變量間的相關(guān)關(guān)系
相關(guān)系數(shù)的計(jì)算
回歸直線方程
根據(jù)回歸方程求原數(shù)據(jù)中的值
殘差及相關(guān)指數(shù)
非線性回歸
等高條形圖
獨(dú)立性檢驗(yàn)
題型一 變量間的相關(guān)關(guān)系
1．（21-22高二下·吉林長(zhǎng)春·期中）在以下4幅散點(diǎn)圖中，圖 中的y和x之間存在相關(guān)關(guān)系（將正確答案的序號(hào)填在橫線上）
2．【多選】（21-22高二下·江蘇蘇州·期中）下列詩句所描述的兩個(gè)對(duì)象之間是相關(guān)關(guān)系的為（ ）
A．蘇軾詩句 “粗繒大布裹生涯，腹有詩書氣自華”，談吐文雅程度與閱讀量之間的關(guān)系
B．王勃詩句“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”，落霞面積與鶩鳥飛行速度之間的關(guān)系
C．李隆基詩句“為知勤恤意，先此示年豐”，瑞雪的量與糧食產(chǎn)量之間的關(guān)系
D．李白詩句“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”，理想狀態(tài)下自由落體的速度與下落距離之間的關(guān)系
3．【多選】（21-22高二上·廣西玉林·階段練習(xí)）已知表示變量X與Y之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量U與V之間的線性相關(guān)系數(shù)，且，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．變量X與Y之間呈正相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)性強(qiáng)于U與V之間的相關(guān)性
B．變量X與Y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)性強(qiáng)于U與V之間的相關(guān)性
C．變量U與V之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)性弱于U與V之間的相關(guān)性
D．變量U與V之間呈正相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)性弱于U與V之間的相關(guān)性
4．【多選】（21-22高二下·吉林長(zhǎng)春·期中）下表是某城市在2022年1月份至10月份期間各月最低溫度與最高溫度（單位：℃）的數(shù)據(jù)一覽表．
已知該城市的各月最低溫度與最高溫度具有相關(guān)關(guān)系，根據(jù)該一覽表，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．最低溫度與最高溫度為正相關(guān)
B．每月最高溫度與最低溫度的平均值在前8個(gè)月逐月增加
C．月溫差（最高溫度減最低溫度）的最大值出現(xiàn)在10月
D．1月至4月的月溫差（最高溫度減最低溫度）相對(duì)于7月至10月，波動(dòng)性更大
題型二 相關(guān)系數(shù)的計(jì)算
5．（22-23高三下·海南海口·期中）為促進(jìn)全民健身更高水平發(fā)展，更好地滿足人民群眾的健身和健康需求，國(guó)家相關(guān)部門制定發(fā)布了《全民健身計(jì)劃（2021—2025年）》.相關(guān)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了我國(guó)2018年至2022年（2018年的年份序號(hào)為1，依此類推）健身人群數(shù)量（即有健身習(xí)慣的人數(shù)，單位：百萬），所得數(shù)據(jù)如圖所示：

(1)若每年健身人群中放棄健身習(xí)慣的人數(shù)忽略不計(jì)，從2022年的健身人群中隨機(jī)抽取5人，設(shè)其中從2018年開始就有健身習(xí)慣的人數(shù)為X，求；
(2)由圖可知，我國(guó)健身人群數(shù)量與年份序號(hào)線性相關(guān)，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明.
附：相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，，，.
6．（23-24高三上·陜西·期中）人口結(jié)構(gòu)的變化，能明顯影響住房需求.當(dāng)一個(gè)地區(qū)青壯年人口占比高，住房需求就會(huì)增加，而當(dāng)一個(gè)地區(qū)老齡化嚴(yán)重，住房需求就會(huì)下降.某機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了某個(gè)地區(qū)的10個(gè)城市，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)城市的老齡化率和空置率，得到如下表格.
并計(jì)算得.
(1)若老齡化率不低于，則該城市為超級(jí)老齡化城市，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)該地區(qū)城市為超級(jí)老齡化城市的頻率；
(2)估計(jì)該地區(qū)城市的老齡化率和空置率的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）.
參考公式：相關(guān)系數(shù).
