【考點清單】專題05+一元線性回歸模型與獨立性檢驗-高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點大串講試卷（人教B版2019選擇性必修第二冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【考點題型一】相關(guān)關(guān)系的意義及辨析
1、變量與變量之間的關(guān)系常見的有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，即變量之間的關(guān)系具有確定性，當(dāng)一個變量確定后，另一個變量就確定了另一類是相關(guān)關(guān)系，即變量之間確實有一定的關(guān)系，但沒有達到可以互相決定的程度，它們之間的關(guān)系帶有一定的隨機性．
2、線性相關(guān)，正相關(guān)，負相關(guān)
變量x與變量r之間的關(guān)系可以近似地用一次函數(shù)來刻畫，則x稱與y線性相關(guān)．此時，如果一個變量增大，另一個變量大體上也增大，則稱這兩個變量正相關(guān)；如果一個變量增大，另一個變量大體上減少，則稱這兩個變量負相關(guān)．
3、兩個變量相關(guān)的判斷方法：
（1）根據(jù)實際經(jīng)驗.借助積累的經(jīng)驗進行分析判斷；
（2）利用散點圖.通過散點圖，觀察點的分布是否存在一定的規(guī)律，直觀地進行判斷，如果發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個別點的位置的影響．
【例1】（23-24高二下·遼寧·期中）下列變量之間的關(guān)系不是相關(guān)關(guān)系的是（）
A．光照時間與大棚內(nèi)蔬菜的產(chǎn)量B．舉重運動員所能舉起的最大重量與他的體重
C．某正方形的邊長與此正方形的面積D．人的身高與體重
【答案】C
【解析】C中的兩個變量之間是確定的函數(shù)關(guān)系，
A，B，D中的兩個變量之間的關(guān)系都是相關(guān)關(guān)系.故選：C
【變式1-1】（23-24高二下·河北張家口·月考）觀察下列散點圖，其中兩個變量的相關(guān)關(guān)系判斷正確的是（）
A．a(chǎn)為正相關(guān)，b為負相關(guān)，c為不相關(guān)B．a(chǎn)為負相關(guān)，b為不相關(guān)，c為正相關(guān)
C．a(chǎn)為負相關(guān)，b為正相關(guān)，c為不相關(guān)D．a(chǎn)為正相關(guān)，b為不相關(guān)，c為負相關(guān)
【答案】A
【解析】根據(jù)給定的散點圖，可得a中的數(shù)據(jù)分布在左下方到右上方的區(qū)域里，為正相關(guān)，
b中的數(shù)據(jù)分布在左上方到右下方的區(qū)域里，為負相關(guān)，
c中的數(shù)據(jù)各點分布不成帶狀，相關(guān)性不明確，不相關(guān).故選：A.
【變式1-2】（23-24高二上·安徽淮北·期末）對于變量，有以下四個散點圖，由這四個散點圖可以判斷變量與成負相關(guān)的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A：各點分布沒有明顯相關(guān)性，不符；
B：各點分布在一條直線附近，且有負相關(guān)性，符合；
C：各點分布在一條拋物線附近，變量之間先呈正相關(guān)，后呈負相關(guān)，不符；
D：各點分布在一條直線附近，且有正相關(guān)性，不符.故選：B
【變式1-3】（23-24高二下·北京·期中）某校地理小組在某座山測得海拔高度、氣壓和沸點的六組數(shù)據(jù)繪制成散點圖如圖，則下列說法不正確的是（）
A．氣壓與海拔高度呈正相關(guān)B．沸點與氣壓呈正相關(guān)
C．沸點與海拔高度呈負相關(guān)D．沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關(guān)性都很強
【答案】A
【解析】由圖1知氣壓隨海拔高度的增加而減小，由圖2知沸點隨氣壓的升高而升高，
所以氣壓與海拔高度呈負相關(guān)，沸點與氣壓呈正相關(guān)，沸點與海拔高度呈負相關(guān)．
由于兩個散點圖中的點都呈線性分布，
所以沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關(guān)性都很強，故B，C，D正確，A錯誤．故選：A．
【考點題型二】相關(guān)系數(shù)的計算
1、線性相關(guān)系數(shù)：若相應(yīng)于變量的取值，變量的觀測值為，
則變量與的相關(guān)系數(shù)，
通常用來衡量與之間的線性關(guān)系的強弱，的范圍為．
2、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)
（1）當(dāng)時，表示兩個變量正相關(guān)；當(dāng)時，表示兩個變量負相關(guān)．
（2）越接近，表示兩個變量的線性相關(guān)性越強；越接近，表示兩個變量間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．當(dāng)時，所有數(shù)據(jù)點都在一條直線上．
（3）通常當(dāng)時，認為兩個變量具有很強的線性相關(guān)關(guān)系．
【例2】（2022高二下·河南南陽·專題練習(xí)）在一組樣本數(shù)據(jù)為，，，（，，，，，不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為（）
A．B．C．1D．-1
【答案】C
【解析】所有樣本點都在直線上，
所以這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為1.故選：C.
