兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合
排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算
組合數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用
相鄰與不相鄰問題
特殊元素（位置）優(yōu)先
間接法 分配問題 涂色問題
二項(xiàng)展開式及其逆應(yīng)用
二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)
二項(xiàng)式系數(shù)（和） 系數(shù)和，系數(shù)最值
兩個(gè)二項(xiàng)展開式，三項(xiàng)展開式系數(shù)問題
條件概率 全概率公式
二項(xiàng)分布和超幾何分布
正態(tài)分布
導(dǎo)數(shù)之切線問題
導(dǎo)數(shù)之單調(diào)性問題
導(dǎo)數(shù)之極值，最值問題
一．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合（共4小題）
1．（23-24高二下·浙江寧波·期中）我們把各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為8的三位數(shù)稱為“幸運(yùn)數(shù)”，例如“170，332，800”都是“幸運(yùn)數(shù)”. 問“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)共有（ ）
A．35個(gè)B．36個(gè)C．37個(gè)D．38個(gè)
2．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某水果店門前用3根繩子掛了6串香蕉，從左往右的串?dāng)?shù)依次為1，2，3．到了晚上，水果店老板要收攤了，假設(shè)每次只取1串（掛在一列的只能先收下面的），則將這些香蕉都取完的不同取法種數(shù)是（ ）
A．144B．96C．72D．60
3．（22-23高二下·陜西西安·期中）用、、、、、這六個(gè)數(shù)字.
(1)可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)；
(2)可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)；
(3)可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的小于的自然數(shù).
4．（23-24高二下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）用0，1，2，3，，9這十個(gè)數(shù)字.
(1)可組成多少個(gè)三位數(shù)？
(2)可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？
(3)可組成多少個(gè)小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？
二．排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算（共4小題）
1．（23-24高二下·江蘇泰州·期中）計(jì)算（寫出計(jì)算過程，結(jié)果用數(shù)字作答）：
(1)；
(2)．
2．（22-23高二下·廣東江門·期中）計(jì)算：
(1)
(2)
3．（22-23高二下·新疆巴音郭楞·期中）計(jì)算
(1)
(2)
4．（22-23高二下·江蘇宿遷·期中）（1）計(jì)算：；
（2）解方程：．
三．組合數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用（共4小題）
1．（22-23高二下·新疆喀什·期中）（1）求值：；
（2）解方程：.
2．（22-23高二下·山東濟(jì)南·期中）（1）求值：；
（2）已知，求x的值．
3．（22-23高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）計(jì)算:
(1)求的值；
(2)若，求n的值.
4．（22-23高二下·福建三明·階段練習(xí)）(1)化簡(jiǎn)求值：；
(2)解方程：；
四．相鄰與不相鄰問題（共5小題）
1．（23-24高二上·陜西渭南·期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（ ）
A．12種B．24種C．36種D．48種
2．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)是疫情之后我國(guó)舉辦的一項(xiàng)重大賽事，它不僅向世界展示了我國(guó)強(qiáng)大的綜合實(shí)力，更體現(xiàn)了我國(guó)青年的奉獻(xiàn)精神和志愿力量．運(yùn)動(dòng)會(huì)期間甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相鄰，甲和丙不相鄰，則不同的排列方式共有（ ）種．
A．24B．32C．36D．40
3．（多選）（23-24高二上·江蘇常州·期末）甲、乙、丙等人排成一列，下列說法正確的有（ ）
A．若甲和乙相鄰，共有種排法B．若甲不排第一個(gè)共有種排法
C．若甲與丙不相鄰，共有種排法D．若甲在乙的前面，共有種排法
4．（23-24高二上·福建莆田·期末）5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列約束條件下，有多少種站法？
(1)女生不站在兩端；
(2)女生相鄰；
(3)女生不相鄰.
