1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標(biāo)記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標(biāo)。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓(xùn)練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當(dāng)作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
熱點8-4 拋物線及其應(yīng)用6大題型
拋物線是高考數(shù)學(xué)的熱點問題，在高考中選擇題、填空題、解答題都曾出現(xiàn)過，屬于高頻考點。
這部分內(nèi)容主要涉及標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、弦長問題及面積問題等，解題思路和解題步驟相對固定，在沖刺階段的教學(xué)過程中盡量淡化解題技巧，強調(diào)通性通法，規(guī)范解題步驟。
一、焦半徑公式
設(shè)拋物線上一點的坐標(biāo)為，焦點為.
1、拋物線，.
2、拋物線，.
3、拋物線，.
4、拋物線，.
【注意】在使用焦半徑公式時，首先要明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，不同的標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)于不同的焦半徑公式.
二、直線與拋物線的位置關(guān)系
1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況：
相交（有兩個公共點或一個公共點）；相切（有一個公共點）；相離（沒有公共點）.
2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：
（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，
若，直線與拋物線有兩個交點；
若，直線與拋物線有一個交點，且交點既是原點又是切點；
若，直線與拋物線沒有交點.
（2）直線的斜率存在.
設(shè)直線，拋物線，
直線與拋物線的交點的個數(shù)等于方程組，的解的個數(shù)，
即二次方程（或）解的個數(shù).
①若，
則當(dāng)時，直線與拋物線相交，有兩個公共點；
當(dāng)時，直線與拋物線相切，有個公共點；
當(dāng)時，直線與拋物線相離，無公共點.
②若，則直線與拋物線相交，有一個公共點.
三、直線與拋物線相交弦長問題
1、一般弦長
設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點為.
（1）弦長公式：（為直線的斜率，且）.
（2）,
推導(dǎo)：由題意，知，① ②
由①-②，得.故，即.
（3）直線的方程為.
2、焦點弦長
如圖，是拋物線過焦點的一條弦，設(shè)，，的中點，過點，，分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點，，，
根據(jù)拋物線的定義有，，
故.
又因為是梯形的中位線，所以，
從而有下列結(jié)論；
（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.
（2）(焦點弦長與中點關(guān)系)
（3）.
（4）若直線的傾斜角為，則.
（5），兩點的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積均為定值，即，.
（6）為定值.
【題型1 拋物線的定義及概念】
【例1】（2023·全國·模擬預(yù)測）過拋物線（p＞0）的焦點F的直線交拋物線C于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，設(shè)，，若n，，成等比數(shù)列，則（ ）
A． B．3 C．3或 D．
【答案】B
【解析】由n，，成等比數(shù)列，得．
由拋物線的定義知，， ，
所以，所以，
又因為，，所以．故選：B.
【變式1-1】（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線：的焦點為，斜率為2的直線與的交點為，.若，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由拋物線：可得焦點，準(zhǔn)線為，
設(shè)斜率為2的直線方程為，
所以消去得，
，解得，
設(shè)，，所以，
利用拋物線的定義可得，即，解得，
所以的方程為故選：C
【變式1-2】（2022秋·廣西玉林·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線C上，且，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】點F為拋物線的焦點，其準(zhǔn)線方程為：，
因為點在拋物線C上，且，
則有，解得，所以.故選：C
【變式1-3】（2023春·河南·高三河南省淮陽中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）若點是拋物線的焦點，點分別是拋物線上位于第一、四象限的點，且軸，，則點的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可知，
因為軸，所以，，
所以，解得，所以，故選：A
【變式1-4】（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知拋物線C：，過焦點F的直線與C在第四象限交于M點，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因為直線過拋物線C：的焦點，則，
所以，，拋物線方程為，
因為在拋物線上且在第四象限，設(shè)點，
則，解得：，
由拋物線的定義可知：，故選：.
【題型2 利用拋物線定義求最值】
【例2】（2022秋·山西陽泉·高三統(tǒng)考期末）已知點P為拋物線上一動點，點Q為圓上一動點，點F為拋物線的焦點，點P到y(tǒng)軸的距離為d，若的最小值為2，則（ ）
A． B．1 C．3 D．4
【答案】D
【解析】作圖如下，
圓的圓心,半徑，
拋物線的焦點，
根據(jù)拋物線的定義可知，
所以，
由圖可知，當(dāng)共線，且在線段之間時，
最短，而，
故有，
即解得，故選:D.
