排列組合綜合
涂色問題
楊輝三角形
條件概率與全概率公式
二項分布與超幾何分布
正態(tài)分布
概率與數(shù)列，導數(shù)交匯
導數(shù)之恒成立與有解問題
導數(shù)之零點問題（
導數(shù)之雙變量問題
新定義題
一．排列組合綜合（共4小題）
1．（22-23高二下·江蘇常州·期中）在空間直角坐標系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(所有坐標均為整數(shù)的點，不包括邊界上的點)的個數(shù)為（ ）
A．35B．36C．84D．21
2．（22-23高二下·湖北·期中）現(xiàn)有天平及重量為，，，的砝碼各一個，每一步，我們選取任意一個砝碼，將其放入天平的左邊或者右邊，直至所有砝碼全放到天平兩邊，但在放的過程中發(fā)現(xiàn)天平的指針不會偏向分度盤的右邊，則這樣的放法共有（ ）種.
A．B．C．D．
3．（22-23高二下·上海徐匯·期中）如圖，在的方格表中按照下面的條件填入6個圓圈，滿足各行．各列至少有一個圓圈；同一格不能填2個圓圈．則不同的符合條件的填入方法有 種．
4．（22-23高二上·上海楊浦·期末）某興趣小組有10名學生，若從10名學生中選取3人，則選取的3人中恰有1名女生的概率為，且女生人數(shù)超過1人，現(xiàn)在將10名學生排成一排，其中男生不相鄰，且男生的左右相對順序固定，則共有 種不同的站隊方法.
二．涂色問題（共5小題）
1．（23-24高二上·遼寧沈陽·期末）學習涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍色?米白色?橄欖綠?薄荷綠，欲給小房子中的四個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，則共有（ ）種不同的涂色方法.
A．78B．66C．56D．48
2．（23-24高二·全國·課時練習）第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日-20日在我國舉行，國家發(fā)行了紀念幣紀念這一世界性的體育歷史盛事.有一種5元的銀質(zhì)紀念幣，其背面圓形圖案大致可分成5個區(qū)域，如圖所示.現(xiàn)用紅色、黃色、藍色、綠色4種不同顏色給5個區(qū)域著色，要求相鄰區(qū)域不同色.若在所有的著色方案中任抽一種，則抽到區(qū)域同色的概率為（ ）

A．B．C．D．
3．（23-24高二下·山東菏澤·期中）如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（ ）
A．360種B．264種C．192種D．144種
4．（23-24高二下·浙江·期中）給正方體的八個頂點涂色，要求同一條棱的兩個端點不同色，現(xiàn)有三種顏色可供選擇，不同的涂色方法有 種．
5．（23-24高二下·湖北武漢·期中）如圖所示，有5種不同的顏色供選擇，給圖中5塊區(qū)域A，B，C，D，E染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色，則共有 種不同的染色方法．
三．楊輝三角形（共4小題）
1．（多選）（23-24高三上·江西·階段練習）為引導游客領(lǐng)略傳統(tǒng)數(shù)學研究的精彩并傳播中國傳統(tǒng)文化，某景點推出了“解數(shù)學題獲取名勝古跡入場碼”的活動.活動規(guī)則如下：如圖所示，將楊輝三角第行第個數(shù)記為，并從左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行的斜線，記第條斜線上所有數(shù)字之和為，入場碼由兩段數(shù)字組成，前段的數(shù)字是的值，后段的數(shù)字是的值，則（ ）

A．B．
C．D．該景點入場碼為
2．（多選）（22-23高二下·山東青島·期中）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．
B．第2023行的第1012個和第1013個數(shù)最大
C．第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第7個數(shù)
D．第34行中從左到右第14個數(shù)與第15個數(shù)之比為2：3
3．（多選）（21-22高二下·北京東城·期中）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里給出了楊輝三角，書中是用漢字來表示的，如圖1.研究發(fā)現(xiàn)，楊輝三角可以由組合數(shù)來表示，如圖2.
