專題13 尺規(guī)作圖一．選擇題1．（?東營區(qū)一模）如圖，矩形中，以點為圓心，以任意長為半徑作弧分別交，于點，兩點，再分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧交于點，作射線交于點，若，則的長為　　A． B． C． D．【解析】如圖所示，過作于，由題可得，平分，，，，，，中，，故選：．2．（?夷陵區(qū)模擬）如圖，，以點為圓心，以任意長為半徑作弧交，于，兩點；分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；以為端點作射線，在射線上截取線段，則點到的距離為　　A．4 B．3 C．2 D．【解析】根據(jù)作圖過程可知：是的平分線，，，點到的距離2．故選：．3．（?西華縣一模）如圖，的直角邊在軸上，在軸的正半軸上，且，．按以下步驟作圖：①以點為圓心，適當(dāng)長度為半徑作弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點；③作射線，交軸于點．則點的坐標(biāo)為　　A． B． C． D．【解析】，．，，，根據(jù)作圖過程可知：是的平分線，作于點，則，，，在中，根據(jù)勾股定理，得，即，解得．所以點的坐標(biāo)為．故選：．4．（?中原區(qū)校級模擬）如圖所示，在中，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以小于的長為半徑作弧，分別交、于點，；②分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；③作射線，交于點，若，．則的長為　　A．11 B．12 C．18 D．20【解析】過點作于點，由作圖知平分，，，，，，，，，設(shè)，由得，解得：，即，，故選：．5．（?信陽模擬）如圖，中，，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，適當(dāng)長度為半徑作弧，分別交，于，兩點：②分別以點，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部交于點；③連接并延長交于點，交的延長線于點，則的長為　　A．1 B．2 C．2.5 D．3【解析】由作圖可知，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，故選：．6．（?溫州一模）在中，，，，以點為圓心，為半徑作圓弧，與交于，再分別以，為圓心，大于的長為半徑作圓弧交于點，，作直線，交于，則的長度為　　A． B．4 C． D．5【解析】由作圖可得，，，垂直平分，，，，，，，，，，即，解得，故選：．7．（?海淀區(qū)校級二模）如圖，在菱形中，按以下步驟作圖：①分別以點和點為圓心，大于的同樣的長為半徑作弧，兩弧交于，兩點；②作直線，交于點，連接．若直線恰好經(jīng)過點，則下列說法錯誤的是　　A． B． C．若，則 D．【解析】如圖，、根據(jù)作圖過程可知：是的垂直平分線，連接，，四邊形是菱形，，，三角形是等邊三角形，．所以選項正確；、點是的中點，，，所以選項正確；、，，，，，在中，根據(jù)勾股定理，得，所以選項錯誤；、過點作延長線的垂線，垂足為，，，設(shè)，則，，，在中，，．所以選項正確．所以下列說法錯誤的是選項．故選：．8．（?朝陽區(qū)模擬）如圖，中，．（1）以點為圓心，以的長為半徑畫弧，交于點，分別以點，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線；（2）以點為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧，交于點，交的延長線于點，分別以點，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作直線交的延長線于點，交射線于點；（3）過點作交的延長線于點，連接．根據(jù)以上操作過程及所作圖形，有如下結(jié)論：①；②；③；④．所有正確結(jié)論的序號為　　A．①②③ B．①③ C．②④ D．③④【解析】如圖，連接，交于點，由作圖過程可知：是的垂直平分線，是的平分線，設(shè)與交于點，，，，是的平分線，，，，，，，，所以①正確；，，但是，②不正確；．③正確；與不全等，，④不正確．所以正確結(jié)論的序號為①③．故選：．二．填空題9．（?青白江區(qū)模擬）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和；②作直線，分別交邊，于點和，連接．若，，則的長為　　．【解析】連接，由作圖可知：點、點在線段的垂直平分線上，垂直平分線段，，，，，，，，，故答案為：4．10．（?成都模擬）如圖，是矩形的對角線，在和上分別截取，，使，分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點，作射線交于點，若，則點到的距離為　　．【解析】結(jié)合作圖的過程知：平分，，，點到的距離等于的長，為，故答案為：．11．（?成華區(qū)模擬）如圖，四邊形中，，，，．分別以點，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，射線交于點，交于點．若點恰好是的中點，則的長為　　．【解析】由作圖過程可知：是的垂直平分線，，，，，又，，，，，在中，根據(jù)勾股定理，得．所以的長為．故答案為：．12．（?樂至縣一模）如圖，在中，，以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以，點為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，若，，則的面積為　　．【解析】由作法得平分，點到的距離等于的長，即點到的距離為1，所以的面積．故答案為：2．13．（?溫江區(qū)模擬）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交、于點、，再分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，若，，則的面積是　 　．【解析】作于，由基本尺規(guī)作圖可知，是的角平分線，，，，，，的面積，故答案為24．14．（?成都模擬）如圖，在菱形中，按以下步驟作圖：①分別以點和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點、；②作直線交于點，連接；若，，則的長為　　．【解析】由作法得垂直平分，，，是等腰直角三角形，，設(shè)，則，四邊形是菱形，，，，解得：，，故答案為：．三．解答題15．（?朝陽區(qū)二模）下面是小東設(shè)計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程．已知：直線及直線外一點．求作：直線，使得．作法：如圖，①任意取一點，使點和點在直線的兩旁；②以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，，連接；③分別以點，為圓心，以，長為半徑畫弧，兩弧相交于點（點和點在直線的兩旁）；④作直線．