7．（22-23高二下·云南保山·期末）某縣城為活躍經(jīng)濟(jì)，特舉辦傳統(tǒng)文化民俗節(jié)，小張弄了一個(gè)套小白兔的攤位，設(shè)表示第天的平均氣溫，表示第天參與活動(dòng)的人數(shù)，，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，計(jì)算得到如下一些統(tǒng)計(jì)量的值：.
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）判斷是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；
(2)現(xiàn)有兩個(gè)家庭參與套圈，家庭3位成員每輪每人套住小白兔的概率都為家庭3位成員每輪每人套住小白兔的概率分別為，每個(gè)家庭的3位成員均玩一次套圈為一輪，每輪每人收費(fèi)30元，每個(gè)小白兔價(jià)值60元，且每人是否套住相互獨(dú)立，以每個(gè)家庭的盈利的期望為決策依據(jù)，問：一輪結(jié)束后，哪個(gè)家庭損失較大？
附：相關(guān)系數(shù).
題型三 回歸直線方程
8．（22-23高二下·河南駐馬店·期中）流行性感冒（簡(jiǎn)稱流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一種傳染性強(qiáng)、傳播速度快的疾病.其主要通過空氣中的飛沫、人與人之間的接觸或與被污染物品的接觸傳播.流感每年在世界各地均有傳播，在我國(guó)北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季兩個(gè)流行高峰.兒童相對(duì)免疫力低，在幼兒園、學(xué)校等人員密集的地方更容易被傳染.某幼兒園將去年春季該園患流感的小朋友按照年齡與人數(shù)統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：
(1)求關(guān)于的線性回歸方程；
(2)計(jì)算變量的相關(guān)系數(shù)（計(jì)算結(jié)果精確到0.01），并回答是否可以認(rèn)為該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強(qiáng)?
附：回歸方程中，，相關(guān)系數(shù).
9．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）2023年，國(guó)家不斷加大對(duì)科技創(chuàng)新的支持力度，極大鼓舞了企業(yè)投入研發(fā)的信心，增強(qiáng)了企業(yè)的創(chuàng)新動(dòng)能.某企業(yè)在國(guó)家一系列優(yōu)惠政策的大力扶持下，通過技術(shù)革新和能力提升，極大提升了企業(yè)的影響力和市場(chǎng)知名度，訂單數(shù)量節(jié)節(jié)攀升，右表為該企業(yè)今年1~4月份接到的訂單數(shù)量.
(1)試根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r的值判斷訂單數(shù)量y與月份t的線性相關(guān)性強(qiáng)弱（，則認(rèn)為y與t的線性相關(guān)性較強(qiáng)，，則認(rèn)為y與t的線性相關(guān)性較弱）.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
(2)建立y關(guān)于t的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該企業(yè)5月份接到的訂單數(shù)量.
附：相關(guān)系數(shù)，
回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，，.
10．（23-24高三上·湖北·期中）移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個(gè)人消費(fèi)等領(lǐng)域．截至2022年底，我國(guó)移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達(dá)億戶，成為全球主要經(jīng)濟(jì)體中首個(gè)實(shí)現(xiàn)“物超人”的國(guó)家．現(xiàn)有年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)與年份代碼的散點(diǎn)圖，其中年份對(duì)應(yīng)的分別為．
(1)根據(jù)參考數(shù)據(jù)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）；
(2)令變量，，利用（1）中結(jié)論求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)．
附注：（i）回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為，，樣本相關(guān)系數(shù)；
（ii）參考數(shù)據(jù)：，，，
11．（22-23高二下·四川眉山·期中）研究表明，溫度的突然變化會(huì)引起機(jī)體產(chǎn)生呼吸道上皮組織的生理不良反應(yīng)，從而導(dǎo)致呼吸系統(tǒng)疾病的發(fā)生或惡化．某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)成員欲研究晝夜溫差大小與該校高三學(xué)生患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某周連續(xù)六天的溫差，并到校醫(yī)務(wù)室查閱了這六天中每天高三學(xué)生新增患感冒而就診的人數(shù)，得到資料如下：
參考數(shù)據(jù)：．
已知兩個(gè)變量x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程，據(jù)此估計(jì)晝夜溫差為15℃時(shí)，該校新增患感冒的學(xué)生數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）．
參考公式：
題型四 根據(jù)回歸方程求原數(shù)據(jù)中的值
12．（23-24高三上·江蘇南京·期中）已知取表中的數(shù)值，若具有線性相關(guān)關(guān)系，線性回歸方程為，則＝（ ）
A．2.2B．2.4C．2.5D．2.6
13．（23-24高三上·重慶·期中）已知變量x，γ呈線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為，且變量x，y的樣本數(shù)據(jù)如下表所示
據(jù)此計(jì)算出在時(shí)，預(yù)測(cè)值為-0.2，則m的值為（ ）
A．3B．2.8C．2D．1
14．（22-23高二下·河南駐馬店·期中）已知某品牌的新能源汽車的使用年限（單位:年）與維護(hù)費(fèi)用單位:千元）之間有如表數(shù)據(jù):
與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,且關(guān)于的線性回歸方程為（為常數(shù)）.據(jù)此估計(jì),使用年限為年時(shí),維護(hù)費(fèi)用約為 千元.
