?熱點(diǎn)10 概率與統(tǒng)計(jì)



從新高考考查情況來看，統(tǒng)計(jì)類：統(tǒng)計(jì)分析、變量的相關(guān)關(guān)系，獨(dú)立性檢驗(yàn)、用樣本估計(jì)總體及其特征的思想；概率類：常以實(shí)際問題為背景，考查離散型隨機(jī)變量的分布列，均值與方差、正態(tài)分布等，主要命題點(diǎn)有：（1）相互獨(dú)立事件的概率、條件概率，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；（2）二項(xiàng)分布的概念、特征和相關(guān)計(jì)算，主要以解答題的形式呈現(xiàn)，解題時(shí)要熟悉相關(guān)公式的應(yīng)用．查考生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．

1、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)主要有三方面的作用：（1）利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；（2）利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.
2、求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：
（1）理解X的意義，寫出X可能取的全部值；（2）求X取每個(gè)值的概率；（3）寫出X的分布列.
3、（1）與排列、組合有關(guān)分布列的求法．可由排列、組合、概率知識(shí)求出概率，再求出分布列．
（2）與頻率分布直方圖有關(guān)分布列的求法．可由頻率估計(jì)概率，再求出分布列．
（3）與互斥事件有關(guān)分布列的求法．弄清互斥事件的關(guān)系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．
（4）與獨(dú)立事件(或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))有關(guān)分布列的求法．先弄清獨(dú)立事件的關(guān)系，求出各個(gè)概率，再列出分布列．
4、求解離散型隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí)，只要在求解分布列的前提下，根據(jù)均值、方差的定義求即可.
1）E(aX+b)= aE(X)+b.(a,b為常數(shù))?； 2）D(aX+b)= a2D(X).(a,b為常數(shù))?；
3）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)= p，D(X)= p(1-p).；4）若X~B(n,p),則E(X)= np，D(X)= np(1-p).。

新高考統(tǒng)計(jì)主要考查統(tǒng)計(jì)分析、變量的相關(guān)關(guān)系，獨(dú)立性檢驗(yàn)、用樣本估計(jì)總體及其特征的思想，以排列組合為工具，考查對(duì)五個(gè)概率事件的判斷識(shí)別及其概率的計(jì)算。
試題考查特點(diǎn)是以實(shí)際應(yīng)用問題為載體，小題部分主要是考查排列組合與古典概型，解答題部分主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、超幾何分布、離散型分布以及正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望以及方差。概率的應(yīng)用立意高，情境新，賦予時(shí)代氣息，貼近學(xué)生的實(shí)際生活。取代了傳統(tǒng)意義上的應(yīng)用題，成為新高考中的亮點(diǎn)。解答題中概率與統(tǒng)計(jì)的交匯是近幾年考查的熱點(diǎn)趨勢(shì)，應(yīng)該引起關(guān)注。


A卷（建議用時(shí)80分鐘）
一、單選題
1．（2021·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)據(jù)組，如果由線性回歸方程得到的對(duì)應(yīng)于自變量的估計(jì)值是，那么將稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差．某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量（噸）與所需某種原材料噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集4組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：

3
4
5
6

2.5
3
4

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關(guān)于的線性回歸方程為，據(jù)此計(jì)算出樣本點(diǎn)處的殘差為－0.15，則表中的值為（ ）
A．3.3 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】B
【分析】由稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，得，，
線性方程過樣本中心點(diǎn)（，），求出 .
【詳解】由題意可知，在樣本（4，3）處的殘差－0.15，則，即，
解得，即，又，且線性方程過樣本中心點(diǎn)（，），
則，則，解得.故答案為：B
【點(diǎn)睛】理解殘差的定義，實(shí)際值減去估計(jì)值；線性方程過樣本中心（，）；要求對(duì)基本知識(shí)點(diǎn)比較熟練，計(jì)算才準(zhǔn)確.
2．（2022·廣東省·高三專題練習(xí)）近年來，隨著消費(fèi)者習(xí)慣的變化，吸引了更多的資本進(jìn)入生鮮電商領(lǐng)域，下表統(tǒng)計(jì)了2013~2020年中國生鮮電商交易規(guī)模增長情況與滲透率增長情況，據(jù)此判斷，下列說法不正確的是（ ）

