1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯”糾錯。每過一段時(shí)間，就把“錯題筆記”或標(biāo)記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
熱點(diǎn)8-2 橢圓及其應(yīng)用6大題型
橢圓是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重點(diǎn)?？荚囍兄饕疾闄E圓的概念性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，選擇、填空、解答題都會出現(xiàn)。與向量等知識結(jié)合綜合考查也是高考命題的一個趨勢，在突破重難點(diǎn)上要注意?；A(chǔ)、拔高、分層訓(xùn)練，更為重要的是掌握圓錐曲線的解題的思想方法，才能做到靈活應(yīng)對。
一、橢圓的焦點(diǎn)三角形
1、定義：橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”。
一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識，建立AF1+AF2，AF12+AF22，AF1AF2之間的關(guān)系，采用整體代入的方法解決焦點(diǎn)三角形的面積、周長及角的有關(guān)問題（）
性質(zhì)1：AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a.（兩個定義）
拓展：?AF1F2的周長為AF1+AF1+F1F2=2a+2c
?ABF1的周長為AF1+AF2+BF1+BF2=4a
性質(zhì)2：4c2=F1F22=AF12+AF22?2AF1AF2csθ（余弦定理）
二、直線與橢圓相交的弦長公式
1、定義：連接橢圓上兩個點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．
2、求弦長的方法：
（1）交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．
（2）根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：
三、解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法：
1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；
2、點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線(不平行于軸)過橢圓()上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有。
證明：設(shè)、，則有，
上式減下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直線(存在斜率)過橢圓()上兩點(diǎn)、，線段中點(diǎn)為，
則有。
【題型1 橢圓的定義及概念辨析】
【例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面上，動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)，的距離之和為，若，則點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．線段 B．兩條射線 C．橢圓 D．不存在
【答案】D
【解析】由題意可知，,
所以點(diǎn)的軌跡為不存在.故選：D.
【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)定點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足條件，則動點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段或不存在
【答案】D
【解析】由題中坐標(biāo)得：，又，
則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為線段；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.故選：D.
【變式1-2】（2022秋·四川廣安·高三廣安二中校考期中）若橢圓上一點(diǎn)P到橢圓一個焦點(diǎn)的距離為6，則P到另一個焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由橢圓，得，則．
因?yàn)辄c(diǎn)P到橢圓一焦點(diǎn)的距離為6，
所以由橢圓定義得點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)到距離為.故選：B．
【變式1-3】（2023春·山西晉城·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，則___________.
【答案】
【解析】由題意可知：，
因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，
又因?yàn)椋裕?br>由橢圓的定義可知：，
因?yàn)?，則，
故答案為：.
【變式1-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)M在橢圓上，是橢圓的左焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，N是中點(diǎn)，且ON長度是4，則的長度是__________．
【答案】
【解析】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接
由已知得，則
因?yàn)镹是中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
，
再根據(jù)橢圓定義得
故答案為：.
【變式1-5】（2022·全國·高三專題練習(xí)）平面內(nèi)一點(diǎn)M到兩定點(diǎn) 的距離之和等于12，則點(diǎn)M的軌跡是______.
【答案】線段
【解析】由題意知,且,
故,所以點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2.
故答案為：線段
【題型2 利用橢圓定義求最值】
【例2】（2023春·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可得：，則橢圓的右焦點(diǎn)，
∵，故點(diǎn)在橢圓外，
設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，即，
故，
∵，當(dāng)點(diǎn)P在的延長線上時(shí)取等號，
∴，
即的最大值為，故選：D．
【變式2-1】（2023秋·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓C：，，為橢圓的左右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P是橢圓上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），則的范圍為_____．
【答案】
【解析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知，
又點(diǎn)P在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可得，所以
所以
易知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立；
又，所以；
即的范圍為.
故答案為：
【變式2-2】（2022秋·河北滄州·高三任丘市第一中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓C的一個焦點(diǎn)為，橢圓C上的點(diǎn)到F的距離的最小值為1，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______；若P為橢圓C上一動點(diǎn)，，則的最小值為______．
【答案】；1
【解析】因?yàn)闄E圓C的一個焦點(diǎn)為，所以橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，且，
因?yàn)闄E圓C上的點(diǎn)到F的距離的最小值為1，所以，得，
因?yàn)?，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
將M（3,3）代入橢圓方程，得 ，所以M點(diǎn)在橢圓外，
作圖如下：
設(shè)橢圓C的另一個焦點(diǎn)為，則，
所以．
當(dāng)，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
且最小值為，
所以的最小值為1；
故答案為：，1.
