遞減.
(2)當時,符合題意；
當時,由（1）知在 上單調遞減，
而 ，不合題意；
當時,結合（1）得，，
即，得，
綜上，的取值范圍是；
(3)證明：由（2）知，當時，即
所以，
所以，
所以 ，
即得證.
1
0
0

相關試卷

【專題復習】高考數學 專題14 三次函數.zip：

這是一份【專題復習】高考數學 專題14 三次函數.zip，文件包含專題復習高考數學專題14三次函數原卷版docx、專題復習高考數學專題14三次函數解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共55頁， 歡迎下載使用。

【專題復習】高考數學 專題13 導數的運算法則在抽象函數中的應用.zip：

這是一份【專題復習】高考數學 專題13 導數的運算法則在抽象函數中的應用.zip，文件包含專題復習高考數學專題13導數的運算法則在抽象函數中的應用原卷版docx、專題復習高考數學專題13導數的運算法則在抽象函數中的應用解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共29頁， 歡迎下載使用。

【專題復習】高考數學 專題12 函數中的同構問題.zip：

這是一份【專題復習】高考數學 專題12 函數中的同構問題.zip，文件包含專題復習高考數學專題12函數中的同構問題原卷版docx、專題復習高考數學專題12函數中的同構問題解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共43頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

【專題復習】高考數學 專題07 函數中的雙變量問題.zip

【專題復習】高考數學 專題07 函數中的雙變量問題.zip
新高考數學一輪復習知識點總結與題型精練專題08 函數與方程及常見的函數模型（含解析）

新高考數學一輪復習知識點總結與題型精練專題08 函數與方程及常見的函數模型（含解析）
2024年新高考數學一輪復習講義 專題13 函數模型及其應用

2024年新高考數學一輪復習講義 專題13 函數模型及其應用
專題11 分段函數的應用-2022新高考高中數學技巧之函數專題匯編

專題11 分段函數的應用-2022新高考高中數學技巧之函數專題匯編
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部