1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭(zhēng)取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
熱點(diǎn)4-3 正弦定理與余弦定理解三角形5大題型
“解三角形”是每年高考常考內(nèi)容，在選擇題、填空題中考查較多，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在解答題中。對(duì)于解答題，一是考查正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用；而是考查兩個(gè)定理的綜合應(yīng)用，多與三角變換、平面向量等知識(shí)綜合命題。以實(shí)際生活為背景（如測(cè)量、航海、幾何天體運(yùn)行和物理學(xué)上的應(yīng)用等）考查解三角形問題，此類問題在近幾年高考中雖未涉及，但深受高考命題者的青睞，應(yīng)給予關(guān)注；在高考試題中出現(xiàn)有關(guān)解三角形的試題大多數(shù)為容易題、中檔題。
一、解三角形中常用結(jié)論及公式
1、解三角形所涉及的其它知識(shí)
（1）三角形內(nèi)角和定理：A+B+C=.
（2）三角形邊角不等關(guān)系：.
2、誘導(dǎo)公式在中的應(yīng)用
（1）；
（2）；
3、三角形中，最大的角不小于，最小的角不大于.
二、已知三邊（或三邊之比，或三內(nèi)角正弦之比）判定三角形的形狀
設(shè)a是三角形中最長(zhǎng)的邊，則
（1）若，則是銳角三角形；
（2）若，則是直角三角形；
（3）若，則是鈍角三角形；
或（1）若 ,則是銳角三角形；
若 ,則是直角三角形；
若 ,則是鈍角三角形；
三、利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：
1、選定理.
（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；
（2）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊所對(duì)的角，利用正弦定理；
（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；
（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；
（5）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊，利用余弦定理；
2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡(jiǎn).
3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對(duì)大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。
四、解三角形應(yīng)用題的常見情形
1、實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
2、實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形．
3、設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的角．
4、涉及四邊形等非三角形圖形時(shí)，可以作輔助線，將圖形分割成三角形后求解．
【題型1 利用正余弦定理解三角形的邊與角】
【例1】（2023秋·湖南株洲·高三校聯(lián)考期末）在中，角的對(duì)邊分別為已知，，
（1）證明：
（2）若求的周長(zhǎng).
【變式1-1】（2023秋·天津南開·高三崇化中學(xué)校考期末）在中，角所對(duì)的邊分別為．已知且．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【變式1-2】（2023春·安徽·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在①，②，③，．這三個(gè)條件中任進(jìn)一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答．
已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且________．
（1）求的值;
（2）若，求的周長(zhǎng)與面積．
【變式1-3】（2023·福建·統(tǒng)考一模）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（1）求；
（2）已知，求的面積．
【題型2 利用正余弦定理判斷多邊形形狀】
【例2】（2023·貴州·校聯(lián)考一模）在中，分別為角的對(duì)邊，且滿足，則的形狀為（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形
【變式2-1】（2022·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知，那么“”是“為鈍角三角形”的（ ）
A．充分條件但非必要條件 B．必要條件但非充分條件
C．充要條件 D．以上皆非
【變式2-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，若，則的形狀為（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【變式2-3】（2022秋·北京·高三校考期中）在中，已知，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形
【變式2-4】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，若，，則一定是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．無法確定
【題型3 利用正余弦定理解多三角形問題】
【例3】（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）在中，角，，對(duì)邊分別為，，，且，.
（1）求；
（2）若，邊上中線，求的面積.
【變式3-1】（2022·江蘇常州·華羅庚中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知中內(nèi)角的對(duì)邊分別是，.
（1）求的值；
（2）設(shè)是的角平分線，求的長(zhǎng).
【變式3-2】（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）如圖，在中，角的對(duì)邊分別為.已知.
（1）求角；
（2）若為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，求.
【變式3-3】（2022秋·湖南常德·高三統(tǒng)考期末）如圖，在梯形中，AD//BC，且，.
（1）若，，求梯形的面積；
（2）若，證明：為直角三角形．
【變式3-4】（2022秋·山東東營(yíng)·高三廣饒一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，已知.
（1）若，求的值；
（2）若，四邊形的面積為4，求的值.
