重難點(diǎn)05 解三角形的實(shí)際應(yīng)用（4題型限時(shí)提升練）-2025年高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn) 重點(diǎn) 難點(diǎn) 專練（上海專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型1 正、余弦定理判定三角形形狀
1．已知在中，三邊分別對(duì)應(yīng)三個(gè)內(nèi)角；且
（1）求角的大小；
（2）當(dāng)在外接圓半徑時(shí)，求面積的最大值，并判斷此時(shí)的形狀.
【答案】（1）（2）是等邊三角形，面積最大值為
【解析】（1）根據(jù)題中條件，由余弦定理，求出，進(jìn)而可得角；
（2）根據(jù)正弦定理，由題中條件，求出，再由題中條件，利用基本不等式，求出最大值，進(jìn)而可得三角形面積的最大值，以及判斷三角形的形狀.
【詳解】（1），，即，
由余弦定理可得：，
又角為的內(nèi)角，所以，因此；
（2）因?yàn)橥饨訄A半徑，
所以由正弦定理可得：，則；
所以，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
的面積.
即的面積的最大值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
因此，此時(shí)是等邊三角形.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
求解三角形中有關(guān)邊長、角、面積的最值（范圍）問題時(shí)，常利用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式，建立，，之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利用函數(shù)或基本不等式求解.
2．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.已知，且為銳角.
(1)求角的大?。?br>(2)若，證明：是直角三角形.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用正弦定理邊化角可解得，再由為銳角即可求解（2）利用正弦定理邊化角之后再消元，可得，再結(jié)合的范圍即可得證
【詳解】（1）由正弦定理可知，，
又在中，，即，
為銳角，.
（2）
所以由正弦定理得：，
又，
即，
，
故可得，
即
為直角三角形.
3．（2023·上海虹口·一模）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．
(1)求角A；
(2)若，求證：是直角三角形．
【答案】(1)
(2)證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，化簡，即可求得答案；
（2）利用正弦定理邊化角可得，結(jié)合兩角和差的正余弦公式化簡，求值，可得答案.
【詳解】（1）由條件，得，
即，亦即，
故，因?yàn)椋裕?br>（2）證明：由正弦定理及得，
由（1）知，故，于是，
則，即，
因，故，又，
從而，
所以，則，
因此是直角三角形．
4．（2024·上海寶山·二模）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.
(1)求角的大?。?br>(2)若的面積為，求的最小值，并判斷此時(shí)的形狀.
【答案】(1)
(2)4，為等邊三角形
【分析】（1）由正弦定理角化邊可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求；
（2）由三角表面積可求得，根據(jù)均值不等式可求得的最小值，根據(jù)取得最小值可判斷三角形的形狀.
【詳解】（1）由正弦定理得，
又由余弦定理得，
因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，所以；
（2）由三角形面積公式得：
，
解得，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為，此時(shí)為等邊三角形.
題型2 求三角形中的邊長或周長的最值或范圍
1．（2024·上海寶山·一模）在中，已知.
(1)若且，求的面積；
(2)若求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結(jié)合正弦定理、余弦定理和面積公式即可求解；
（2）結(jié)合基本不等式求最值和三角形邊的關(guān)系即可求解.
【詳解】（1）由正弦定理得，又，從而，
由得，
從而，
所以的面積.
（2）由，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
從而，所以，
又因?yàn)橹?，，從而?
所以的范圍是.
2．（2023·上海徐匯·三模）如圖，中，角、、的對(duì)邊分別為、、.