5．（22-23高二下·重慶榮昌·期中）電影《長(zhǎng)津湖》講述了在極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國(guó)人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神為長(zhǎng)津湖戰(zhàn)役勝利做出重要貢獻(xiàn)的故事，現(xiàn)有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計(jì)算出結(jié)果）
(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？
(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？
(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？
五．特殊元素（位置）優(yōu)先（共5小題）
1．（23-24高三上·江蘇·期末）某學(xué)校廣播站有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備分2天播出，每天播出3個(gè)，其中學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)介紹和新聞報(bào)道兩個(gè)節(jié)目必須在第一天播出，談話節(jié)目必須在第二天播出，則不同的播出方案共有（ ）
A．108種B．90種C．72種D．36種
2．（23-24高三上·廣東深圳·期末）2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運(yùn)會(huì)已在浙江杭州成功舉辦.現(xiàn)知某電視臺(tái)在亞運(yùn)會(huì)期間某段時(shí)間連續(xù)播放了5個(gè)廣告其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的亞運(yùn)宣傳廣告，其中最后播放的是亞運(yùn)宣傳廣告，且2個(gè)亞運(yùn)宣傳廣告沒有相鄰播放，則不同的播放方式有（ ）
A．120種B．48種C．36種D．18種
3．（23-24高三上·山西·期末）某小組兩名男生和兩名女生邀請(qǐng)一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（ ）
A．48種B．32種C．24種D．16種
4．（23-24高三上·湖南衡陽·期末）某旅游團(tuán)計(jì)劃去湖南旅游，該旅游團(tuán)從長(zhǎng)沙?衡陽?郴州?株洲?益陽這5個(gè)城市中選擇4個(gè)（選擇的4個(gè)城市按照到達(dá)的先后順序分別記為第一站?第二站?第三站?第四站），且第一站不去株洲，則該旅游團(tuán)四站的城市安排共有（ ）
A．96種B．84種C．72種D．60種
5．（23-24高二上·江西九江·期末）從集合中任取個(gè)元素分別作為直線方程中的、、，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有 條用數(shù)值表示
六．間接法（共5小題）
1．（23-24高二上·山東青島·期末）某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，則抽取的3人中，男教師最少為1人的選法種數(shù)為（ ）
A．45B．50C．55D．40
2．（23-24高二上·北京石景山·期末）用可以組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．25B．20C．16D．15
3．（22-23高二下·河北唐山·期末）從4名男生和2名女生中選2人參加會(huì)議，至少有一名男生，不同的安排方法有（ ）種．
A．13B．14C．15D．16
4．（23-24高三上·江蘇常州·期中）將5本不同的書分發(fā)給4位同學(xué)，其中甲、乙兩本書不能同時(shí)發(fā)給某一位同學(xué)，每位同學(xué)都發(fā)到書，每本書只能給一位同學(xué)，則不同的分配方案數(shù)為 （用數(shù)字作答）
5．（22-23高二下·新疆烏魯木齊·期中）男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1名.現(xiàn)選派 5人外出參加比賽.
(1)隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加，有多少種選派方法?
(2)參賽的運(yùn)動(dòng)員需要分坐在兩輛車上(每輛車上至少有一名運(yùn)動(dòng)員)，有多少種安排方式?