【變式2-1】（2023春·北京海淀·高三人大附中?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線的左焦點與拋物線的焦點重合，為拋物線上一動點，定點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對于雙曲線，，，則，故點，
所以，拋物線的方程為，
拋物線的準(zhǔn)線為，如下圖所示：
過點作，垂足為點，由拋物線的定義可得，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值為.故選：D.
【變式2-2】（2023·江西上饒·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是拋物線上一動點，直線的方程為，定點，到的距離為.則的最小值為（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】B
【解析】如圖示：拋物線的焦點，準(zhǔn)線.
過作于,于，則.
由拋物線的定義可知：.
（當(dāng)且僅當(dāng)在，即三點共線時“=”成立）.故選：B
【變式2-3】（2023秋·山東德州·高三統(tǒng)考期末）曲線上有兩個不同動點，動點到的最小距離為，點與和的距離之和的最小值為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，則，
結(jié)合關(guān)系式可變形為：
，
當(dāng)，即動點坐標(biāo)為時，取到最小距離，即；
由題知，曲線為拋物線在第一象限的部分以及原點，
其焦點為，準(zhǔn)線為，設(shè)，
過作準(zhǔn)線，垂足為，
根據(jù)拋物線定義，，
過作準(zhǔn)線，垂足為，交拋物線于，
當(dāng)在運動時，結(jié)合下圖可知，，
當(dāng)運動到時取得等號，即的最小值為.
故.故選：C
【變式2-4】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）函數(shù)的最小值為___________.
【答案】
【解析】，
可表示拋物線上的點，到兩定點，的距離之和，
即，
而點在此拋物線內(nèi)，點是此拋物線的焦點，
拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點、分別為點、在準(zhǔn)線上的投影，
如圖，根據(jù)拋物線的定義有，
則，
故答案為：.
【題型3 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】
【例3】（2022秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離是（ ）.
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程為拋物線，
則其焦準(zhǔn)距為，即焦點到準(zhǔn)線的距離是，故選：B
【變式3-1】（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知拋物線的焦點在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由于焦點在直線上，
則當(dāng)焦點在y軸上時，令，所以焦點坐標(biāo)為：，
設(shè)方程為，由焦點坐標(biāo)知，
所以拋物線的方程為：
當(dāng)焦點在x軸上時，令， 所以焦點坐標(biāo)為：，
設(shè)方程為，由焦點坐標(biāo)知，
所以拋物線的方程為：，故選：BC.
【變式3-2】（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線C：上的點P到焦點的距離比到y(tǒng)軸的距離大2，則______．
【答案】4
【解析】點P到焦點的距離比到y(tǒng)軸的距離大2，
即點P到準(zhǔn)線的距離比到y(tǒng)軸的距離大2，即，即．故答案為：4.
【變式3-3】（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知拋物線的焦點為，拋物線上一點A在準(zhǔn)線上的射影為，且為等邊三角形.若，則拋物線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可知：拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，
設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點為，
則，
可得，
在中，則，
即，解得，
故拋物線方程為.故選：B.
【變式3-4】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知拋物線經(jīng)過第二象限，且其焦點到準(zhǔn)線的距離大于4，請寫出一個滿足條件的的標(biāo)準(zhǔn)方程__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
由已知可得，焦點到準(zhǔn)線的距離.
可取，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
【題型4 拋物線的中點弦問題】
【例4】（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知直線l交拋物線于M，N兩點，且MN的中點為，則直線l的斜率為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【解析】易知直線l的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，，
則，兩式相減得，整理得，
因為MN的中點為，則，
所以，即直線l的斜率為3．故選：C．
【變式4-1】（2023秋·江西·高三校聯(lián)考期末）如圖，已知拋物線E：的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段AB的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，軸于點N.若四邊形的面積等于8，則E的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知，直線AB的方程為，
四邊形OCMN為直角梯形，且.
設(shè)，，，則，
所以，所以，，∴.