所以直線就是所求作的直線．根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接，　　，　　，四邊形是平行四邊形　　（填推理依據(jù)）．．【解析】（1）如圖，即為補全的圖形；（2）證明：連接，，，四邊形是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．．故答案為：，，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．16．（?平谷區(qū)二模）下面是小元設(shè)計的“過直線外一點作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖，直線和直線外一點．求作：過點作直線的平行線．作法：如圖，①在直線上任取點；②作直線；③以點為圓心長為半徑畫圓，交直線于點，交直線于點；④連接，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點（點與點不重合）；⑤作直線；則直線即為所求．根據(jù)小元設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，完成以下任務(wù)．（1）補全圖形；（2）完成下面的證明：證明：連接、，，，　　　　，又，　　　　，，　　（填推理的依據(jù)）．【解析】（1）補全圖形如下：（2）證明：連接、，，，，又，，，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：，，，，內(nèi)錯角相等，兩直線平行．17．（?西城區(qū)二模）下面是小明設(shè)計的“在已知三角形的一邊上取一點，使得這點到這個三角形的另外兩邊的距離相等”的尺規(guī)作圖過程：已知：．求作：點，使得點在邊上，且到，邊的距離相等．作法：如圖，作的平分線，交于點．則點即為所求．根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：作于點，作于點，平分，　　　　　　（括號里填推理的依據(jù)）．【解析】（1）補全圖形如圖所示；（2）證明：作于點，作于點，平分，（角平分線的性質(zhì)），故答案為：，，角平分線的性質(zhì)．18．（?河?xùn)|區(qū)一模）如圖，在中，點為弧的中點過點作的切線，交弦的延長線于點．（Ⅰ）如圖①，連接，若，求的大??；（Ⅱ）如圖②，連接，若，，求的度數(shù)．【解析】（1）如圖①，連接，，是的切線，，，點為弧的中點，，，，，，；（2）如圖②，連接，，是的切線，，，由（1）方法可得，，，，，，．19．（?福州二模）如圖，已知，，分別是射線，上的點．（1）尺規(guī)作圖：在的內(nèi)部確定一點，使得且；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）中，連接，用無刻度直尺在線段上確定一點，使得，并證明．【解析】（1）如圖，點即為所求． （2）如圖，點即為所求．理由：由（1）得，，，，，，．20．（?建鄴區(qū)一模）【概念認(rèn)識】若以三角形某邊上任意一點為圓心，所作的半圓上的所有點都在該三角形的內(nèi)部或邊上，則將符合條件且半徑最大的半圓稱為該邊關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓．如圖①，點是銳角的邊上一點，以為圓心的半圓上的所有點都在的內(nèi)部或邊上．當(dāng)半徑最大時，半圓為邊關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓．【初步思考】若等邊的邊長為1，則邊關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓的半徑長為　　．如圖②，在鈍角中，用直尺和圓規(guī)作出邊關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓（保留作圖痕跡，不寫作法）．【深入研究】如圖③，，點在射線上，，點是射線上一動點．在中，若邊關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓的半徑為，當(dāng)時，求的長的取值范圍．【解析】（1）如圖，設(shè)邊關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓與相切于點，連接，．，，，，故答案為． （2）如圖，半圓即為所求． （3）當(dāng) 時， 取得最小值．如圖③中，半圓與、 分別相切于點、，連接． 設(shè)，則．在 中，，，，，在 中，，，，，．，且，．．，解 得．． 當(dāng) 時，半圓經(jīng)過點．如圖②，過點 作 的垂線交 于點．由（2）知，當(dāng) 在射線 上時，，，均符合題意．綜上所述，當(dāng) 時，．．21．（?蓮湖區(qū)二模）如圖，已知線段．（1）僅用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作一個以為腰、底角等于的等腰．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）在（1）的前提下，若，則等腰的外接圓的半徑為　　．【解析】（1）如圖，為所作；（2）和為等邊三角形，，等腰的外接圓的半徑為2故答案為2．22．（?金華一模）人們在長期的數(shù)學(xué)實踐中總結(jié)了許多解決數(shù)學(xué)問題的方法，形成了許多光輝的數(shù)學(xué)思想，其中轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最活躍，最實用，也是最重要的數(shù)學(xué)思想，例如將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形就是研究圖形問題比較常用的一種方法．問題提出：求邊長分別為、、的三角形的面積．問題解決：在解答這個問題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為，再在網(wǎng)格中畫出邊長分別為、、的格點三角形（如圖．是直角邊分別為1和2的直角三角形的斜邊，是直角邊分別為1和3的直角三角形的斜邊，是直角邊分別為2和3的直角三角形的斜邊，用一個大長方形的面積減去三個直角三角形的面積，這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．（1）請直接寫出圖1中的面積為　　．（2）類比遷移：求出邊長分別為、、的三角形的面積（請利用圖2的正方形網(wǎng)格畫出相應(yīng)的，并求出它的面積）．【解析】（1）；故答案為：； （2）如圖2所示：即為所求，．23．（2019?陸豐市模擬）如圖，已知，利用尺規(guī)完成下列作圖（不寫畫法，保留作圖痕跡）．（1）作的外接圓；（2）若所在平面內(nèi)有一點，滿足，，求作點．【解析】（1）如圖所示：即為所求； （2）如圖所示：點即為所求．  

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