15．（22-23高二上·寧夏銀川·期中）新能源汽車的核心部件是動(dòng)力電池，碳酸鋰是動(dòng)力電池的主要成分，從2021年底開始，碳酸鋰的價(jià)格一直升高，下表是2022年我國(guó)某企業(yè)前5個(gè)月購(gòu)買碳酸鋰價(jià)格與月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．由下表可知其線性回歸方程為，
則表中a的值為 ．
16．（22-23高二下·河南南陽·期中）鞋子的尺碼又叫鞋號(hào)，這是一種衡量人類腳的形狀以便配鞋的標(biāo)準(zhǔn)單位系統(tǒng)，已知女鞋歐碼及對(duì)應(yīng)的腳長(zhǎng)（單位：厘米）如下表所示：
某數(shù)學(xué)興趣小組通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)某高中的女學(xué)生的腳長(zhǎng)x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）之間有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為．已知該高中某女學(xué)生的身高為166厘米，則預(yù)測(cè)她穿的鞋子為（ ）
A．36碼B．36.5碼
C．38碼D．39碼
17．【多選】（23-24高三上·陜西西安·期中）某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月手機(jī)的實(shí)際銷量，如下表所示：若與線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（ ）
A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量與正相關(guān)
B．線性回歸方程中
C．可以預(yù)測(cè)時(shí)該商場(chǎng)手機(jī)銷量約為1.72（千只）
D．當(dāng)時(shí)，殘差為
題型五 殘差及相關(guān)指數(shù)
18．【多選】（22-23高二下·江蘇蘇州·期中）下列說法正確的是（ ）
A．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)a后，方差也變?yōu)樵瓉淼腶倍；
B．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；
C．線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱；
D．在回歸模型中，預(yù)報(bào)變量y的值不能由解釋變量x唯一確定.
19．（22-23高二下·浙江溫州·期中）已知變量和的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
由表中的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程，那么當(dāng)時(shí)殘差為 .（注：殘差觀測(cè)值-預(yù)測(cè)值）
20．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，根據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分析與之間的線性相關(guān)關(guān)系，若求得其線性回歸方程為，則在樣本點(diǎn)處的殘差為（ ）
A．38.1B．22.6C．D．91.1
21．（2023·安徽安慶·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)據(jù)組，如果由經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的對(duì)應(yīng)自變量的估計(jì)值是，那么將稱為對(duì)應(yīng)點(diǎn)的殘差．某商場(chǎng)為了給一種新商品進(jìn)行合理定價(jià)，將該商品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下所示數(shù)據(jù)：
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到銷量y（單位：件）與單價(jià)x（單位：元）之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，據(jù)計(jì)算，樣本點(diǎn)處的殘差為1，則（ ）．
A．76B．75C．74D．73
22．（2018高三·全國(guó)·專題練習(xí)）某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量（噸）與所需某種原材料的質(zhì)量（噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集4組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，如表所示.（殘差＝觀測(cè)值－預(yù)測(cè)值）
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.據(jù)此計(jì)算出在樣本處的殘差為，則表中的值為 .
