近年來同構(gòu)函數(shù)頻頻出現(xiàn)在模擬試卷導(dǎo)數(shù)解答題中，高考真題中也出現(xiàn)過同構(gòu)函數(shù)的身影，同構(gòu)法是將不同的式子通過變形，轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或者相近的式子，通過整體思想或換元等將問題轉(zhuǎn)化的方法，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．此方法常用于求解具有對數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式、不等式問題中，或利用函數(shù)單調(diào)性定義確定函數(shù)單調(diào)性，利用此方法求解某些導(dǎo)數(shù)壓軸題往往能起到秒殺效果.
二、解題秘籍
(一)同構(gòu)函數(shù)揭秘
同構(gòu)式是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式，導(dǎo)數(shù)中同構(gòu)函數(shù)問題大多屬于指對跨階問題，比如與屬于“跨階函數(shù)”，而屬于“跳階函數(shù)”，對于指對跳階的函數(shù)問題，直接求解，一般是通過隱零點代換來簡化，并且有很大局限性，有些題若采用指對跨階函數(shù)進行同構(gòu)，可將跳階函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為跨階函數(shù)問題，從而使計算降階，通常構(gòu)造的同構(gòu)函數(shù)有以下幾類：，等，在一些求參數(shù)的取值范圍、零點個數(shù)、不等式證明、雙變量問題中，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)零點個數(shù)等問題中常通過構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)求解.利用同構(gòu)函數(shù)解題要注意一些常見的湊形技巧，如；等.
【例1】（2024屆陜西省西安市部分學(xué)校高三上學(xué)期考試）已知函數(shù).
(1)當(dāng)，求的極值；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時，，
則，
所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，
當(dāng)時取得極大值，，故的極大值為，無極小值.
（2）由，可得，則，即.
令，則，
因為在上單調(diào)遞增，所以，則.
令，則，
在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，即，
所以，則的取值范圍為.
【例2】（2024屆重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測）已知函數(shù)在處的切線和直線垂直.
(1)求實數(shù)的值；
(2)若對任意的，，都有成立（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】（1）由函數(shù)，可得，可得
因為函數(shù)在處的切線l和直線垂直，所以，
即，解得.
（2）解：不妨設(shè)，則，
因為對任意的，，都有成立，
可得，即，
設(shè)，則，故在單調(diào)遞增，
從而有，即在上恒成立，
設(shè)，則，
因為，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又因為，故在上最小值，所以，
實數(shù)的取值范圍是.
(二) 型同構(gòu)
【例3】（2023屆吉林省長春外國語學(xué)校高三上學(xué)期考試）已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.
(1)當(dāng)時，求的極值點；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時，,則.
當(dāng)時，，此時函數(shù)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)遞增，
所以極小值點為，無極大值點.
（2）求導(dǎo)
①當(dāng)時，，在上遞增
②當(dāng)時，
當(dāng)時，，在上遞減，
當(dāng)時，，此時函數(shù)在上遞增.
（3）等價于有兩個零點，
令，則在時恒成立，所以在時單調(diào)遞增，故，
所以有兩個零點，等價于有兩個零點.
因為 ，
①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點，不符合題意舍去，
②當(dāng)時，令，得，單調(diào)遞增，令，得，單調(diào)遞減，
所以.
若，得，此時恒成立，沒有零點；
若，得，此時有一個零點.
若，得，因為，，，
所以在，上各存在一個零點，符合題意，
綜上，的取值范圍為.
(三)型同構(gòu)
【例4】（2023屆福建省寧德市博雅培文學(xué)校高三高考前最后一卷）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的零點的個數(shù)﹔
(2)當(dāng)時，若對任意，恒有，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1）令則，
記，則，
當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，取極大值也是最大值，
又，而當(dāng)時，，故當(dāng)時，，當(dāng)時， ，作出的圖象如下：

因此當(dāng)時，即，無交點，此時無零點，
當(dāng)或時，即或，有一個交點，此時有一個零點，
當(dāng)時，即，有兩個交點，此時有2個零點，
綜上可知：當(dāng)時， 無零點，
當(dāng)或有一個零點，
當(dāng)，有2個零點，
（2）當(dāng)時，若對任意，恒有等價于：
對任意，恒有，
令，則不等式等價于，
由于，
令，
當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以，故在單調(diào)遞增，
由得對任意恒成立，
兩邊取對數(shù)得對任意恒成立，
故，所以
故的范圍為
(四)型同構(gòu)
【例5】（2024屆福建省漳州市高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，，求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】（1）依題意，得.
當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增.
當(dāng)時，令，可得；
令，可得，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
（2）因為當(dāng)時，，所以，
即，
即，
即.
令，則有對恒成立.
因為，所以在單調(diào)遞增，
故只需，
即對恒成立.
令，則，令，得.
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以.
因此，所以.
(五)型同構(gòu)
【例6】已知，，．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時，求證：．
【解析】 (1)，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，
故函數(shù)不存在極值；
當(dāng)時，令，得，
故，無極小值.