【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】橢圓上的點(diǎn)P滿足，
當(dāng)點(diǎn)P為的延長線與C的交點(diǎn)時(shí)，
達(dá)到最大值，最大值為．故選：B
【變式2-4】（2022秋·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知點(diǎn)，，為圓上的點(diǎn)，則（ ）
A．的最大值為 B．的最大值為
C．的最大值為 D．的最大值為
【答案】AB
【解析】對于A，以為兩個焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓可表示為：，
由得：，
若橢圓與圓有交點(diǎn)，則可設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，
，解得：，
則此時(shí)可令一交點(diǎn)為，則，A正確；
對于B，（當(dāng)且僅當(dāng)在線段延長線上時(shí)取等號），
當(dāng)時(shí)，，B正確；
對于C，設(shè)，，則，
；
，
，當(dāng)時(shí)，，C錯誤；
對于D，，令
，
，
在上單調(diào)遞增，且，，
，使得，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
又，，
，即的最大值為，D錯誤.故選：AB.
【變式2-5】（2023·河北·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若平面向量滿足，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，則，且，
不妨設(shè)，
則，
由，即，
故點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，
∴，
則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)等號成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)等號成立，
即，故.故選：D.
【題型3 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】
【例3】（2023秋·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若方程表示橢圓，
則解得或，
所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B.
【變式3-1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谀┤鬽，，且則“”是“方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由可得：，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，
又因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，所以，
由不能推出，但由一定能推出，
所以“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的必要不充分條件，故選:B.
【變式3-2】（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線經(jīng)過焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的兩個頂點(diǎn)，則該橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，可得；令，可得.
則由已知可得，橢圓的兩個頂點(diǎn)坐標(biāo)為，.
因?yàn)?，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上.
設(shè)橢圓的方程為，則，，
所以橢圓的方程為.故選：C.
【變式3-3】（2023·江蘇南京·?？家荒＃┮阎獧E圓的兩個焦點(diǎn)為和，直線l過點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)A在C上，且，則C的方程為__________．
【答案】
【解析】因?yàn)锳與關(guān)于直線l對稱，所以直線l為的垂直平分線，
又，
所以，由橢圓的定義可得，
設(shè)直線l與交于點(diǎn)M，則M為的中點(diǎn)，且，
所以
，
解得或1（舍去），所以，，
則C的方程為：．
故答案為：．
【題型4 橢圓的焦點(diǎn)三角形問題】
【例4】（2023秋·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且是直角三角形，的面積等于（ ）
A．3 B． C．3或 D．3或
【答案】C
【解析】由于是橢圓上一點(diǎn)，∴，
兩邊平方可得，即，
因?yàn)槭侵苯侨切危?br>當(dāng)時(shí)，，∴根據(jù)勾股定理可得，
綜上可解得，∴的面積等于；
當(dāng)時(shí)，，∴根據(jù)勾股定理可得，
結(jié)合,計(jì)算可得,
∴的面積等于；
當(dāng)時(shí)，，∴根據(jù)勾股定理可得，
結(jié)合,計(jì)算可得,
∴的面積等于.故選:.
【變式4-1】（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且滿足，則該橢圓的離心率是____．
【答案】
【解析】如下圖所示：
設(shè)，則，因?yàn)?，則，
由橢圓的定義可得，則，
所以，，則，
由勾股定理可得，則，則，
因此，該橢圓的離心率為.