23．（18-19高二下·安徽蕪湖·期中）研究變量x，y得到一組樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，有以下結(jié)論：
①殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好；
②用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，越小說明擬合效果越好；
③若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為，則變量y和x之間的負(fù)相關(guān)很強(qiáng)；
④殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適．
以上正確說法的序號(hào)是 ．
24．（21-22高二下·山西大同·期中）營(yíng)養(yǎng)學(xué)家對(duì)某地區(qū)居民的身高與營(yíng)養(yǎng)攝入量的幾組數(shù)據(jù)進(jìn)行研究后發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量存在相關(guān)關(guān)系，該營(yíng)養(yǎng)學(xué)家按照不同的曲線擬合與之間的回歸方程，并算出相關(guān)指數(shù)如下表所示：
則這組數(shù)據(jù)模型的回歸方程的最好選擇應(yīng)是（ ）
A．B．
C．D．
25．（22-23高二下·四川成都·期中）某種農(nóng)作物可以生長(zhǎng)在灘涂和鹽堿地，它的灌溉是將海水稀釋后進(jìn)行灌溉．某實(shí)驗(yàn)基地為了研究海水濃度（％）對(duì)畝產(chǎn)量（噸）的影響，通過在試驗(yàn)田的種植實(shí)驗(yàn)，測(cè)得了該農(nóng)作物的畝產(chǎn)量與海水濃度的數(shù)據(jù)如下表.
繪制散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，可以用線性回歸模型擬合畝產(chǎn)量（噸）與海水濃度（％）之間的相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法計(jì)算得與之間的線性回歸方程為.
(1)求的值；（參考公式：）
(2)統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，越大，回歸效果越好，如假設(shè)，就說明預(yù)報(bào)變量的差異有是解釋變量引起的．請(qǐng)計(jì)算相關(guān)指數(shù)（精確到0.01），并指出畝產(chǎn)量的變化多大程度上是由灌溉海水濃度引起的？
附殘差相關(guān)指數(shù)其中
題型六 非線性回歸
26．（22-23高二下·江西萍鄉(xiāng)·期中）某研發(fā)小組為了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對(duì)年銷售額（單位：億元）的影響，結(jié)合近10年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù)（），建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①，②，其中，，，均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).設(shè)，，經(jīng)過計(jì)算得如下數(shù)據(jù).
(1)設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)擬合程度更好的模型.
(2)根據(jù)（1）中選擇的模型及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），根據(jù)線性回歸方程，若當(dāng)年的銷售額大致為億元，則估計(jì)當(dāng)年的研發(fā)資金投入量為多少億元.
參考公式：相關(guān)系數(shù)，
線性回歸直線中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)參數(shù)分別為，.
27．（22-23高二下·黑龍江大興安嶺地·期中）碳排放是引起全球氣候變暖問題的主要原因．2009年世界氣候大會(huì)，中國(guó)做出了減少碳排放的承諾，2010年被譽(yù)為了中國(guó)低碳創(chuàng)業(yè)元年．2020年中國(guó)政府在聯(lián)合國(guó)大會(huì)發(fā)言提出：中國(guó)二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．碳中和是指主體在一定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放量，實(shí)現(xiàn)正負(fù)抵消，達(dá)到相對(duì)“零排放”．如圖為本世紀(jì)來，某省的碳排放總量的年度數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖．該數(shù)據(jù)分為兩段，2010年前該省致力于經(jīng)濟(jì)發(fā)展，沒有有效控制碳排放；從2010年開始，該省通過各種舉措有效控制了碳排放．用x表示年份代號(hào)，記2010年為．用h表示2010年前的的年度碳排放量，y表示2010年開始的年度碳排放量．
表一：2011~2017年某省碳排放總量年度統(tǒng)計(jì)表（單位：億噸）
(1)若關(guān)于x的線性回歸方程為，根據(jù)回歸方程估計(jì)若未采取措施，2017年的碳排放量；并結(jié)合表一數(shù)據(jù)，說明該省在控制碳排放舉措下，減少排碳多少億噸？
(2)根據(jù)，設(shè)2011~2017年間各年碳排放減少量為，建立z關(guān)于x的回歸方程．
①根據(jù)，求表一中y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.001）；
