【考題猜想】專題05 一元線性回歸模型與獨立性檢驗-高二數(shù)學下學期期末考點大串講試卷（人教B版2019選擇性必修第二冊）-試卷下載-教習網(wǎng)

一．相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù)
1．（23-24高二下·江西·月考）已知變量x，y線性相關(guān)，利用樣本數(shù)據(jù)求得的回歸直線方程為，且點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)（）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意知，點都在直線上，可得，
又由變量負相關(guān)，所以．故選：B．
2．（23-24高二下·河南駐馬店·期中）對兩個變量y與x進行回歸分析，分別選擇不同的模型，它們的相關(guān)系數(shù)r如下，其中擬合效果最好的模型是（）
A．模型Ⅰ：相關(guān)系數(shù)r為B．模型Ⅱ：相關(guān)系數(shù)r為0.81
C．模型Ⅲ：相關(guān)系數(shù)r為D．模型Ⅳ：相關(guān)系數(shù)r為0.53
【答案】A
【解析】相關(guān)系數(shù)越大，擬合效果越好.故選：A.
3．（23-24高二下·天津·期中）對甲、乙兩組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖（左圖為甲，右圖為乙），下列結(jié)論正確的是（）
A．乙組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)大于零B．甲組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度比乙強
C．乙組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)比甲組的更接近1D．乙組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)比甲小
【答案】D
【解析】由散點圖可以看出，甲、乙兩組數(shù)據(jù)都呈線性相關(guān)，
且乙組數(shù)據(jù)呈負相關(guān)，相關(guān)系數(shù)記為，則，
甲組數(shù)據(jù)呈正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)記為，則，
乙圖的點相對更加集中在某一條直線附近，
所以其相關(guān)性較強，則乙組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)更接近，故A、B、C錯誤，D正確.故選：D.
4．（23-24高二下·遼寧沈陽·月考）已知5個成對數(shù)據(jù)的散點圖如下、若去掉點，則下列說法錯誤的是（）
A．變量x與變量y呈負相關(guān)B．變量x與變量y的相關(guān)性變強
C．殘差平方和變小D．樣本相關(guān)系數(shù)r變大
【答案】D
【解析】由散點圖可知，去掉點D后，與的線性相關(guān)加強，且為負相關(guān)，所以AB正確，
由于與的線性相關(guān)加強，所以殘差平方和變小，所以C正確，
由于與的線性相關(guān)加強，且為負相關(guān)，
所以相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，而相關(guān)系數(shù)為負的，所以樣本相關(guān)系數(shù)r變小，所以D錯誤，故選：D.
5．（23-24高二下·貴州·月考）某公司收集了某商品銷售收入（萬元）與相應(yīng)的廣告支出（萬元）共10組數(shù)據(jù)（），繪制出如下散點圖，并利用線性回歸模型進行擬合.
若將圖中10個點中去掉點后再重新進行線性回歸分析，則下列說法正確的是（）
A．決定系數(shù)變小B．殘差平方和變小
C．相關(guān)系數(shù)的值變小D．解釋變量與預(yù)報變量相關(guān)性變?nèi)?br>【答案】B
【解析】從圖中可以看出點較其他點，偏離直線遠，故去掉點后，回歸效果更好，
故決定系數(shù)會變大，更接近于1，殘差平方和變小，
相關(guān)系數(shù)的絕對值，即會更接近于1，由圖可得與正相關(guān)，故會更接近于1，
即相關(guān)系數(shù)的值變大，解釋變量與預(yù)報變量相關(guān)性變強，
故A、C、D錯誤，B正確.故選：B.
二．樣本中心點的應(yīng)用
1．（23-24高二下·湖南岳陽·月考）已知變量的部分數(shù)據(jù)如下表，由表中數(shù)據(jù)得之間的經(jīng)驗回歸方程為，現(xiàn)有一測量數(shù)據(jù)為，若該數(shù)據(jù)的殘差為1.2，則（）
A．25.6B．28C．29.2D．24.4
【答案】B
【解析】由題意可知，，
將代入，即，解得，
所以，
當時，，
則.故選：B.