故答案為:
【變式4-2】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)、為橢圓的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)．若為等腰三角形，則的內(nèi)切圓半徑為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】由題意知橢圓，則其長半軸，短半軸，焦距，
當(dāng)M點(diǎn)位于橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)為A點(diǎn)，
此時(shí)的面積為 ，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,則,
即；
三角形內(nèi)切圓半徑公式的推導(dǎo)：
當(dāng)M點(diǎn)不在橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨假設(shè)在第一象限內(nèi)，
此時(shí),此時(shí)，由為等腰三角形，
可知,則，
的面積為，
則,即，
綜合可得的內(nèi)切圓半徑為或，故選：D
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓C：上一點(diǎn)，點(diǎn)、是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑的最大值為，若橢圓的長軸長為4，則的面積的最大值為（ ）
A．2 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得：，，
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，
所以，
因?yàn)榈膬?nèi)切圓半徑的最大值為，
所以
因?yàn)椋?，可得?br>又橢圓的長軸長為4，即，
由，求得，所以的面積的故選：A
【題型5 橢圓的離心率值與范圍】
【例5】（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn)，設(shè)橢圓方程，，為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，可作圖如下：
則，，即，
可設(shè)，，，
由，
則，即，，
在中，，
則.故選：C.
【變式5-1】（2023·云南文山·高三馬關(guān)縣第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為橢圓與拋物線的一個交點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)，則橢圓的離心率為______．
【答案】
【解析】以為直徑的圓過點(diǎn)，，
，，則，
點(diǎn)也在橢圓：上，，
，即，
將其代入整理得，解得：，
但當(dāng)時(shí)，，不成立，，
，故，
故答案為：.
【變式5-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓=1的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，，且，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意知，如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，則，
因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以四邊形為平行四邊形，
由，得，，
在中，，
所以，
由，得，整理，得，
又，所以.故選：B
【變式5-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)．若橢圓C上存在兩點(diǎn)A，B滿足，且A，B，O三點(diǎn)共線，則橢圓C的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為，連接．
由橢圓的性質(zhì)得，，，即橢圓上存在點(diǎn)A，滿足，
即以為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)．
設(shè)橢圓C的半焦距為，所以只需，所以，即，
所以橢圓C的離心率的取值范圍為．故選：C
【變式5-4】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意作圖如下：
設(shè) ， ，則有 ， ，
， ， ， ，得：…① ，
化簡得： ，即 ，P點(diǎn)也在以 為圓心半徑為c的圓上，
即圓與橢圓必定有不與右頂點(diǎn)重合的交點(diǎn)
（與右頂點(diǎn)重合顯然不滿足題意），
圓 與x軸除原點(diǎn)外的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，并且該交點(diǎn)必須在橢圓外，
，即 ，因?yàn)槭菣E圓，所以 ；故選：A.
【變式5-5】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓（）與雙曲線（，）具有相同焦點(diǎn)、，是它們的一個交點(diǎn)，且，記橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】設(shè)P為第一象限的交點(diǎn)，
則由橢圓和雙曲線的定義可知，
∴在△中由余弦定理得：
即：
∴，即：
∴
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為3.故選：B.
【題型6 橢圓的中點(diǎn)弦問題】
【例6】（2022秋·福建龍巖·高三上杭縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓E的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)點(diǎn)、，則的中點(diǎn)為，
則，可得.
若直線軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合題意；
故直線的斜率存在，且，
由于A、兩點(diǎn)都在橢圓上，則，
兩式相減得，即，
因?yàn)樵谥本€AB上，故，故，即，
所以，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.
【變式6-1】（2023秋·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則橢圓C的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則從而，
故．由題意可得，
則，從而，故橢圓C的離心率．故選：A.
【變式6-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為．
（1）求C的方程；
（2）若，試問C上是否存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對稱，若存在，求出P，Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析
【解析】（1）設(shè)，則
∵在橢圓上，則
兩式相減得，整理得
∴，即，則
又∵點(diǎn)在橢圓C：上，則
聯(lián)立解得
∴橢圓C的方程為
（2）不存在，理由如下：
假定存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l：對稱，設(shè)直線PQ與直線l的交點(diǎn)為N，
則N為線段PQ的中點(diǎn)，連接ON
∵，則，即
由（1）可得，則，即直線
聯(lián)立方程，解得，即
∵，則在橢圓C外
∴假定不成立，不存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對稱
【變式6-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線上一動點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之和為，過點(diǎn) 的直線與曲線相交于點(diǎn)，．
（1）求曲線的方程；
（2）動弦滿足： ，求點(diǎn)的軌跡方程；
【答案】（1）；（2）；
【解析】（1）因?yàn)閯狱c(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之和為，
所以曲線是以，為焦點(diǎn)的橢圓，，，
所以，，所以曲線的方程為；
（2）因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，設(shè)，
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸?時(shí)，將，代入橢圓方程中得：
兩式相減得，
即，所以，
即，，整理得；
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖诨驗(yàn)?時(shí)，有或，也滿足；
所以點(diǎn)的軌跡方程是；
綜上，曲線 的方程為，點(diǎn)的軌跡方程是.