【變式2-1】（23-24高二下·山西忻州·月考）已知5對成對樣本數(shù)據(jù)成線性關(guān)系，樣本相關(guān)系數(shù)為，去掉1對數(shù)據(jù)后，剩下的4對成對樣本數(shù)據(jù)成線性關(guān)系，樣本相關(guān)系數(shù)為，則（）
A．B．C．D．的大小無法確定
【答案】B
【解析】由題意可知，，，
所以樣本點中心是，所以去掉樣本點中心后，數(shù)據(jù)的相關(guān)性變?nèi)酰?br>并且由散點圖可知，相關(guān)系數(shù)是正數(shù)，即，故選：B
【變式2-2】（23-24高二下·黑龍江大慶·期中）某統(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，其中正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由圖可知：所對應(yīng)的圖中的散點呈現(xiàn)正相關(guān)，
而且對應(yīng)的相關(guān)性比對應(yīng)的相關(guān)性要強，故；
所對應(yīng)的圖中的散點呈現(xiàn)負相關(guān)，且根據(jù)散點的分布情況可知，
因此，故選：C．
【變式2-3】（22-23高二下·江蘇·單元測試）一唱片公司欲知唱片費用x(十萬元)與唱片銷售量y(千張)之間的關(guān)系，從其所發(fā)行的唱片中隨機抽選了10張，得如下的資料：，，，，，則y與x的相關(guān)系數(shù)r的絕對值為（）
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
【答案】D
【解析】因為，，所以，
，故選：D.
【考點題型三】樣本中心點的應(yīng)用
回歸直線方程的性質(zhì)
（1）回歸直線一定過樣本中心點．
（2）一次函數(shù)的單調(diào)性由決定，函數(shù)遞增的充要條件是，函數(shù)遞減的充要條件是，這說明：與正相關(guān)的充要條件是；與負相關(guān)的充要條件是．
（3）在回歸直線方程中，是回歸直線的斜率，是截距．代表每增大一個單位，增大的單位數(shù)．一般地，當(dāng)回歸系數(shù)時，說明兩個變量呈正相關(guān)關(guān)系，它的意義是當(dāng)每增大一個單位時，增大個單位；當(dāng)時，說明兩個變量呈負相關(guān)關(guān)系，它的意義是當(dāng)每增大一個單位時，減小個單位．
【例3】（23-24高二下·天津·期中）已知某種商品的廣告費投入與銷售額之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：根據(jù)上表可得回歸方程，計算得，則當(dāng)投入為6時，銷售額的預(yù)報值為（）
A．50B．60C．57D．85
【答案】C
【解析】由題意可得：，
可知回歸方程過樣本中心點，且，
則，解得，可知，
令，可得，即銷售額的預(yù)報值為57.故選：C.
【變式3-1】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標(biāo)．現(xiàn)抽檢一批毛絨玩具，測得的色差和色度數(shù)據(jù)如表所示：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得色度關(guān)于色差的經(jīng)驗回歸方程為，則（）
A．14B．15C．16D．17
【答案】B
【解析】由題可得，
，
因為經(jīng)驗回歸直線必過樣本中心點，
所以，解得.故選：B．
【變式3-2】（23-24高二下·河南·月考）已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個樣本，變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗回歸方程為，并計算出變量之間的相關(guān)系數(shù)為，則經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過（）
A．第一?二?三象限B．第二?三?四象限
C．第一?二?四象限D(zhuǎn)．第一?三?四象限
【答案】B
【解析】由相關(guān)系數(shù)為，知負相關(guān)，所以.