②根據(jù)①所求的回歸方程確定該省大約在哪年實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰？
參考數(shù)據(jù)：．
參考公式：．
28．（23-24高三上·重慶渝中·期中）當(dāng)前，新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃興起，以區(qū)塊鏈為代表的新一代信息技術(shù)迅猛發(fā)展，現(xiàn)收集某地近6年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表：
(1)若用模型擬合與的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出與的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(2)為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，邀請(qǐng)甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽．比賽規(guī)則如下：①每場(chǎng)比賽有兩個(gè)公司參加，并決出勝負(fù)；②每場(chǎng)比賽獲勝的公司與未參加此場(chǎng)比賽的公司進(jìn)行下一場(chǎng)的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)公司首先獲勝兩場(chǎng)，則本次比賽結(jié)束，該公司獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”．已知在每場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場(chǎng)由甲乙比賽，求甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率．
參考數(shù)據(jù)：，其中，
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
29．（22-23高三上·廣東深圳·期中）紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對(duì)柚子樹造成嚴(yán)重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）和平均溫度x（℃）有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）關(guān)于平均溫度x（℃）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）
附：回歸方程中，，
(3)根據(jù)以往每年平均氣溫以及對(duì)果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計(jì)，得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在22℃以下的年數(shù)占60%，對(duì)柚子產(chǎn)量影響不大，不需要采取防蟲措施；平均氣溫在22℃至28℃的年數(shù)占30%，柚子產(chǎn)量會(huì)下降20%；平均氣溫在28℃以上的年數(shù)占10%，柚子產(chǎn)量會(huì)下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛蟲害，農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.
在每年價(jià)格不變，無蟲害的情況下，某果園年產(chǎn)值為200萬元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以得到最高收益（收益＝產(chǎn)值－防害費(fèi)用）為目標(biāo)，請(qǐng)為果農(nóng)從以下幾個(gè)方案中推薦最佳防害方案，并說明理由.
方案1：選擇防害措施A，可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產(chǎn)，費(fèi)用是18萬；
方案2：選擇防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛蟲害，但無法防治28℃以上的紅蜘蛛蟲害，費(fèi)用是10萬；
方案3：不采取防蟲害措施.
30．（22-23高二下·福建福州·期末）在隧道施工過程中，若隧道拱頂下沉速率過快，無法保證工程施工的安全性，則需及時(shí)調(diào)整支護(hù)參數(shù)．某施工隊(duì)對(duì)正在施工的福州象山隧道工程進(jìn)行下沉量監(jiān)控，通過對(duì)監(jiān)控結(jié)果進(jìn)行回歸分析，建立前t天隧道拱頂?shù)睦奂涌傁鲁亮縵（單位：毫米）與時(shí)間t（單位：天）的回歸方程，通過回歸方程預(yù)測(cè)是否需要調(diào)整支護(hù)參數(shù)．已知該隧道拱頂下沉的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)如表所示：
研究人員制作相應(yīng)散點(diǎn)圖，通過觀察，擬用函數(shù)進(jìn)行擬合．令，計(jì)算得：，．
(1)試建立z與t的回歸方程，并預(yù)測(cè)前8天該隧道拱頂?shù)睦奂涌傁鲁亮?；（精確到0.1）
(2)已知當(dāng)拱頂在某個(gè)時(shí)刻下沉的瞬時(shí)速率超過27毫米/天時(shí)，支護(hù)系統(tǒng)將超負(fù)荷，隧道有塌方風(fēng)險(xiǎn)，施工隊(duì)需要提前一天調(diào)整支護(hù)參數(shù)、試估計(jì)最遲在第幾天調(diào)整支護(hù)參數(shù)？（精確到整數(shù)）
附：①回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：；
②參考數(shù)據(jù)：．
題型七 等高條形圖
