條件概率的定義及計(jì)算
概率的乘法公式
條件概率性質(zhì)的應(yīng)用
條件概率的綜合問題
全概率公式的應(yīng)用
貝葉斯公式的應(yīng)用
全概率公式和貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
相互獨(dú)立事件的判斷
相互獨(dú)立事件的概率
題型一 條件概率的定義及計(jì)算
1．（22-23高二下·遼寧大連·期中）袋中有10個(gè)外形相同的球，其中5個(gè)白球，3個(gè)黑球，2個(gè)紅球，從中任意取出一球，已知它不是白球，則它是黑球的概率是 .
2．（23-24高三上·上海普陀·期末）某公司員工小明上班選擇自駕、坐公交車、騎共享單車的概率分別為、、，而他自駕、坐公交車、騎共享單車遲到的概率分別為、、，結(jié)果今天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率為 ．
3．（2023·四川雅安·一模）甲、乙兩位學(xué)生在學(xué)校組織的課后服務(wù)活動(dòng)中，準(zhǔn)備從①②③④⑤5個(gè)項(xiàng)目中分別各自隨機(jī)選擇其中一項(xiàng)，記事件：甲和乙選擇的活動(dòng)各不同，事件：甲和乙恰好一人選擇①，則等于（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高二下·河南·期中）某單位開展主題為“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)，我學(xué)習(xí)我成長(zhǎng)”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，甲選手答對(duì)第一道題的概率為，連續(xù)答對(duì)兩道題的概率為.用事件A表示“甲選手答對(duì)第一道題”，事件B表示“甲選手答對(duì)第二道題”，則＝（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·遼寧·開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加跳臺(tái)滑雪、越野滑雪、單板滑雪三個(gè)項(xiàng)目的比賽，每人只能參加一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少一個(gè)人參加，且甲、乙兩人不能參加同一項(xiàng)目的比賽，則四人參加比賽的不同方案一共有 種；如果符合以上條件的各種方案出現(xiàn)的概率相等，定義事件A為丙和丁參加的項(xiàng)目不同，事件B為甲和乙恰好有一人參加跳臺(tái)滑雪，則 ．
6．（22-23高二下·陜西榆林·期中）近年來，某市全力推進(jìn)全國(guó)文明城市創(chuàng)建工作，構(gòu)建良好的宜居環(huán)境，城市公園越來越多，某周末，甲、乙兩位市民準(zhǔn)備從A公園、公園、公園、公園4個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件:甲和乙至少一人選擇公園，事件：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同；易知，甲、乙兩人隨機(jī)選擇景點(diǎn)所有的情況有種，甲、乙兩人都不選公園的情況有種，那么，經(jīng)計(jì)算可以得出條件概率 ．
7．（23-24高三上·湖北黃岡·期中）大美黃岡，此心安處．在這里，東坡文化獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷；在這里，紅色文化光耀中華；在這里，戲曲文化絢麗多姿；在這里，禪宗文化久負(fù)盛名．現(xiàn)有甲乙兩位游客慕名來到黃岡旅游，都準(zhǔn)備從H，G，L，Y四個(gè)著名旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩，設(shè)事件A為“甲和乙至少一人選擇景點(diǎn)G”，事件為B“甲和乙選擇的景點(diǎn)不同”，則條件概率（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三上·天津·期末）學(xué)校迎元旦文藝演出，邀選出小品、相聲、獨(dú)唱、魔術(shù)、合唱、朗誦等六個(gè)匯報(bào)演出節(jié)目，如果隨機(jī)安排節(jié)目出場(chǎng)，則朗誦第一個(gè)出場(chǎng)的概率為 ；若已知朗誦第一個(gè)出場(chǎng)，則小品是第二個(gè)出場(chǎng)的概率為 ．
題型二 概率的乘法公式
9．（23-24高二上·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知，則 ．
10．（22-23高二下·北京大興·期末）若，，，則 ； ．
11．（23-24高三下·福建·開學(xué)考試）設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，若，，，則 ．
12．（23-24高二上·上海·階段練習(xí)）下列各式中不能判斷事件與事件獨(dú)立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
題型三條件概率性質(zhì)的應(yīng)用
13．（2023·遼寧丹東·一模）已知，，，那么 ．
14．（22-23高二下·江西·期中）已知隨機(jī)事件，，若，，，則 .