七．分配問題（共6小題）
1．（23-24高三上·江西·期末）現(xiàn)將《西游記》、《紅樓夢(mèng)》、《水滸傳》、《三國(guó)演義》、《史記》、《資治通鑒》6本不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游記》分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是（ ）
A．180B．150C．120D．210
2．（22-23高二下·河南·期中）將5名實(shí)習(xí)教師分配到某校高二年級(jí)的甲、乙、丙3個(gè)班級(jí)實(shí)習(xí)，要求每個(gè)班至少一名，最多兩名，其中不去甲班，則不同的分配方案有（ ）
A．種B．種C．種D．種
3．（23-24高三上·河南駐馬店·期末）將5本不同的書（2本文學(xué)書、2本科學(xué)書和1本體育書）分給甲、乙、丙三人，每人至少分得1本書，每本書只能分給一人，其中體育書只能分給甲、乙中的一人，則不同的分配方法數(shù)為（ ）
A．78B．92C．100D．122
4．（23-24高三上·山西運(yùn)城·期末）第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)預(yù)計(jì)2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉辦，這屆奧運(yùn)會(huì)將新增2個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目和3個(gè)表演項(xiàng)目．現(xiàn)有三個(gè)場(chǎng)地A，B，C分別承擔(dān)這5個(gè)新增項(xiàng)目的比賽，且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目，則不同的安排方法有（ ）
A．150種B．300種C．720種D．1008種
5．（23-24高二上·福建龍巖·期末）編號(hào)不同的四個(gè)球放入四個(gè)不同的盒子中，恰有一個(gè)空盒的不同放法有 種.（用數(shù)字回答）
6．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）8張不同的郵票，按下列要求各有多少種不同的分法？（用式子表示）
(1)平均分成四份；
(2)平均分給甲、乙、丙、丁四人；
(3)分成三份，一份4張，一份2張，一份2張；
(4)分給甲、乙、丙三人，甲4張，乙2張，丙2張；
(5)分給三人，一人4張，一人2張，一人2張；
(6)分成三份，一份1張，一份2張，一份5張；
(7)分給甲、乙、丙三人，甲得1張，乙得2張，丙得5張；
(8)分給甲、乙、丙三人，一人1張，一人2張，一人5張．
八．涂色問題（共6小題）
1．（22-23高二下·山東濟(jì)南·期中）某公園設(shè)計(jì)了如圖所示的觀賞花壇，現(xiàn)有郁金香、瑪格麗特、小月季、小杜鵑四種不同的花可供采購，要求相鄰區(qū)域種不同種類的花，則不同的種植方案?jìng)€(gè)數(shù)為（ ）
A．24B．36C．48D．96
2．（22-23高二下·廣東河源·期中）將一個(gè)三棱臺(tái)的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是 ．
3．（23-24高二下·河北邯鄲·期中）某社區(qū)計(jì)劃在該小區(qū)內(nèi)如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區(qū)域布置的花卉種類不同，且每個(gè)區(qū)域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有 .

4．（23-24高二下·江蘇常州·期中）對(duì)正方體的6個(gè)面進(jìn)行涂色，有5種不同的顏色可供選擇.要求每個(gè)面只涂一種顏色，且有公共棱的兩個(gè)面不同色，則總的涂色方法個(gè)數(shù)為 （填寫數(shù)字）
5．（23-24高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）現(xiàn)有5種不同的顏色，給四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)的顏色不能同色，則涂色的方法一共有 種.（用數(shù)字作答）
6．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供種不同的顏色給其中個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則，區(qū)域涂同色的概率為 ．
九．二項(xiàng)展開式及其逆應(yīng)用（共小題）
1．（23-24高二下·江蘇南京·期中）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（ ）
A．x4B．C．D．
2．（23-24高二下·山西臨汾·期中）已知，則（ ）
A．224B．C．D．448
3．（23-24高二下·遼寧朝陽·期中）化簡(jiǎn)（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）若（，為有理數(shù)），則等于 ．
5．（22-23高二下·安徽·期中） ．
十．二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)（共5小題）
1．（2023·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A． B．20C． D．160
2．（22-23高二下·河南新鄉(xiāng)·期中）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．－70B．－56C．56D．70
3．（23-24高三上·上?！て谥校┒?xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 .
4．（23-24高三上·上海浦東新·期中）的展開式的第8項(xiàng)的系數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）.
5．（23-24高三上·北京·期中）在的二項(xiàng)展開式中，第四項(xiàng)為 ．
十一．二項(xiàng)式系數(shù)（和）（共4小題）
1．（22-23高二下·山東濰坊·期中）若 的展開式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．10B．20C．D．
2．（22-23高二下·北京·期中）的展開式中的系數(shù)是 ，二項(xiàng)式系數(shù)的和是 .