楊輝三角有很多有趣的性質(zhì)，如楊輝三角的兩個腰上的數(shù)字都是1，用組合數(shù)表示為.請寫出一條其他的性質(zhì)，用組合數(shù)表示為： .從楊輝三角蘊含的規(guī)律可知： .
4．（22-23高二下·重慶南岸·期中）楊輝是我國南宋偉大的數(shù)學家，“楊輝三角”是他的偉大成就之一．如果將楊輝三角從第一行開始的每一個數(shù)都換成，得到的三角形稱為“萊布尼茨三角形”，萊布尼茨由它得到很多定理，甚至影響到微積分的創(chuàng)立，則“萊布尼茨三角形”第2023行中最小的數(shù)是 (結(jié)果用組合數(shù)表示)
四．條件概率與全概率公式（共6小題）
1．（20-21高二上·北京·期末）袋中有4個黑球，3個白球.現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點就從袋中取出幾個球.若已知取出的球全是白球，則擲出2點的概率為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·江西吉安·期中）小明參加某項答題闖關(guān)游戲，每答對一道題則進入下一輪，某次答題時小明從A、B兩塊題板中任選擇一個答題，已知他答對A題板中題目概率為0.8，答對B題板中題目的概率為0.3，假設小明不了解每塊題板背后的題目，即小明隨機等可能地從A、B兩塊題板中任選一個作答，現(xiàn)已知小明進入了下一輪，則他答的是A題板中題目的概率是（ ）
A．B．C．D．1
3．（22-23高三上·四川·期中）如圖，已知正方體頂點處有一質(zhì)點Q，點Q每次會隨機地沿一條棱向相鄰的某個頂點移動，且向每個頂點移動的概率相同．從一個頂點沿一條棱移動到相鄰頂點稱為移動一次．若質(zhì)點Q的初始位置位于點A處，則點Q移動次后仍在底面ABCD上的概率為 ；點Q移動n次后仍在底面ABCD上的概率為 .
4．（21-22高二下·山西太原·期中）甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三人中的任何一人，則經(jīng)過6次傳球后，球在甲手中的概率為 ．
5．（23-24高三上·云南昆明·期中）甲、乙兩人玩一種游戲，游戲規(guī)則如下：放置一張紙片在地面指定位置，其中一人在固定位置投籃，若籃球被籃板反彈后擊中紙片，則本次游戲成功，此人繼續(xù)投籃，否則游戲失敗，換為對方投籃．已知第一次投籃的人是甲、乙的概率分別為和，甲、乙兩人每次游戲成功的概率分別為和．
(1)求第2次投籃的人是甲的概率；
(2)記第次投籃的人是甲的概率為，
①用表示；
②求．
6．（22-23高二下·山東淄博·期中）（1）有3臺車床加工同一型專的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2?3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1?2?3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，現(xiàn)從加工出來的零件中任取一個零件，求在取到的零件是次品的前提下是第1臺車床加工的概率.