31．【多選】（22-23高二下·福建泉州·期中）如圖是調(diào)查某地區(qū)男、女中學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)的等高堆積條形圖，陰影部分表示喜歡數(shù)學(xué)的百分比，從圖可以看出（ ）

A．性別與喜歡數(shù)學(xué)無關(guān)B．女生中喜歡數(shù)學(xué)的百分比為
C．男生比女生喜歡數(shù)學(xué)的可能性大些D．男生不喜歡數(shù)學(xué)的百分比為
32．（21-22高二下·山東臨沂·期中）某校為研究該校學(xué)生性別與體育鍛煉的經(jīng)常性之間的聯(lián)系，隨機(jī)抽取100名學(xué)生（其中男生60名，女生40名），并繪制得到如圖所示的等高堆積條形圖，則這100名學(xué)生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為 ．
33．【多選】（21-22高二·全國(guó)·單元測(cè)試）某校計(jì)劃在課外活動(dòng)中新增攀巖項(xiàng)目，為了解學(xué)生對(duì)攀巖的喜好和性別是否有關(guān)，面向?qū)W生開展了一次隨機(jī)調(diào)查，其中參加調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，并繪制如圖所示的等高堆積條形圖，則（ ）
A．參與調(diào)查的學(xué)生中喜歡攀巖的男生人數(shù)比喜歡攀巖的女生人數(shù)多
B．參與調(diào)查的女生中喜歡攀巖的人數(shù)比不喜歡攀巖的人數(shù)多
C．若參與調(diào)查的男、女生人數(shù)均為100，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為對(duì)攀巖的喜好和性別有關(guān)
D．無論參與調(diào)查的男、女生人數(shù)為多少，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為對(duì)攀巖的喜好和性別有關(guān)
34．（2023·貴州·二模）為了發(fā)展學(xué)生的興趣和個(gè)性特長(zhǎng)，培養(yǎng)全面發(fā)展的人才．某學(xué)校在不加重學(xué)生負(fù)擔(dān)的前提下．提供個(gè)性、全面的選修課程．為了解學(xué)生對(duì)于選修課《學(xué)生領(lǐng)導(dǎo)力的開發(fā)》的選擇意愿情況，對(duì)部分高二學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，制作出如圖所示的兩個(gè)等高條形圖，根據(jù)條形圖，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．樣本中不愿意選該門課的人數(shù)較多
B．樣本中男生人數(shù)多于女生人數(shù)
C．樣本中女生人數(shù)多于男生人數(shù)
D．該等高條形圖無法確定樣本中男生人數(shù)是否多于女生人數(shù)
35．（2023·四川達(dá)州·一模）四川省將從2022年秋季入學(xué)的高一年級(jí)學(xué)生開始實(shí)行高考綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學(xué)生的首選意愿，對(duì)部分高一學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，制作出如下兩個(gè)等高條形圖，根據(jù)條形圖信息，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)少于選擇歷史意愿的女生人數(shù)
B．樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)
C．樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多
D．樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)
題型八 獨(dú)立性檢驗(yàn)
36．（21-22高二下·山東濱州·期末）針對(duì)時(shí)下的“短視頻熱”，某高校團(tuán)委對(duì)學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，則的最小值為（ ）
附：，附表：
A．7B．8C．9D．10
37．（22-23高二下·湖南邵陽·期中）為響應(yīng)國(guó)家綠色環(huán)保的政策，改善空氣質(zhì)量，某監(jiān)測(cè)部門對(duì)某地區(qū)空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查該地區(qū)100天空氣中的PM2.5和濃度（單位：），得下表：
(1)估計(jì)事件“該地區(qū)一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且濃度不超過150”的概率；
(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：
根據(jù)所列的列聯(lián)表計(jì)算，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關(guān)？附公式和參考數(shù)據(jù)：
38．（22-23高二下·黑龍江大興安嶺地·期中）為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)隨機(jī)抽取了80名學(xué)生，按照性別和體育鍛煉情況整理為如下列聯(lián)表：
(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素會(huì)影響學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性；
(2)若列聯(lián)表中的所有樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)都變?yōu)樵瓉淼?0倍，再做第（1）問，得到的結(jié)論還一樣嗎？請(qǐng)說明理由；
附：①，其中.