A．2019年中國生鮮電商交易規(guī)模較2018年同比增長31.00%，同比增速較2018年進(jìn)一步下滑
B．2020年生鮮電商交易規(guī)模同比增長的增速迎來回升
C．2013-2020年中國生鮮電商滲透率同比增長逐年上升
D．可能受疫情催化的影響，2020年中國生鮮電商滲透率增速加快
【答案】C
【分析】根據(jù)圖像分析2013~2020年中國生鮮電商交易規(guī)模增長情況與滲透率增長情況，從而判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤.
【詳解】解：對(duì)于A，由圖知：2019年中國生鮮電商交易規(guī)模較2018年同比增長31.00%，
2018年中國生鮮電商交易規(guī)模較2017年同比增長39.01%，故A正確；
對(duì)于B，2020年、2019年生鮮電商交易規(guī)模同比增長分別為42.54%、31.00%，故B正確；
對(duì)于C，2014-2015年，2019-2020年中國生鮮電商滲透率同比增長上升，
2015-2019年中國生鮮電商滲透率同比增長下降，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，2019、2020年，中國生鮮電商滲透率增速依次為22.89%、63.38%，故增速加快，D正確 選：C.
3．（2021·山東·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)兩個(gè)變量y和x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：，，…，，則下列說法中不正確的是（　?。?br /> A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程必過樣本中心
B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好
C．用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好
D．若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r＝-0.9362，則變量y和x之間具有線性相關(guān)關(guān)系
【答案】C
【分析】理解回歸分析中樣本中心、殘差、相關(guān)指數(shù)R2、相關(guān)系數(shù)的含義，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】A：樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，正確；B：殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，正確，
C：R2越大擬合效果越好，不正確，D：當(dāng)?shù)闹荡笥?.8時(shí)，表示兩個(gè)變量具有高度線性相關(guān)關(guān)系，正確.
故選：C.
4．（2021·遼寧丹東·高三期中）高三（1）班男女同學(xué)人數(shù)之比為，班級(jí)所有同學(xué)進(jìn)行踢毽球（毽子）比賽，比賽規(guī)則是：每個(gè)同學(xué)用腳踢起毽球，落地前用腳接住并踢起，腳接不到毽球比賽結(jié)束.記錄每個(gè)同學(xué)用腳踢起毽球開始到毽球落地，腳踢到毽球的次數(shù)，已知男同學(xué)用腳踢到毽球次數(shù)的平均數(shù)為，方差為，女同學(xué)用腳踢到毽球次數(shù)的平均數(shù)為，方差為，那么全班同學(xué)用腳踢到毽球次數(shù)的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】設(shè)男同學(xué)為人，女同學(xué)為人，根據(jù)平均數(shù)公式及方差公式計(jì)算可得；
【詳解】解：設(shè)男同學(xué)為人，女同學(xué)為人，則全班的平均數(shù)為，
設(shè)男同學(xué)為，，，，女同學(xué)為，，，，則，所以男同學(xué)的方差①，女同學(xué)的方差②；由①可得，即，由②可得，即，所以全班同學(xué)的方差為
即
故選：D
5．（2021·天津市武清區(qū)大良中學(xué)高三期中）天津中學(xué)為了調(diào)查該校學(xué)生對(duì)于新冠肺炎防控的了解情況，組織了一次新冠肺炎防控知識(shí)競賽，并從該學(xué)校1500名參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了這100名學(xué)生成績情況（滿分100分，其中80分及以上為優(yōu)秀），得到了樣本頻率分布直方圖（如圖），根據(jù)頻率分布直方圖推測(cè)，這1500名學(xué)生中競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約為（ ）

A．120 B．360 C．420 D．480
【答案】C
【分析】可得樣本中優(yōu)秀的頻率為0.28，即可求出優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù).
【詳解】由頻率分布直方圖可得樣本中優(yōu)秀的頻率為，
則這1500名學(xué)生中競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約為.故選：C.
6．（2021·重慶市長壽中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）甲乙兩個(gè)兩位同學(xué)同時(shí)看了天氣預(yù)報(bào)，甲說明天下雨的概率是80%，乙說如果明天下雨則后天下雨的概率是40%，如果甲乙說的都是對(duì)的，那么明天和后天都會(huì)下雨的概率是（ ）
A．50% B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)條件概率的概率公式計(jì)算可得；
【詳解】解：記明天下雨為事件，后天下雨為事件，依題意可得，，所以故選：C
7．（2021·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）為了了解某類工程的工期，某公司隨機(jī)選取了個(gè)這類工程，得到如下數(shù)據(jù)（單位：天）：，，，，，，，，，．若該類工程的工期（其中和分別為樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差），由于疫情需要，要求在天之內(nèi)完成一項(xiàng)此類工程，估計(jì)能夠在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成該工程的概率約為（ ）
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，再利用正態(tài)分布的性質(zhì)求解.
【詳解】由題得，
，所以.
所以
所以.故選：A
8．（2021·江蘇鹽城·一模）某詞匯研究機(jī)構(gòu)為對(duì)某城市人們使用流行語的情況進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)得下方的列聯(lián)表.則根據(jù)列聯(lián)表可知（ ）