（2）設驗血診斷某種疾病的誤診率為5%，即若用表示驗血為陽性，表示受驗者患病，則，若受檢人群中有0.5%患此病，即，求一個驗血為陽性的人確患此病的概率
五．二項分布與超幾何分布（共5小題）
1．（22-23高二下·山東棗莊·期末）某學習平臺中“挑戰(zhàn)答題”積分規(guī)則如下：選手每天可參加一局“挑戰(zhàn)答題”活動．每局中選手需依次回答若干問題，當累計回答正確3道題時，答題活動停止，選手獲得10個積分；或者當累計回答錯誤2道題時，答題活動停止，選手獲得8個積分．假定選手甲正確回答每一道題的概率均為．
(1)甲完成一局“挑戰(zhàn)答題”活動時回答的題數(shù)記為，求的分布列；
(2)若，記為“甲連續(xù)9天參加‘挑戰(zhàn)答題’活動獲得的積分”，求．
2．（22-23高二下·上海楊浦·期中）現(xiàn)有一枚均勻的硬幣（即只可能出現(xiàn)正面與反面兩種結(jié)果，拋出正面與反面的概率均為0.5，每一次拋擲是獨立的），正面記為H，反面記為T，并不斷拋擲該硬幣．
(1)求拋擲3次時，至少出現(xiàn)1次正面的概率；
(2)用X表示拋擲10次后出現(xiàn)正面的次數(shù)，求X的期望和方差；
(3)甲同學選擇了組合“HHT”，（即連續(xù)地依次出現(xiàn)正面，正面，反面），乙同學選擇了組合HTT．若選擇的組合先出現(xiàn)，則獲得游戲勝利．問：甲乙兩人中，甲更有優(yōu)勢還是乙更有優(yōu)勢還是雙方都沒有優(yōu)勢？并求甲同學獲勝的概率．
3．（22-23高二下·江蘇泰州·期中）某企業(yè)對生產(chǎn)設備進行優(yōu)化升級，升級后的設備控制系統(tǒng)由 個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨立. 當控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設備正常運行，否則設備停止運行，記設備正常運行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設備正常運行的概率：表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設備正常運行的概率）.
(1)若每個元件正常工作的概率.當時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和期望；
(2)已知設備升級前，單位時間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤為1元，設備升級后，在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的3倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件高端產(chǎn)品的利潤是2元. 請用表示出設備升級后單位時間內(nèi)的利潤y（單位：元），在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設備能否通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤.
4．（20-21高三下·湖北·階段練習）某電子公司新開發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)G有2n﹣1個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率均為p，且每個電子元件能否正常工作相互獨立．若系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)G可以正常工作，否則就需維修．
（1）當時，若該電子產(chǎn)品由3個系統(tǒng)G組成，每個系統(tǒng)的維修所需費用為500元，設為該電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的總費用，求的分布列與數(shù)學期望；
（2）為提高系統(tǒng)G正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個功能完全一樣的電子元件，每個新元件正常工作的概率均為p，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)C可以正常工作，問p滿足什么條件時，可以提高整個系統(tǒng)G的正常工作概率？
5．（20-21高三上·安徽·階段練習）2020年6月28日上午，未成年人保護法修訂草案二審稿提請十三屆全國人大常委第二十次會議審議，修改草案二審稿針對監(jiān)護缺失、校園欺凌研究損害、網(wǎng)絡沉迷等問題，進一步壓實監(jiān)護人、學校住宿經(jīng)營者網(wǎng)絡服務提供者等主體，加大對未成年人保護力度我校為宣傳未成年保護法，特舉行一次未成年人保護法知識競賽，兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答兩題，若答對題數(shù)不少于3題，被稱為“優(yōu)秀小組”，已知甲乙兩位同學組成一組，且同學甲和同學乙答對題的概率分為，.
（1）若，，則在第一輪競賽中，求他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；
（2）若，且每輪比賽互不影響，則在競賽中甲乙同學要想獲得“優(yōu)秀小組”次數(shù)為9次，則理論上至少要進行多少輪競賽才行？并求此時，的值.
六．正態(tài)分布（共7小題）
1．（21-22高三上·山東青島·期末）法國數(shù)學家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包.該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是，上下浮動不超過.這句話用數(shù)學語言來表達就是：每個面包的質(zhì)量服從期望為，標準差為的正態(tài)分布.
(1)已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機抽取個數(shù)據(jù)，記這k個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機變量，利用該結(jié)論解決下面問題.
（i）假設面包師的說法是真實的，隨機購買25個面包，記隨機購買25個面包的平均值為Y，求；
（ii）龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上，并經(jīng)計算25個面包質(zhì)量的平均值為.龐加萊通過分析舉報了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報該面包師的理由；
(2)假設有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包有3個.現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包.求取出黑色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學期望.