(1)若，求角的大?。?br>(2)已知、，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，求周長的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再結(jié)合和角的正弦求解作答.
（2）由（1）及給定條件，求出，再利用余弦定理結(jié)合均值不等式求解作答.
【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，
即，則，
整理得，而，即，又因?yàn)椋?br>所以.
（2）在中，，
由余弦定理得，
于是，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，周長取得最大值.
3．（2023·上海青浦·一模）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足．
(1)求角的大小；
(2)若，求的周長的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)余弦定理可得的大?。?br>（2）邊角互化，可得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值.
【詳解】（1）由，可得，
所以，
又，所以.
（2）由（1）得，所以，
則由正弦定理可得，
即，，
所以的周長，
又在中，，
則，
又在中，，所以，
所以當(dāng)時(shí)，周長取最大值為.
4．（2023·上?！つM預(yù)測）高鐵的建設(shè)為一個(gè)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供了強(qiáng)大的推進(jìn)力，也給人們的生活帶來極大便捷.以下是2022年開工的雄商高鐵線路上某個(gè)路段的示意圖，其中線段?代表山坡，線段為一段平地.設(shè)圖中坡的傾角滿足，長長長.假設(shè)該路段的高鐵軌道是水平的（與平行），且端點(diǎn)分別與在同一鉛垂線上，每隔需要建造一個(gè)橋墩（不考慮端點(diǎn)建造橋墩）
(1)求需要建造的橋墩的個(gè)數(shù)；
(2)已知高鐵軌道的高度為，設(shè)計(jì)過程中每放置一個(gè)橋墩，設(shè)橋墩高度為（單位：），單個(gè)橋墩的建造成本為（單位：萬元），求所有橋墩建造成本總和的最小值.
【答案】(1)18個(gè)
(2)715.625萬元
【分析】（1）先由正切值得到余弦值，進(jìn)而計(jì)算得到得到的長，再計(jì)算得出，結(jié)合每30m放置一個(gè)橋墩，
即可求出需要建造的個(gè)數(shù).
（2）可設(shè)最左邊的橋墩到的距離為米，為從左往由第個(gè)橋墩的高度，寫出和
對(duì)應(yīng)的橋墩高度的表達(dá)式，然后利用數(shù)列求和求出所有橋墩的高度，計(jì)算出成本總和的最小值即可得
出答案.
【詳解】（1）由，，可得，，過點(diǎn)向作垂線，垂足為，則
，，，
故修建橋墩個(gè)數(shù)為個(gè).
（2）設(shè)最左邊的橋墩到的距離為米，為從左往由第個(gè)橋墩的高度，
由，之間可以建13或14個(gè)橋墩，當(dāng)可以建14個(gè)橋墩時(shí)，
，當(dāng)時(shí)，AC之間可以建13個(gè)橋墩，而，
即之間可以建8個(gè)橋墩，在時(shí)，當(dāng)，，
，，；
當(dāng)，
；當(dāng)，；同理寫出，
表達(dá)式總結(jié)如下：
①當(dāng)時(shí)：
解得
求和后得到的高度總和
②當(dāng)時(shí)：
求和后得到的高度總和
所以當(dāng)，，當(dāng)，，
即橋墩高度總和最小為，成本最小值為萬元.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用數(shù)列求解最值問題一般有三種方法：
（1）數(shù)列也是特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)檎麛?shù)，因此可以利用函數(shù)單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而確定數(shù)列的最值.
（2）結(jié)合基本不等式求最值，將通項(xiàng)或者前n項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式求最值.
（3）利用相鄰項(xiàng)比較，判斷數(shù)列的單調(diào)性，求最大值只需要滿足，得出最值.
題型3 幾何圖形中的計(jì)算
1．如圖，矩形ABCD區(qū)域內(nèi)，D處有一棵古樹，為保護(hù)古樹，以D為圓心，DA為半徑劃定圓D作為保護(hù)區(qū)域，已知m，m，點(diǎn)E為AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上的動(dòng)點(diǎn)，滿足EF與圓D相切.
(1)若∠ADE，求EF的長；
(2)當(dāng)點(diǎn)E在AB的什么位置時(shí)，梯形FEBC的面積有最大值，最大面積為多少？
（長度精確到0.1m，面積精確到0.01m2）
【答案】(1)23.3m
(2)當(dāng)時(shí)，梯形FEBC的面積有最大值,最大值為
【分析】（1）設(shè)EF與圓D相切于對(duì)點(diǎn)，連接，則，，在直角和直角中分別求出,從而得出答案.
（2）先求出梯形的面積的最小值，從而得出梯形FEBC的面積的最大值.
【詳解】（1）設(shè)EF與圓D相切于對(duì)點(diǎn)，連接，則，
則，所以直角與直角全等
所以
在直角中，