3．（22-23高二下·黑龍江雞西·期中）已知二項(xiàng)式的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和等于128，那么其展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是 ．
4．（22-23高二下·上海閔行·期中）已知的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024.
(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
(2)求展開式的所有有理項(xiàng)，并指明是第幾項(xiàng).
十二．系數(shù)和，系數(shù)最值（共6小題）
1．（多選）（22-23高二下·廣東江門·期中）若，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高二下·湖南邵陽·期中）若二項(xiàng)式，則
3．（23-24高二上·福建莆田·期末）在①只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；②第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；③所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個(gè)問題．
已知（），若的展開式中，______.
(1)求n的值；
(2)求的系數(shù)；
(3)求的值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
4．（22-23高二上·河南南陽·期末）已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，．
(1)求的值；
(2)求系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).
5．（22-23高二下·浙江溫州·期中）已知在的展開式中，前項(xiàng)的系數(shù)分別為，，，且滿足．
(1)求展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和；
(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；
(3)求展開式中所有有理項(xiàng)．
6．（22-23高二下·重慶江北·期中）已知二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，且．
(1)求的值；
(2)求展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)．
十三．兩個(gè)二項(xiàng)展開式，三項(xiàng)展開式系數(shù)問題（共6小題）
1．（22-23高二下·河南周口·期中）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．60C．D．120
2．（22-23高二下·貴州黔西·期中）的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．80B．60C．D．
3．（23-24高三上·四川成都·期末）的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．C．5D．15
4．（22-23高二下·河南·期中）若二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是,則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．-2B．2C．-4D．4
5．（23-24高二上·湖北武漢·期中）展開式中的系數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
6．（22-23高二下·福建泉州·期中）中常數(shù)項(xiàng)是 ．（寫出數(shù)字）
十四．條件概率（共5小題）
1．（22-23高二下·江蘇宿遷·期中）將三枚骰子各擲一次，設(shè)事件為“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”，事件為“出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則概率的值為（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高二下·江蘇南通·期中）已知隨機(jī)事件，滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（多選）（23-24高三上·山東淄博·期中）甲罐中有3個(gè)紅球，4個(gè)黑球，乙罐中有2個(gè)紅球，3個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是紅球”再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則（ ）
A．B．C．事件與事件相互獨(dú)立D．
4．（22-23高二下·廣東肇慶·期中）甲罐中有5個(gè)紅球，5個(gè)白球，乙罐中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機(jī)取出一球、表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，表示事件“從乙罐取出的球是紅球”.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．、為對(duì)立事件B．
C．D．
5．（23-24高二上·四川涼山·期中）多選題是新高考中的一種題型，其規(guī)則如下：有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的或一個(gè)都不選的得0分．某同學(xué)正在參加西昌市半期考試，當(dāng)其做到多項(xiàng)選擇題11題和12題時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己不會(huì)，在這兩個(gè)多項(xiàng)選擇題中，他選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率是，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率是，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率是，若該同學(xué)猜答案時(shí)題目與題目之間互不影響，且第11題和第12題的正確答案都是兩個(gè)選項(xiàng)．
(1)求該同學(xué)11題得2分的概率；
(2)求該同學(xué)第11，12題兩個(gè)題總共得分為7分的概率．
十五．全概率公式（共5小題）
1．（22-23高二下·湖南邵陽·期中）一玩具制造廠的某一配件由A，B，C三家配件制造廠提供，根據(jù)三家配件制造廠以往的制造記錄分析得到數(shù)據(jù)：制造廠A，B，C的次品率分別為0.02，0.01，0.03，提供配件的份額分別為，，，設(shè)三家制造廠的配件在玩具制造廠倉庫均勻混合且不區(qū)別標(biāo)記，從中隨機(jī)抽取一件配件，若抽到的是次品，則該次品來自制造廠C概率為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·浙江·期中）在3張彩票中有2張有獎(jiǎng)，甲、乙兩人先后從中各任取一張，則乙中獎(jiǎng)的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高二下·江蘇宿遷·期中）設(shè)A，B為兩個(gè)事件，已知，，，則（ ）
A．0.3B．0.4
C．0.5D．0.6
4．（23-24高三上·河北石家莊·期中）某單位組織“鄉(xiāng)村振興”知識(shí)競(jìng)賽，有甲、乙兩類問題.每位參加比賽的選手先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤，則該選手比賽結(jié)束；若回答正確，則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該選手比賽結(jié)束.甲類問題中的每個(gè)問題回答正確得30分，否則得0分；乙類問題中的每個(gè)問題回答正確得50分，否則得0分.已知選手張某能正確回答甲類問題的概率為0.9，能正確回答乙類問題的概率為0.7，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).