附：①隨機變量服從正態(tài)分布，則，，；
②通常把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生.
2．（22-23高二下·山西大同·期中）為了解某新品種水稻的產(chǎn)量情況，現(xiàn)從種植該新品種水稻的不同自然條件的田地中隨機抽取畝，統(tǒng)計其畝產(chǎn)量（單位：噸），并以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.

(1)求這畝水稻平均畝產(chǎn)量的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表，精確到小數(shù)點后兩位）；
(2)若該品種水稻的畝產(chǎn)量近似服從正態(tài)分布，其中為（1）中平均畝產(chǎn)量的估計值，.若該縣共種植10萬畝該品種水稻，試用正態(tài)分布估計畝產(chǎn)量不低于的畝數(shù)；
(3)以直方圖中的頻率估計概率，在所有田地中隨機抽取畝，設這畝中畝產(chǎn)量不低于噸的畝數(shù)為，求隨機變量的期望.
3．（22-23高二下·寧夏固原·期中）某廠包裝白糖的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的白糖質(zhì)量服從正態(tài)分布（單位：g）．
(1)求正常情況下，任意抽取一包白糖，質(zhì)量小于的概率約為多少？（保留四位有效數(shù)字）
(2)該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機抽取了兩包白糖，稱得其質(zhì)量均小于，檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測員的判斷是否合理？請說明理由（概率小于0.0001為不可能事件）．
參考數(shù)據(jù)：若，則，，．
4．（22-23高二下·江蘇揚州·期中）在創(chuàng)建“全國文明城市”過程中，我市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進行了一次創(chuàng)城知識網(wǎng)絡問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次），共有100000名市民提交了問卷，現(xiàn)從提交問卷的市民中隨機地抽取100人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示：
(1)若從樣本中問卷得分不低于60分的市民中隨機地抽取2人，求2人得分均不低于90分的概率；
(2)由樣本數(shù)據(jù)分析可知，該市全體參加問卷的市民得分服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名市民得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值代替），利用該正態(tài)分布，估計全市參加問卷的全體市民中得分在[85，92]分的人數(shù)；
(3)為了鼓勵市民積極參與創(chuàng)建文明城，問卷得分不低于92分的市民可繼續(xù)參與答題贈話費活動，規(guī)則如下：
①參加答題的市民的初始分都設置為100分；
②參加答題的市民可在答題前自己決定答題數(shù)量，每一題都需要用一定分數(shù)來獲取答題資格（即用分數(shù)來買答題資格），規(guī)定答第題時所需的分數(shù)為；
③每答對一題得2分，答錯得0分；
④答完題后參加答題市民的最終分數(shù)即為獲得的話費數(shù)（單位：元）.
已知市民甲答對每道題的概率均為0.6，且每題答對與否都相互獨立，則當他的答題數(shù)量為多少時，他獲得的平均話費最多？
參考數(shù)據(jù)：若，則，，
5．（22-23高二下·山西運城·期中）基礎學科招生改革試點，也稱強基計劃，是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生.強基計劃的校考由試點高校自主命題，?？歼^程中筆試通過后才能進入面試環(huán)節(jié).某省高三2022年有10000名學生報考某試點高校，隨機抽取100名學生的筆試成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.規(guī)定筆試成績高于70分的學生進入面試環(huán)節(jié).

(1)現(xiàn)從該樣本中隨機抽取兩名學生的筆試成績，求這兩名學生中恰有一名學生進入面試環(huán)節(jié)的概率；
(2)若該省所有報考某試點高校的學生成績近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），試估計這10000名報考學生中成績超過94分的學生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）.
附參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.