在直角中，

（2）設(shè),，則，

所以梯形的面積為
當(dāng)且當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)
即當(dāng)時(shí)，梯形的面積取得最小值
則此時(shí)梯形FEBC的面積有最大值
所以當(dāng)時(shí)，梯形FEBC的面積有最大值,最大值為
2．如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區(qū)域進(jìn)行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以和為圓心角的兩個(gè)扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個(gè)扇形的圓弧均與相切.
(1)若，，（長度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；
(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為，則多大時(shí)，平行四邊形綠地占地面積最??？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理可得的大小，再根據(jù)正弦定理可得，進(jìn)而求得扇形的半徑，從而得到種植花卉區(qū)域的面積
（2）設(shè)，根據(jù)直角三角形中的關(guān)系可得關(guān)于的表達(dá)式，從而得到平行四邊形的面積表達(dá)式，從而根據(jù)三角函數(shù)的最值求解即可
【詳解】（1）由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半徑，故種植花卉區(qū)域的面積
（2）設(shè)，則，故，，故平行四邊形綠地占地面積，因?yàn)?，故要面積最小，則當(dāng)，即，時(shí)面積取得最小值，即多大時(shí)，平行四邊形綠地占地面積最小
3．某公園要建造如圖所示的綠地，、為互相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄與的總長度為米，且．設(shè)（）．
(1)當(dāng)，時(shí)，求的長；（結(jié)果精確到米）
(2)當(dāng)時(shí)，求面積的最大值及此時(shí)的值．
【答案】(1)米
(2)當(dāng)時(shí)，養(yǎng)殖場最大的面積為平方米
【分析】（1）在中，根據(jù)余弦定理求解即可；
（2）當(dāng)時(shí)，可得，再化簡可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值分析即可
【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理，得，故．
因此的長約為米．
（2）連接．由題意，，，
在△中，由正弦定理，得．
于是，．當(dāng)，即時(shí)，取到最大值，最大值為．因此，當(dāng)時(shí)，養(yǎng)殖場最大的面積為平方米
4．（2023·上海徐匯·一模）近年來,為“加大城市公園綠地建設(shè)力度,形成布局合理的公園體系”,許多城市陸續(xù)建起眾多“口袋公園”、現(xiàn)計(jì)劃在一塊邊長為200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公園”、如圖所示,以中點(diǎn)A為圓心,為半徑的扇形草坪區(qū),點(diǎn)在弧BC上（不與端點(diǎn)重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ為步行道,其中PQ與AB垂直,PR與AC垂直.設(shè).
(1)如果點(diǎn)P位于弧BC的中點(diǎn),求三條步行道PQ、PR、RQ的總長度;
(2)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”對(duì)于“拉動(dòng)靈活就業(yè)、增加多源收入、便利居民生活”等都有積極作用.為此街道允許在步行道PQ、PR、RQ開辟臨時(shí)攤點(diǎn),積極推進(jìn)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”發(fā)展,預(yù)計(jì)每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益分別為每米5萬元、5萬元及5.9萬元.則這三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高為多少?（精確到1萬元）
【答案】(1)(米)
(2)2022萬元
【分析】(1)根據(jù)圖依次求出三條線段長度即可求出總長度;
(2)將PQ、PR、RQ三邊通過圖中的關(guān)系用關(guān)于的等式表示,再記經(jīng)濟(jì)總效益,將進(jìn)行表示,通過輔助角公式化簡求出最值即可.
【詳解】（1）解:由題,
,同理,故,
由于點(diǎn)P位于弧BC的中點(diǎn),所以點(diǎn)P位于的角平分線上,
則,
,
因?yàn)?,
所以為等邊三角形,
則,
因此三條街道的總長度為（米）.
（2）由圖可知,
,
,
,
在中由余弦定理可知:
,
則,
設(shè)三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益,則
,
當(dāng)即時(shí)取最大值,
最大值為.
答:三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高約為2022萬元.
5．（2023·上海浦東新·一模）在臨港滴水湖畔擬建造一個(gè)四邊形的露營基地，如圖ABCD所示.為考慮露營客人娛樂休閑的需求，在四邊形ABCD區(qū)域中，將三角形ABD區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形BCD區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，邊AB、BC、CD、DA修建觀賞步道，邊BD修建隔離防護(hù)欄，其中米，米，.
(1)如果燒烤區(qū)是一個(gè)占地面積為9600平方米的鈍角三角形，那么需要修建多長的隔離防護(hù)欄（精確到0.1米）？
(2)考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形ABCD區(qū)域時(shí)，首先保證燒烤區(qū)的占地面積最大時(shí)，再使得花卉觀賞區(qū)的面積盡可能大，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)觀賞步道？
【答案】(1)247.4m
(2)應(yīng)使得，來修建觀賞步道.
【分析】（1）由三角形面積公式求出，得到，利用余弦定理求出m；
（2）解法一：先得到燒烤區(qū)的占地面積最大時(shí)，m，，設(shè)，利用正弦定理得到，由面積公式得到，結(jié)合，得到面積的最大值，及，得到答案.
解法二：先得到燒烤區(qū)的占地面積最大時(shí)，m，，設(shè)，，由余弦定理得到，結(jié)合基本不等式求出，，此時(shí)，得到結(jié)論.
【詳解】（1），
解得：，
因?yàn)镃是鈍角，所以.
由余弦定理得：
，
故需要修建247.4m的隔離防護(hù)欄；
（2）解法一：，
當(dāng)且僅達(dá)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)m，設(shè)，，
在中，，
解得：，
故
，
因?yàn)?，所以?br>故當(dāng)，即時(shí)，取的最大值為1，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)
答：修建觀賞步道時(shí)應(yīng)使得，.
解法二：，
當(dāng)且僅達(dá)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)，
設(shè)，.則由余弦定理，
，
故由平均值不等式，，
從而，
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).
答：修建觀賞步道時(shí)應(yīng)使得，.
題型4 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用
1．某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域.如圖，、為直線岸線，米，米，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過弧上一點(diǎn)按線段和修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知.
(1)求岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離；
(2)如果線段上的網(wǎng)箱每米可獲得40元的經(jīng)濟(jì)收益，線段上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟(jì)收益.記，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少？（精確到元）
【答案】(1)米
(2)55076元
【分析】（1）由余弦定理計(jì)算即可；
（2）先由正弦定理計(jì)算出相關(guān)長度，再計(jì)算收益表達(dá)式，最后由輔助角公式求最值.
【詳解】（1）
，
岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離為米.
（2）△中，，
，，（），
設(shè)兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益為元，則

，
當(dāng)，即時(shí)，
（元）
所以兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高約為55076元.
2．如圖，某公園有一三角形的花壇，已知圍欄長5米，長7米，，擬在該花壇中修建一條直圍欄（即線段，點(diǎn)分別在三角形的兩邊上），以種植兩種不同顏色的菊花供游客觀賞，花壇設(shè)計(jì)者希望通過圍欄實(shí)現(xiàn)兩種菊花的種植面積相等且同一時(shí)刻花壇邊游客近距離賞花的人數(shù)的最大值相等.試問：在的邊上是否存在兩點(diǎn)，使得線段既平分的面積又平分其周長？若存在，求出所有滿足要求的點(diǎn)的位置（結(jié)果精確到0.1米）；若不存在，請說明理由.
【答案】存在，長約米，長約米
【分析】
由余弦定理可計(jì)算的長，進(jìn)而求出的面積以及周長，分情況討論點(diǎn)在上，在上，在上，列方程組計(jì)算可求出結(jié)果.
【詳解】由余弦定理，，可得：，解得：.
所以，周長為20.
由余弦定理可知：，，
則，，
若點(diǎn)分別在上，設(shè)，于是有，則，該方程組無解.