【變式6-4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、，且是線段的中點(diǎn)，是橢圓左焦點(diǎn)，求的面積．
【答案】
【解析】因?yàn)橹本€過點(diǎn)、，
所以，所以直線，
設(shè)，，則，，
所以、，
所以，即
所以，即，
又，所以，
又，，所以，所以橢圓方程為，
聯(lián)立直線AB與橢圓方程為，消去整理得，
所以，，
所以，
故．
【題型7 橢圓的弦長問題】
【例7】（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓，直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，則的周長為__________．
【答案】
【解析】由題知，
所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
所以，由得，
所以，為等邊三角形，且
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，解方程得，
所以，直線過點(diǎn)，且傾斜角為，即，
所以，直線為為等邊三角形中角的角平分線，
所以，直線為邊的中垂線，
所以，
因?yàn)?br>所以，的周長為
，
故答案為：
【變式7-1】（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，C的下頂點(diǎn)為A，離心率為，過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長為______.
【答案】
【解析】因?yàn)闄E圓的離心率，所以，，
所以橢圓的方程為，即，
在中，，，所以為正三角形，
過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，
所以DE為線段的垂直平分線，直線DE的斜率為，
所以直線的方程為，
設(shè)，，由，得，
所以，，
所以，解得，
所以，
因?yàn)闉榫€段的垂直平分線，所以，，
所以的周長為.
故答案為：
【變式7-2】（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┮阎獧E圓的離心率為，它的四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與圓相切且與橢圓交于、兩點(diǎn)，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）橢圓的四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，
由題意可得，解得，．
所以，橢圓的方程為．
（2）若直線與軸重合，此時(shí)直線與圓相交，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，由題意可得，即.
聯(lián)立消去得，即，
．
設(shè)、，則，．
所以，
．
令，則，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)，．
故的最大值為．
【變式7-3】（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓過點(diǎn).
（1）若橢圓E的離心率，求b的取值范圍；
（2）已知橢圓E的離心率，M，N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若經(jīng)過M，N兩點(diǎn)的直線與圓相切，求線段的最大值.
【答案】（1）；（2）2
【解析】（1）∵在橢圓，∴，有，所以，
又∵，所以，∵，∴；
（2）由（1）可知，又，
所以，橢圓.
因?yàn)橹本€與相切，故.
若直線的斜率不存在，不妨設(shè)直線為：，
代入橢圓方程可得此時(shí)線段.
若直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為：.
由直線與相切，故，可得：.
聯(lián)立得，
所以，
線段
.
又因?yàn)?，所?
當(dāng)且僅當(dāng)，故當(dāng)時(shí)，的最大值為2.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，線段的最大值2.
【變式7-4】（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB與CD，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，所以.
設(shè)橢圓方程為，將代入，得.
故橢圓方程為.
（2）①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在，
易得其中一條弦為長軸，
另一條弦長為橢圓的通徑為，即；
②當(dāng)兩條弦斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)，，
設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，
將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得：，
∴，，
∴，
同理，，
∴，
令，則，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴.
綜合②可知，的取值范圍為.
【題型8 直線與橢圓綜合問題】
【例8】（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記的軌跡為曲線.
（1）求的方程，并說明是什么曲線；
（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)并延長交于點(diǎn).證明：直線與的斜率之積為定值.
【答案】（1）（），所以是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含上下頂點(diǎn)；（2）證明見解析
【解析】（1）由題設(shè)得，化簡得（），
所以是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含上下頂點(diǎn)；
（2）設(shè)直線的斜率為，則其方程為（），
由，解得，
記，則，，，
于是，故直線的方程為，
由，得，①
設(shè)，則由題設(shè)可知和是方程①的解，
故，由此得，
從而直線的斜率，所以，
所以直線與的斜率之積為定值.
【變式8-1】（2023秋·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓，傾斜角為的直線過橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)B，且（其中A為右頂點(diǎn)）.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由題可知，解得
故橢圓的方程為.