6．（22-23高二下·遼寧·期中）2023年是我國全面貫徹黨的二十大精神的開局之年，3月初我們迎來了十四屆全國人大一次會議和全國政協(xié)十四屆一次會議的勝利召開.2023年全國兩會順利結(jié)束以后，為調(diào)查學生對兩會相關(guān)知識的了解情況，某市對全市高中生開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)從全市參與該活動的學生中隨機抽取1000名學生，得到了他們兩會知識問答得分的頻率分布直方圖如下，由頻率分布直方圖可認為該市高中生兩會知識問答得分近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，并已求得和.

(1)若該市恰有3萬名高中生，試估計這些高中生中兩會知識問答得分位于區(qū)間的人數(shù)；
(2)若規(guī)定得分在84.7以上的為優(yōu)秀，現(xiàn)從全市高中生中任意抽取一個進行訪談，如果取到的學生得分不是優(yōu)秀，則繼續(xù)抽取下一個，直到取到得分優(yōu)秀的學生為止，如果抽取次數(shù)的期望值不超過7，且抽取的總次數(shù)不超過n，求n的最大值.
（附：，，，，若，則，）
7．（22-23高二下·江蘇南京·期中）新高考改革后江蘇省采用“”高考模式，“3”指的是語文、數(shù)學、外語，這三門科目是必選的；“1”指的是要在物理、歷史里選一門；“2”指考生要在生物學、化學、思想政治、地理4門中選擇2門.
(1)若按照“”模式選科，求甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數(shù)；
(2)某教育部門為了調(diào)查學生語數(shù)外三科成績，現(xiàn)從當?shù)夭煌瑢哟蔚膶W校中抽取高一學生4000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡測試、滿分450分，假設該次網(wǎng)絡測試成績服從正態(tài)分布.
①估計4000名學生中成績介于180分到360分之間有多少人；
②某校對外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡測試，有10名同學獲得425分以上的高分”，請結(jié)合統(tǒng)計學知識分析上述宣傳語的可信度.
附：，，.
七．概率與數(shù)列，導數(shù)交匯（共4小題）
1．（22-23高二下·遼寧·期中）近兩年因為疫情的原因，同學們對于居家上網(wǎng)課的情景越來越熟悉了．相較于在學校教室里線下課程而言，上網(wǎng)課因為少了課堂氛圍，難于與老師和同學互動，聽課學生很容易走神．為了提升同學們的聽課效率，授課教師可以選擇在授課過程中進行專注度監(jiān)測，即要求同學們在10秒鐘內(nèi)在軟件平臺上按鈕簽到，若同學們能夠在10秒鐘內(nèi)完成簽到，則說明該同學在認真聽課，否則就可以認為該同學目前走神了．經(jīng)過一個月對全體同學上課情況的觀察統(tǒng)計，平均每次專注度監(jiān)測有90%的同學能夠正常完成簽到．為了能夠進一步研究同學們上課的專注度情況，我們做如下兩個約定：
①假設每名同學在專注度監(jiān)測中出現(xiàn)走神情況的概率均相等；
②約定每次專注度監(jiān)測中，每名同學完成簽到加2分，未完成簽到加1分．
請回答如下兩個問題：
(1)若某班級共有50名學生，一節(jié)課老師會進行三次專注度監(jiān)測，那么全班同學在三次專注度監(jiān)測中的總得分的數(shù)學期望是多少？
(2)計某位同學在數(shù)次專注度監(jiān)測中累計得分恰為n分的概率為（比如：表示累計得分為1分的概率，表示累計得分為2的概率，），試探求：
（Ⅰ）的通項公式；
（Ⅱ）的通項公式．
2．（22-23高二下·山東濱州·期中）垃圾分類，是指按一定標準將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動的總稱，分類的目的是提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟價值，為爭物盡其用.垃圾分類后，大部分運往垃圾處理廠進行處理.為了監(jiān)測垃圾處理過程中對環(huán)境造成的影響，某大型垃圾處理廠為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，并制定如下方案：每年工廠的環(huán)境監(jiān)測費用預算定為80萬元，日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標，則立即檢查污染處理系統(tǒng)；若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標，則立即同時啟動另外兩套系統(tǒng)進行1小時的監(jiān)測，且后啟動的這2套監(jiān)測系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標，也立即檢查污染處理系統(tǒng).設每個時間段（以1小時為計量單位）被每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標的概率均為，且各個時間段每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標情況相互獨立.