15．【多選】（2023·江蘇·三模）設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則（ ）
A．B．
C．D．
16．【多選】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
17．【多選】（22-23高二下·廣東惠州·期中）已知隨機(jī)事件，的概率分別為，，且，則下列說法中不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
題型四 條件概率的綜合問題
18．【多選】（2024屆數(shù)學(xué)新高考學(xué)科基地秘卷（八））已知，分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，，，則（ ）
A．B．
C．若A，B獨(dú)立，則D．若A，B互斥，則
19．【多選】（23-24高三上·湖北武漢·期末）設(shè)A，B是一次隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則（ ）
A．A，B相互獨(dú)立 B．C．D．
20．【多選】（21-22高二下·廣東肇慶·期中）甲罐中有5個(gè)紅球，5個(gè)白球，乙罐中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球、表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，表示事件“從乙罐取出的球是紅球”.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．、為對(duì)立事件B．
C．D．
21．【多選】（23-24高三上·山東青島·期末）一個(gè)密閉的容器中裝有2個(gè)紅球和4個(gè)白球，所有小球除顏色外均相同．現(xiàn)從容器中不放回地抽取兩個(gè)小球．記事件A：“至少有1個(gè)紅球”，事件B：“至少有1個(gè)白球”，事件，則（ ）
A．事件A，B不互斥B．事件A，B相互獨(dú)立
C．D．
題型五全概率公式的應(yīng)用
22．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)喜愛球類和游泳運(yùn)動(dòng)．在暑假期間，該同學(xué)上午去打球的概率為．若該同學(xué)上午不去打球，則下午一定去游泳；若上午去打球，則下午去游泳的概率為．已知該同學(xué)在某天下午去游了泳，則上午打球的概率為（ ）
A．B．C．D．
23．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，城市的交通問題越來越嚴(yán)重，為倡導(dǎo)綠色出行，某公司員工小明選擇了三種出行方式.已知他每天上班選擇步行、騎共享單車和乘坐地鐵的概率分別為0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不遲到的概率為0.91，騎共享單車上班不遲到的概率為0.92，乘坐地鐵上班不遲到的概率為0.93，則某天上班小明遲到的概率是（ ）
A．0.24B．0.14C．0.067D．0.077
24．（23-24高三上·天津東麗·期中）某射擊小組共有10名射手，其中一級(jí)射手3人，二級(jí)射手5人，三級(jí)射手2人，現(xiàn)選出2人參賽，在至少有一人是一級(jí)射手的條件下，另一人是三級(jí)射手的概率為 ；若一、二、三級(jí)射手獲勝概率分別是0.9，0.7，0.5，則任選一名射手能夠獲勝的概率為 ．
25．（23-24高三上·江西·階段練習(xí)）某同學(xué)喜愛籃球和跑步運(yùn)動(dòng).在暑假期間，該同學(xué)下午去打籃球的概率為.若該同學(xué)下午去打籃球，則晚上一定去跑步；若下午不去打籃球，則晚上去跑步的概率為.已知該同學(xué)在某天晚上去跑步，則下午打過籃球的概率為 .
26．（23-24高二上·山東德州·期末）在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為1、2、3、4外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將箱子關(guān)閉，也就是主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里，當(dāng)抽獎(jiǎng)人選擇了某個(gè)箱子后，在箱子打開之前，主持人先隨機(jī)打開另一個(gè)沒有獎(jiǎng)品的箱子，并問抽獎(jiǎng)人是否愿意更改選擇.現(xiàn)在已知甲選擇了1號(hào)箱，若用表示i號(hào)箱有獎(jiǎng)品，用表示主持人打開i號(hào)箱子，則 ； .
題型六 貝葉斯公式的應(yīng)用
27．（22-23高二下·湖北·期中）某兒童樂園有甲，乙兩個(gè)游樂場(chǎng)，小王同學(xué)第一天去甲、乙兩家游樂場(chǎng)游玩的概率分別為0.3和0.7，如果他第一天去甲游樂場(chǎng)，那么第二天去甲游樂場(chǎng)的概率為0.7；如果第一天去乙游樂場(chǎng)，那么第二天去甲游樂場(chǎng)的概率為0.6，則王同學(xué)（ ）
A．第二天去甲游樂場(chǎng)的概率為0.63
B．第二天去乙游樂場(chǎng)的概率為0.42
C．第二天去了甲游樂場(chǎng)，則第一天去乙游樂場(chǎng)的概率為
D．第二天去了乙游樂場(chǎng)，則第一天去甲游樂場(chǎng)的概率為
28．【多選】（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)某廠有甲，乙，丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的，，，并且各車間的次品率依次為，，.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，則此次品由三個(gè)車間生產(chǎn)的概率分別是多少？
29．（21-22高二下·廣東肇慶·期中）三部機(jī)器生產(chǎn)同樣的零件，其中機(jī)器甲生產(chǎn)的占，機(jī)器乙生產(chǎn)的占，機(jī)器丙生產(chǎn)的占.已知機(jī)器甲、乙、丙生產(chǎn)的零件分別有、和不合格.三部機(jī)器生產(chǎn)的零件混合堆放在一起，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取一個(gè)零件.
(1)求取到的是不合格品的概率；
(2)經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為不合格品，它是由哪一部機(jī)器生產(chǎn)出來的可能性大？請(qǐng)說明理由.