2．（23-24高二下·河南濮陽·月考）在研究變量與之間的相關(guān)關(guān)系時，進行實驗后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)誤差較大，剔除這對數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗回歸方程為，且，則（）
A．13.5B．14C．14.5D．15
【答案】A
【解析】因為，剔除異常數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)后，，
因為點在直線上，所以，解得，
設(shè)利用原始數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸直線過點，
則，
因為，所以.故選：A.
3．（23-24高二下·河南·月考）已知一組樣本數(shù)據(jù)如下表所示：經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為，若成等差數(shù)列，則當時，的預(yù)測值約為（結(jié)果精確到0．01）（）
A．18.86B．20.13C．22.10D．26.02
【答案】A
【解析】因為成等差數(shù)列，所以所以
所以所以所以
所以當時，.故選：A．
4．（23-24高二下·河南南陽·期中）具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的樣本數(shù)據(jù)如下：
其回歸直線方程為，則回歸直線經(jīng)過（）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限D(zhuǎn)．第一、三、四象限
【答案】A
【解析】由表中的數(shù)據(jù)知正相關(guān)．所以，
又，，
即點在回歸直線上，且在第二象限，
所以回歸直線經(jīng)過第一、二、三象限，故選：A
5．（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期中）（多選）已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個樣本，得到回歸直線方程為，且，剔除一個偏離直線較大的異常點后，得到新的回歸直線經(jīng)過點.則下列說法正確的是（）
A．相關(guān)變量 x，y具有正相關(guān)關(guān)系
B．剔除該異常點后，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值變大
C．剔除該異常點后的回歸直線方程經(jīng)過點
D．剔除該異常點后，回歸直線的斜率是
【答案】BCD
【解析】由回歸直線方程的斜率為，可知相關(guān)變量 x，y具有負相關(guān)關(guān)系，故A錯誤；
剔除一個偏離直線較大的異常點后，擬合程度變大，故樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，B正確；
因為原回歸直線方程為，且，則，
剔除異常點后，得到新的回歸直線經(jīng)過點，則得到新的，
，故剔除該異常點后的回歸直線方程經(jīng)過點，C正確；
新的回歸方程過點，列出方程，解得，
則新的回歸方程為，故D正確；故選：BCD
三．線性回歸模型應(yīng)用
1．（23-24高二下·河北滄州·月考）假期中，來自沿海城市的小明和小強去四川旅游，他們發(fā)現(xiàn)自己帶的小面包的包裝袋鼓了起來.原來隨著海拔升高，氣壓也隨之降低，包裝袋內(nèi)的氣壓大于外面氣壓，從而使得面包袋鼓了起來.研究發(fā)現(xiàn)在一定范圍內(nèi)大氣壓與海拔高度是近似線性的關(guān)系.
(1)利用線性回歸分析求與之間的線性回歸方程；（的值精確到0.001）
(2)小明和小強打算去九寨溝，可以利用（1）中的方程，估計九寨溝A景點（海拔2800m）的大氣壓.（精確到0.01）
附：①對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.
②參考數(shù)據(jù)：，.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)得，
，
又，
所以，
，
所以經(jīng)驗回歸方程.
（2）當時，，
所以九寨溝在景點處（海拔）的大氣壓約為
2．（23-24高二下·安徽·月考）我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃、某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準備增加研發(fā)資金．該企業(yè)為了了解研發(fā)資金的投入額（單位：百萬元）對年收入的附加額（單位：百萬元）的影響，對往年研發(fā)資金投入額和年收入的附加額進行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：
(1)求證：，；
(2)求年收入的附加額與投入額的經(jīng)驗回歸方程．若投入額為13百萬元，估計年收入的附加額．
參考數(shù)據(jù)：，，．
參考公式：在經(jīng)驗回歸方程中，，．
【答案】(1)證明見解析；(2)；百萬元
【解析】（1）證明：由
；
又由
.
（2）由統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)，可得，，
所以，
又因為，可得，
所以年收入的附加額與投入額的線性回歸方程為，
當時，可得百萬元.