若點(diǎn)分別在上，設(shè)，于是有，則，解得.
若點(diǎn)分別在上，設(shè)，，于是有，則，該方程組無解.
綜上，存在上點(diǎn)和上點(diǎn)，其中長約7.2米，長約2.8米滿足題意.
3．如圖，A、B、C三地在以O(shè)為圓心的圓形區(qū)域邊界上，公里，公里，，D是圓形區(qū)域外一景點(diǎn)，，.
(1)O、A相距多少公里？（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）
(2)若一汽車從A處出發(fā)，以每小時(shí)50公里的速度沿公路AD行駛到D處.需要多少小時(shí)？（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）
【答案】(1)15.28公里
(2)1.25小時(shí)
【分析】（1）由余弦定理求出，由正弦定理得到的外接圓半徑，即可求出O、A相距多少公里；
（2）求出，由正弦定理求出，由余弦定理計(jì)算出公路AD的長，根據(jù)汽車的速度，即可求出所需的時(shí)間.
【詳解】（1）由題意，設(shè)圓的半徑為R，
在中，，，，
由余弦定理，
由正弦定理，
，
解得：,
由幾何知識(shí)得，O、A間的距離即為半徑，
∴，
∴O、A相距15.28公里
（2）由題意及（1）得
在中，，，，
∴，
在中，，，，
由正弦定理，
，
∴在中，
，
由余弦定理，
，
∵一汽車從A處出發(fā)，以每小時(shí)50公里的速度沿公路AD行駛到D處，
∴所需時(shí)間：，
∴需要1.25小時(shí).
4．如下圖，某公園東北角處有一座小山，山頂有一根垂直于水平地平面的鋼制筆直旗桿，公園內(nèi)的小山下是一個(gè)水平廣場（虛線部分）．某高三班級(jí)數(shù)學(xué)老師留給同學(xué)們的周末作業(yè)是：進(jìn)入該公園，提出與測量有關(guān)的問題，在廣場上實(shí)施測量，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題．老師提供給同學(xué)們的條件是：已知米，規(guī)定使用的測量工具只有一只小小的手持激光測距儀（如下圖，該測距儀能準(zhǔn)確測量它到它發(fā)出的激光投射在物體表面上的光點(diǎn)之間的距離）．

(1)甲同學(xué)來到通往山腳下的筆直小路上，他提出的問題是：如何測量小山的高度？于是，他站在點(diǎn)處，獨(dú)立的實(shí)施了測量，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決了問題．請寫出甲同學(xué)的解決問題方案，并用假設(shè)的測量數(shù)據(jù)（字母表示）表示出小山的高度；
(2)乙同學(xué)是在一陣大風(fēng)過后進(jìn)入公園的，廣場上的人紛紛議論：旗桿似乎是由于在根部處松動(dòng)產(chǎn)生了傾斜．她提出的問題是：如何檢驗(yàn)旗桿是否還垂直于地面？并且設(shè)計(jì)了一個(gè)不用計(jì)算就能解決問題的獨(dú)立測量方案．請你寫出她的方案，并說明理由；
(3)已知（1）中的小路是東西方向，且與點(diǎn)所確定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同學(xué)已經(jīng)斷定旗桿大致向廣場方向傾斜．如果你是該班級(jí)的同學(xué)，你會(huì)提出怎樣的有實(shí)際意義的問題？請寫出實(shí)施測量與解決問題的方案，并說明理由（如果需要，可通過假設(shè)的測量數(shù)據(jù)或運(yùn)算結(jié)果列式說明，不必計(jì)算）．
【答案】(1)答案見解析
(2)方案見解析，理由見解析
(3)問題見解析，方案見解析，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)測量數(shù)據(jù)利用余弦定理即可求得結(jié)果；
（2）利用測量數(shù)據(jù)綜合利用三角形性質(zhì)，由線面垂直判定定理即可證明并得出結(jié)論；
（3）可提問“旗桿向哪個(gè)方向傾斜多少角度”等問題，再根據(jù)解三角形的實(shí)際應(yīng)用即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）解一：(1) 如圖1，設(shè)點(diǎn)在水平面的投影點(diǎn)為．
用測距儀測得，．
在中，，
在中，，
所以．

解二：如圖2，在平面上，以點(diǎn)為原點(diǎn)，向量為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)，則，
用測距儀測得，，則，
解得

（2）如圖，用電子尺測得，，

在廣場上從點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，使得，
再移至點(diǎn)，使得，此時(shí)再測量，
若，則可知旗桿垂直于地面，否則就是傾斜了．
理由如下：
已知，，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，
則在等腰中，．
同理，又平面，所以平面；
又因?yàn)槠矫?，故?br>同理可證．
綜上所述，旗桿垂直于地面．
（3）提問：旗桿向哪個(gè)方向傾斜多少角度？
說明：用在地平面上的投影來刻畫的傾斜方向是合理的，
也可以采用在廣場上確定一個(gè)位于在地平面上投影上的點(diǎn)來刻畫，
用與小路的夾角刻畫扣1分．關(guān)于如何刻畫傾斜多少角
度的問題，既可以用與垂直于地面的直線所成角的大小，也
可以用與地平面所成角的大小來刻畫．
解答方案1：
如圖，

在地面畫出離點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡圓，
再在圓上找到離點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，
作垂直于地面，垂足為，
則的大小就是旗桿傾斜角度．
理由如下：先證明與圓的交點(diǎn)既是點(diǎn)．
只需證明：對(duì)于圓上任意一點(diǎn)，．
因?yàn)樵谥?，?br>所以，
故．
如圖5，從圖4中的點(diǎn)向點(diǎn)的方向走到點(diǎn)，

放置一個(gè)物體，測得、、的長，
利用余弦定理可得的大?。?
同理可得的大小．
因此，可以求得圖4中的、、、的長．
在中，三邊已知，利用余弦定理可求得，
即旗桿向西偏南的方向傾斜．
又由于、已求得，
故傾斜角度為．
測量傾斜角的大小方案2：
如圖5，從點(diǎn)向點(diǎn)的方向走到點(diǎn)，測得、、的長，
利用余弦定理可得的大小，從而求得點(diǎn)的高度．
同理可求得點(diǎn)的高度．
如圖，即是由于旗桿傾斜旗桿頂點(diǎn)所下降的高度．