【題型4 利用正余弦定理解與三角形有關(guān)的最值問題】
【例4】（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)為a，b，c，的面積為S．且有關(guān)系式：．
（1）求C；
（2）求的最小值．
【變式4-1】（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)校考一模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
（1）求；
（2）設(shè)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求△ABC的面積．
【變式4-2】（2022秋·遼寧·高三朝陽市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，.設(shè).
（1）求A；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
【變式4-3】（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在三角形ABC中，若.
（1）求角A的大??；
（2）如圖所示，若，，求長(zhǎng)度的最大值.
【變式4-4】（2023秋·江西·高三校聯(lián)考期末）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足
（1）證明：；
（2）求的最小值.
【題型5 利用正余弦定理解決實(shí)際應(yīng)用問題】
【例5】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在其撰寫的《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合．從后表卻行一百二十七步，亦與表末三合．問島高及去表各幾何．這一方法領(lǐng)先印度500多年，領(lǐng)先歐洲1300多年．其大意為：測(cè)量望海島的高度及海島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標(biāo)桿，（，，共面，均垂直于地面），使目測(cè)點(diǎn)與，共線，目測(cè)點(diǎn)與，共線，測(cè)出，，，即可求出島高和的距離（如圖）．若，，，，則海島的高（ ）
A．18 B．16 C．12 D．21
【變式5-1】（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）小明同學(xué)學(xué)以致用，欲測(cè)量學(xué)校教學(xué)樓的高度，他采用了如圖所示的方式來進(jìn)行測(cè)量，小明同學(xué)在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上選取相距20米的C，D兩觀測(cè)點(diǎn)，且C，D與教學(xué)樓底部B在同一水平面上，在C，D兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得教學(xué)樓頂部A的仰角分別為，，并測(cè)得，則教學(xué)樓AB的高度是（ ）
A．20米 B．米 C．米 D．25米
【變式5-2】（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中?？奸_學(xué)考試）我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》卷九“勾股”中有一測(cè)量問題：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索卻行，去本八尺而索盡，問索長(zhǎng)幾何?這個(gè)問題體現(xiàn)了古代對(duì)直角三角形的研究，現(xiàn)有一豎立的木頭柱子，高4米，繩索系在柱子上端，牽著繩索退行，當(dāng)繩索與底面夾角為75°時(shí)繩索未用盡，再退行米繩索用盡（繩索與地面接觸），則繩索長(zhǎng)為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【變式5-3】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）我國(guó)油紙傘的制作工藝巧妙.如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動(dòng).如圖（2），傘完全收攏時(shí)，傘圈已滑到的位置，且，，三點(diǎn)共線，，為的中點(diǎn)，當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，傘圈沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為24cm，則當(dāng)傘完全張開時(shí)，的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-4】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）為測(cè)量河對(duì)岸的直塔AB的高度，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C，D，測(cè)得的大小為60°，點(diǎn)C，D的距離為200m，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，則直塔AB的高為（ ）
A．100m B． C． D．200m
（建議用時(shí)：60分鐘）
1．（2022秋·河南駐馬店·高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角，， 所對(duì)的邊分別為 ．已知．則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·廣西欽州·高三校考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，則C等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，已知，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形
5．（2023秋·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）如圖所示，為了測(cè)量某座山的山頂A到山腳某處B的距離（AB垂直于水平面），研究人員在距D研究所處的觀測(cè)點(diǎn)C處測(cè)得山頂A的仰角為，山腳B的俯角為.若該研究員還測(cè)得B到C處的距離比到D處的距離多，且，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則
B．若為銳角三角形，則
C．若，則一定為直角三角形
D．若，則可以是鈍角三角形
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則______．
8．（2021秋·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，一艘船上午8：00在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°方向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午8：30到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°方向，且與它相距海里，則此船的航行速度是______海里/小時(shí)．
9．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
（1）求角的大??；
（2）若邊上的高為，求.
10．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，.
（1）求A；
（2）若，證明：.
11．（2022·安徽黃山·統(tǒng)考一模）如圖,已知外接圓的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn),且O在內(nèi)部,.
（1）求,求;
（2）求面積的最大值.
12．（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足．
（1）求證：；
（2）求的取值范圍．

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