年輕人
非年輕人
總計(jì)
經(jīng)常用流行語
125
25
150
不常用流行用語
35
15
50
總計(jì)
160
40
200
參考公式：獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中 .
下面的臨界值表供參考：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．有95%的把握認(rèn)為“經(jīng)常用流行用語”與“年輕人”有關(guān)系
B．沒有95%的把握認(rèn)為“經(jīng)常用流行用語”與“年輕人”有關(guān)系
C．有97.5%的把握認(rèn)為“經(jīng)常用流行用語”與“年輕人”有關(guān)系
D．有97.5%的把握認(rèn)為“經(jīng)常用流行用語”與“年輕人”沒有關(guān)系
【答案】A
【分析】根據(jù)列聯(lián)表求出觀測(cè)值，對(duì)照臨界值表，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想即可求解.
【詳解】，
根據(jù)臨界值知有95%的把握認(rèn)為經(jīng)常用流行語與年輕人有關(guān)系，故選：A
9．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）清明節(jié)前夕，某校團(tuán)委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時(shí)代英雄”主題演講比賽，經(jīng)過初賽，共有10人進(jìn)入決賽，其中高一年級(jí)3人，高二年級(jí)3人，高三年級(jí)4人，現(xiàn)采用抽簽方式?jīng)Q定演講順序，則在高二年級(jí)3人相鄰的前提下，高一年級(jí)3人不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】基本事件總數(shù)，其中高一3人不相鄰包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出高一年級(jí)3人不相鄰的概率．
【詳解】解：共有10人進(jìn)入決賽，其中高一年級(jí)3人，高二年級(jí)3人，高三年級(jí)4人，
采用抽簽方式?jīng)Q定演講順序，高二年級(jí)3人相鄰，基本事件總數(shù)，
其中高一3人不相鄰包含的基本事件個(gè)數(shù)，
高一年級(jí)3人不相鄰的概率．故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：排列組合中“相鄰問題”用捆綁法解決，“不相鄰問題”用插空法解決.
10．（2021·江蘇淮安·二模）如圖，某系統(tǒng)使用，，三種不同的元件連接而成，每個(gè)元件是否正常工作互不影響．當(dāng)元件正常工作且，中至少有一個(gè)正常工作時(shí)系統(tǒng)即可正常工作．若元件，，正常工作的概率分別為0.7，0.9，0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為（ ）

A．0.196 B．0.504 C．0.686 D．0.994
【答案】C
【分析】由題意分析，列舉出系統(tǒng)能正常工作的基本事件，應(yīng)用概率的加法公式求概率即可.
【詳解】由題意知：系統(tǒng)能正常工作的基本事件有{A、B和C正常工作，A、B正常工作而C不正常工作，A、C正常工作而B不正常工作}，∴A、B和C正常工作的概率為：；
A、B正常工作而C不正常工作的概率為；
A、C正常工作而B不正常工作的概率為；
∴系統(tǒng)正常工作的概率.故選：C.
11．（2021·山東聊城·三模）在某次脫貧攻堅(jiān)表彰會(huì)上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性，現(xiàn)從中隨機(jī)選出2人作為代表上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，若選出的兩人性別相同的概率為，則受表彰人員中男性人數(shù)為（ ）
A．15 B．18 C．21 D．15或21
【答案】C
【分析】首先根據(jù)總?cè)藬?shù)分別設(shè)出男性人數(shù)與女性人數(shù)，然后根據(jù)古典概型列出概率表達(dá)式，解方程即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)男性有人，則女性有人∵男性多于女性，∴，即
∵選出的兩人性別相同的概率為∴，即
∴或（舍）所以男性有21人故選：C.
二、多選題
12．（2021·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知由樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合，求得的回歸直線方程為，且，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和誤差較大，去除后重新求得的回歸直線的斜率為1.2，則下列各選項(xiàng)正確的是（ ）
A．變量與具有正相關(guān)關(guān)系 B．去除后的估計(jì)值增加速度變快
C．去除后的方程為 D．去除后相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差平方為0.0625
【答案】AC
【分析】重新求解的回歸方程的斜率大于0，故具有正相關(guān)關(guān)系；且，所以去除后的估計(jì)值增加速度變慢；根據(jù)線性回歸方程一定過樣本中心點(diǎn)求解去除后重新求得的回歸直線；利用新的線性回歸方程求解殘差平方.
【詳解】因?yàn)橹匦虑蟮玫幕貧w方程的斜率為1.2，故變量與具有正相關(guān)關(guān)系，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以去除后的估?jì)值增加速度變慢，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；將代入回歸直線方程，解得，則樣本中心為，去掉兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和后，樣本中心還是，又去除后重新求得的回歸直線的斜率為1.2，所以，解得，所以去除后的回歸方程為，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)椋?，則殘差的平方為0.0025，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：AC
13．（2021·河北邯鄲·高三期末）2021年7月1日是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某單位為了慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，組織了學(xué)黨史、強(qiáng)信念、跟黨走系列活動(dòng)，對(duì)本單位200名黨員同志進(jìn)行黨史測(cè)試并進(jìn)行評(píng)分，將得到的分?jǐn)?shù)分成6組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.下列說法正確的是（ ）