所以MC直線方程為，
∴令，∴，∴.
所以四邊形OCMN的面積為，∴.
故拋物線E的方程為.故選：B.
【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B是拋物線上的兩點，線段AB的中點為，則直線AB的方程為__________．
【答案】
【解析】依題意，設(shè)，
若，則直線，由拋物線的對稱性可知，
線段AB的中點為，顯然不符合題意，故，
因為A，B是拋物線上的兩點，
所以，兩式相減得，，整理得，
因為線段AB的中點為，
所以，即，
又，所以，
所以直線AB的方程為，即.
故答案為：.
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，直線與C交于A，B兩點．
（1）若的傾斜角為且過點F，求；
（2）若線段AB的中點坐標(biāo)為，求的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為的傾斜角為，，
所以直線的方程為，
聯(lián)立可得，
設(shè)，則，
所以；
（2）設(shè)，則，
所以，
因為線段AB的中點坐標(biāo)為，所以，
所以，所以的斜率為，
所以的方程為，即.
【變式4-4】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）若拋物線C：存在以點為中點的弦，請寫出一個滿足條件的拋物線方程為_______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】拋物線存在以點為中點的弦，
則該點在拋物線開口內(nèi)，即當(dāng)時，.
可取，則滿足條件的拋物線方程為.
故答案為：（答案不唯一）
【題型5 拋物線的弦長問題】
【例5】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）過拋物線焦點作傾斜角為的直線交拋物線于，則（ ）
A． B． C．1 D．16
【答案】A
【解析】化為標(biāo)準(zhǔn)形式由此知；
設(shè)直線l的方程為：， ，，
根據(jù)拋物線定義知；
將，代入，可得，
由此代入.故選：A
【變式5-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）過拋物線的焦點F作直線交拋物線于、兩點，若，則的值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為
由拋物線的定義可得，故選：B
【變式5-2】（2023·福建泉州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l與C交于M，N兩點，P為的中點，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為4 B．的最大值為4
C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，
【答案】AD
【解析】由拋物線可得焦點，準(zhǔn)線為，
對于A，當(dāng)直線l的斜率不存在時，方程為，
代入拋物線可得所以此時；
當(dāng)直線l的斜率存在時，假設(shè)直線的方程為，
設(shè)
將直線方程代入拋物線可得
，則，
所以，
綜上所述，的最小值為4，故A正確；
對于B，當(dāng)直線l的斜率存在時，，
故B錯誤；
對于C，因為P為的中點，，所以，所以，
則，所以，
將代入可得，解得或，
當(dāng)時，易得不滿足題意；
當(dāng)時，，所以，故C錯誤；
對于D，由易得斜率存在，
由P為的中點可得即，
所以，解得，
所以，故D正確；故選：AD
【變式5-3】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）設(shè)拋物線的焦點為，，Q在準(zhǔn)線上，Q的縱坐標(biāo)為，點M到F與到定點的距離之和的最小值為4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過F且斜率為2的直線l與C交于A、B兩點，求的面積．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知可得，，.
因為，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取得最小值.
又，所以，
即，整理可得，
因為，所以.
所以，拋物線C的方程為.
（2）由（1）知，，所以直線的方程為，.
聯(lián)立直線與拋物線的方程可得，.
設(shè)，，則由韋達定理可得.
所以.
又點到直線，
即直線的距離為，
所以，的面積.
【變式5-4】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知拋物線上一點，圓：，過作圓的兩條切線，切點分別為A，B．
（1）求直線的方程：
（2）直線分別與拋物線交于兩點，求線段的長度．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由可得圓心，半徑為1，
設(shè)，，設(shè)是圓在點處的切線上一點，則
即
則圓在點處的切線方程分別為
又因為點同時在直線上，
所以有，，
所以，是方程的解,
所以直線的方程是．
（2）設(shè)，，則，又，
化簡整理得，
因為直線與圓相切，則，即，
同理可得，
所以是方程的兩個不等實根，
有，，．
【題型6 直線與拋物線綜合問題】
【例6】（2023春·山西晉城·高三?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點是直線上一動點，直線與直線交于點，.