又，求得樣本中心點為，
由于在經(jīng)驗回歸直線上，且點在第三象限，
所以經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過第二?三?四象限.故選：B.
【變式3-3】（23-24高二下·河南南陽·月考）某學(xué)習(xí)小組對一組數(shù)據(jù)進行回歸分析，甲同學(xué)首先求出回歸直線方程，樣本點的中心為.乙同學(xué)對甲的計算過程進行檢查，發(fā)現(xiàn)甲將數(shù)據(jù)誤輸成，將這兩個數(shù)據(jù)修正后得到回歸直線方程，則實數(shù)（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意可得，假設(shè)甲輸入的為，
則，則，
且，則，
則改為正確數(shù)據(jù)時，，即，
，即，所以樣本中心點為，
將點代入回歸直線方程，得.故選：D
【考點題型四】線性回歸模型的應(yīng)用
回歸方程：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為
其中，，，（，）稱為樣本點的中心．
【例4】（23-24高二下·河北張家口·月考）桹據(jù)統(tǒng)計得到某蔬菜基地茄子畝產(chǎn)量的增加量y（千克）與某種液體肥料每畝使用量x（千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示．
（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請計算相關(guān)系數(shù)r并加以說明；（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）
（2）求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測液體肥料每畝使用量為10千克時，茄子畝產(chǎn)量的增加量y約為多少?
附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：，回歸方程中斜率的最小二乘估計公式為：．
【答案】（1），，線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.
（2），當(dāng)時，.
【解析】（1）通過散點圖可知，，，
所以，
，
，
所以，
因為，所以線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.
（2）由（1）可知，，，
所以.
當(dāng)時，.
所以預(yù)測液體肥料每畝使用量為10千克時，茄子畝產(chǎn)量的增加量約為6.5千克.
【變式4-1】（23-24高二下·浙江麗水·期中）浙江省教育廳等五部門印發(fā)《浙江省山區(qū)26縣和海島縣“縣中崛起”行動計劃》，從招生管理、縣中對口幫扶、教科研指導(dǎo)等九方面提升共同富裕背景下教育公共服務(wù)的質(zhì)量和水平.某校為增強實力，大力招攬名師、建設(shè)校園設(shè)施，近5年該校招生人數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：
（1）由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以證明；
（2）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測當(dāng)年份序號為7時該校的招生人數(shù)．
參考數(shù)據(jù)：．
參考公式：相關(guān)系數(shù)，
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為．
【答案】（1）證明見解析；（2），預(yù)測當(dāng)年份序號為7時該校的招生人數(shù)為4.5千人
【解析】（1）由，，，
所以，
因為與1非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．
（2），
所以關(guān)于的回歸直線方程為．
當(dāng)時，，
由此預(yù)測當(dāng)年份序號為7時該校的招生人數(shù)為4.5千人
【變式4-2】（23-24高二下·貴州遵義·期中）某地2019年至2023年五年新能源汽車保有量如下表．
（1）請用相關(guān)系數(shù)說明與的線性相關(guān)程度；
（2）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測2025年該地新能源汽車保有量．
附：相關(guān)系數(shù)．
在回歸直線方程中，．?。?br>【答案】（1）與的線性相關(guān)程度較強；（2），33.8萬輛．
【解析】（1）因為，，
所以
，
，
，
所以．
因為的值越接近1，隨機變量之間的線性相關(guān)程度越強，
所以與的線性相關(guān)程度較強．
（2）因為，，
，
，
所以，，
所以回歸直線方程為．
當(dāng)時，，
所以預(yù)測2025年該地新能源汽車保有量為萬輛．
【變式4-3】（23-24高二下·吉林長春·月考）現(xiàn)有4個分別標(biāo)有甲、乙、丙、丁的盒子和4個相同的小球.