3．（23-24高二下·貴州黔西·月考）當今社會面臨職業(yè)選擇時，越來越多的青年人選擇通過創(chuàng)業(yè)、創(chuàng)新的方式實現(xiàn)人生價值.小明是一名剛畢業(yè)的大學生，通過直播帶貨的方式售賣自己家鄉(xiāng)的特產(chǎn)，下面是他近5個月的家鄉(xiāng)特產(chǎn)收入y（單位：萬元）的情況，如表所示.
(1)根據(jù)5月至9月的數(shù)據(jù)，求y與t之間的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.001），并判斷相關(guān)性；
(2)求出y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程（結(jié)果中保留兩位小數(shù)），并預(yù)測10月收入能否突破1.5萬元，請說明理由.
附：樣本相關(guān)系數(shù).一組數(shù)據(jù)其經(jīng)驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.，，，.
【答案】(1)相關(guān)系數(shù)為－0.962，y與t具有很強的線性相關(guān)關(guān)系
(2)，不能突破1.5萬，理由見解析
【解析】（1）由5月至9月的數(shù)據(jù)可知，
，
因為，，，
所以.
因為樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值，
所以認為y與t具有很強的線性相關(guān)關(guān)系.
（2）由題得，
所以，
所以y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程為.
當時，，
因為1.44 ＜1.5，所以10月收入從預(yù)測看不能突破1.5萬元.
4．（23-24高二下·云南曲靖·月考）某地區(qū)響應(yīng)“節(jié)能減排，低碳生活”的號召，開展系列的措施控制碳排放．環(huán)保部門收集到近5年內(nèi)新增碳排放數(shù)量，如下表所示，其中為年份代號，（單位：萬噸）代表新增碳排放量．
(1)請計算并用相關(guān)系數(shù)的數(shù)值說明與之間的線性相關(guān)性的強弱（保留小數(shù)點后兩位）；
(2)求關(guān)于的線性回歸方程，并據(jù)此估計該地區(qū)23-24年的新增碳排放數(shù)量．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關(guān)系數(shù)的公式分別為，，
【答案】(1)，線性相關(guān)程度較高；
(2)，估計該地區(qū)23-24年的新增碳排放數(shù)量為萬噸.
【解析】（1）由題意得，
，
，
，
即得，所以線性相關(guān)程度較高.
（2），
，
所以，
當時，萬噸.
所以估計該地區(qū)23-24年的新增碳排放數(shù)量為萬噸.
5．（23-24高三上·江蘇蘇州·月考）某學校研究性學習小組在學習生物遺傳學的過程中，為驗證高爾頓提出的關(guān)于兒子成年后身高（單位：）與父親身高（單位：）之間的關(guān)系及存在的遺傳規(guī)律，隨機抽取了5對父子的身高數(shù)據(jù)，如下表：
參考數(shù)據(jù)及公式：，，，，，
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并利用回歸直線方程分別確定兒子比父親高和兒子比父親矮的條件，由此可得到怎樣的遺傳規(guī)律？
(2)記，，其中為觀測值，為預(yù)測值，為對應(yīng)的殘差．求（1）中兒子身高的殘差的和、并探究這個結(jié)果是否對任意具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量都成立？若成立加以證明；若不成立說明理由．
【答案】(1)，規(guī)律見解析；(2)殘差和為0；成立，證明見解析
【解析】（1），，
，，
故回歸方程為：，
取，解得，即時，兒子比父親高；
取，解得，即時，兒子比父親矮；
父親較高時，兒子平均身高要矮于父親，父親較矮時，兒子平均身高要高于父親，
即兒子身高有一個回歸，回歸到全種群平均高度的趨勢.
（2），；
，；
，；
，；
，；
故殘差的和為.
對任意具有線性相關(guān)關(guān)系的變量.
證明如下：.