綜上，當(dāng)時，函數(shù)不存在極值；
當(dāng)時，函數(shù)有極大值，，不存在極小值．
(2)顯然，要證：，
即證：，即證：，
即證：．
令，故只須證：．
設(shè)，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即，所以，從而有．
故，即．
三、典例展示
【例1】（2024屆江蘇省徐州市邳州市新世紀學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)．
(1)若，求的最小值；
(2)若方程有解，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時，，
，
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞增，且，
所以時，，單調(diào)遞減，
時，，單調(diào)遞增，
所以；
（2）即，
即，
設(shè)，則，
，設(shè)，則，
所以時，，單調(diào)遞減，
時，，單調(diào)遞增，
所以，即，在上單調(diào)遞增，
所以方程有解即在上有解，
有解，即有解，
設(shè)，則，
時，，單調(diào)遞增，
時，，單調(diào)遞減，所以，
當(dāng)時，，
所以，即實數(shù)a的取值范圍是．
【例2】（2024屆安徽省六校教育研究會高三上學(xué)期素質(zhì)測試）已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）因為，所以，
當(dāng)時，，所以在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令得；令得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞減，無增區(qū)間；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由題意有兩個零點，
令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
故，所以有兩個零點等價于有兩個零點，
等價于有兩個不同的實數(shù)解，等價于與有兩個交點，
則，得，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，
當(dāng)t趨向于0且為正時，趨向于負無窮大，當(dāng)t趨向于正無窮大時，趨向于0，如圖：

由圖可知，要使與有兩個交點，則，
所以實數(shù)的取值范圍為.
【例3】（2024屆重慶市渝北中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
(2)若任意、且，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時，，其中，
則，令，解得或，
又因為，所以，
列表如下：
因此有極小值，無極大值.
（2）解：因為，，
所以，其中，
對、且，不妨設(shè)，則，
得到，化為，
設(shè)且函數(shù)的定義域為，
所以在為增函數(shù)，
即有對恒成立，即對任意的恒成立，
設(shè)，其中，則，
令，解得，令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以最大值，因此實數(shù)的取值范圍是．
【例4】已知
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)性；
(2)討論的零點個數(shù)．
【解析】 (1)解：因為，，
所以，
令，，所以在單增，且，
當(dāng)時，當(dāng)時，
所以當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
(2)解：因為
令，易知在上單調(diào)遞增，且，
故的零點轉(zhuǎn)化為即，，
設(shè)，則，
當(dāng)時，無零點；
當(dāng)時，，故為上的增函數(shù)，
而，，故在上有且只有一個零點；
當(dāng)時，若，則；，則；
故，
若，則，故在上有且只有一個零點；
若，則，故在上無零點；
若，則，此時，
而，，
設(shè)，，則，
故在上為增函數(shù)，故即，
故此時在上有且只有兩個不同的零點；
綜上：當(dāng)時，0個零點；當(dāng)或時，1個零點；時，2個零點；
【例5】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，若曲線與直線相切于點，求點的坐標；
(2)當(dāng)時，證明：；
(3)若對任意，不等式恒成立，請直接寫出的取值范圍.
【解析】 (1)當(dāng)時，.
設(shè)，則切線斜率.
由切點性質(zhì)，得，解得.
所以點的坐標.
(2)當(dāng)時，，其中，則，
令，其中，則，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)變化時，變化情況如下表：
由上表可知，.所以.
(3)顯然，在上恒成立，即恒成立即
恒成立，
所以恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，易知在上是增函數(shù)，
所以恒成立，即，
令，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍.
【例6】已知函數(shù)
(1)請討論函數(shù)的單調(diào)性
(2)當(dāng)時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍
【解析】 (1)
當(dāng)時，在上遞增
當(dāng)時，在，單調(diào)遞減
在上，單調(diào)遞增
(2)原式等價于
設(shè)，
由（1）當(dāng)時，為增函數(shù) ， ，
∴等式等價于恒成立，
時，成立，時，，
設(shè)，，
，
設(shè)，
所以在上為增函數(shù)，
又因為，所以在上，，，為減函數(shù)，
在上，，，為增函數(shù)，
，．
四、跟蹤檢測
1.（2023屆廣東省深圳市光明區(qū)高三二模）已知函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過點.
(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求正實數(shù)的取值范圍.
2.（2023屆海南省海口市龍華區(qū)海南華僑中學(xué)高三一模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)已知，若存在，不等式成立，求實數(shù)的最大值.
3．（2024屆山東省部分學(xué)校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
4．已知函數(shù)，.
(1)求在處的切線方程；
(2)求證：.
(3)當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍.
5.已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(2)若在恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
6．已知函數(shù).
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)是否存在實數(shù)a，使對恒成立，若存在，求出a的值或取值范圍；若不存在，請說明理由.
7．已知函數(shù)．
(1)若在上僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若對任意的，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
8．已知函數(shù)，其圖象在處的切線過點．
(1)求a的值；
(2)討論的單調(diào)性；
(3)若，關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．
9．已知函數(shù)，（），其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時，
（ⅰ）求在點處的切線方程；
（ⅱ）求的最小值；
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)；
(3)若存在，使得成立，求a的取值范圍
10．已知函數(shù)．
(1)若曲線在處的切線方程為，求；
(2)在（1）的條件下，若，比較與的大小并證明．
11.已知函數(shù)．
(1)討論的零點個數(shù)；
(2)證明：．
12.已知函數(shù)．
(1)討論f(x)的單調(diào)性．
(2)若a＝0，證明：對任意的x>1，都有．x
+
0
-
增函數(shù)
極大值
減函數(shù)
2
0
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
1
0
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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