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，，
由，，得，
同理，當(dāng),時(shí)，得，所以，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，即時(shí)，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去y得.
因?yàn)橹本€l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P、Q，所以，
即①.
設(shè)，則②，
則，
由，得③，
③代入②得，
化簡整理得④，
將④代入①得，化簡得，解得或.
綜上，m的取值范圍為.
【變式8-2】（2023春·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓C：的離心率為，且為C上一點(diǎn)．
（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)，M，N為C上異于A，B的兩點(diǎn)，直線MN不與坐標(biāo)軸平行且不過坐標(biāo)原點(diǎn)О，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)О的對稱點(diǎn)為，若直線與直線BN相交于點(diǎn)P，直線OP與直線MN相交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)Q位于定直線上．
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為，
由題意得，解得，
∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題可知，，
設(shè)，，
則，設(shè)：．
聯(lián)立消去x得，
∴，，
又，∴：，：，
又∵點(diǎn)P為直線AM'和BN的交點(diǎn)，
∴，
故
，
∴，故：．
聯(lián)立消去y得，
因此，點(diǎn)Q位于定直線上．
【變式8-3】（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，已知橢圓的離心率為，其左、右頂點(diǎn)分別為．過點(diǎn)的直線與該橢圓相交于兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與的斜率分別為．試問：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）依題意可知，，
所以橢圓的方程為：；
（2）(方法一)設(shè)直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立方程組，
則，則，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
同理，可解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，因?yàn)?，則，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
由三點(diǎn)共線，得，
化簡有，
由題知同號，所以，
故存在，使得成立．
(方法二)當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
所以此時(shí)直線與的斜率分別為，有，
由此猜想：存在滿足條件，下面證明猜想正確．
當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，
，
，
，，
由此可得猜想正確，
故存在，使得成立．
【變式8-4】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）已知用周長為36的矩形截某圓錐得到橢圓與矩形的四邊都相切且焦距為，__________.
①為等差數(shù)列；②為等比數(shù)列.
（1）在①②中任選一個條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）（1）中所求的左?右焦點(diǎn)分別為，過作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn)，求以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，若是求出該定點(diǎn)；若不是請說明理由
【答案】（1）；（2）存在，和.
【解析】（1）選①，由題意解得所以的標(biāo)椎方程為.
選②，由題意解得所以的標(biāo)椎方程為.
（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，
不妨設(shè)在軸上方，則，
的方程為，令，得，
所以，同理，
所以以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，
聯(lián)立得，
由韋達(dá)定理得.
因?yàn)椋缘姆匠虨椋?br>令，得，即的坐標(biāo)為，
同理的坐標(biāo)為，
所以以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
將韋達(dá)定理代入并整理得，
令，則，解得或.
當(dāng)斜率不存在時(shí)，令，則，解得或.
由①②知，以為直徑的圓過和.
（建議用時(shí)：60分鐘）
1．（2022秋·北京·高三北京八十中?？计谀啊笔恰胺匠瘫硎緳E圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】“方程表示橢圓”的充要條件為，即且.
故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)為，，與軸的一個交點(diǎn)為，若，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】在橢圓中，，，.
易知.
又，所以為等邊三角形，
即，所以，即.故選：C.
3．（2022秋·福建南平·高三?？计谥校┰O(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，，則，
因?yàn)?，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取值最大或最小.
由已知得，，，，，.
如上圖，當(dāng)點(diǎn)位于圖中時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系取值最大.
.
如上圖，當(dāng)點(diǎn)位于圖中時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系取值最大.
.
故答案為：.
