1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
熱點(diǎn)5-2 平面向量數(shù)量積及應(yīng)用6大題型
平面向量屬于高考的必考內(nèi)容，主要以客觀題的形式出現(xiàn)，也與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等。本部分考題綜合性較強(qiáng)，強(qiáng)調(diào)模、數(shù)量積、坐標(biāo)運(yùn)算等向量固有的知識，對向量幾何模的研究比較透徹。考生在復(fù)習(xí)過程中，要重點(diǎn)理解向量數(shù)量積的含義，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示，能靈活運(yùn)用定義法、坐標(biāo)法、基底法解決常見的數(shù)量積問題。
一、求向量數(shù)量積的3種常規(guī)方法
1、定義法求平面向量的數(shù)量積
（1）方法依據(jù)：，其中是兩個(gè)向量，的夾角；
（2）適用范圍：已知或可求兩個(gè)向量的模和夾角。
2、基底法求平面向量的數(shù)量積
（1）方法依據(jù)：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個(gè)向量分別用這組基底表示出來，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求解；
（2）適用范圍：直接利用定義求數(shù)量積不可行時(shí)，可將已知模和夾角的兩個(gè)不共線的向量作為基底，采用“基底法”求解。
3、坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積
（1）方法依據(jù)：，，則
（2）適用范圍： = 1 \* GB3 ①已知或可求兩個(gè)向量的坐標(biāo)； = 2 \* GB3 ②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積，例如已知圖形為矩形、正方形、直角梯形、等邊三角形、等腰三角形或直角三角形時(shí)。
二、解決向量投影問題應(yīng)注意以下3點(diǎn)
1、向量在方向上的投影向量為（其中為與同向的單位向量），它是一個(gè)向量且與共線，其方向由與的夾角的余弦決定；
2、向量在方向上的投影向量為；
3、注意：在方向上的投影向量與在方向上的投影向量不同，即在方向上的投影向量可以表示為
三、求向量的?；蚱浞秶姆椒?br>1、定義法：，；
2、坐標(biāo)法：設(shè)，則；
3、幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用解三角形的相關(guān)知識求解。
【注意】（1）形如的向量的模，可通過平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量的運(yùn)算；
（2）用定義法或坐標(biāo)法求模的范圍時(shí)，一般把它表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再利用函數(shù)的有關(guān)知識求解；用幾何法求模的范圍時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合思想，常用三角不等式進(jìn)行最值求解。
【題型1 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算】
【例1】（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知，，，則（ ）
A． B． C．8 D．16
【答案】A
【解析】由已知，又，
，
或（舍去，）
，故選：A.
【變式1-1】（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)，使得，則的值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】是邊長為1的等邊三角形,設(shè),分別是邊,的中點(diǎn),
連接并延長到點(diǎn)，使得,如圖,
則，，
則
，故選：B.
【變式1-2】（2023春·四川廣安·高三校考開學(xué)考試）如圖，在邊長為4的等邊中，點(diǎn)為中線的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．– 3
【答案】C
【解析】由已知，，，，
所以.
由已知是的中點(diǎn)，所以，
，.
所以，
，
所以，
.故選：C.
【變式1-3】（2023秋·山東煙臺·高三統(tǒng)考期末）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知，為弧上的點(diǎn)且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，垂直于方向?yàn)椋⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，
因?yàn)椋?所以，即，
且所以，
所以，故選:C.
【變式1-4】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，向量滿足 則 __________
【答案】0
【解析】因?yàn)?，所以?br>所以，所以.
【變式1-5】（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在四邊形ABCD中，，，，，點(diǎn)E在線段CB的延長線上，且，則______.
【答案】1
【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?，?br>則，
又則，
因?yàn)?，所以?br>所以直線的斜率為，
其方程為，直線的斜率為，其方程為,
由得，，所以,
由，，
所以.
【題型2 平面向量的投影及投影向量】
【例2】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，的夾角為，，，則向量在向量方向上的投影為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】向量在向量方向上的投影為，
，，
則向量在向量方向上的投影為，故選：D.
【變式2-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）平面上有兩個(gè)非零向量和，則“在方向上投影大于0”是“”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．既不充分也不必要條件 D．充要條件
【答案】A
【解析】若在方向上投影大于0，則有，而不一定成立；
若，則，所以在方向上投影大于0；
所以“在方向上投影大于0”是“”的必要不充分條件.故選：A.
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為，則在方向上的投影為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
當(dāng)時(shí)，，解得：；
若，不合題意，；
當(dāng)時(shí)，，解得：（舍）；
綜上所述：，，
在方向上的投影為.故選：C.
【變式2-3】（2023·甘肅蘭州·校考一模）已知向量滿足，，，則向量在向量上的投影為______．
【答案】－1
【解析】∵向量滿足，，，
∴，
∴，，
∴向量在向量上的投影為.