四．非線性回歸分析
1．（23-24·福建寧德·三模）23-24海峓兩岸各民族歡度“三月三”暨福籽同心愛中華福建省第十一屆“三月三”畬族文化節(jié)活動在寧德隆重開幕.海峽兩岸各民族同胞齊聚于此，與當?shù)厝罕姽餐瑲g慶“三月三”，暢敘兩岸情.在活動現(xiàn)場，為了解不同時段的入口游客人流量，從上午10點開始第一次向指揮中心反饋入口人流量，以后每過一個小時反饋一次.指揮中心統(tǒng)計了前5次的數(shù)據(jù)，其中為第次入口人流量數(shù)據(jù)（單位:百人），由此得到關(guān)于的回歸方程.已知，根據(jù)回歸方程（參考數(shù)據(jù):），可頂測下午4點時入口游客的人流量為（）
A．9.6B．11.0C．11.3D．12.0
【答案】B
【解析】設(shè)，，則
所以，
，且
則，得，
所以，
下午4點對應(yīng)的，此時預(yù)測游客的人流量.故選：B
2．（23-24高二下·貴州黔西·月考）為了適應(yīng)市場需求，同時兼顧企業(yè)盈利的預(yù)期，某科技公司決定增加一定數(shù)量的研發(fā)人員，經(jīng)過調(diào)研，得到年收益增量（單位：億元）與研發(fā)人員增量（人）的10組數(shù)據(jù)．現(xiàn)用模型①，②分別進行擬合，由此得到相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程，并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖．
根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到下表數(shù)據(jù)，其中.
(1)根據(jù)殘差圖，判斷應(yīng)選擇哪個模型；（無需說明理由）
(2)根據(jù)（1）中所選模型，求出關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；并用該模型預(yù)測，要使年收益增量超過8億元，研發(fā)人員增量至少多少人？（精確到1）
【答案】(1)選擇模型②；(2)；10人
【解析】（1）選擇模型②，理由如下：
由于模型②殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型②帶狀寬度窄，
所以模型②的擬合精度更高，回歸方程的預(yù)報精度相應(yīng)就會越高，所以選模型②比較合適；
（2）根據(jù)模型②，令與可用線性回歸來擬合，有，
則，
所以，
則關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為．
所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，
由題意，，解得，又為整數(shù)，所以，
所以，要使年收益增量超過8億元，研發(fā)人員增量至少為10人．
3．（23-24高二下·廣東·期中）某地政府為提高當?shù)剞r(nóng)民收入，指導農(nóng)民種植藥材，取得較好的效果.以下是某農(nóng)戶近5年種植藥材的年收入的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)決定使用模型擬合與之間的關(guān)系，請求出此模型的回歸方程；（結(jié)果保留一位小數(shù)）
(2)統(tǒng)計學中常通過計算殘差的平方和來判斷模型的擬合效果.在本題中，若殘差平方和小于0.5，則認為擬合效果符合要求.請判斷（1）中回歸方程的擬合效果是否符合要求，并說明理由.
參考數(shù)據(jù)及公式：，.設(shè)，則，.
【答案】(1)；(2)擬合效果符合要求，理由見解析
【解析】（1）根據(jù)農(nóng)戶近5年種植藥材的收入情況的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得：
，，
設(shè)，則，所以，
則，.
所以，回歸方程為.
（2）將值代入可得估計值分別為59，60.8，63.8，68，73.4，
則殘差平方和為.
因為，所以回歸方程擬合效果符合要求.
4．（23-24高二下·廣東江門·月考）廣東省深圳市是全國七大電動車生產(chǎn)基地之一，擁有完整的產(chǎn)業(yè)鏈和突出的設(shè)計優(yōu)勢.某電動車公司為了搶占更多的市場份額，計劃加大廣告投入.該公司近5年的年廣告費（單位：百萬元）和年銷售量（單位：百萬輛）關(guān)系如圖所示：
令，數(shù)據(jù)經(jīng)過初步處理得：
現(xiàn)有①和②兩種方案作為年銷售量關(guān)于年廣告費的回歸分析模型，其中，，，均為常數(shù).
(1)請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？（不能整除的相關(guān)系數(shù)保留2位小數(shù)）
(2)根據(jù)（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測年廣告費為6（百萬元）時，產(chǎn)品的年銷售量是多少？
附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中公式分別為，，
②參考數(shù)據(jù)：，，，.
【答案】(1)模型②的擬合程度更好；(2)，13（百萬輛）
【解析】（1）設(shè)模型①和②的相關(guān)系數(shù)分別為，.