4．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，若，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
則點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓C的交點(diǎn)，不妨設(shè)和點(diǎn)P在第一象限，如圖
連接，令，則，，．
因?yàn)?，所以，即，得?br>又，所以，將代入，得．故選：A
5．（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于點(diǎn)，（在第一象限），，P為軸上一點(diǎn)，，面積的最大值為1，且直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)
C． D．的面積為
【答案】AD
【解析】如圖，取橢圓的右焦點(diǎn)為，連接
由對稱性可得，
所以，則橢圓C的方程為，
又由題可知，將代入橢圓方程，得，
得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，
因?yàn)槊娣e的最大值為1，所以，得，
則，
當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，，則，，，
故直線NP的方程為，代入橢圓方程，得，
則，
因?yàn)?，所以與MQ不垂直；
又，點(diǎn)Q到直線的距離為，
故的面積為
綜上可知A，D正確，B，C錯誤；故選：AD．
6．（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知，為橢圓左、右頂點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，，的垂直平分線交于，，若，，三點(diǎn)共線，則（ ）
A．
B．的離心率為
C．點(diǎn)到直線的距離為
D．直線，的斜率之積為
【答案】ABD
【解析】由題知，，，，
所以，，的中點(diǎn)為，
所以，的垂直平分線的方程為，
因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以，整理得，
所以，即
所以，，故A選項(xiàng)正確；
所以，即，解得或（舍）
所以，橢圓的離心率為，故B選項(xiàng)正確；
因?yàn)橹本€的方程為，即，
所以，點(diǎn)到直線的距離為，故C選項(xiàng)錯誤；
設(shè)，則，故，
由于，
所以，故D選項(xiàng)正確；故選：ABD
7．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┤魴E圓的中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則這個橢圓的方程為______．
【答案】
【解析】法一：（直接法）橢圓的中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為，
設(shè)橢圓方程為，
由，消去，得，
設(shè)直線與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為，，
則
由題意知，解得．所求橢圓方程為．
法二：（點(diǎn)差法）橢圓的中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為，
設(shè)橢圓的方程為．
設(shè)直線與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為，，
則得，
即，
又弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，故橫坐標(biāo)為-2，
，代入上式得，解得，
故所求的橢圓方程為．
故答案為：
8．（2023秋·江西撫州·高三臨川一中校考期末）已知是橢圓上一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為________.
【答案】
【解析】易得，
則，
即，
故
,
故答案為：.
9．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的動點(diǎn)，的周長為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線AB交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）設(shè)橢圓焦距為2c，根據(jù)橢圓定義可知，
的周長為，離心率
聯(lián)立，解得，，
所以，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)點(diǎn)，又為切點(diǎn)，可知，
所以四點(diǎn)共圓，即在以O(shè)M為直徑的圓上，
則以O(shè)M為直徑的圓的方程為，
又在圓上，
兩式相減得直線AB的方程為，如下圖所示：
設(shè)，，由，
消去y整理后得，
，，
所以
，
又點(diǎn)O到直線PQ的距離，
設(shè)的面積為S，則
，
其中，令，則，
設(shè)，，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得，
于是可得，即的面積的取值范圍為.
10．（2022秋·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切；過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）求面積的最大值，并求取得最大值時(shí)與的面積之比.
【答案】（1）；（2）面積的最大值為；面積之比為.
【解析】（1），，即，
，，
又以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切，
所以，，，
∴橢圓的方程為：；
（2）可設(shè)，，聯(lián)立，
整理得，
由，，，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，
即時(shí)面積的最大值為；
此時(shí)與的面積之比，
則，，，
前式的平方為，除以后式得，，
即，求得，
此時(shí)與的面積之比為.
11．（2023·山東威?！そy(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P為C上任意一點(diǎn)（異于A，B），直線AP，BP分別交直線于M，N兩點(diǎn).
（1）求證：；
（2）設(shè)直線BM交橢圓C于另一點(diǎn)Q，求證：直線PQ恒過定點(diǎn).
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，，，
，即，且，
則直線的方程為，直線的方程為，
分別令，得，，
即，，
則，
則；
（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，
由，消去，整理得：，
則，，
則，，
，
則，
則，
代入化簡得：，則或，
則直線的方程為或，
化為恒過點(diǎn)，不合題意，舍去，
化為恒過點(diǎn)，
則直線PQ恒過定點(diǎn).
12．（2022秋·江西吉安·高三吉安一中校考期中）已知橢圓的一個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)連線的傾斜角為，直線與橢圓相交于和兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，且，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，則，所以，
因?yàn)橹本€與橢圓相交于和兩點(diǎn)，且，
所以將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，得，
聯(lián)立方程組，解得，
所以橢圓的方程為；
（2）設(shè)，
若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，
聯(lián)立方程組，消去得，
則，
又，所以，且，即，則，
因?yàn)椋?br>所以，整理得，
則，且恒成立，
所以，
又，且，所以，即；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，又，解得，
所以
綜上，的取值范圍為.

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