（1）求拋物線的方程；
（2）過點作拋物線的兩條切線，切點為，且，求面積的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）直線，當(dāng)時，，即，，
則，解得或（舍去），
故拋物線的方程為.
（2）設(shè)，，，，，
的直線方程為：，整理得到，
同理可得：方程為，
故，故的直線方程為，
，整理得到，，
，
，解得，
設(shè)到的距離為，
，
，故，
【變式6-1】（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為拋物線的焦點，為坐標(biāo)原點，為的準(zhǔn)線上的一點，直線的斜率為的面積為1．
（1）求的方程；
（2）過點作一條直線，交于兩點，試問在上是否存在定點，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）存在，或
【解析】（1）由題意知，設(shè)點的坐標(biāo)為，
則直線的斜率為．
因為直線的斜率為，所以，即，
所以的面積，解得或（舍去），
故拋物線的方程為．
（2）假設(shè)存在點，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方．
由（1）得，拋物線的準(zhǔn)線的方程為．
設(shè)直線的方程為，，，，
聯(lián)立得，
所以，，．
因為，
，
所以，解得或．
故存在定點，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方，
其坐標(biāo)為或．
【變式6-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點，過點的直線與拋物線有兩個不同交點，且直線交軸于，直線交軸于.
（1）求直線斜率的取值范圍；
（2）證明：存在定點，使得，且.
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）拋物線經(jīng)過點，，解得：，拋物線；
由題意知：直線斜率存在，設(shè)，，，
由得：，
，解得：或；
，，，，
又直線與軸相交于兩點，
，
即，解得：且；
綜上所述：直線斜率的取值范圍為.
（2）設(shè)點，，
由，，知：共線，即在軸上，
則可設(shè)，，，
，，，同理可得：，
，直線，
令得：，同理可得：，
，，
由（1）知：，，
，
解得：，存在定點滿足題意.
【變式6-3】（2023秋·遼寧營口·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓（）的離心率為，且經(jīng)過點
（1）求橢圓的方程；
（2）過作兩直線與拋物線（m>0）相切，且分別與橢圓C交于P，Q兩點，直線，的斜率分別為，
①求證：為定值；
②試問直線是否過定點，若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，說明理由．
【答案】（1）；（2）① 證明見解析；②直線恒過定點
【解析】（1）由題可得，解得，
所以橢圓C的方程為
（2）①設(shè)過與拋物線相切的直線方程為（），
消去y得：，
，即
直線，的斜率分別為，，
則，是方程的兩根，，，
消去m得：
②設(shè)直線：，，，
，消去x得：
所以，
因為，所以，所以
整理得：
即，所以．
所以或，
當(dāng)時，，PQ恒過定點與A重合，舍去
當(dāng)時，PQ恒過定點
綜上所述，直線PQ恒過定點.
【變式6-4】（2023春·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線與拋物線交于，兩點，且
（1）求的方程
（2）若直線與交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，試問直線是否過定點？若過定點，求定點的坐標(biāo)；若不過定點，說明理由
【答案】（1）；（2）過定點，
【解析】（1）將代入，得，
則，
則，解得，
故的方程為
（2）設(shè)，則，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，所以，
因此直線的方程為，
整理得，即，
當(dāng)時，，故直線過定點.
（建議用時：60分鐘）
1．（2023春·北京大興·高三校考開學(xué)考試）已知拋物線，則的焦點坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題知，拋物線的焦點在軸正半軸，且，即，
所以的焦點坐標(biāo)為.故選：B.
2．（2023秋·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線交于兩個不同的點A，B．如果，2，成等差數(shù)列，那么k等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，
聯(lián)立方程組，整理可得，
，解得：，且，
由，，又，2，成等差數(shù)列，
所以，則，所以，解得：或，
因為，所以，故選：D.
3．（2023·湖南·模擬預(yù)測）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值（）的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，若點P是滿足的阿氏圓上的任意一點，點Q為拋物線上的動點，Q在直線上的射影為R，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，
化簡整理得，
所以點的軌跡為以為圓心為半徑的圓，
拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)（兩點在兩點中間）四點共線時取等號，
所以的最小值為.故選：D.