由題意可得：，
（說明：若化簡成，再比較與的大小亦可）
令，則，
則，
所以，由相關(guān)系數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可得，模型②的擬合程度更好；
（2）由條件得：，
又由，，得，
所以，即回歸方程為，
當時，，
因此當年廣告費為6（百萬元）時，產(chǎn)品的銷售量大概是13（百萬輛）.
5．（23-24高三上·廣東廣州·月考）中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，某數(shù)學建模小組為了獲得茶水溫度y（單位：）關(guān)于時間x（單位：min）的回歸方程模型，通過實驗收集在室溫，用同一溫度的水沖泡的條件下，茶水溫度隨時間變化的7組數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)做初步處理得到如圖所示散點圖以及如表所示數(shù)據(jù).

表中：，
(1)根據(jù)散點圖判斷，①與②哪一個更適宜作為該茶水溫度y關(guān)于時間x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）請根據(jù)你的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立該茶水溫度y關(guān)于時間x的回歸方程；
(2)已知該茶水溫度降至口感最佳，根據(jù)（1）中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？
附：（1）對于一組數(shù)據(jù)，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，
（2）參考數(shù)據(jù)：，，，，
【答案】(1)②更適宜，；(2)7.5min.
【解析】（1）由散點圖知，更適宜的回歸方程為②，即.
由，得，兩邊取自然對數(shù)，得，
令，則，
，
結(jié)合表中數(shù)據(jù)，得，
結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得，由，得，
所以茶水溫度y關(guān)于時間x的回歸方程為.
（2）依題意，室溫下，茶水溫度降至口感最佳，
即，整理得，
于是，解得，
所以在相同條件下，剛泡好的茶水大約需要放置7.5min才能達到最佳引用口感.
五．獨立性檢驗的概念辨析
1．（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習）假設(shè)有兩個分類變量與，它們的可能取值分別為和，其列聯(lián)表為：
則當取下面何值時，與的關(guān)系最弱（）
A．8B．9
C．14D．19
【答案】C
【解析】在兩個分類變量的列聯(lián)表中，當?shù)闹翟叫r，認為兩個分類變量有關(guān)的可能性越?。?br>令，得，解得，
所以當時，與的關(guān)系最弱，故A，B，D錯誤.故選：C．
2．（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期中）為研究高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關(guān)系，運用2×2列聯(lián)表進行檢驗，經(jīng)計算，參考下表，則認為“性別與喜歡數(shù)學有關(guān)”犯錯誤的概率不超過（）
A．0.1%B．1%C．99%D．99.9%
【答案】B
【解析】因為，結(jié)合表格可知，
所以認為“性別與喜歡數(shù)學有關(guān)”犯錯誤的概率不超過，故選：B
3．（23-24高二下·全國·專題練習）為研究高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關(guān)系，運用列聯(lián)表進行檢驗，經(jīng)計算，參考下表，則認為“性別與喜歡數(shù)學有關(guān)”犯錯誤的概率不超過（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，結(jié)合表格可知，
所以認為“性別與喜歡數(shù)學有關(guān)”犯錯誤的概率不超過0.010.故選：B．
4．（20-21高二下·全國·課后作業(yè)）根據(jù)分類變量與的觀測數(shù)據(jù)，計算得到.依據(jù)的獨立性檢驗，結(jié)論為（）.