A． B．得分在的人數(shù)為4人
C．200名黨員員工測(cè)試分?jǐn)?shù)的眾數(shù)約為87.5 D．據(jù)此可以估計(jì)200名黨員員工測(cè)試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為85
【答案】ACD
【分析】A：根據(jù)頻率分布直方圖小矩形面積表示頻率，總頻率為1進(jìn)行計(jì)算；
B：算出得分在之間的頻率，用該頻率乘以200即可；
C：頻率分布直方圖眾數(shù)為最高的矩形的中間值；
D：根據(jù)中位數(shù)左右兩邊的矩形面積面積均為0.5進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】，得，A正確；
得分在的人數(shù)為，B錯(cuò)誤；
200名黨員員工測(cè)試分?jǐn)?shù)的眾數(shù)約為87.5，C正確；
∵(0.025+0.035+0.040)×5=0.1×5=0.5，所以估計(jì)200名黨員員工測(cè)試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為85，D正確．
14．（2021·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）“一帶一路”（，縮寫）是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱，2013年9月和10月由中國國家主席習(xí)近平分別提出建設(shè)“新絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的合作倡議.依靠中國與有關(guān)國家既有的雙多邊機(jī)制，借助既有的?行之有效的區(qū)域合作平臺(tái)，積極發(fā)展與沿線國家的經(jīng)濟(jì)合作伙伴關(guān)系，共同打造政治互信?經(jīng)濟(jì)融合?文化包容的利益共同體?命運(yùn)共同體和責(zé)任共同體.2017年3月，由國家信息中心“一帶一路”大數(shù)據(jù)中心等編寫的《“一帶一路”貿(mào)易合作大數(shù)據(jù)報(bào)告（2017）》發(fā)布，呈現(xiàn)了我國與一帶一路沿線國家的貿(mào)易成果現(xiàn)狀報(bào)告.注：貿(mào)易總額=貿(mào)易進(jìn)口額+貿(mào)易出口額，貿(mào)易順差額=貿(mào)易出口額-貿(mào)易進(jìn)口額由數(shù)據(jù)分析可知，在2011到2016這六年中（ ）

A．中國與沿線國家貿(mào)易總額逐年遞增 B．2014年中國與沿線國家貿(mào)易出口額最大
C．中國與沿線國家貿(mào)易順差額逐年遞增 D．2016年中國與沿線國家貿(mào)易順差額首次下降
【答案】BD
【分析】由所給數(shù)據(jù)直接判斷B，根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)算各年的貿(mào)易總額和貿(mào)易順差額后判斷ACD．
【詳解】由所給數(shù)據(jù)，B正確；又2011至2016年的貿(mào)易總額依次為（單位：億美元）：8941.1，9598.4，10405，11204，10029.2，9535.9貿(mào)易順差額依次為：142.9，428.6，976.8，1536.8，2262.4，2213.7，
所以AC錯(cuò)，D正確．故選：BD．
15．（2021·廣東·普寧市華僑中學(xué)高三期中）甲、乙兩名高中同學(xué)歷次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(百分制)分別服從正態(tài)分布，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，

則下列說法中正確的是（ ）
附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則.
A．乙同學(xué)的平均成績優(yōu)于甲同學(xué)的平均成績 B．甲同學(xué)的平均成績優(yōu)于乙同學(xué)的平均成績
C．甲同學(xué)的成績比乙同學(xué)成績更集中于平均值附近 D．若，則甲同學(xué)成績高于80分的概率約為0.1587
【答案】ACD
【分析】用正態(tài)分布曲線與參數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的意義、正態(tài)曲線的對(duì)稱性，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．
【詳解】解：由圖象可知，甲的圖象關(guān)于對(duì)稱，乙的圖象關(guān)于對(duì)稱，
所以甲同學(xué)的平均成績?yōu)?5分，乙同學(xué)的平均成績?yōu)?5分，故選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；
因?yàn)榧椎膱D象比乙的圖象更“高瘦”，所以甲的成績比乙的成績更集中于平均值左右，
則甲同學(xué)成績的方差比乙同學(xué)成績的方差小，故選項(xiàng)C正確；
若，則甲同學(xué)成績高于80分的概率約為，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．
三、填空題
16．（2021·浙江省杭州第二中學(xué)高三期中）口袋里有大小相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黃球，現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，則____；_______.
【答案】
【分析】根據(jù)超幾何分布，求出的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，求期望、方差即可.
【詳解】取得紅球數(shù)為可能為0,1,2，則，,
,所以，
.故答案為：；
17．（2021·北京·清華附中模擬預(yù)測(cè)）下圖是國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2020年2月至2021年2月全國居民消費(fèi)價(jià)格漲跌幅折線圖．

