函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn),函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題、隱零點(diǎn)及零點(diǎn)賦值問題是近年高考的熱點(diǎn)及難點(diǎn),特別是隱零點(diǎn)及零點(diǎn)賦值經(jīng)常成為導(dǎo)數(shù)壓軸的法寶.
二、解題秘籍
(一) 確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)
1.研究函數(shù)零點(diǎn)的技巧
用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn),一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面,也可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,利用數(shù)形結(jié)合來解決．對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,可利用函數(shù)的值域或最值,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn),分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性,分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì),分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．但需注意探求與論證之間區(qū)別,論證是充要關(guān)系,要充分利用零點(diǎn)存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴(yán)格說明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
2. 判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法
(1)直接研究函數(shù),求出極值以及最值,畫出草圖．函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．
(2)分離出參數(shù),轉(zhuǎn)化為a＝g(x),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出函數(shù)g(x)在某區(qū)間的單調(diào)性,求出極值以及最值,畫出草圖．函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是直線y＝a與函數(shù)y＝g(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．只需要用a與函數(shù)g(x)的極值和最值進(jìn)行比較即可．
3. 處理函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖像的交點(diǎn)問題的常用方法
(1)數(shù)形結(jié)合,即分別作出兩函數(shù)的圖像,觀察交點(diǎn)情況;
(2)將函數(shù)交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程f(x)=g(x)根的個(gè)數(shù)問題,也通過構(gòu)造函數(shù)y=f(x)-g(x),把交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值,并作出草圖,根據(jù)草圖確定根的情況.
4.找點(diǎn)時(shí)若函數(shù)有多項(xiàng)有時(shí)可以通過恒等變形或放縮進(jìn)行并項(xiàng)，有時(shí)有界函數(shù)可以放縮成常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)合理分離參數(shù)，避開分母為0的情況.
【例1】（2023屆廣東省羅定中學(xué)高三上學(xué)期調(diào)研）已知函數(shù)，其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
【解析】（1）由題意知：定義域?yàn)椋?br>令，解得：，，又，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）取，則當(dāng)時(shí)，，，，
；
，由（1）知：在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即在上無零點(diǎn)；
下面討論的情況：
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
又，，
在和上各存在一個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，
有唯一零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，無零點(diǎn)；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn).
(二) 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍的兩種方法
1.直接法：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍,通常先確定函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性寫出極值及相關(guān)端點(diǎn)值的范圍,然后根據(jù)極值及端點(diǎn)值的正負(fù)建立不等式或不等式組求參數(shù)范圍；
2.分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù),然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值,根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍,分離參數(shù)法適用條件：(1)參數(shù)能夠分類出來；(2)分離以后構(gòu)造的新函數(shù),性質(zhì)比較容易確定.
【例2】（2023屆四川省成都市高三全真模擬）已知函數(shù)，．
(1)若函數(shù)在處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)a的值（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；
(2)若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)椋剩?br>則，即，
即，
令，則，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，
所以，即，．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以有且僅有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根，
又，則，
即，
令，則，
由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減且，
在上單調(diào)遞增且時(shí)，
又，，則，則，
即得，
所以，即，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，