4．（2023春·天津濱海新·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線的左焦點到其一條漸近線的距離等于，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點，則拋物線上一動點M到直線和的距離之和的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意知雙曲線的左焦點到其一條漸近線的距離為，
不妨取漸近線，即，
所以 ，，
又拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點，
即，則拋物線方程為，
過點M作垂直于直線，垂足為點A，
作垂直于拋物線準(zhǔn)線 于點C，連接，
根據(jù)拋物線的定義得，
設(shè)M到的距離為 ，M到直線的距離為，則，
根據(jù)平面幾何知識，可得當(dāng)三點共線時，有最小值，
因為拋物線焦點到直線的距離為，
所以的最小值是，
所以拋物線上一動點M到直線和的距離之和的
最小值為 ，故選：D．
5．（2023·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知A為拋物線C：上在第一象限內(nèi)的一個動點，，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為C的焦點，若，則直線AF斜率的絕對值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則，解得或，
所以或，
又，所以或，
所以，故選：B.
6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，直線l過焦點F且與拋物線交于點，，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點Q，若（O為坐標(biāo)原點），，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】對于△OQN和△OFN，底邊QN和FN上的高均為點O到直線l的距離，
故由可得，
如圖，分別過點M，N作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點，，
設(shè)，則，，故．
因為，所以．
在直角三角形中，，，，
所以，所以，解得．
設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點，則，
所以，即，解得，故選：B．
7．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知拋物線C：的焦點為F，直線l與C交于，兩點，其中點A在第一象限，點M是AB的中點，作MN垂直于準(zhǔn)線，垂足為N，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若直線l經(jīng)過焦點F，且，則
B．若，則直線l的傾斜角為
C．若以AB為直徑的圓M經(jīng)過焦點F，則的最小值為
D．若以AB為直徑作圓M，則圓M與準(zhǔn)線相切
【答案】BC
【解析】A選項，由題意得：，準(zhǔn)線方程為，
當(dāng)直線的斜率為0時，此時，直線l與C只有1個交點，不合題意，
故設(shè)直線，與聯(lián)立得：，
故，
則，所以，解得：，A錯誤；
B選項，因為，所以三點共線，即直線經(jīng)過拋物線焦點，
當(dāng)直線的斜率為0時，此時，直線l與C只有1個交點，不合題意，
故設(shè)直線，與聯(lián)立得：，故，
因為，所以，代入中，
得到，即，
因為點A在第一象限，所以，故，即，，解得：
故直線l的斜率為，設(shè)直線l的傾斜角為，則，
解得：，B正確；
C選項，設(shè)，過點作⊥準(zhǔn)線于點，過點作⊥準(zhǔn)線于點P，
因為以AB為直徑的圓M經(jīng)過焦點F，所以⊥，則，
由拋物線定義可知：，
由基本不等式得：，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故，即，C正確；
D選項，當(dāng)直線l不經(jīng)過焦點時，設(shè)，
由三角形三邊關(guān)系可知：，
由拋物線定義可知結(jié)合C選項可知：，即，
若以AB為直徑作圓M，則圓M與準(zhǔn)線相離，D錯誤.故選：BC
8．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）（多選）已知拋物線，F(xiàn)為拋物線C的焦點，下列說法正確的是（ ）
A．若拋物線C上一點P到焦點F的距離是4，則P的坐標(biāo)為、
B．拋物線C在點處的切線方程為
C．一個頂點在原點O的正三角形與拋物線相交于A、B兩點，的周長為
D．點H為拋物線C的上任意一點，點，，當(dāng)t取最大值時，的面積為2
【答案】ABD
【解析】A選項：由拋物線C的定義知，解得
代入可得，所以P的坐標(biāo)為、，故A正確；
B選項：由得，，切線方拋物線C在點處的切線斜率為，
所以切線方程為，故B正確；
C選項：頂點在原點O的正三角形與拋物線相交與A、B兩點，
設(shè)正三角形的邊長為，則根據(jù)對稱性可得
且點在拋物線上，所以，解得，
所以這個正三角形的邊長為，故C錯誤；
D選項：F為拋物線的焦點，過H作HD垂直拋物線C的準(zhǔn)線于點D，
如圖，
由拋物線的定義知，
當(dāng)t取最大值時，取最小值，即直線GH與拋物線C相切.