說明：（1）在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，同比是指本期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與上一年同期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相比較，例如2021年2月與2020年2月相比較：環(huán)比是指本期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與上期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相比較，例如2020年4月與2020年3月相比較．
（2）同比增長率環(huán)比增長率．
給出下列四個(gè)結(jié)論：①2020年11月居民消費(fèi)價(jià)格低于2019年同期；
②2020年3月至7月居民的消費(fèi)價(jià)格持續(xù)增長；③2020年3月的消費(fèi)價(jià)格低于2020年4月的消費(fèi)價(jià)格；
④2020年7月的消費(fèi)價(jià)格低于2020年3月的消費(fèi)價(jià)格．其中所正確結(jié)論的序號(hào)是____________．
【答案】①④
【分析】根據(jù)國居民消費(fèi)價(jià)格漲跌幅折線圖，結(jié)合題中說明和計(jì)算公式逐一判斷即可.
【詳解】①：由國居民消費(fèi)價(jià)格漲跌幅折線圖可知：同比增長率為，由題中說明所給同比增長率定義可知：2020年11月居民消費(fèi)價(jià)格低于2019年同期，故本結(jié)論正確；
②：由國居民消費(fèi)價(jià)格漲跌幅折線圖可知：2020年3月至6月環(huán)比增長率為負(fù)值，由題中所給的環(huán)比增長率定義可知：2020年3月至6月居民的消費(fèi)價(jià)格持續(xù)下降，所以本結(jié)論不正確；
③：設(shè)2020年3月的消費(fèi)價(jià)格為，2020年4月的消費(fèi)價(jià)格為，
根據(jù)題中所給的環(huán)比增長率公式可得：，
所以，因此本結(jié)論不正確；
④：設(shè)2020年5月的消費(fèi)價(jià)格為，2020年6月的消費(fèi)價(jià)格為，2020年7月的消費(fèi)價(jià)格為，
根據(jù)題中所給的環(huán)比增長率公式可得：
，，
，所以，因此本結(jié)論正確；故答案為：①④
【點(diǎn)睛】理解同比增長率、環(huán)比增長率的定義，運(yùn)用同比增長率、環(huán)比增長率的公式進(jìn)行解題是關(guān)鍵.
18．（2022·重慶·高三專題練習(xí)）2020年，全球展開了某疫苗研發(fā)競賽，我為處于領(lǐng)先地位，為了研究疫苗的有效率，在某地進(jìn)行臨床試驗(yàn)，對(duì)符合一定條件的10000名試驗(yàn)者注射了該疫苗，一周后有20人感染，為了驗(yàn)證疫苗的有效率，同期，從相同條件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5組，各組感染人數(shù)如下：
調(diào)查人數(shù)
300
400
500
600
700
感染人數(shù)
3
3
6
6
7
并求得與的回歸方程為，同期，在人數(shù)為10000的條件下，以擬合結(jié)果估算未注射疫苗的人群中感染人數(shù)，記為；注射疫苗后仍被感染的人數(shù)記為，則估計(jì)該疫苗的有效率為__________． （疫苗的有效率為；參考數(shù)據(jù)：；結(jié)果保留3位有效數(shù)字）
【答案】
【分析】先求出線性回歸方程中的值，從而可求，再根據(jù)題設(shè)中的計(jì)算方法可求疫苗的有效率.
【詳解】由題設(shè)表格中的數(shù)據(jù)可得，故，
故，而，
故疫苗有效率為，故答案為：.
19．（2022·河北·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有，兩隊(duì)參加關(guān)于“十九大”的知識(shí)問答競賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)者為本隊(duì)贏1分，答錯(cuò)得0分.隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，隊(duì)中每人答對(duì)的概率分別為，，，且各答題人答題正確與否之間互無影響.若事件表示“隊(duì)得2分”，事件表示“隊(duì)得1分”，則___________.
【答案】
【分析】事件表示“隊(duì)得2分”，事件表示 “隊(duì)得1分”，由次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生次概率計(jì)算公式求出，再由獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出，由此利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出.
【詳解】解：“隊(duì)得2分”為事件，即隊(duì)三人中有一人答錯(cuò)，其余兩人答對(duì)，.
“隊(duì)得1分”為事件，即隊(duì)三人中有兩人答錯(cuò)，剩余一人答對(duì)，
.
表示“隊(duì)得2分，隊(duì)得1分”，即事件，同時(shí)發(fā)生，則.
故答案為：
四、解答題
20．（2021·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）某種項(xiàng)目的射擊比賽，開始時(shí)選手在距離目標(biāo)處射擊，若命中則記3分，且停止射擊．若第一次射擊未命中，可以進(jìn)行第二次射擊，但需在距離目標(biāo)處，這時(shí)命中目標(biāo)記2分，且停止射擊．若第二次仍未命中，還可以進(jìn)行第三次射擊，此時(shí)需在距離目標(biāo)處，若第三次命中則記1分，并停止射擊．若三次都未命中則記0分，并停止射擊．已知選手甲的命中率與目標(biāo)的距離的平方成反比，他在處擊中目標(biāo)的概率為，且各次射擊都相互獨(dú)立．
（1）求選手甲在射擊中得0分的概率；（2）設(shè)選手甲在比賽中的得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）（2）分布列見解析，
【分析】（1）先由在100m處擊中目標(biāo)的概率為求出，進(jìn)而求出，，再利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率進(jìn)行求解；（2）先寫出的可能取值，求出每個(gè)變量的概率，列表得到分布列，再利用期望公式進(jìn)行求解.
（1）解：記選手甲第一、二、三次射擊命中目標(biāo)分別為
事件、、，三次都沒有擊中目標(biāo)為事件，則．
設(shè)選手甲在m處擊中目標(biāo)的概率為，則．
由m時(shí)，得，所以，，所以，．
由于各次射擊都是相互獨(dú)立的，所以選手甲在射擊中得0分的概率為．
（2）解：由題設(shè)知，的可能取值為0，1，2，3．
，，，．
則的分布列為