當(dāng)時(shí)，，且無限趨近于0，
所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
(三)零點(diǎn)存在性賦值理論及應(yīng)用
1.確定零點(diǎn)是否存在或函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn),作為客觀題常轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問題,作為解答題一般不提倡利用圖象求解,而是利用函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)賦值理論.函數(shù)賦值是近年高考的一個(gè)熱點(diǎn), 賦值之所以“熱”, 是因?yàn)樗婕暗胶瘮?shù)領(lǐng)域的方方面面：討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(包括零點(diǎn)的存在性, 唯一性)； 求含參函數(shù)的極值或最值； 證明一類超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各種題型中的參數(shù)取值范圍等,零點(diǎn)賦值基本模式是已知 f (a) 的符號(hào),探求賦值點(diǎn) m (假定 m ? a )使得 f (m) 與 f (a) 異號(hào),則在 (m,a) 上存在零點(diǎn)．
2.賦值點(diǎn)遴選要領(lǐng)：遴選賦值點(diǎn)須做到三個(gè)確保：確保參數(shù)能取到它的一切值； 確保賦值點(diǎn) x0 落在規(guī)定區(qū)間內(nèi)；確保運(yùn)算可行
三個(gè)優(yōu)先：（1）優(yōu)先常數(shù)賦值點(diǎn)；（2）優(yōu)先借助已有極值求賦值點(diǎn)；（3）優(yōu)先簡(jiǎn)單運(yùn)算.
3.有時(shí)賦值點(diǎn)無法確定,可以先對(duì)解析式進(jìn)行放縮,再根據(jù)不等式的解確定賦值點(diǎn)（見例2解法）,放縮法的難度在于“度”的掌握,難度比較大.
【例3】（2024屆北京市新高三入學(xué)定位考試）已知函數(shù)，曲線在的切線為．
(1)求a，b的值；
(2)求證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．
【解析】（1），則有，解得，，則.
（2）由（1）知，，
設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
則，所以在上恒成立，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（3）因?yàn)椋睿?br>令，得，設(shè)，
由（2）知在上單調(diào)遞增，且，，
故存在唯一零點(diǎn)使得，
即存在唯一零點(diǎn)滿足，即得，則，
且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
所以
，
當(dāng)時(shí)，，，
則，
則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.
(四)隱零點(diǎn)問題
1.函數(shù)零點(diǎn)按是否可求精確解可以分為兩類：一類是數(shù)值上能精確求解的,稱之為“顯零點(diǎn)”；另一類是能夠判斷其存在但無法直接表示的,稱之為“隱零點(diǎn)”.
2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值或單調(diào)區(qū)間,常常會(huì)把最值問題轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題,若導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)存在,但無法求出,我們可以設(shè)其為,再利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性確定所在區(qū)間,最后根據(jù),研究,我們把這類問題稱為隱零點(diǎn)問題. 注意若中含有參數(shù)a,關(guān)系式是關(guān)于的關(guān)系式,確定的合適范圍,往往和的范圍有關(guān).
【例4】（2024屆寧夏吳忠市高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)在處的切線與直線：垂直．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求整數(shù)的最大值．
【解析】（1）由，得，又切線與直線：垂直，所以，即．
所以，令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，
即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立．
設(shè)，即．
，令，
所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增．
又，，所以存在，使得，
即，所以．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
所以
，
當(dāng)時(shí)，，
所以，由題意知且
所以，即整數(shù)的最大值為1．
三、典例展示
【例1】（2022高考全國(guó)卷乙理）已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求a取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,
,所以切線斜率為2
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）,,
設(shè)
若,當(dāng),即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點(diǎn),不合題意,
若,當(dāng)時(shí),
所以在上單調(diào)遞增,所以,即
所以在上單調(diào)遞增,,
故在上沒有零點(diǎn),不合題意.
若,
(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增,
,
所以存在,使得,即.
當(dāng)單調(diào)遞減,當(dāng)單調(diào)遞增,
所以當(dāng),當(dāng),
所以在上有唯一零點(diǎn),
又在沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn),
(2)當(dāng),,設(shè),
則,所以在上單調(diào)遞增,
,所以存,使得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增,,
又,所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減
有
而,所以當(dāng),
所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn),
即在上有唯一零點(diǎn),
所以,符合題意,
綜上得在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),的取值范圍為.
【例2】（2023屆江西省臨川高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，
(2)若，當(dāng)時(shí)，恒成立時(shí)，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）
【解析】（1）由可得.
當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，恒成立即，
設(shè)，則，
令，則，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故，
綜上有，故，故為增函數(shù)，
又，
因?yàn)?，故?br>所以，
故存在唯一零點(diǎn)使得，
故當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，
又，
即，
所以
設(shè)，則，故為增函數(shù)，
又，所以，
所以，故要且為正整數(shù)則的最大值為3.
【例3】（2023屆福建省寧德市高三高考前最后一卷）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)﹔
(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1）令則，
記，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取極大值也是最大值，
又，而當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， ，作出的圖象如下：

因此當(dāng)時(shí)，即，無交點(diǎn)，此時(shí)無零點(diǎn)，
當(dāng)或時(shí)，即或，有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，即，有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，
綜上可知：當(dāng)時(shí)， 無零點(diǎn)，
當(dāng)或有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)，有2個(gè)零點(diǎn)，
（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，恒有等價(jià)于：
對(duì)任意，恒有，
令，則不等式等價(jià)于，
由于，
令，
當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以，故在單調(diào)遞增，
由得對(duì)任意恒成立，
兩邊取對(duì)數(shù)得對(duì)任意恒成立，
故，所以
故的范圍為
【例4】已知函數(shù)的最小值為．
(1)求的值；
(2)已知,,在上恒成立,求的最大值．（參考數(shù)據(jù)：,）
【解析】 (1)由題可知．令,解得；
令,解得．
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,解得．
(2)由可得對(duì)恒成立．
令,則,令,
則
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,,,
且的圖象在上不間斷,所以存在,使得,
即,則．
所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增．
則的最小值為,,
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得,,
所以,
所以,即在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以．
所以存在整數(shù)滿足題意,且整數(shù)的最大值為．
【例5】（2023屆云南省保山市高三聯(lián)考）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)a的最大值.
【解析】（1）根據(jù)題意可得，
若，在上恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；
若，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減；
若，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減；
綜上可知，時(shí)，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
（2）由可得，解得；
所以，則，
易知時(shí)，，
若函數(shù)在上恒成立，等價(jià)成在上恒成立；
令，則；
令，則在上恒成立，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
易知，由于，所以，
而，且，所以；
因此在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，滿足，且；
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以的最小值為，顯然，
因此，又是整數(shù)，
所以的最大值為4.
四、跟蹤檢測(cè)
1．（2023屆云南省保山市高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（2023屆四川省高三診斷性檢測(cè)）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)令（a為常數(shù)），若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
3．（2024屆廣東省揭陽市高三上學(xué)期開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，證明：；
(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.
4．（2023屆黑龍江省哈爾濱市高三月考）設(shè)函數(shù)
(1)若，，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若，不等式對(duì)任意恒成立，求整數(shù)k的最大值．
5．（2023屆江蘇省連云港市高三學(xué)情檢測(cè)）已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明；
(2)證明：.
6．（2024屆廣東省深圳市羅湖區(qū)部分學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)模擬）已知函數(shù)R.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
7．（2024屆山西省朔州市懷仁市第一中學(xué)校等學(xué)校2高三上學(xué)期摸底）已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
8．（2023屆云南省高三“云教金榜”N 1沖刺測(cè)試）設(shè)函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
9．（2024屆云南省三校高三高考備考實(shí)用性聯(lián)考）已知.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
10.（2023屆河南省安陽市高三上學(xué)期名校調(diào)研摸底）已知函數(shù),其中,且.
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若只有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
11.（2023屆三省三校高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若,設(shè)在上的最小值為,求證： .
12．．
（1）求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）使不等式對(duì)任意恒成立時(shí)最大的k記為c,求當(dāng)時(shí),的取值范圍．

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