（1）將4個球全部隨機放入四個盒子中，且每個盒子容納球數(shù)不限，記盒子甲中的小球個數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）公司提前10天公布了年會小游戲規(guī)則：每輪在2米開外將4個小球分別投向4個盒子，投完4個小球即一輪結(jié)束，三輪為一局，三局結(jié)束后累計投進盒子的球數(shù)超過6個就中獎.小李為了帶動組員積極性，每天利用午休時練習(xí)投球，每次三局，隨著投球的視角和力度的把控，水平逐漸得到提高，現(xiàn)將其前7天每天累計投進盒子的球個數(shù)y和時間t（第t天用編號t表示）繪制下表：
其中累計投進盒子的球數(shù)（y）與時間（t）具有線性相關(guān)關(guān)系，求累計投進盒子的球的個數(shù)y關(guān)于時間t的經(jīng)驗回歸方程；（精確到0.01）
（3）試估算第10天能投進盒子的累計球數(shù).（四舍五入取整數(shù)）
參考公式：，.
【答案】（1）分布列見解析；1；（2）；（3）10
【解析】（1）由題意，的值可以為：0，1，2，3，4
且；；；
；.
所以的分布列為：
所以.
（2）由題意：，.
所以，，所以.
，
所以.
（3）當(dāng)時，，
所以估算第10天投進盒子的累計球數(shù)為10.
【考點題型五】殘差與相關(guān)指數(shù)問題
1、殘差分析
對于預(yù)報變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值等于殘差，稱為相應(yīng)于點的殘差，即有．
殘差是隨機誤差的估計結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．
（1）殘差圖：通過殘差分析，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適．
（2）通過殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．
2、相關(guān)指數(shù)：用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計算公式是：．
越接近于，說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．
【例5】（23-24高二下·山西·月考）在建立兩個變量的回歸模型中，分別選擇4個不同模型，求出它們相對應(yīng)的決定系數(shù)如下表，則其中擬合效果最好的模型是（）
A．模型1B．模型2C．模型3D．模型4
【答案】B
【解析】在線性回歸分析中，越大擬合效果越好，越小擬合效果越差，
而，所以模型2的擬合效果最好．故選：B
【變式5-1】（23-24高二下·湖南長沙·月考）為維護市場秩序，保護消費者權(quán)益，在“五一”假期來臨之際，我市物價部門對某商品在5家商場的售價（元）及其一天的銷售量（件）進行調(diào)查，得到五對數(shù)據(jù)，經(jīng)過分析、計算，得，關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，則相應(yīng)于點的殘差為（）
A．B．1C．D．3
【答案】A
【解析】因為回歸直線過樣本點中心即，
將其代入，可得，解得，
當(dāng)時，，所以殘差為.故選：A
【變式5-2】（23-24高二下·廣西·月考）下列說法錯誤的是（）
A．在經(jīng)驗回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，響應(yīng)變量平均增加2個單位
B．若變量和之間的樣本相關(guān)系數(shù)為，則變量和之間的負相關(guān)很強
C．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好
D．決定系數(shù)越大，模型的擬合效果越好
【答案】A
【解析】對于選項A：因為回歸方程的一次項系數(shù)為，
所以當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，響應(yīng)變量平均減少2個單位，故A錯誤；
對于選項B：因為相關(guān)系數(shù)為，且很接近于1，
所以變量和之間的負相關(guān)很強，故B正確；
對于選項C：殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，故C正確；
對于選項D：決定系數(shù)越大，模型的擬合效果越好，故D正確；故選：A.
【變式5-3】（23-24高二下·河北張家口·月考）（多選）如下圖所示，5個數(shù)據(jù)，去掉后，下列說法正確的是（）
A．相關(guān)系數(shù)r變大B．殘差平方和變大
C．決定系數(shù)變小D．解釋變量x與響應(yīng)變量y的相關(guān)性變強
【答案】AD
【解析】由散點圖知，去掉離群點后，與的相關(guān)性變強，且為正相關(guān)，
所以相關(guān)系數(shù)的值變大，決定系數(shù)的值變大，殘差平方和變小.故選：AD.