所以，
在中，即為所求，
測量傾斜角的大小方案3：
在圖5中，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則容易求出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)與，
故的傾斜角為．
5．某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問題，擬對(duì)小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地進(jìn)行改建.如圖所示，平行四邊形區(qū)域?yàn)橥＼噲?，其余部分建成綠地，點(diǎn)在圍墻弧上，點(diǎn)和點(diǎn)分別在道路和道路上，且米，，設(shè)．
（1）求停車場面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，停車場面積最大，并求出最大值（精確到平方米）.
【答案】（1），
（2）當(dāng)時(shí)，停車場最大面積為平方米
【解析】（1）由正弦定理求得，再計(jì)算停車場面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）化簡函數(shù)解析式，求出的最大值以及取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的值．
【詳解】解：（1）由平行四邊形得，在中，,,
則，即，
即，，
則停車場面積，
即，其中.
（2）由（1）得，
即，
則.
因?yàn)?，所以?br>則時(shí)，平方米.
故當(dāng)時(shí)，停車場最大面積為平方米.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
6．如圖所示，某人為“花博會(huì)”設(shè)計(jì)一個(gè)平行四邊形園地，其頂點(diǎn)分別為（），米，，為對(duì)角線和的交點(diǎn)．他以、為圓心分別畫圓弧，一段弧與相交于、另一段弧與相交于，這兩段弧恰與均相交于．設(shè)．
（1）若兩段圓弧組成“甬路”（寬度忽略不計(jì)），求的長（結(jié)果精確到米）；
（2）記此園地兩個(gè)扇形面積之和為，其余區(qū)域的面積為．對(duì)于條件（1）中的，當(dāng)時(shí)，則稱其設(shè)計(jì)“用心”，問此人的設(shè)計(jì)是否“用心”？并說明理由．
【答案】（1）米；（2）此人的設(shè)計(jì)是“用心”的；答案見解析．
【分析】（1）在△中，根據(jù)正弦定理求出，再根據(jù)弧長公式可求出結(jié)果；
（2）利用余弦定理求出，可得，利用三角形面積公式和扇形的面積公式求出，，可得，再通過近似計(jì)算可得答案.
【詳解】（1）根據(jù)題設(shè)條件，可得在△中，．
由正弦定理，得，即．
所以，所以，
所以米．
答：甬路的長約為米．
（2）由（1）得，在△中，由余弦定理，得，
所以，
故，所以，
，，
故，
當(dāng)時(shí)，．
所以此人的設(shè)計(jì)是“用心”的．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用正弦定理、余弦定理、弧長和扇形的面積公式、三角形的面積公式求解是解題關(guān)鍵.
7．為打贏打好脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，某村加大旅游業(yè)投入，準(zhǔn)備將如圖扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別種植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半徑為100米，圓心角為，點(diǎn)P在扇形的弧上，點(diǎn)Q在OB上，且．
(1)當(dāng)Q是OB的中點(diǎn)時(shí)，求PQ的長；
(2)已知種植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分別為30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香種植區(qū)△OPQ的面積盡可能的大，求△OPQ面積的最大值，并求此時(shí)扇形區(qū)域AOB種植花卉的總成本．
【答案】(1)百米
(2)，元
【分析】（1）直接利用余弦定理即可得出答案；
（2）設(shè)，，在△OPQ中，由正弦定理求得，再利用三角形的面積公式，結(jié)合三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)可得△OPQ面積的最大值，再根據(jù)扇形的面積公式，分別求出三個(gè)區(qū)域的面積，即可得出答案.
【詳解】（1）解：扇形的半徑為100米＝1百米，
當(dāng)Q時(shí)OB的中點(diǎn)時(shí)，，，OP＝1，
在△OPQ中，由余弦定理可得，，
解得，
所以Q是OB的中點(diǎn)時(shí)，PQ的長約為百米；
（2）解：設(shè)，，
在△OPQ中，由正弦定理可得，，
所以，，
所以△OPQ的面積為，
故當(dāng)，即時(shí)，△OPQ的面積最大為（百米2），
當(dāng)時(shí)，PQ＝OP＝1，故扇形AOP的面積為，
扇形AOB的面積為，
所以區(qū)域BQP的面積為，
因?yàn)榉N植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分別為30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，
所以此時(shí)扇形區(qū)域AOB種植花卉的總成本為
元．
8．（2023·上海楊浦·一模）某數(shù)學(xué)建模小組研究擋雨棚（圖1），將它抽象為柱體（圖2），底面與全等且所在平面平行，與各邊表示擋雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向與外墻（所在平面）所成角為（即），擋雨棚有效遮擋的區(qū)域?yàn)榫匦危?、分別在、延長線上）.
(1)擋雨板（曲面）的面積可以視為曲線段與線段長的乘積．已知米，米，米，小組成員對(duì)曲線段有兩種假設(shè)，分別為：①其為直線段且；②其為以為圓心的圓弧.請分別計(jì)算這兩種假設(shè)下?lián)跤臧宓拿娣e（精確到0.1平方米）；
(2)小組擬自制部分的支架用于測試（圖3），其中米，，，其中，求有效遮擋區(qū)域高的最大值.
【答案】(1)①平方米②平方米
(2)0.3米