(1)當時，求某個時間段需要檢查污染處理系統(tǒng)的概率；
(2)若每套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)運行成本為20元/小時（不啟動則不產(chǎn)生運行費用），除運行費用外，所有的環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費用需要6萬元.現(xiàn)以此方案實施，問該工廠的環(huán)境監(jiān)測費用是否會超過預算（全年按9000小時計算）？并說明理由.
3．（22-23高三上·重慶沙坪壩·階段練習）某商城玩具柜臺五一期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈送節(jié)日送禮，現(xiàn)有甲、乙兩個系列盲盒，每個甲系列盲盒可以開出玩偶，，中的一個，每個乙系列盲盒可以開出玩偶，中的一個.
（1）記事件：一次性購買個甲系列盲盒后集齊玩偶，，玩偶；事件：一次性購買個乙系列盲盒后集齊，玩偶；求概率及；
（2）某禮品店限量出售甲、乙兩個系列的盲盒，每個消費者每天只有一次購買機會，且購買時，只能選擇其中一個系列的一個盲盒.通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：第一次購買盲盒的消費者購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；而前一次購買甲系列的消費者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為，前一次購買乙系列的消費者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；如此往復，記某人第次購買甲系列的概率為.
①求的通項公式；
②若每天購買盲盒的人數(shù)約為，且這人都已購買過很多次這兩個系列的盲盒，試估計該禮品店每天應準備甲、乙兩個系列的盲盒各多少個.
4．（22-23高二下·黑龍江佳木斯·期中）學習強國中有兩項競賽答題活動，一項為“雙人對戰(zhàn)”，另一項為“四人賽”．活動規(guī)則如下：一天內(nèi)參與“雙人對戰(zhàn)”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內(nèi)參與“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對戰(zhàn)”活動時，每局比賽獲勝的概率為；參加“四人賽”活動（每天兩局）時，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為，．李明周一到周五每天都參加了“雙人對戰(zhàn)”活動和“四人賽”活動（每天兩局），各局比賽互不影響．
(1)求李明這5天參加“雙人對戰(zhàn)”活動的總得分的分布列和數(shù)學期望；
(2)設李明在這5天的“四人賽”活動（每天兩局）中，恰有3天“得分不低于3分”的概率為，求為何值時，取得最大值，并求出該最大值．
八．導數(shù)之恒成立與有解問題（共7小題）
1．（多選）（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）若不等式在時恒成立，則實數(shù)的值可以為（ ）
A．B．C．D．2
2．（23-24高三上·湖南邵陽·階段練習）若，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
3．（23-24高三上·陜西西安·期中）若存在，使得關(guān)于的不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
4．（23-24高二上·山西呂梁·期末）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
5．（22-23高二下·河南·期中）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)已知，證明：（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）
6．（22-23高二下·北京·期中）已知函數(shù)，.
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在（是常數(shù)，）使不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍.
7．（22-23高二下·四川成都·期中）已知函數(shù)，且.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性.
(2)若存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.
九．導數(shù)之零點問題（共7小題）
1．（23-24高二上·浙江寧波·期末）已知函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍 .
2．（23-24高三上·天津河東·期中）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為 ．
3．（23-24高三上·寧夏石嘴山·期中）已知函數(shù)
(1)求曲線在處的切線方程
(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍
4．（23-24高一上·江西·期中）已知函數(shù)，為的導函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當時，有兩個零點，，且，求實數(shù)的取值范圍.
5．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線方程為，求的值；
(2)若的導函數(shù)存在兩個不相等的零點，求實數(shù)的取值范圍.