(1)若選甲、乙兩類問題是等可能的，求張某至少答對(duì)一道問題的概率；
(2)如果答題順序由張某選擇，以累計(jì)得分多為決策依據(jù)，說明張某應(yīng)選擇先回答哪類問題.
5．（23-24高二上·重慶北碚·期中）為了考察學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，準(zhǔn)備了甲、乙兩個(gè)不透明紙箱．其中，甲箱有2道概念敘述題，2道計(jì)算題；乙紙箱中有2道概念敘述題，3道計(jì)算題（所有題目均不相同）．現(xiàn)有A，B兩個(gè)同學(xué)來抽題回答；每個(gè)同學(xué)在甲或乙兩個(gè)紙箱中逐個(gè)隨機(jī)抽取兩道題作答．每個(gè)同學(xué)先抽取1道題作答，答完題目后不放回，再抽取一道題作答（不在題目上作答）．兩道題答題結(jié)束后，再將這兩道題目放回原紙箱．
(1)如果A同學(xué)從甲箱中抽取兩道題，則第二題抽到的是概念敘述題的概率；
(2)如果A同學(xué)從甲箱中抽取兩道題，解答完后，誤把題目放到了乙箱中．B同學(xué)接著抽取題目回答，若他從乙箱中抽取兩道題目，求第一個(gè)題目抽取概念敘述題的概率．
十六．二項(xiàng)分布和超幾何分布（共7小題）
1．（23-24高三上·天津·期中）在學(xué)校大課間體育活動(dòng)中，甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽，每局比賽甲、乙每人各投籃一次，若一方命中且另一方末命中，則命中的一方本局比賽獲勝，否則為平局.已知甲、乙每次投籃命中的概率分別為和，且每局比賽甲、乙命中與否互不影響，各局比賽也互不影響.進(jìn)行1局投籃比賽，甲獲勝的概率為 ；設(shè)共進(jìn)行了3局投籃比賽，其中甲獲勝的局?jǐn)?shù)為，則的數(shù)學(xué)期望 .
2．（22-23高二下·湖南邵陽·期中）某食品生產(chǎn)廠生產(chǎn)某種市場(chǎng)需求量很大的食品，這種食品有A、B兩類關(guān)鍵元素含量指標(biāo)需要檢測(cè)，設(shè)兩元素含量指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響．若A元素指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，B元素指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩元素含量指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的食品才為合格品．
(1)一個(gè)食品經(jīng)過檢測(cè)，AB兩類元素至少一類元素含量指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率；
(2)任意依次抽取該種食品4個(gè)，設(shè)表示其中合格品的個(gè)數(shù)，求分布列及．
3．（23-24高三上·北京西城·期中）某校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案；考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作，規(guī)定：至少正確完成其中2題便可通過.已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成，2題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響，求：
(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
(2)試用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析比較兩考生的實(shí)驗(yàn)操作能力.
4．（23-24高三上·四川成都·期中）某種植戶對(duì)一塊地上的個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.如果每個(gè)坑內(nèi)至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)種，否則需要補(bǔ)種.