【分析】（1）分別按照直線段與圓弧計(jì)算BC的長，代入面積公式即可得解；
（2）根據(jù)正弦定理求出，再由三角恒等變換求最大值即可得解.
【詳解】（1）①其為直線段且時(shí)，米，
所以在中，，即（米）.
所以（平方米）；
②其為以為圓心的圓弧時(shí)，此時(shí)圓的半徑為（米），
圓心角，所以圓弧的長，
所以（平方米）
（2）由題意，，，
由正弦定理可得：，
即
，其中，
當(dāng)，即時(shí)，（米）.
即有效遮擋區(qū)域高的最大值為米.
9．如圖所示，在河對(duì)岸有兩座垂直于地面的高塔和.張明在只有量角器(可以測量從測量人出發(fā)的兩條射線的夾角)和直尺(可測量步行可抵達(dá)的兩點(diǎn)之間的直線距離)的條件下，為了計(jì)算塔的高度，他在點(diǎn)A測得點(diǎn)的仰角為，，又選擇了相距100米的點(diǎn)，測得.
（1）請你根據(jù)張明的測量數(shù)據(jù)求出塔高度；
（2）在完成（1）的任務(wù)后，張明測得，并且又選擇性地測量了兩個(gè)角的大小(設(shè)為?).據(jù)此，他計(jì)算出了兩塔頂之間的距離.
請問：①張明又測量了哪兩個(gè)角？(寫出一種測量方案即可)
②他是如何用表示出的？(寫出過程和結(jié)論)
【答案】（1）米；（2）答案見解析.
【分析】（1）由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求得的值，由正弦定理可求的值，進(jìn)而可求得的值；
（2）由（1）知，可求出的值，①測得，；②利用線面垂直的判定定理可得，可求出，在中，由余弦定理，可求.
【詳解】解：（1）在中，，
由正弦定理，有，
所以，米.
米.
（2）由（1）知米.
①測得，.
②由已知，，，.
所以，平面，得.
所以，.
在中，由余弦定理，米.
【點(diǎn)睛】解三角形應(yīng)用題的一般步驟：
（1）閱讀理解題意，弄清問題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．
（2）根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形問題的模型．
（3）根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．
（4）將三角形問題還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的有關(guān)單位問題、近似計(jì)算的要求等.
10．落戶上海的某休閑度假區(qū)預(yù)計(jì)于2022年開工建設(shè).如圖，擬在該度假園區(qū)入口處修建平面圖呈直角三角形的迎賓區(qū)，，迎賓區(qū)的入口設(shè)置在點(diǎn)A處，出口在點(diǎn)B處，游客可從入口沿著觀景通道A-C-B到達(dá)出口，其中米，米，也可以沿便捷通道A-P-B到達(dá)出口（P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)）.
(1)若△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，某游客的步行速度為每分鐘50米，則該游客從入口步行至出口，走便捷通道比走觀景通道可以快幾分鐘？（結(jié)果精確到1分鐘）
(2)園區(qū)計(jì)劃將△PBC區(qū)域修建成室外游樂場，若，該如何設(shè)計(jì)使室外游樂場的面積最大，請說明理由.
【答案】(1)3
(2)當(dāng)時(shí)，室外游樂場的面積最大.
【分析】（1）由三角形PBC為等腰直角三角形，利用勾股定理求出PC的長，在三角形PAC中，利用余弦定理求出的PA長即可，進(jìn)而計(jì)算即可得出結(jié)果；
（2）在三角形PBC中由的度數(shù)表示出的度數(shù)，利用正弦定理表示出PB與PC，進(jìn)而表示出三角形PBC面積利用正弦函數(shù)的值域確定出面積的最大值即可.
【詳解】（1）由題設(shè)，米，米，在中，由余弦定理得
，于是米.
游客可從入口沿著觀景通道A-C-B到達(dá)出口，所需時(shí)間為分鐘，
游客沿便捷通道A-P-B到達(dá)出口所需時(shí)間為分鐘，
所以該游客從入口步行至出口，走便捷通道比走觀景通道可以快分鐘.
（2）,設(shè)則，
在中，.由正弦定理得，
得.
所以面積，
當(dāng)時(shí)，面積的最大值為平方米.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對(duì)三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng)解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式，誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.
（建議用時(shí)：60分鐘）
一、填空題
1．（22-23高三上·上海寶山·期中）在△ABC中，角B為銳角，所對(duì)的邊長b=6，△ABC的面積為15，外接圓半徑R=5，則△ABC的周長為 .
【答案】
【分析】先由正弦定理得,進(jìn)而得,由的面積可得，再由余弦定理求得，即得周長.
【詳解】因?yàn)椋饨訄A半徑，所以，
因?yàn)榈拿娣e為15，所以，
因?yàn)椋?br>所以
即
故答案為：
2．（24-25高三上·上?！て谥校╀J角三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，則其最大邊長與最小邊長比值的取值范圍是
【答案】
【分析】求出的值，設(shè)等差數(shù)列、、的公差為，求出的取值范圍，利用正弦定理、兩角和與差的余弦公式、弦化切，可求得所求代數(shù)式的取值范圍.
【詳解】若銳角的三個(gè)內(nèi)角、、的度數(shù)成等比數(shù)列，
則，解得，不妨設(shè)角為最小角，
設(shè)等差數(shù)列、、的公差為，則，，
所以，，
，
由題意可知，因?yàn)?、為銳角，且，
即，解得，則，
所以，
.
故答案為：.
3．（23-24高三上·上海徐匯·期中）如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，且小區(qū)里有一條平行于BO的小路CD；已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘；若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑OA的長為（精確到1米）