②臨界值表
39．（22-23高二下·廣西北海·期中）安徽新高考改革方案正式公布，根據(jù)改革方案，計(jì)入高考總分的考試科目共有6門，即“3＋1＋2”，“3”為語文、數(shù)學(xué)、外語3門全國(guó)統(tǒng)一考試科目，不分文理科，使用全國(guó)卷，選擇性考試科目為思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物學(xué)6門.由考生根據(jù)報(bào)考高校要求，結(jié)合自身特長(zhǎng)興趣，首先在物理和歷史中選擇1門，再?gòu)乃枷胝巍⒌乩?、化學(xué)、生物學(xué)中選擇2門.
附表：
，.
(1)若某學(xué)生根據(jù)方案從選擇性考試科目中隨機(jī)選擇三科，求該生恰好選到政史地的概率；
(2)由于物理和歷史兩科必須選擇1科，某校想了解學(xué)生選科的需求，隨機(jī)選取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”？
40．（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·期中）某品牌方便面每袋中都隨機(jī)裝入一張卡片（卡片有A、B、C三種），規(guī)定：如果集齊A、B、C卡片各一張，便可獲得一份獎(jiǎng)品.
(1)已知該品牌方便面有兩種口味，為了了解這兩種口味方便面中C卡片所占比例情況，小明收集了以下調(diào)查數(shù)據(jù)：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認(rèn)為“該品牌方便面中C卡片所占比例與方便面口味有關(guān)”?
(2)根據(jù)《中華人民共和國(guó)反不正當(dāng)競(jìng)爭(zhēng)法》，經(jīng)營(yíng)者舉辦有獎(jiǎng)銷售，應(yīng)當(dāng)向購(gòu)買者明示獎(jiǎng)品種類、中獎(jiǎng)概率、獎(jiǎng)品金額或者獎(jiǎng)品種類、兌獎(jiǎng)時(shí)間和方式.經(jīng)小明查詢，該方便面中A卡片、B卡片和C卡片的比例分別為，，，若小明一次購(gòu)買3袋該方便面.
①求小明中獎(jiǎng)的概率；
②若小明未中獎(jiǎng)，求小明未獲得C卡的概率.
附：，
41．（23-24高三上·四川成都·期中）為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對(duì)30名六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表（平均每天喝500ml以上為常喝，體重超過50kg為肥胖）：
(1)是否有99.5％的把握認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？說明你的理由；
(2)現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生中（其中4名男生2名女生），抽取2人參加電視節(jié)目，則正好抽到一男一女的概率是多少？
（參考公式：，其中）
42．（23-24高三上·四川成都·期中）某中醫(yī)研究所研制了一種治療A疾病的中藥，為了解其對(duì)A疾病的作用，要進(jìn)行雙盲實(shí)驗(yàn)．把60名患有A疾病的志愿者隨機(jī)平均分成兩組，甲組正常使用這種中藥，乙組用安慰劑代替中藥，全部療期后，統(tǒng)計(jì)甲、乙兩組的康復(fù)人數(shù)分別為20和5．
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為使用這種中藥與A疾病康復(fù)有關(guān)聯(lián)？
(2)若將乙組未用藥（用安慰劑代替中藥）而康復(fù)的頻率視為這種疾病的自愈概率，現(xiàn)從患有A疾病的人群中隨機(jī)抽取3人，記其中能自愈的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附表：
附：，其中．
注：雙盲實(shí)驗(yàn)：是指在實(shí)驗(yàn)過程中，測(cè)驗(yàn)者與被測(cè)驗(yàn)者都不知道被測(cè)者所屬的組別，（實(shí)驗(yàn)組或?qū)φ战M），分析者在分析資料時(shí)，通常也不知道正在分析的資料屬于哪一組．旨在消除可能出現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)者和參與者意識(shí)當(dāng)中的主觀偏差和介入偏好．安慰劑：是指沒有藥物治療作用，外形與真藥相像的片、丸、針劑．
43．（23-24高三上·吉林白城·期中）隨著科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，科技創(chuàng)新型人才需求量增大，在2015年，國(guó)家開始大力推行科技特長(zhǎng)生招生扶持政策，教育部也出臺(tái)了《關(guān)于“十三五”期間全面深入推進(jìn)教育信息化工作的指導(dǎo)意見（征求意見稿）》，為選拔和培養(yǎng)科技創(chuàng)新型人才做好準(zhǔn)備．某調(diào)研機(jī)構(gòu)調(diào)查了、兩個(gè)參加國(guó)內(nèi)學(xué)科競(jìng)賽的中學(xué)，從、兩個(gè)中學(xué)的參賽學(xué)員中隨機(jī)抽取了60人統(tǒng)計(jì)其參賽獲獎(jiǎng)情況，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學(xué)校有關(guān)？