0
1
2
3





所以數(shù)學(xué)期望為．
21．（2021·山東濰坊·三模）第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日至2月20日在中國舉行，其中冰壺比賽項(xiàng)目是本屆奧運(yùn)會(huì)的正式比賽項(xiàng)目之一，1998年中國女子冰壺隊(duì)第一次參加奧運(yùn)會(huì)冰壺比賽就獲得了銅牌．冰壺比賽的場(chǎng)地如圖所示，其中左端（投擲線的左側(cè)）有一個(gè)發(fā)球區(qū)，運(yùn)動(dòng)員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線將冰壺?cái)S出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場(chǎng)上冰壺最終靜止時(shí)距離營壘區(qū)圓心的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)．
某學(xué)校冰壺隊(duì)舉行冰壺投擲測(cè)試，規(guī)則為：
①每人至多投3次，先在點(diǎn)處投第一次，冰壺進(jìn)入營壘區(qū)得3分，未進(jìn)營壘區(qū)不得分；
②自第二次投擲開始均在點(diǎn)處投擲冰壺，冰壺進(jìn)入營壘區(qū)得2分，未進(jìn)營壘區(qū)不得分；
③測(cè)試者累計(jì)得分高于3分即通過測(cè)試，并立即終止投擲．
已知投擲一次冰壺，甲得3分和2分的概率分別為0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分別為0.2和0.4，甲，乙每次投擲冰壺的結(jié)果互不影響．

（1）求甲通過測(cè)試的概率；（2）設(shè)為本次測(cè)試中乙的得分，求的分布列；
（3）請(qǐng)根據(jù)測(cè)試結(jié)果來分析，甲，乙兩人誰的水平較高？
【答案】（1）0.3；（2）答案見解析；（3）甲.
【分析】（1）根據(jù)題意甲通過測(cè)試包括第一次沒通過第二次和第三次通過，或者第一次通過，第二次或第三次有一次通過，故得分分別為4分或者5分，然后求出概率即可；
（2）根據(jù)題意可求出乙的可能得分為0，2，3，4，5，然后依次求出概率即可得到分布列；
（3）比較甲乙通過測(cè)試的概率即可得出結(jié)論.
【詳解】解：（1）若甲通過測(cè)試，則甲的得分為4或，
，，
所以．
（2）的可能取值為0，2，3，4，5．
，，
，，．

0
2
3
4
5

0.288
0.384
0.072
0.128
0.128
（3）甲水平高 理由如下：乙通過測(cè)試的概率
甲通過測(cè)試的概率0.3大于乙通過測(cè)試的概率0.256．
【點(diǎn)睛】求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟：（1）首先確定各事件是相互獨(dú)立的；
（2）再確定格式件會(huì)同時(shí)發(fā)生；（3）求出每個(gè)事件發(fā)生的概率，再求積.
22．（2021·山東煙臺(tái)·二模）隨著時(shí)代發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步，教師職業(yè)越來越受青睞，考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一．當(dāng)前，中小學(xué)教師資格考試分筆試和面試兩部分．已知某市2020年共有10000名考生參加了中小學(xué)教師資格考試的筆試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100人的筆試成績（滿分視為100分）作為樣本，整理得到如下頻數(shù)分布表：
筆試成績






人數(shù)
5
10
25
30
20
10
（1）假定筆試成績不低于90分為優(yōu)秀，若從上述樣本中筆試成績不低于80分的考生里隨機(jī)抽取2人，求至少有1人筆試成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；（2）由頻數(shù)分布表可認(rèn)為該市全體考生的筆試成績近似服從正態(tài)分布，其中近似為100名樣本考生筆試成績的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），，據(jù)此估計(jì)該市全體考生中筆試成績不低于85.9的人數(shù)（結(jié)果四舍五入精確到個(gè)位）（3）考生甲為提升綜合素養(yǎng)報(bào)名參加了某拓展知識(shí)競賽，該競賽要回答3道題，前兩題是哲學(xué)知識(shí)，每道題答對(duì)得3分，答錯(cuò)得0分；最后一題是心理學(xué)知識(shí)，答對(duì)得4分，答錯(cuò)得0分．已知考生甲答對(duì)前兩題的概率都是，答對(duì)最后一題的概率為，且每道題答對(duì)與否相互獨(dú)立，求考生甲的總得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（參考數(shù)據(jù)：；若，則，，．）
【答案】（1）；（2）人；（3）分布列見解析；期望為．
【分析】（1）有表格數(shù)據(jù)知樣本中筆試成績不低于80分的考生共30人，成績優(yōu)秀10人，利用古典概型的概率求法求概率即可.（2）由表格數(shù)據(jù)求，又，易知，依據(jù)正態(tài)分布的三段區(qū)間概率值即可求概率，進(jìn)而估算該市全體考生中筆試成績不低于85.9的人數(shù).（3）由題意知，甲的總得分的可能取值為0，3，4，6，7，10，應(yīng)用獨(dú)立事件的乘法公式求各取值的概率，列出分布列，根據(jù)分布列求期望即可.
【詳解】（1）由已知，樣本中筆試成績不低于80分的考生共30人，其中成績優(yōu)秀10人．
∴．
（2）有表格數(shù)據(jù)知，，又，即，
∴，
由此可估計(jì)該市全體考生筆試成績不低于85.9分的人數(shù)為人．
（3）考生甲的總得分的所有可能取值為0，3，4，6，7，10．
，，
，，
，，
的分布列為：