【答案】445米
【分析】假設(shè)該扇形的半徑為米，在中，利用余弦定理求解；
【詳解】設(shè)該扇形的半徑為米，連接. 由題意，
得(米)，（米），
在中，
即，
解得（米).

4．（23-24高三上·江蘇無錫·開學(xué)考試）如圖，某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點(diǎn)處（三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部，鸛雀樓頂部的仰角分別為和，在處測得樓頂部的仰角為，則鸛雀樓的高度約為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意在△中求出，在△中利用正弦定理求出，然后在△中可求得結(jié)果.
【詳解】在△中，，
在△中，，，
則，
由正弦定理得，即，解得，
在△中，.
故答案為：
5．（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）某數(shù)學(xué)建模小組模擬"月距法"測量經(jīng)度的一個(gè)步驟.如圖所示，點(diǎn)均在同一個(gè)豎直平面內(nèi)，點(diǎn)分別代表"月球"與"軒轅十四"（恒星名）.組員在地面處測得軒?十四的仰角，隨后向著兩"天體"方向前進(jìn)4米至處，測得兩"天體"的仰角分別為、.若"月球"距離地衣的高度為3米，則"軒轅十四"到"月球"的距離約為 .
【答案】米
【分析】根據(jù)題意先在直角三角形中求出，在中利用正弦定理求出，然后在中利用余弦定理可求出，從而可得答案.
【詳解】在中，，，則，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以,
在中，由正弦定理得，，
所以，
在中，，
由余弦定理得
，
所以米.
故答案為：米
6．（24-25高三上·上海·開學(xué)考試）如圖，已知點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，點(diǎn)、點(diǎn)分別在點(diǎn)的正西、正東方向，且，，，若為銳角，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件并作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，且在線段上，應(yīng)用正弦定理求得，再應(yīng)用余弦定理求得，最后利用等面積法列方程求.
【詳解】由且為三角形內(nèi)角，又且為銳角，
所以，如下圖作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，且在線段上，
連接，則，即，故，
所以，
在中，，即，
在中，，即，
所以，
綜上，，
，
，
兩式相減，得，即，
由，則.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是作等腰三角形，利用正余弦定理求相關(guān)線段的長度，并結(jié)合等面積法求高即可.
二、單選題
7．（22-23高三下·上海楊浦·開學(xué)考試）在中，“”是“為鈍角三角形”的（）條件．
A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要
【答案】A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)線，充分與必要條件概念即可求解.
【詳解】因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，
又，由單位圓中三角函數(shù)線，可得，
所以是鈍角三角形，則充分性成立；
反過來，若是鈍角三角形，則不一定是鈍角，所以必要性不成立，
所以“”是“為鈍角三角形”的充分非必要條件，
故選：.
8．（22-23高三下·上海普陀·階段練習(xí)）已知銳角，，，則邊上的高的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)邊上的高為，根據(jù)題意得，再結(jié)合條件得，再分析求值域即可.
【詳解】因?yàn)闉殇J角三角形，，設(shè)邊上的高為，
所以，解得
由正弦定理可得，，
所以，，因?yàn)椋?br>所以
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以邊上的高的取值范圍為.
故選：C.
9．（2020·上海松江·模擬預(yù)測）如圖，某景區(qū)欲在兩山頂A，C之間建纜車，需要測量兩山頂間的距離.已知山高，，在水平面上E處測得山頂A的仰角為30°，山頂C的仰角為60°，，則兩山頂A、C之間的距離為

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得，，利用正切函數(shù)的定義求得，；在中，利用余弦定理求得，然后利用勾股定理求解.
【詳解】，
，
；
在中，由余弦定理得：
，
所以；
所以，
即兩山頂A，C之間的距離為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
10．（2023·上海普陀·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)為的外心，且，則為（）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定
【答案】C
【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，可得，，，分別利用，，和余弦定理可得答案.
【詳解】三個(gè)角所對(duì)的三邊分別為，
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，
連接，，，則，，，
所以，
，
，
因?yàn)椋?br>所以，即，
由余弦定理得，因?yàn)?，所以?br>即為鈍角三角形.
故選：C.