A．變量與不獨立
B．變量與不獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過
C．變量與獨立
D．變量與獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過
【答案】C
【解析】由表可知當時，，
因為，所以分類變量與相互獨立，
因為，
所以分類變量與相互獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過，故選：C
5．（22-23高一下·江蘇蘇州·期末）為了解喜愛足球是否與性別有關(guān)，隨機抽取了若干人進行調(diào)查，抽取女性人數(shù)是男性的2倍，男性喜愛足球的人數(shù)占男性人數(shù)的，女性喜愛足球的人數(shù)占女性人數(shù)的，若本次調(diào)查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛足球與性別有關(guān)”的結(jié)論，則被調(diào)查的男性至少有（）人
A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【解析】設(shè)男性人數(shù)為，依題意，得列聯(lián)表如下：
則的觀測值為，
因為本次調(diào)查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛足球與性別有關(guān)”的結(jié)論，
于是，即，解得，而，因此，故選：B
六．獨立性檢驗綜合應(yīng)用
1．（23-24高二下·廣東湛江·月考）2022年北京冬奧會的申辦成功與“3億人上冰雪”口號的提出，將冰雪這個冷項目迅速炒“熱”．北京某綜合大學計劃在一年級開設(shè)冰球課程，為了解學生對冰球運動的興趣，隨機從該校一年級學生中抽取了100人進行調(diào)查，其中女生中對冰球運動有興趣的占，而男生共55人，其中有10人表示對冰球運動沒有興趣．
(1)試列出列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？
(2)已知在被調(diào)查的女生中有5名數(shù)學系的學生，其中3名對冰球有興趣，現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人，求至少有2人對冰球有興趣的概率．
附表：
【答案】(1)答案見解析；(2)
【解析】（1）從該校一年級學生中抽取了100人進行調(diào)查，其中女生中對冰球運動有興趣的占，
則女生中對冰球感興趣的有人，
因為，
所以有的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關(guān)”.
（2）記5人中對冰球有興趣的3人分別為，對冰球沒興趣的2人為，
則從這5名學生中隨機抽取3人，有，
，共10種情況，
其中3人都對冰球有興趣的情況有，共1種，
有2人對冰球有興趣的情況有，共6種，
所以至少有2人對冰球有興趣的情況有7種，
因此，所求事件的概率為.
2．（23-24高二下·福建龍巖·月考）為貫徹落實全國教育大會精神，全面加強和改進新時代學校體育工作，某校開展陽光體育“冬季長跑活動”．為了解學生對“冬季長跑活動”的興趣度是否與性別有關(guān)，某調(diào)查小組隨機抽取該校100名高中學生進行問卷調(diào)查，其中認為感興趣的人數(shù)占80%．
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析學生對“冬季長跑活動”的興趣度與性別是否有關(guān)？
(2)若不感興趣的男學生中恰有5名是高三學生，現(xiàn)從不感興趣的男學生中隨機抽取3名進行二次調(diào)查，記選出高三男學生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．
附：，其中．
【答案】(1)無關(guān)；(2)分布列見解析，
【解析】（1）抽取的該校100名高中學生中感興趣的人數(shù)為人，
列聯(lián)表補充如下：
零假設(shè)學生對“冬季長跑活動”的興趣度與性別無關(guān)．
則，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們沒有充分的證據(jù)推斷不成立，
因此可以認為學生對“冬季長跑活動”的興趣度與性別無關(guān)．
（2）所有可能的值為.
，，
，，
的分布列為：
的數(shù)學期望：.
3．（23-24高二下·江蘇泰州·期末）為培養(yǎng)學生的閱讀習慣，某學校規(guī)定所有學生每天在校閱讀時長不得少于1小時.若認為每天在校閱讀的時長不少于1小時為達標，達到2小時的學生為“閱讀之星”.假設(shè)該校學生每天在校閱讀時長（的單位：小時），達標學生是“閱讀之星”的概率為.
(1)從該校學生中隨機選出1人，求達標的概率；
(2)為進一步了解該校學生不達標是否與性別有關(guān)，隨機調(diào)查了90名學生，其中男生占，已知不達標的人數(shù)恰是期望值，且不達標的學生中男生占，是否有99%的把握認為不達標與性別有關(guān)？
附：參考公式：，其中.
參考數(shù)據(jù)：
【答案】(1)；(2)有99%的把握認為不達標與性別有關(guān).
【解析】（1）從該校學生隨機選出1人，記其達標為事件，是“閱讀之星”為事件.
則，.
因為，所以.
又因為達標學生是“閱讀之星”的概率為，
所以，得，
即從該校學生中隨機選出1人，達標的概率為.
（2）依題意，隨機調(diào)查的90名學生中，男生人數(shù)為40，女生人數(shù)為50.
設(shè)這90名學生中，不達標學生人數(shù)為.
由（1）知，不達標的概率為，則.
所以數(shù)學期望，即不達標的人數(shù)為18.
因為不達標學生中有的是男生，所以不達標的男生人數(shù)為3，不達標的女生人數(shù)為15.