【考點題型六】非線性回歸分析
對于非線性回歸問題，可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與學(xué)過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)的圖象做比較，挑選一種跟散點圖中的點擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，使之得到解決．
【例6】（23-24高二下·吉林長春·月考）用模型擬合一組數(shù)，若，，設(shè)，得變換后的線性回歸方程為，則（）
A．20240B．C．D．2024
【答案】C
【解析】由條件可知，代入，
則，故C正確.故選：C
【變式6-1】（2024·山東濟南·三模）近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進技術(shù)革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點圖．其中2019年至2023年對應(yīng)的年份代碼依次為1，2，3，4，5．
（1）根據(jù)散點圖判斷，和哪一個適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，估計2024年的企業(yè)利潤．
參考公式及數(shù)據(jù)；，，，，，，
【答案】（1）適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型
（2）；（3）估計2024年的企業(yè)利潤為93.3億元
【解析】（1）由散點圖的變化趨勢，
知適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型；
（2）由題意得：，，
，
，
所以；
（3）令，，
估計2024年的企業(yè)利潤為99.25億元．
【變式6-2】（23-24高二下·廣東江門·月考）數(shù)據(jù)顯示，某企業(yè)近年加大了科技研發(fā)資金的投入，其科技投入（百萬元）與收益（百萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：
根據(jù)數(shù)據(jù)特點，甲認為樣本點分布在指數(shù)型曲線的周圍，據(jù)此他對數(shù)據(jù)進行了一些初步處理.如下表：
其中，.
（1）請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.1）；
（2）①乙認為樣本點分布在直線的周圍，并計算得線性回歸方程為，以及該回歸模型的決定系數(shù)，試比較甲、乙兩人所建立的模型，誰的擬合效果更好？
②由①所得的結(jié)論，計算該企業(yè)欲使收益達到1億元，科技投入的費用至少要多少百萬元？（精確到0.1）
附：對于一組數(shù)據(jù)，，……，，其線性回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，，決定系數(shù)：.參考數(shù)據(jù)：.
【答案】（1）
（2）① ；甲建立的回歸模型擬合效果更好；② 科技投入的費用至少要9.3百萬元．
【解析】（1）將兩邊取對數(shù)得：，令，則，
∵，∴根據(jù)最小二乘估計可知：，
∴，
∴回歸方程為，即．
（2）①甲建立的回歸模型的．
∴甲建立的回歸模型擬合效果更好．
②由①知，甲建立的回歸模型擬合效果更好．
設(shè)，解得：，解得：．
∴科技投入的費用至少要9.3百萬元，下一年的收益才能達到1億．
【變式6-3】（22-23高二上·福建漳州·月考）已知關(guān)于的一組有序數(shù)對分別為，，，，，，，對應(yīng)的散點圖如下．
（1）根據(jù)散點圖，判斷（，）和（，）中哪個模型的擬合效果更好；
（2）請用你在（1）中選出的模型對變量，的關(guān)系進行擬合，求出關(guān)于的回歸方程．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
參考公式：在線性回歸方程中，，．
【答案】（1）（，）的擬合效果更好；（2）．
【解析】（1）根據(jù)散點圖判斷，用（，）的擬合效果更好．
（2）根據(jù)進行擬合，
兩邊同時取對數(shù)得，
故，則．
因為，，，，
所以．
把代入，得，
所以，，
則，
即關(guān)于的回歸方程為．
【考點題型七】獨立性檢驗的概念辨析
1、獨立性檢驗：，通常稱為零假設(shè)或原假設(shè).
基于小概率值的檢驗規(guī)則是：
當(dāng)時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；
當(dāng)時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為和獨立.
這種利用的取值推斷分類變量和是否獨立的方法稱為獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗.
2、獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值
【例7】（23-24高二下·上?！て谥校榱嗽u價某個電視欄目的改革效果，某機構(gòu)在改革前后分別從居民點抽取了100位居民進行調(diào)查，經(jīng)過計算，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是（）
（附：）
A．有的人認為該電視欄目優(yōu)秀
B．有的人認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系
C．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系
D．沒有理由認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系
【答案】D
【解析】只有時才能在犯錯誤的概率不超過的前提下
認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系，
而即使也只是對“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系”
這個論斷成立的可能性大小的推論，與是否有的人等無關(guān)．故A，B不正確．
由于，故C錯誤，D正確.故選：D.