【變式2-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量、滿足，，則在方向上的數(shù)量投影的最小值是______.
【答案】2
【解析】因?yàn)樵诜较蛏系臄?shù)量投影為，
所以當(dāng)最小時(shí)，數(shù)量投影取得最小值.
設(shè)，則.
因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，有最小值6.
所以，在方向上的數(shù)量投影的最小值是.
【題型3 平面向量的夾角問題】
【例3】（2023春·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知向量，滿足，，則向量，的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
即，則，，.故選：C.
【變式3-1】（2022秋·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若兩個(gè)向量、的夾角是，是單位向量，，，則向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意，
又由，所以，
所以，
設(shè)向量與的夾角為，其中，
則，可得.故選：D.
【變式3-2】（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考期末）已知平面向量滿足，則向量與向量的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，
向量與向量的夾角為.故選：D.
【變式3-3】（2021秋·河南南陽·高三南陽中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是______．
【答案】
【解析】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，
所以，
當(dāng)與的夾角為平角時(shí)，則有，
則有，
因?yàn)?，所以?br>所以x的取值范圍是.
【變式3-4】（2023春·廣東韶關(guān)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知單位向量，，若對任意實(shí)數(shù)，恒成立，則向量，的夾角的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，是單位向量，由得：，
依題意，不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，則，
解得，而，則，
又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，
所以向量，的夾角的取值范圍為.故選：B
【變式3-5】（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知向量，的夾角為60°，，，則與向量的夾角為銳角的向量有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由已知各選項(xiàng)中向量與向量不平行，
，，
，
，
，
只有BC選項(xiàng)符合題意．故選：BC．
【題型4 平面向量的模長問題】
【例4】（2023秋·山東煙臺·高三山東省煙臺第一中學(xué)校考期末）若平面向量與的夾角為，，，則等于（ ）．
A． B． C．4 D．12
【答案】B
【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角為，，，
所以，，
所以.故選：B.
【變式4-1】（2022秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)平面向量，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以，即，解得?br>即，則，所以.故選：B.
【變式4-2】（2021秋·上海浦東新·高三校考階段練習(xí)）已知、是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，， 有，得，
，
即，當(dāng)，即與同向時(shí)，
的最大值是.故選：C.
【變式4-3】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考開學(xué)考試）已知平面向量滿足，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可知，，故，
如圖建立坐標(biāo)系，，，
設(shè)，由可得：
，
所以的終點(diǎn)在以為圓心,1為半徑的圓上，
所以，幾何意義為到距離的2倍，
由兒何意義可知，故選：D.
【變式4-4】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在平面內(nèi)一點(diǎn)，作，，，則，則，
因?yàn)?，則，故為等腰直角三角形，則，
取的中點(diǎn)，則，
所以，，所以，，
因?yàn)椋?br>所以，，則，
所以，.
當(dāng)且僅當(dāng)、同向時(shí)，等號成立，故的最大值為.故選：B.
【題型5 平面向量的垂直問題】
【例5】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知、是夾角為120°的兩個(gè)單位向量，向量，若，則實(shí)數(shù)______．
【答案】
【解析】因?yàn)?且,
所以，解得
【變式5-1】（2022春·安徽滁州·高三校考階段練習(xí)）已知向量、是夾角為的兩個(gè)單位向量，向量與向量垂直，則實(shí)數(shù) ______ ．
【答案】
【解析】向量、是夾角為的兩個(gè)單位向量，
，.
向量與向量垂直，
，
，解得．
【變式5-2】（2023秋·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則t的值為______．
【答案】
【解析】因?yàn)橄蛄?，，所以，?br>又因?yàn)?，所以?br>即，解得.
【變式5-3】（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考期中）已知向量，，若，則的值為___________.
【答案】
【解析】因?yàn)橄蛄?，?br>所以，，
又因?yàn)椋?br>所以，即，解得，
所以的值為.
【題型6 數(shù)量積的最值范圍問題】
【例6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足，則的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
，，，，
，
設(shè)，，則，，
可得，，
，
，當(dāng)時(shí)，取得最大值5．故選：D．
【變式6-1】（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)A，B在圓上，且，P為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A，B在圓上，且，P為圓上任意一點(diǎn)，
則，設(shè)，，
所以，
所以，
即的最小值為故選：D.
【變式6-2】（2023秋·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理得，
即，解得，
取BC的中點(diǎn)O，連接AO，則.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為軸，OA為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.
所以，，，
設(shè)，所以，
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立，
即的最小值是.故選：C.
【變式6-3】（2023春·安徽阜陽·高三阜陽市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正八邊形的邊長為2，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則的最大值為______.