(1)當(dāng)n取何值時(shí)，有4個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率最大？最大概率為多少？
(2)當(dāng)時(shí)，用X表示要補(bǔ)種的坑的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
5．（23-24高三上·江西·階段練習(xí)）甲同學(xué)現(xiàn)參加一項(xiàng)答題活動(dòng)，其每輪答題答對(duì)的概率均為，且每輪答題結(jié)果相互獨(dú)立.若每輪答題答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分，記第輪答題后甲同學(xué)的總得分為，其中.
(1)求；
(2)若乙同學(xué)也參加該答題活動(dòng)，其每輪答題答對(duì)的概率均為，并選擇另一種答題方式答題：從第1輪答題開始，若本輪答對(duì)，則得20分，并繼續(xù)答題；若本輪答錯(cuò)，則得0分，并終止答題，記乙同學(xué)的總得分為.證明：當(dāng)時(shí)，.
6．（22-23高二下·廣東東莞·期中）某冰糖橙是甜橙的一種，以味甜皮薄著稱.該橙按照等級(jí)可分為四類：珍品、特級(jí)、優(yōu)級(jí)和一級(jí).某采購商打算訂購一批橙子銷往省外，并從采購的這批橙子中隨機(jī)抽取100箱（每箱有），利用橙子的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下表：
(1)若將頻率作為概率，從這100箱橙子中有放回地隨機(jī)抽取4箱，求恰好有2箱是一級(jí)品的概率；
(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從這100箱橙子中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機(jī)抽取3箱，表示抽取的珍品的箱數(shù)，求的分布列及均值.
7．（22-23高二下·福建南平·期中）2022年冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)主辦城市是北京，北京成為第一個(gè)舉辦過夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)以及亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)三項(xiàng)國(guó)際賽事的城市！為迎接冬奧會(huì)的到來，某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會(huì)賽事的活動(dòng)，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：

(1)在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所來調(diào)查研究，求這3所學(xué)校參與“自由式滑雪”都超過40人的概率；
(2)“單板滑雪”參與人數(shù)超過45人的學(xué)校可以作為“基地學(xué)?！保F(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)選出3所，記為選出可作“基地學(xué)校”的學(xué)校個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營(yíng)，對(duì)“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測(cè)試．規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”．在集訓(xùn)測(cè)試中，小明同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個(gè)動(dòng)作互不影響且每輪測(cè)試互不影響．如果小明同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達(dá)到不少于5次，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪測(cè)試？
十七．正態(tài)分布（共8小題）
1．（23-24高三上·廣東揭陽·期中）設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，與之間的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高二下·遼寧沈陽·期中）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高二下·浙江溫州·期中）紅外體溫計(jì)的工作原理是通過人體發(fā)出的紅外熱輻射來測(cè)量體溫的，有一定誤差．用一款紅外體溫計(jì)測(cè)量一位體溫為36.9℃的人時(shí)，顯示體溫X服從正態(tài)分布，若X的值在內(nèi)的概率約為0.9973，則n的值約為（ ）
參考數(shù)據(jù)：若，則．
A．3B．4C．5D．6