【變式7-1】（23-24高二下·陜西·期中）為研究高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，運用列聯(lián)表進行檢驗，經(jīng)計算，參考下表，則認為“性別與喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)”犯錯誤的概率不超過（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，結(jié)合表格可知，
所以認為“性別與喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)”犯錯誤的概率不超過0.010.故選：B
【變式7-2】（23-24高二下·河南南陽·月考）（多選）如表，在兩個變量與的列聯(lián)表中，已知，其中，下列結(jié)論正確的是（）
A．若每個數(shù)據(jù)a，b，c，d均變?yōu)樵瓉淼?倍，則的值不變
B．越大，兩個變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大
C．對于獨立性檢驗，隨機變量的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大
D．若計算得到，則有的把握認為與有關(guān)
【答案】BCD
【解析】對于A，若列聯(lián)表中的每個數(shù)字均變成原來的2倍，
則,
此時的值變?yōu)樵瓉淼?倍，所以A錯誤；
對于B，同一個樣本中，越小，說明兩個變量的關(guān)系越弱，
越大，說明兩個變量有關(guān)的關(guān)系越強，所以B正確；
對于C，獨立性檢驗中，隨機變量的值越小，
判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大，所以C正確；
對于D，根據(jù)獨立性檢驗的意義可知，
所以有的把握認為與有關(guān)，所以正確.故選：BCD.
【變式7-3】（23-24高二下·河南駐馬店·月考）①線性回歸方程必過；②獨立性檢驗的統(tǒng)計假設(shè)是各事件之間相互獨立③相關(guān)系數(shù)越小，表明兩個變量相關(guān)性越弱；④在一個列聯(lián)表中，由計算得，則有的把握認為這兩個變量間有關(guān)系；其中正確的說法是．（把你認為正確的結(jié)論都寫在橫線上）
【答案】①②④
【解析】①線性回歸方程過樣本點中心，正確；
②獨立性檢驗的統(tǒng)計假設(shè)是各事件之間相互獨立，正確；
③相關(guān)系數(shù)的絕對值越小，表明兩個變量相關(guān)性越弱，錯誤；
④④在一個列聯(lián)表中，由計算得，
則有的把握認為這兩個變量間有關(guān)系，正確.
故答案為：①②④
【考點題型八】獨立性檢驗綜合應(yīng)用
獨立性檢驗的一般方法
（1）根據(jù)題目信息，完善列聯(lián)表；
（2）提出零假設(shè)：假設(shè)兩個變量相互獨立，并給出在問題中的解釋。
（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)及計算公式求出的值；
（4）當(dāng)時，我們就推斷不成立，即兩個變量不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；
當(dāng)時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為兩個變量相互獨立。
【例8】（22-23高二下·陜西榆林·期末）某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加“一帶一路”知識競賽，其中男生400人，為了解該校學(xué)生在知識競賽中的情況，采用分層隨機抽樣的方法抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查，分數(shù)分布在450分～950分之間，將分數(shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”.已知樣本中“高分選手”有25人，其中女生有10人.
（1）試完成下面列聯(lián)表；
（2）判斷是否有97.5%的把握認為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)？
參考公式：，其中.
【答案】（1）列聯(lián)表見解析；（2）有
【解析】（1）由題可知，樣本中男生40人，女生60人，
屬于“高分選手”的有25人，其中女生10人，得出以下列聯(lián)表：
（2）∵，
∴有97.5%的把握認為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān).
【變式8-1】（23-24高二下·河北張家口·月考）乒乓球，被稱為中國的“國球”．某中學(xué)對學(xué)生參加乒乓球運動的情況進行調(diào)查，將每周參加乒乓球運動超過2小時的學(xué)生稱為“乒乓球愛好者”，否則稱為“非乒乓球愛好者”．
（1）從調(diào)查結(jié)果中隨機抽取100份進行分析，得到數(shù)據(jù)如下表所示：
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析抽樣數(shù)據(jù)，能否推斷“乒乓球愛好者”與性別有關(guān)?
（2）隨機抽取了50位女生和位男生進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：
若根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為“乒乓球愛好者”與性別有關(guān)，求實數(shù)m的最小值，附：．
【答案】（1）能推斷“乒乓球愛好者”與性別有關(guān)；（2）57
【解析】（1）由題意：，
因為，
所以依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能推斷“乒乓球愛好者”與性別有關(guān).
（2）依題意，列聯(lián)表如下：
所以，
設(shè)（）
則，
因為，所以.所以在上單調(diào)遞增.
所以：越大，的值越大，
又當(dāng)時，，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，
認為“乒乓球愛好者”與性別有關(guān)，則，即的最小值為57.