30．（22-23高三上·安徽阜陽(yáng)·期末）小明每天去學(xué)校有A，B兩條路線可供選擇，小明上學(xué)時(shí)隨機(jī)地選擇一條路線.如果小明上學(xué)時(shí)選擇A路線，那么放學(xué)時(shí)選擇A路線的概率為0.6;如果小明上學(xué)時(shí)選擇B路線，那么放學(xué)時(shí)選擇A路線的概率為0.8.
(1)求小明放學(xué)時(shí)選擇A路線的概率;
(2)已知小明放學(xué)時(shí)選擇A路線，求小明上學(xué)時(shí)選擇B路線的概率.
31．（21-22高二下·福建·期中）有甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)同種規(guī)格的產(chǎn)品，甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率分別為、、，已知甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)所占比例為，將三個(gè)廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品混放在一起，從混合產(chǎn)品中任取件．
(1)求這件產(chǎn)品為合格品的概率；
(2)已知取到的產(chǎn)品是合格品，問它是哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性最大？
題型七 全概率公式和貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
32．（22-23高二下·湖南·期中）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1，2，3臺(tái)加工的次品率分別為，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個(gè)零件，記事件“零件為第i臺(tái)車床加工”（），事件“零件為次品”，則（ ）
A．B．
C．D．
33．【多選】（22-23高二下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件A，B存在如下關(guān)系：．某高校有甲、乙兩家餐廳，王同學(xué)第一天去甲、乙兩家餐廳就餐分別記為事件，，且，，第二天去甲、乙兩家餐廳就餐分別記為事件，，且，，已知王同學(xué)每天按時(shí)到甲、乙兩家餐廳中的一家就餐，則（ ）
A．B．C．D．
34．【多選】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有紅、黃、綠三個(gè)不透明盒子，其中紅色盒子內(nèi)裝有兩個(gè)紅球、一個(gè)黃球和一個(gè)綠球；黃色盒子內(nèi)裝有兩個(gè)紅球，一個(gè)綠球；綠色盒子內(nèi)裝有三個(gè)紅球，兩個(gè)黃球．小明第一次先從紅色盒子內(nèi)隨機(jī)抽取一個(gè)球，將取出的球放入與球同色的盒子中；第二次從該放入球的盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)球．記抽到紅球獲得1塊月餅、黃球獲得2塊月餅、綠球獲得3塊月餅，小明所獲得月餅為兩次抽球所獲得月餅的總和，則下列說法正確的是（ ）
A．在第一次抽到綠球的條件下，第二次抽到紅球的概率是
B．第二次抽到紅球的概率是
C．如果第二次抽到紅球，那么它來自紅色盒子的概率最大
D．小明獲得4塊月餅的概率是
35．【多選】（2023·福建三明·三模）在二十大報(bào)告中，體育?健康等關(guān)鍵詞被多次提及，促進(jìn)群眾體育和競(jìng)技體育全面發(fā)展，加快建設(shè)體育強(qiáng)國(guó)是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的一個(gè)重要目標(biāo).某校為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)健康，擬舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場(chǎng)一次且是否上場(chǎng)是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響.經(jīng)過小組賽后，最終甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)種子選手對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒有平局）
(1)求甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場(chǎng)的概率；
(2)已知甲隊(duì)獲得最終勝利，求種子選手上場(chǎng)的概率.
題型八 相互獨(dú)立事件的判斷
36．【多選】（23-24高二上·河南信陽(yáng)·期中）如圖是一個(gè)古典概型的樣本空間和事件和，其中，，，，則（ ）
A．B．C．事件與互斥D．事件與相互獨(dú)立
37．【多選】（23-24高二上·山東濟(jì)寧·期中）一個(gè)袋子中有5個(gè)球，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異．從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．記事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，則（ ）
A．事件和互斥B．事件和相互獨(dú)立
C．事件和互斥D．事件和相互獨(dú)立
38．【多選】（23-24高二上·浙江·期中）先后兩次鄭一枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“兩次鄭出的點(diǎn)數(shù)之和是6”，表示事件“第二次鄭出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，表示事件“兩次鄭出的點(diǎn)數(shù)相同”，表示事件“至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)”，則（ ）