4．（23-24高三上·四川成都·期中）體育強(qiáng)國(guó)是新時(shí)期我國(guó)體育工作改革和發(fā)展的目標(biāo)和任務(wù)，我國(guó)要力爭(zhēng)實(shí)現(xiàn)體育大國(guó)向體育強(qiáng)國(guó)的轉(zhuǎn)變.2019年9月2日，國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《體育強(qiáng)國(guó)建設(shè)綱要》，綱要提出，到2035年，《國(guó)民體質(zhì)測(cè)定標(biāo)準(zhǔn)》合格率超過．2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運(yùn)會(huì)在我國(guó)杭州成功舉辦，中國(guó)代表隊(duì)以201枚金牌，383枚獎(jiǎng)牌奪得金牌榜和獎(jiǎng)牌榜第一.這是新時(shí)期中國(guó)體育工作改革和發(fā)展過程中取得的優(yōu)異成績(jī).某校將學(xué)生的立定跳遠(yuǎn)作為體育健康監(jiān)測(cè)項(xiàng)目，若該校初三年級(jí)上期開始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生立定跳遠(yuǎn)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到頻率分布直方圖，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表：

(1)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；
(2)若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳遠(yuǎn)距離（單位：）服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差，已知樣本方差（各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）．根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過一年訓(xùn)練后，每人跳遠(yuǎn)距離都有明顯進(jìn)步，假設(shè)初三結(jié)束進(jìn)行跳遠(yuǎn)測(cè)試時(shí)每人跳遠(yuǎn)比初三上學(xué)期開始時(shí)距離增加，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：
（?。┤羧昙?jí)恰好有2000名學(xué)生，預(yù)估初三結(jié)束進(jìn)行測(cè)試時(shí)，跳遠(yuǎn)距離在以上的人數(shù)；（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）
（ⅱ）若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，記初三結(jié)束進(jìn)行測(cè)試時(shí)，跳遠(yuǎn)距離在以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望．
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
參考數(shù)據(jù)：；
5．（22-23高二下·江蘇鹽城·期中）企業(yè)的產(chǎn)品正常生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布，從當(dāng)前生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取400件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，產(chǎn)品尺寸匯總?cè)缦卤恚?br>根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和生產(chǎn)線的實(shí)際情況，產(chǎn)品尺寸在以外視為小概率事件.一旦小概率事件發(fā)生視為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，產(chǎn)品尺寸在以內(nèi)為正品，以外為次品..(1)判斷生產(chǎn)線是否正常工作，并說明理由；
(2)用頻率表示概率，若再隨機(jī)從生產(chǎn)線上取3件產(chǎn)品復(fù)檢，正品檢測(cè)費(fèi)20元/件，次品檢測(cè)費(fèi)30元/件，記這3件產(chǎn)品檢測(cè)費(fèi)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望及方差.
6．（22-23高二下·重慶北碚·期末）某醫(yī)療機(jī)構(gòu)成立了一支研發(fā)小組負(fù)責(zé)某流感相關(guān)專題的研究.
(1)該研發(fā)小組研制了一種退燒藥，經(jīng)過大量臨床試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)流感患者使用該退燒藥一天后的體溫（單位：）近似服從正態(tài)分布，流感患者甲服用了該退燒藥，設(shè)一天后他的體溫為X，求；
(2)數(shù)據(jù)顯示人群中每個(gè)人患有該流感的概率為1%，該醫(yī)療機(jī)構(gòu)使用研發(fā)小組最新研制的試劑檢測(cè)病人是否患有該流感，由于各種因素影響，該檢測(cè)方法的準(zhǔn)確率是80%，即一個(gè)患有該流感的病人有80%的可能檢測(cè)結(jié)果為陽性，一個(gè)不患該流感的病人有80%的可能檢測(cè)結(jié)果為陰性.
（i）若乙去該醫(yī)療機(jī)構(gòu)檢測(cè)是否患有該流感，求乙檢測(cè)結(jié)果為陰性的概率；
（ii）若丙在該醫(yī)療機(jī)構(gòu)檢測(cè)結(jié)果為陰性，求丙患有該流感的概率.
附：，則，，.