(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法，從樣本中獲得區(qū)前三名及以上名次的學(xué)生中抽取5人，再?gòu)倪@5人中任選3人進(jìn)行深度調(diào)研，記所選的3人中有人來自中學(xué)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：，其中．
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高溫度/℃
5
9
9
11
17
24
27
30
31
21
最低溫度/℃
1
1
7
17
19
23
25
10
城市
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
老齡化率
0.17
0.2
0.18
0.05
0.21
0.09
0.19
0.3
0.17
0.24
1.8
空置率
0.06
0.13
0.09
0.05
0.09
0.08
0.11
0.15
0.16
0.28
1.2
年齡
2
3
4
5
6
患病人數(shù)
21
20
15
14
10
月份t
1
2
3
4
訂單數(shù)量y（萬件）
5.2
5.3
5.7
5.8
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
晝夜溫差x（℃）
4
7
8
9
14
12
新增就診人數(shù)y（位）
0
1
3
4
a
4.3
4.8
6.7
x
-2
-1
0
1
2
y
5
4
m
2
1
使用年限年
維護(hù)費(fèi)用千元
月份代碼x
1
2
3
4
5
碳酸鋰價(jià)格y
0.5
a
1
1.2
1.5
腳長(zhǎng)
22
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
25.5
26
26.5
27
歐碼
35
35.5
36
36.5
37.5
38
38.5
39
40
40.5
41
42
時(shí)間
1
2
3
4
5
銷售量（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
-2
-1
0
1
2
5
2
2
1
單價(jià)x/元
8.2
8.4
8.6
8.8
銷量y/件
84
83
78
m
3
4
5
6
2.5
3
4
擬合曲線
直線
指數(shù)曲線
拋物線
三次曲線
與的回歸方程
相關(guān)指數(shù)
0.893
0.986
0.931
0.312
海水濃度（％）
3
4
5
6
7
畝產(chǎn)量（噸）
0.57
0.53
0.44
0.36
0.30
殘差
-0.01
0.02
m
n
0
20
66
770
200
14
460
4.20
3125000
0.308
21500
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年份代號(hào)x
1
2
3
4
5
6
7
年度碳排放量y（單位：億噸）
2.54
2.635
2.72
2.80
2.885
3.00
3.09
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
編號(hào)
1
2
3
4
5
6
企業(yè)總數(shù)量（單位：百個(gè)）
50
78
124
121
137
352
參考數(shù)據(jù)（）
5215
17713
714
27
81.3
3.6
t（單位：天）
1
2
3
4
5
6
7
z（單位：毫米）
0.01
0.04
0.14
0.52
1.38
2.31
4.30
0.05
0.01
3.841
6.635
PM2.5
32
18
4
6
8
12
3
7
10
PM2.5
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
性別
鍛煉
合計(jì)
不經(jīng)常
經(jīng)常
男生
20
20
40
女生
24
16
40
合計(jì)
44
36
80
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
選擇物理
選擇歷史
合計(jì)
男
40
10
50
女
30
20
50
合計(jì)
70
30
100
口味1
口味2
合計(jì)
C卡片
20
10
30
非C卡片
75
45
120
合計(jì)
95
55
150
P（χ2≥x0）
0.050
0.010
0.001
x0
3.841
6.635
10.828
常喝
不常喝
合計(jì)
肥胖
6
2
8
不胖
4
18
22
合計(jì)
10
20
30
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
康復(fù)
未康復(fù)
合計(jì)
甲組
20
30
乙組
5
30
合計(jì)
未獲得區(qū)前三名及以上名次
獲得區(qū)前三名及以上名次
中學(xué)
11
6
中學(xué)
34
9

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