A．事件，為互斥事件B．事件，為對(duì)立事件
C．D．事件，為相互獨(dú)立事件
39．（21-22高一下·廣東梅州·期末）同時(shí)拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“”，事件“為奇數(shù)”，事件“”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．A與對(duì)立B．
C．A與相互獨(dú)立D．與相互獨(dú)立
題型九 相互獨(dú)立事件的概率
40．【多選】（23-24高三上·山東淄博·期中）甲罐中有3個(gè)紅球，4個(gè)黑球，乙罐中有2個(gè)紅球，3個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是紅球”再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則（ ）
A．B．C．事件與事件相互獨(dú)立D．
41．【多選】（22-23高二下·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）已知事件滿足，則（ ）
A．若，則
B．若與互斥，則
C．若，則與相互獨(dú)立
D．若與相互獨(dú)立，則
42．【多選】（2023·安徽蚌埠·三模）新型冠狀病毒肺炎，簡(jiǎn)稱“新冠肺炎”，世界衛(wèi)生組織命名為“冠狀病毒病”，是指新型冠狀病毒感染導(dǎo)致的肺炎，用核酸檢測(cè)的方法可以診斷是否患有新冠，假設(shè)，其中隨機(jī)事件表示“某次核酸檢測(cè)被檢驗(yàn)者陽(yáng)性”，隨機(jī)事件表示“被檢驗(yàn)者患有新冠”，現(xiàn)某人群中，則在該人群中（ ）
A．每人必有人患有新冠
B．若，則事件與事件相互獨(dú)立
C．若某人患有新冠，則其核酸檢測(cè)為陽(yáng)性的概率為
D．若，某人沒患新冠，則其核酸檢測(cè)為陽(yáng)性的概率為
43．（21-22高二下·陜西咸陽(yáng)·期中）已知甲、乙、丙三人獨(dú)自射擊，命中目標(biāo)的概率分別是、、．設(shè)各次射擊都相互獨(dú)立．
(1)若乙對(duì)同一目標(biāo)射擊兩次，求恰有一次命中目標(biāo)的概率；
(2)若甲、乙、丙三人對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，求目標(biāo)被命中的概率．
44．（23-24高二上·浙江杭州·期中）在信道內(nèi)傳輸0， 1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為， 收到1的概率為.
(1)重復(fù)發(fā)送信號(hào)1三次，計(jì)算至少收到兩次1的概率；
(2)依次發(fā)送1，1， 0， 判斷以下兩個(gè)事件：①事件A：至少收到一個(gè)正確信號(hào)； ②事件B：至少收到兩個(gè)0，是否互相獨(dú)立，并給出證明.
45．（23-24高三上·浙江寧波·期末）杭州亞運(yùn)會(huì)男子乒乓球團(tuán)體賽采用世界乒乓球男子團(tuán)體錦標(biāo)賽（斯韋思林杯）的比賽方法，即每隊(duì)派出三名隊(duì)員參賽，采用五場(chǎng)三勝制.比賽之前，雙方隊(duì)長(zhǎng)應(yīng)抽簽決定A、B、C和X、Y、Z的選擇，并向裁判提交每個(gè)運(yùn)動(dòng)員分配到一個(gè)字母的隊(duì)伍名單.現(xiàn)行的比賽順序是第一場(chǎng)A對(duì)X；第二場(chǎng)B對(duì)Y；第三場(chǎng)C對(duì)Z；第四場(chǎng)A對(duì)Y；第五場(chǎng)B對(duì)X.每場(chǎng)比賽為三局兩勝制.當(dāng)一個(gè)隊(duì)已經(jīng)贏得三場(chǎng)個(gè)人比賽時(shí)，該次比賽應(yīng)結(jié)束.
已知在某次團(tuán)隊(duì)賽中，甲隊(duì)A、B、C三位選手在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率均為如下表所示，且每場(chǎng)比賽之間相互獨(dú)立
(1)求最多比賽四場(chǎng)結(jié)束且甲隊(duì)獲勝的概率；
(2)由于賽場(chǎng)氛圍緊張，在教練點(diǎn)撥、自我反思和心理調(diào)控等因素影響下，從第二場(chǎng)開始，每場(chǎng)比賽獲勝的概率會(huì)發(fā)生改變，改變規(guī)律為：若前一場(chǎng)獲勝，則該場(chǎng)獲勝的概率比原先獲勝的概率增加0.2；若前一場(chǎng)失利，則該場(chǎng)獲勝的概率比原先獲勝的概率減少0.2.求已知A第一場(chǎng)獲勝的條件下甲隊(duì)最終以3：1贏得比賽的概率.
場(chǎng)次
第一場(chǎng)
第二場(chǎng)
第三場(chǎng)
第四場(chǎng)
第五場(chǎng)
獲勝概率

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這是一份2024北京重點(diǎn)校高二（下）期中真題數(shù)學(xué)匯編：條件概率與事件的獨(dú)立性（人教B版），共11頁(yè)。

【期中復(fù)習(xí)】2023-2024學(xué)年（蘇教版2019選修二）高二數(shù)學(xué)下冊(cè)專題03+概率專題訓(xùn)練.zip：

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【期中模擬】2023-2024學(xué)年（人教B版2019選修二）高二數(shù)學(xué)下冊(cè)易錯(cuò)專題06+一元線性回歸模型及獨(dú)立性檢驗(yàn)專題訓(xùn)練.zip：

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