0
3
4
6
7
10







．
【點(diǎn)睛】（1）利用古典概型求概率的方法求概率.（2）利用正態(tài)分布的三段區(qū)間概率值求.
（3）確定甲的總得分的可能值，應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式求概率，進(jìn)而可得分布列并求期望.
23．（2021·江蘇如皋·高三期中）為推動(dòng)實(shí)施健康中國戰(zhàn)略，樹立國家大衛(wèi)生?大健康觀念，手機(jī)APP也推出了多款健康運(yùn)動(dòng)軟件，如“微信運(yùn)動(dòng)”，某運(yùn)動(dòng)品牌公司140名員工均在微信好友群中參與了“微信運(yùn)動(dòng)”，且公司每月進(jìn)行一次評(píng)比，對(duì)該月內(nèi)每日運(yùn)動(dòng)都達(dá)到10000步及以上的員工授予該月“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)，其余員工均稱為“參與者”，下表是該運(yùn)動(dòng)品牌公司140名員工2021年1月-5月獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
月份
1
2
3
4
5
“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”員工數(shù)
120
105
100
95
80
（1）由表中看出，可用線性回歸模型擬合“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”員工數(shù)與月份之間的關(guān)系，求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)該運(yùn)動(dòng)品牌公司6月份獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的員工數(shù)；
（2）為了進(jìn)一步了解員工們的運(yùn)動(dòng)情況，選取了員工們?cè)?月份的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

運(yùn)動(dòng)達(dá)人
參與者
合計(jì)
男員工
60

80
女員工

20
60
合計(jì)
100
40
140
請(qǐng)補(bǔ)充上表中的數(shù)據(jù)（直接寫出，的值），并根據(jù)上表判斷是否有95%的把握認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān)？
參考公式：，，（其中）.