6．（23-24高三上·陜西漢中·期中）已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若，求函數(shù)的最小值；
(3)若有兩個零點，，證明：.
7．（23-24高一上·福建廈門·期中）已知函數(shù)和有相同的最小值，（e為自然對數(shù)的底數(shù)，且）
(1)求m；
(2)證明：存在直線與函數(shù)，恰好共有三個不同的交點；
(3)若（2）中三個交點的橫坐標分別為，，，求的值．
8．（23-24高三上·山東煙臺·期中）已知函數(shù) 且函數(shù)有兩個極值點.
(1)求的范圍;
(2)若函數(shù)的兩個極值點為且，求 的最大值.
十．導數(shù)之雙變量問題（共6小題）
1．（22-23高二下·四川遂寧·期中）已知函數(shù)，若，則的最小值為 .
2．（22-23高二下·福建龍巖·期中）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個零點，，證明：.
3．（22-23高二下·上海浦東新·期末）已知，函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若有零點，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若有兩個相異零點，求證：.
4．（22-23高二下·浙江·期中）已知函數(shù)，.
(1)若不是函數(shù)的極值點，求a的值；
(2)當，若有三個極值點，，，且，求的取值范圍.
5．（22-23高三上·四川·期中）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值；
(2)設有兩個不同的零點，，為其極值點，證明：．
6．（22-23高三上·四川成都·期中）已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當時，設，，函數(shù)有兩個極值點、．
①求的取值范圍；
②若，求的取值范圍．
十一．新定義題（共5小題）
1．（多選）（22-23高二下·福建福州·期中）在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里的一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲*布勞威爾.簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個不動點，依據(jù)不動點理論，下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)只有一個不動點
B．若定義在R上的奇函數(shù)，圖象上存在有限個不動點，則不動點個數(shù)是奇數(shù)
C．函數(shù)只有一個不動點
D．若函數(shù)在上存在兩個不動點，則實數(shù)a滿足
2．（22-23高三上·河北保定·期中）英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列如果函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設，且，則
3．（21-22高三上·山東青島·期末）法國數(shù)學家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包.該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是，上下浮動不超過.這句話用數(shù)學語言來表達就是：每個面包的質(zhì)量服從期望為，標準差為的正態(tài)分布.
(1)已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機抽取個數(shù)據(jù)，記這k個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機變量，利用該結(jié)論解決下面問題.
（i）假設面包師的說法是真實的，隨機購買25個面包，記隨機購買25個面包的平均值為Y，求；
（ii）龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上，并經(jīng)計算25個面包質(zhì)量的平均值為.龐加萊通過分析舉報了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報該面包師的理由；
(2)假設有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包有3個.現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包.求取出黑色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學期望.
附：①隨機變量服從正態(tài)分布，則，，；
②通常把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生.
4．（2023·浙江杭州·二模）馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用．其數(shù)學定義為：假設我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．
現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．
假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?，且賭輸就要輸?shù)?元．賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為，賭博過程如下圖的數(shù)軸所示．
當賭徒手中有n元（，）時，最終輸光的概率為，請回答下列問題：
(1)請直接寫出與的數(shù)值．
(2)證明是一個等差數(shù)列，并寫出公差d．
(3)當時，分別計算，時，的數(shù)值，并結(jié)合實際，解釋當時，的統(tǒng)計含義．
5．（23-24高三上·上海黃浦·期中）設函數(shù)與的定義域均為，若存在，滿足且，則稱函數(shù)與“局部趨同”．
(1)判斷函數(shù)與是否“局部趨同”，并說明理由；
(2)已知函數(shù)．求證：對任意的正數(shù)，都存在正數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”；
(3)對于給定的實數(shù)，若存在實數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”，求實數(shù)的取值范圍．得分（百分制）
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
頻數(shù)
10
15
25
35
15

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