設(shè)直線HG的方程為，由得，
所以，解得，
此時，即，所以，故，
所以，故D正確.故選:ABD.
9．（2022·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，過F作斜率為的直線與C交于兩點，若線段中點的縱坐標(biāo)為，則F到C的準(zhǔn)線的距離為_______．
【答案】
【解析】設(shè)，，則，，
兩式相減得，即，
因為、兩點在斜率為的直線上，所以，
所以由得，
因為線段中點的縱坐標(biāo)為，所以，
則，，
所以F到C的準(zhǔn)線的距離為.
故答案為：.
10．（2023·河南·長葛市第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點P在D上，PA與l垂直，垂足為A，若，則的面積等于______.
【答案】
【解析】由以及可知，
故為等邊三角形，所以
因此故，
所以，
故答案為：
11．（2023秋·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線C：的焦點為F，點P在C上，，且點P在圓上.
（1）求C的方程；
（2）過F且不與x軸垂直的直線l與C交于A，B兩點，點A與點M關(guān)于x軸對稱，直線BM與x軸交于點N，若△ABN的面積為，求直線l的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）聯(lián)立，解得，即，
由，得，則，
故C的方程為.
（2）設(shè)，，則，
由（1）知點F的坐標(biāo)為，可設(shè)直線AB的方程為，
聯(lián)立，得，則，，
直線MB的斜率為，
直線MB的方程為，
可得，
令，得，可得點N的坐標(biāo)為，
△ABN的面積，
解得，故直線l的方程為或.
12．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線，圓與拋物線有且只有兩個公共點.
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，過圓心的直線與圓交于點，直線分別交拋物線于點（點不與點重合）.記的面積為，的面積為，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由,
得，即.
由對稱性可得關(guān)于的方程有兩個相等的正的實數(shù)根，
所以，且，解得，
所以拋物線C的方程為.
（2）由題意，知直線的斜率不為，故設(shè)直線的方程為，
如圖，設(shè)，，，.
將直線的方程代入圓的方程中，消去，得，
所以，所以，且.
直線的方程為，代入拋物線方程，
消去，得，解得或，所以.
同理，得，
所以
，
所以當(dāng)時，取得最大值，為.
13．（2023春·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，動點M到定點的距離比到y(tǒng)軸的距離大1．
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）當(dāng)時，記動點M的軌跡為曲線C，過F的直線與曲線C交于P，Q兩點，直線OP，OQ與直線分別交于A，B兩點，試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
【答案】（1）時，；時，；（2）是，過定點和
【解析】（1）動點M到定點的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，
當(dāng)時，動點M到定點的距離等于到的距離，軌跡為拋物線，
設(shè)拋物線方程為，，，
當(dāng)時，滿足條件.
綜上所述：軌跡方程為：時，；時，
（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，
整理得：，，，
直線的方程為，同理：直線的方程為，
令得，，
設(shè)中點的坐標(biāo)為，則，，
所以.
，
圓的半徑為.
所以為直徑的圓的方程為.
展開可得，令，可得，解得或.
所以以為直徑的圓經(jīng)過定點和
14．（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）已知F是拋物線C：的焦點，以F為圓心，2p為半徑的圓F與拋物線C交于A，B兩點，且.
（1）求拋物線C和圓F的方程；
（2）若點P為圓F優(yōu)弧AB上任意一點，過點P作拋物線C的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N，請問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【答案】（1）拋物線C的方程為，圓F的方程為；（2）是，16
【解析】（1）由題意可得：拋物線C：的焦點為，
則圓F的方程為，
聯(lián)立方程，消去x得，
解得或（舍去），
將代入得A，B的坐標(biāo)分別為，.
故，所以，
所以拋物線C的方程為，圓F的方程為.
（2）是，理由如下：
設(shè)，則，
因為拋物線的方程為，則，
所以切線PM的方程為，即，①
同理切線PN的方程為，②
則由①②過，則，
所以直線MN的方程為，
聯(lián)立方程，消去y得，
則，，
所以
，
又在圓F上，則，即，
故為定值16.

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