三、解答題
11．（22-23高三上·上海浦東新·期中）某公園有一塊等腰直角三角形的空地ABC，其中斜邊BC的長度為400米，現(xiàn)欲在邊界BC上選擇一點(diǎn)P，修建觀賞小徑PM，PN，其中M，N分別在邊界AB，AC上，小徑PM，PN與邊界BC的夾角都是，區(qū)域PMB和區(qū)域PNC內(nèi)部種郁金香，區(qū)域AMPN內(nèi)種植月季花．
(1)探究：觀賞小徑PM， PN的長度之和是否為定值？請說明理由；
(2)為深度體驗(yàn)觀賞，準(zhǔn)備在月季花區(qū)域內(nèi)修建小徑MN，當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，三條小徑（PM，PN，MN）的長度之和最少？
【答案】(1)為定值，理由見解析
(2)P為BC中點(diǎn)，
【分析】(1)在和中分別利用正弦定理即可求得PM與PN的長度之和；
(2)在中利用MN邊的余弦定理，再根據(jù)兩邊的積與和的基本不等式求解即可；
【詳解】（1）在中，＝180°－60°－45°＝75°，
由正弦定理可得：，
即＝＝，
同理可得，
所以＝為定值；
（2）解：在中，由余弦定理可得：
，
即，
所以，，
又由（1）有＝，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故當(dāng)P點(diǎn)是MN的中點(diǎn)時(shí)，三條小徑（PM，PN，MN）的長度之和最小，最小為
12．（22-23高三下·上?！るA段練習(xí)）雨天外出雖然有雨傘，時(shí)常卻總免不了淋濕衣袖、褲腳、背包等，小明想通過數(shù)學(xué)建模的方法研究如何撐傘可以讓淋濕的面積盡量小．為了簡化問題小明做出下列假設(shè)：
假設(shè)1：在網(wǎng)上查閱了人均身高和肩寬的數(shù)據(jù)后，小明把人假設(shè)為身高、肩寬分別為170cm、40cm的矩形“紙片人”：
假設(shè)2：受風(fēng)的影響，雨滴下落軌跡視為與水平地面所成角為的直線；
假設(shè)3：傘柄OT長為，可繞矩形“紙片人”上點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)；
假設(shè)4：傘面為被傘柄OT垂直平分的線段AB，．
以如圖1方式撐傘矩形“紙片人”將淋濕“褲腳”；以如圖2方式撐被矩形“紙片人”將淋濕“頭和肩膀”．
(1)如圖3在矩形“紙片人”上身恰好不被淋濕時(shí)，求其“褲腳”被淋濕（陰影）部分的面積（結(jié)果精確到）；
(2)請根據(jù)你的生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)小明建立的數(shù)學(xué)模型提兩條改進(jìn)建議（無需求解改進(jìn)后的模型，如果建議超過兩條僅對(duì)前兩條評(píng)分）
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）過點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，先求出，在中，利用正弦定理求得，再根據(jù)求得，從而可求得，再求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解；
（2）可以從行進(jìn)的視線，傘面面積等角度入手，建議只要合理即可.
【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，
由題意，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
又，所以，
又，
由正弦定理，所以，
又，所以，
，
所以，
所以
，
所以陰影部分面積為；
（2）①雨傘不遮擋人行進(jìn)的視線；
②傘面為弧線，改進(jìn)模型將傘設(shè)為一段圓弧，擴(kuò)大傘面的面積；
③考慮傘柄可以伸縮，等等.（只要合理即可）
13．（22-23高一下·河北承德·期中）2023年的春節(jié)，人們積蓄已久的出行熱情似乎在這一刻被引爆，讓旅游業(yè)終于迎來真正意義上的“觸底反彈”.如圖是某旅游景區(qū)中的網(wǎng)紅景點(diǎn)的路線圖，景點(diǎn)A處下山至處有兩種路徑：一種是從A沿直線步行到，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B 沿直線步行到.現(xiàn)有甲?乙兩位游客從A處下山，甲沿勻速步行，速度為.在甲出發(fā)后，乙從A乘纜車到B ，在B 處停留后，再從B 勻速步行到.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為，索道長為，經(jīng)測量，.
(1)求山路的長；
(2)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，甲?乙兩游客距離最短
【分析】（1）利用，可得，后由正弦定理可得答案；
（2）假設(shè)乙出發(fā)分鐘后，甲在D點(diǎn)，乙在E點(diǎn).由圖，題意，余弦定理可得
，即可得答案.
【詳解】（1）在中，因?yàn)?，所?
從而.
由正弦定理，得.
所以山路的長為；
（2）假設(shè)乙出發(fā)分鐘后，甲在D點(diǎn)，乙在E點(diǎn).
此時(shí)，，，
所以由余弦定理得
.因?yàn)椋矗?br>故當(dāng)時(shí)，甲?乙兩游客距離最短.
14．（23-24高三上·上海楊浦·期中）如下圖所示，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路經(jīng)過三個(gè)景點(diǎn)、、.景區(qū)管委會(huì)又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn).經(jīng)測量景點(diǎn)位于景點(diǎn)的北偏東方向處，位于景點(diǎn)的正北方向，還位于景點(diǎn)的北偏西方向上.已知.

(1)景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)向景點(diǎn)修建一條筆直的公路.求線段的長度（長度單位精確到0.1km）；
(2)求線段的長度（長度單位精確到0.1km）（）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算可得；
（2）先求出，的正弦、余弦值，再利用和角的正弦公式求出，最后利用正弦定理計(jì)算可得.
【詳解】（1）
依題意可得，，，
在中由余弦定理，
即，即，
解得（舍去）或，
所以線段的長度約為.
（2）在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴
，
，
∴
．
又，
在中由正弦定理，
即，解得，
所以線段的長度約為.
15．（23-24高三上·上海浦東新·期末）某街道規(guī)劃建一座口袋公園．如圖所示，公園由扇形區(qū)域和三角形區(qū)域組成．其中三點(diǎn)共線，扇形半徑為30米．規(guī)劃口袋公園建成后，扇形區(qū)域?qū)⒆鳛榛ú菡故緟^(qū)，三角形區(qū)域作為親水平臺(tái)區(qū)，兩個(gè)區(qū)域的所有邊界修建休閑步道．
(1)若，，求休閑步道總長（精確到米）；
(2)若，在前期民意調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，絕大部分街道居民對(duì)親水平臺(tái)區(qū)更感興趣．請你根據(jù)民意調(diào)查情況，從該區(qū)域面積最大或周長最長的視角出發(fā)，選擇其中一個(gè)方案，設(shè)計(jì)三角形的形狀．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，在中，由余弦定理得求得，再由弧長公式，求得的長，進(jìn)而求得總周長，得到答案.
（2）若選擇面積最小：設(shè)，得到，在中，由正弦定理，求得，，根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合三角恒等變換的公式，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
若選擇周長最長：由正弦定理，求得，，利用三角恒等變換的公式，化簡得到周長為，結(jié)合三角函數(shù)的餓性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）解：由題意知，，所以，，
因?yàn)?，所以?br>在中，由余弦定理得
，
所以，又由弧長公式，可得的長，
所以總周長為：.
（2）解：若選擇面積最?。?br>設(shè)，因?yàn)?，可得?br>由正弦定理知，
所以，
，
所以
，
因?yàn)椋裕?br>所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，面積取得最大值，最大值為，
又因?yàn)椋?br>，
所以，.
若選擇周長最長：
設(shè)，因?yàn)?，可得?br>由正弦定理知，
所以，
，
則的周長為
，
其中，
因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以的周長的最大值為，
即時(shí)，即時(shí)，
所以時(shí)，
的周長的最大值為.

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