【變式8-2】（23-24高二下·吉林長春·期中）甲、乙兩個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了解這兩個車間的產(chǎn)品質(zhì)量情況，隨機抽查了兩個車間生產(chǎn)的80件產(chǎn)品，得到下面列聯(lián)表：
（1）根據(jù)上表，分別估計這兩個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品的特等品率；
（2）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否推斷兩個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品特等品率有差異?并對（1）的結(jié)果作出解釋.
附：
【答案】（1）甲車間的特等品率約為，乙車間的特等品率約為；
（2）認為兩車間生產(chǎn)的產(chǎn)品特等品率沒有差異
【解析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，甲車間共抽查40件產(chǎn)品，其中特等品8件，
乙車間共抽查40件產(chǎn)品，其中特等品5件，
由此估計甲車間的特等品率約為，
乙車間的特等品率約為，
（2）列聯(lián)表
零假設(shè)為：兩車間生產(chǎn)的產(chǎn)品特等品率沒有差異
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分的證明推斷不成立，
因此可以認為成立，即認為兩車間生產(chǎn)的產(chǎn)品特等品率沒有差異.
依據(jù)（1）的結(jié)果兩車間生產(chǎn)的產(chǎn)品特等品率是有差異的，
這個差異很有可能是由樣本的隨機性導(dǎo)致的，
因此，只根據(jù)頻率的差異得出兩車間生產(chǎn)的產(chǎn)品特等品率有差異的結(jié)論是不可靠的，
用的獨立性檢驗得到的結(jié)果更理性，更全面，理論依據(jù)也更充分.
【變式8-3】（23-24高二下·山西忻州·月考）某生產(chǎn)企業(yè)對原有的生產(chǎn)線進行技術(shù)升級，在技術(shù)升級前后，分別從其產(chǎn)品中隨機抽取樣本數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，制作了如下列聯(lián)表：
（1）根據(jù)上表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)是否升級有關(guān)？
（2）在抽取的所有合格品中，按升級前后合格品的比例進行分層隨機抽樣，抽取9件產(chǎn)品，然后從這9件產(chǎn)品中隨機抽取4件，記其中屬于升級前生產(chǎn)的有件，屬于升級后生產(chǎn)的有件，求的概率.
附：，其中.
【答案】（1）有關(guān)；（2）
【解析】（1）零假設(shè)為：產(chǎn)品的合格率與技術(shù)是否升級無關(guān).
，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，
即認為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)是否升級有關(guān).
（2）由題意，升級前后合格品的比例為4:5，故抽取的9件中有4件屬于升級前生產(chǎn)的，
有5件屬于升級后生產(chǎn)的.
包括和兩種情況：
當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，，
則的概率.2
4
5
6
8
30
40
50
60
70
色差x
21
23
25
27
色度y
m
18
19
20
年份序號
1
2
3
4
5
招生人數(shù)/千人
1.3
1.7
2.2
2.8
3.5
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份編號
1
2
3
4
5
保有量(萬輛)
18
20
23
25
29
時間（t）
1
2
3
4
5
6
7
累計投入球數(shù)（y）
3
4
3
4
7
6
8
0
1
2
3
4
模型
1
2
3
4
0.67
0.85
0.49
0.23
科技投入
1
2
3
4
5
6
7
收益
19
20
22
31
40
50
70
5
140
1239
149
2134
130
0. 1
0. 05
0. 01
0. 005
0. 001
2. 706
3. 841
6. 635
7. 879
10. 828
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
總計
a
b
c
d
總計
屬于“高分選手”
不屬于“高分選手”
合計
男生
女生
合計
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
屬于“高分選手”
不屬于“高分選手”
合計
男生
15
25
40
女生
10
50
60
合計
25
75
100
乒乓球愛好者
非乒乓球愛好者
總計
男
40
16
56
女
20
24
44
總計
60
40
100
乒乓球愛好者
非乒乓球愛好者
總計
男
20
女
30
總計
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
乒乓球愛好者
非乒乓球愛好者
總計
男
20
女
20
30
50
總計
50
非特等品件數(shù)
特等品件數(shù)
甲車間
32
8
乙車間
35
5
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
非特等品件數(shù)
特等品件數(shù)
合計
甲車間
32
8
40
乙車間
35
5
40
合計
67
13
80
合格品
不合格品
合計
升級前
120
80
200
升級后
150
50
200
合計
270
130
400
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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