則達標的男生人數(shù)為37，達標的女生人數(shù)為35，得如下列聯(lián)表.
所以.
因為，所以有99%的把握認為不達標與性別有關(guān).
4．（23-24·遼寧·二模）某大型體育賽事首日火炬?zhèn)鬟f共有106名火炬手參與.
(1)組委會從火炬手中隨機抽取了100名火炬手進行信息分析，得到如下表格：
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，試判斷火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲是否有關(guān)聯(lián)；
(2)在所有火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜歡觀看足球比賽，某電視臺隨機選取一位喜歡足球比賽的火炬手做訪談，請問這位火炬手是男性的概率為多少？
【答案】(1)認為全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲沒有關(guān)聯(lián)；(2)
【解析】（1）零假設(shè)為：全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲沒有關(guān)聯(lián)，
根據(jù)的列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，
所以根據(jù)小概率的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
所以可以認定為成立，即認為全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲沒有關(guān)聯(lián).
（2）設(shè)表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，
則，
所以這位火炬手時男性的概率約為.
5．（23-24高二下·廣西·月考）2023年秋季，支原體肺炎在我國各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人．某市醫(yī)院傳染病科從該市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機抽查了200人，并調(diào)查其患病情況，將調(diào)查結(jié)果整理如下：
(1)完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析70歲以上老年人感染支原體肺炎與自身慢性疾病是否有關(guān)？
(2)用樣本估計總體，并用本次抽查中樣本的頻率代替概率，從本市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機抽取3人，設(shè)抽取的3人中感染支原體肺炎的人數(shù)為X，求X的分布列，數(shù)學期望和方差．
附：，．
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有關(guān)；(2)分布列見解析，.
【解析】（1）列聯(lián)表，如圖所示：
假設(shè)歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病無關(guān).
則，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，
即認為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.
（2）70歲以上的老年人中隨機抽查了200人，感染支原體肺炎的老年人為120人，
則感染支原體肺炎的頻率為，
由已知得，
，
，
所以隨機變量的分布列為：
所以,.21
23
25
27
15
18
19
20
x
1
2
3
4
5
6
7
y
2
5
m
9
n
13
16
－2
－4
－6
－8
17.4
13
8.2
5
海拔高度
10
50
100
500
1000
大氣壓
101.2
100.6
100.2
94.8
88.2
投入額
2
3
4
5
6
8
9
11
年收入的附加額
3.6
4.1
4.8
5.4
6.2
7.5
7.9
9.1
月份
5
6
7
8
9
時間代號t
1
2
3
4
5
家鄉(xiāng)特產(chǎn)收入y
3
2.4
2.2
2
1.8
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代號
1
2
3
4
5
新增碳排放萬噸
6.1
5.2
4.9
4
3.8
父親身高
160
170
175
185
190
兒子身高
170
174
175
180
186
7.5
2.25
82.50
4.50
12.14
2.88
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代碼
1
2
3
4
5
年收入（千元）
59
61
64
68
73
44
4.8
10
40.3
1.612
19.5
8.06
73.5
3.85
10
18
26
α
0.1
0.05
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.635
7.879
10.828
喜愛足球
不喜愛足球
合計
男性
女性
合計
有興趣
沒興趣
合計
男
女
合計
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
有興趣
沒興趣
合計
男
45
10
55
女
30
15
45
合計
75
25
100
感興趣
不感興趣
合計
男
12
女
36
合計
100
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
感興趣
不感興趣
合計
男
女
合計
3
3.841
5.024
6.635
10.828
0.050
0.025
0.010
0.001
男生
女生
合計
達標
37
35
72
不達標
3
15
18
合計
40
50
90
性別
年齡
總計
滿50周歲
未滿50周歲
男
15
45
60
女
5
35
40
總計
20
80
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
有慢性疾病
沒有慢性疾病
合計
未感染支原體肺炎
40
80
感染支原體肺炎
40
合計
120
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
有慢性疾病
沒有慢性疾病
合計
未感染支原體肺炎
40
40
80
感染支原體肺炎
80
40
120
合計
120
80
200
0
1
2
3

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