【答案】
【解析】如圖：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
即是求正八邊形邊上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離，顯然當(dāng)P點(diǎn)與E或F點(diǎn)重合時(shí)最大，
連接AF，過H，G分別作AF的垂線，垂足為N，M，
則 和 都是等腰直角三角形，
，在 中， 為鈍角，
，顯然E和F點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，
【變式6-4】（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）已知P是半徑為1圓心角為的一段圓弧AB上的一點(diǎn)，若，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，，過點(diǎn)作，垂足為，
因?yàn)椋?，所以，又?br>所以，在中，因?yàn)?，所以?br>，則，所以，設(shè)，
則
，又，所以，則，
即的取值范圍是
（建議用時(shí)：60分鐘）
1．（2023春·河南洛陽·高三洛陽市第八中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知向量，，，若，則（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
【答案】D
【解析】因?yàn)橄蛄浚?，所以?br>因?yàn)椋?，可得，故選：D．
2．（2023秋·浙江杭州·高三期末）已知非零向量的夾角的余弦值為，且，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由得.
∴，令，∴，
解得或（舍去）.故選：A.
3．（2022秋·山東威海·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量，滿足，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，
兩邊平方得，
所以.故選：A
4．（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）若非零向量，滿足，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，以?br>又，，所以，，
設(shè)與的夾角為，則，
因?yàn)椋?，即與的夾角為.故選：D.
5．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知的外接圓圓心為O，且，，則（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由知是邊中點(diǎn)，
因?yàn)槭恰鞯耐饨訄A圓心，所以△為直角三角形，
且，因?yàn)?，所以△為等邊三角形?br>所以，，
所以，故選：C.
6．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知非零向量，滿足，，若與的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，，
∴，
∴，解得.故選：B
7．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）在中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，D為BC的中點(diǎn)，滿足，，則（ ）．
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，，則．
由題意得，
同理．
因?yàn)?，所以，整理得?br>即，解得．故選:D
8．（2023春·江蘇常州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知兩個(gè)單位向量滿足，則與的夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以?br>即，所以，故選：.
9．（2022秋·河北邯鄲·高三大名縣第一中學(xué)?？计谀┮阎矫嫦蛄繚M足，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意，
∴，，
解得：∴在上的投影向量為：故選：B.
10．（2019秋·北京·高三101中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是半圓的直徑，、是弧的三等分點(diǎn)，、是線段的三等分點(diǎn)，若，則的值是（ ）
A．2 B．5 C．26 D．29
【答案】C
【解析】連接，，如圖所示：
∵、是弧的三等分點(diǎn)，
∴，
∵、是線段的三等分點(diǎn)，，
∴，．
∵，，
∴
，故選：C．
11．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）設(shè)向量，滿足，，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，?br>以上兩式相減可得，，
所以，即，故選：D.
12．（2023·全國·唐山市第十一中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖,在平行四邊形中,,是邊的中點(diǎn),是上靠近的三等分點(diǎn),若,則（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】A
【解析】由題知,所以,
記,因?yàn)榍覟槠叫兴倪呅?
所以
,
解得:(舍)或.故選:A
13．（2023春·山西忻州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知平面向量，滿足，，的夾角為，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，，的夾角為，
所以，
不妨設(shè)，，，則，，
則，解得或，
設(shè)，由得在以為圓心，1為半徑的圓上，
或
所以的最小值為,故選：C
14．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知平面非零向量滿足，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】設(shè)非零向量，的夾角為.
，所以，
由兩邊平方得：，
，
，即，
即，
，，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為8.故選：C．
15．（2023秋·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，，，其中，，且與的夾角為45°，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意，因?yàn)椋?，且與的夾角為45°，
建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：
所以設(shè)，，則，
因?yàn)椋?br>所以，
所以
整理得：，
由此可知，的終點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上，
因?yàn)椋?br>其幾何意義代表點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
又因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離為：，
所以的最大值為：.故選：C.
16．（2023·江西上饒·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量、滿足，與的夾角為，若存在實(shí)數(shù)，有解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】對不等式兩邊同時(shí)平方，
得，即，
因?yàn)?，所以?br>整理得有解，
所以得，解得，
又因?yàn)?，所以，故選:C.
17．（2023秋·浙江·高三期末）已知向量，則在方向上的投影向量是______．
【答案】
【解析】因?yàn)?
則在方向上的投影向量是:
18．（2022秋·四川攀枝花·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）平面向量，滿足，，，則與的夾角為______．
【答案】
【解析】設(shè)與的夾角為，
由，得.
因?yàn)?，，所以?br>即，解得，
因?yàn)?，所?
19．（2023春·甘肅蘭州·高三校考開學(xué)考試）已知，，，則向量與向量的夾角為______．
【答案】
【解析】由，得，而，，
因此，即有，
則，而，于是得，
所以向量與向量的夾角為.
20．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)校考期末）已知向量，，，滿足，，，，若，則的最小值為______.
【答案】
【解析】設(shè)，則，所以，
，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，，即：
所以，
所以的最小值為

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