7．（22-23高二下·山東臨沂·期中）基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)，也稱強(qiáng)基計(jì)劃，是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，某試點(diǎn)高校?？歼^程中筆試通過后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．2022年報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生的筆試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布．其中，近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．已知的近似值為76.5，s的近似值為5.5，以樣本估計(jì)總體．
(1)假設(shè)有84.135%的學(xué)生的筆試成績(jī)高于該校預(yù)期的平均成績(jī)，求該校預(yù)期的平均成績(jī)大約是多少？
(2)若筆試成績(jī)高于76.5進(jìn)入面試，若從報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，設(shè)其中進(jìn)入面試學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望．
(3)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過面試的概率分別為、、、．設(shè)這4名學(xué)生中通過面試的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：若，則：；；．
8．（22-23高二下·江蘇徐州·期中）電影《流浪地球2》中有許多可行駛、可作業(yè)、可變形的UEG地球聯(lián)合政府機(jī)械設(shè)備，均出自中國(guó)工程機(jī)械領(lǐng)導(dǎo)者品牌—徐工集團(tuán).電影中有很多硬核的裝備，其實(shí)并不是特效，而是用國(guó)產(chǎn)尖端裝備設(shè)計(jì)改造出來的，許多的裝備都能在現(xiàn)實(shí)中尋找到原型.現(xiàn)集團(tuán)某車間新研發(fā)了一臺(tái)設(shè)備，集團(tuán)對(duì)新設(shè)備的具體要求是：零件內(nèi)徑（單位：mm）在范圍之內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，否則為次品；零件內(nèi)徑X滿足正態(tài)分布．
(1)若該車間對(duì)新設(shè)備安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個(gè)零件，測(cè)量其內(nèi)徑（單位：mm）分別為：199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是該車間的負(fù)責(zé)人，試根據(jù)3σ原則判斷這臺(tái)設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試？并說明你的理由．
(2)若該設(shè)備符合集團(tuán)的生產(chǎn)要求，現(xiàn)對(duì)該設(shè)備生產(chǎn)的10000個(gè)零件進(jìn)行跟蹤調(diào)查．
①10000個(gè)零件中大約有多少個(gè)零件的內(nèi)徑可以超過200.12mm？
②10000個(gè)零件中的次品的個(gè)數(shù)最有可能是多少個(gè)？
參考數(shù)據(jù)：
若隨機(jī)變量，則，，
，，．
十八．導(dǎo)數(shù)之切線問題（共6小題）
1．（22-23高二上·福建莆田·期末）設(shè)P為曲線C：上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍是，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三上·山東濟(jì)寧·期中）若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則（ ）．
A．3B．2C．1D．0
3．（2023·安徽蚌埠·二模）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·湖北·期中）函數(shù)為上的奇函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，可作切線條數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．不確定
5．（22-23高二下·北京·期中）過且與曲線相切的直線方程是 .
6．（22-23高二下·河南駐馬店·期中）已知函數(shù).
(1)求曲線與直線垂直的切線方程；
(2)若過點(diǎn)的直線與曲線相切，求直線的斜率.
十九．導(dǎo)數(shù)之單調(diào)性問題（共小題）
1．（23-24高三上·河南南陽·期中）已知在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2．（15-16高三上·甘肅蘭州·期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·福建三明·期中）已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一上·四川·期中）已知函數(shù)（且在上是增函數(shù)，則的取值范圍為 ．
5．（23-24高二上·浙江寧波·期中）若函數(shù)在區(qū)間上有單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
6．（23-24高三上·江西南昌·期中）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，則正數(shù)的取值范圍是 .
二十．導(dǎo)數(shù)之極值，最值問題（共7小題）
1．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）已知函數(shù)在處取得極小值1，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·山西呂梁·期末）若函數(shù)在處有極小值，則（ ）
A．B．C．或D．
3．（22-23高二下·河南·期中）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則非負(fù)實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．或D．或
4．（22-23高二下·河北石家莊·期中）已知函數(shù)在處取得極值．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．
5．（23-24高二上·浙江寧波·期末）已知函數(shù)（為常數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線.
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的極值.
6．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求a的值.
7．（23-24高三上·陜西咸陽·期中）已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求在區(qū)間上的最大值.等級(jí)
珍品
特級(jí)
優(yōu)級(jí)
一級(jí)
箱數(shù)
40
30
10
20
跳遠(yuǎn)距離
得分
17
18
19
20
產(chǎn)品尺寸
件數(shù)
8
54
54
160
72
40
12

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