0.10
0.05
0.025
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1），6月份獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的有（人）
（2）表格答案見解析，沒有95%的把握認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”與性別有關(guān)
【分析】（1）利用公式可求線性回歸方程，并據(jù)此可得預(yù)測(cè)該運(yùn)動(dòng)品牌公司獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的員工數(shù)；
（2）根據(jù)列聯(lián)表可求參數(shù)的值，根據(jù)公式可求，結(jié)合臨界值表可判斷是否有95%的把握認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān).
（1），，
，，∴，
由過，故，∴，
∴6月份獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的有（人）.
（2），，，
∴沒有95%的把握認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”與性別有關(guān).
24．（2021·江蘇鹽城·二模）某公司對(duì)項(xiàng)目A進(jìn)行生產(chǎn)投資，所獲得的利潤有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：
項(xiàng)目A投資金額x（單位：百萬元）
1
2
3
4
5
所獲利潤y（單位：百萬元）
0.3
0.3
0.5
0.9
1
（1）請(qǐng)用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，并用相關(guān)系數(shù)加以說明；
（2）該公司計(jì)劃用7百萬元對(duì)A、B兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行投資．若公司對(duì)項(xiàng)目B投資百萬元所獲得的利潤y近似滿足：，求A、B兩個(gè)項(xiàng)目投資金額分別為多少時(shí)，獲得的總利潤最大？
附．①對(duì)于一組數(shù)據(jù)、、……、，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：．
②線性相關(guān)系數(shù)．一般地，相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值在0.95以上（含0.95）認(rèn)為線性相關(guān)性較強(qiáng)；否則，線性相關(guān)性較弱．
參考數(shù)據(jù)：對(duì)項(xiàng)目A投資的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表中．
【答案】（1），用線性回歸方程對(duì)該組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合合理；（2）對(duì)A、B項(xiàng)目分別投資4.5百萬元，2.5百萬元時(shí)，獲得總利潤最大．
【分析】(1)根據(jù)給定數(shù)表，計(jì)算出，再代入最小二乘法公式及線性相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算即得；
(2)由題設(shè)條件列出獲得的總利潤的函數(shù)關(guān)系，再借助均值不等式求解即得.
【詳解】（1）對(duì)項(xiàng)目A投資的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算得：，，，
于是得，，
所以回歸直線方程為：，
線性相關(guān)系數(shù)，這說明投資金額x與所獲利潤y之間的線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，用線性回歸方程對(duì)該組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合合理；
（2）設(shè)對(duì)B項(xiàng)目投資百萬元，則對(duì)A項(xiàng)目投資百萬元，
所獲總利潤，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以對(duì)A、B項(xiàng)目分別投資4.5百萬元，2.5百萬元時(shí)，獲得總利潤最大．
25．（2021·山東肥城·三模）俗話說：“天上蟠桃，人間肥桃．”肥桃又名佛桃、壽桃，因個(gè)大，味兒美，營養(yǎng)豐富，被譽(yù)為“群桃之冠”，迄今已有1200多年的栽培歷史，自明朝起即為皇室貢品．七月份，肥城桃——“大紅袍”上市了，它滿身紅撲撲的，吃起來脆脆甜甜，感覺好極了，吸引著全國各地的采購商．
山東省肥城桃開發(fā)總公司從進(jìn)入市場(chǎng)的“大紅袍”中隨機(jī)抽檢個(gè)，利用等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到數(shù)據(jù)如下：
等級(jí)
級(jí)
級(jí)
級(jí)
個(gè)數(shù)
40
40
20
（1）以表中抽檢的樣本估計(jì)全市“大紅袍”等級(jí)，現(xiàn)從全市上市的“大紅袍”中隨機(jī)抽取個(gè)，若取到個(gè)級(jí)品的可能性最大，求值；
（2）一北京連鎖超市采購商每年采購級(jí)“大紅袍”，前 20年“大紅袍”在此超市的實(shí)際銷量統(tǒng)計(jì)如下表：
銷量（噸）
15
16
17
18
19
20
年數(shù)
2
4
5
6
2
1
今年級(jí)“大紅袍”的采購價(jià)為萬元/噸，超市以萬元/噸的價(jià)格賣出，由于桃不易儲(chǔ)存，賣不完當(dāng)垃圾處理．超市計(jì)劃今年購進(jìn)噸或噸“大紅袍”，你認(rèn)為應(yīng)該購進(jìn)噸還是噸？請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）噸；理由見解析.
【分析】（1）取到A級(jí)品的概率，隨機(jī)抽取10個(gè)，取到A級(jí)品的個(gè)數(shù)根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式列出不等式即可求解.（2）超市購進(jìn)噸“大紅袍”時(shí)，利潤為，賣出的噸數(shù)為，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望，再設(shè)的可能取值為， 的可能取值為，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望，根據(jù)數(shù)學(xué)期望得出決策.
【詳解】解：（1）由題意可知，從全市上市的“大紅袍”中隨機(jī)抽取1個(gè)，取到A級(jí)品的概率
從全市上市的“大紅袍”中隨機(jī)抽取10個(gè)，取到A級(jí)品的個(gè)數(shù)

由得所以當(dāng)時(shí)概率最大，所以．
（2）超市購進(jìn)噸“大紅袍”時(shí)，利潤為，賣出的噸數(shù)為
的可能取值為，的可能取值為

的分布列為

10.4
12
13.6
P




超市購進(jìn)噸“大紅袍”時(shí)，利潤為，賣出的噸數(shù)為
的可能取值為， 的可能取值為


利潤的分布列為

9.6
11.2
12.8
14.4
P





所以超市應(yīng)該購進(jìn)噸“大紅袍”．












B卷（建議用時(shí)90分鐘）
一、單選題
1．（2022·湖北·高三專題練習(xí)）如圖，5個(gè)數(shù)據(jù)，去掉后，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A．相關(guān)系數(shù)r變大 B．殘差平方和變大 C．R2變大 D．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)
【答案】B
【分析】根據(jù)圖中的點(diǎn)，計(jì)算去掉前后的相關(guān)系數(shù)、殘差平方和、，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】由圖，，，則，，，∴相關(guān)系數(shù).令回歸方程，則，
∴，即回歸方程為，可得為，，，，，∴殘差平方和，故，去掉后，
，，則，，，∴相關(guān)系數(shù).∴，A、D正確；
令回歸方程，則，∴，即回歸方程為，可得為，，，，
∴殘差平方和，故，∴，B錯(cuò)誤，C正確；選：B
2．（2021·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:
指數(shù)值






空氣質(zhì)量
優(yōu)
良
輕度污染
中度污染
重度污染
嚴(yán)重污染
為監(jiān)測(cè)某化工廠排放廢氣對(duì)周邊空氣質(zhì)量指數(shù)的影響，某科學(xué)興趣小組在校內(nèi)測(cè)得10月1日—20日指數(shù)的數(shù)據(jù)并繪成折線圖如下:

下列敘述正確的是（ ）
A．這天中指數(shù)值的中位數(shù)略大于 B．這天中的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占
C．10月4日到10月11日，空氣質(zhì)量越來越好 D．總體來說，10月中旬的空氣質(zhì)量比上旬的空氣質(zhì)量好
【答案】B
【分析】通過表格可知，數(shù)值越大，說明空氣污染越嚴(yán)重，質(zhì)量不好，數(shù)值越小空氣質(zhì)量越好.體現(xiàn)在圖標(biāo)上就是點(diǎn)的位置越高空氣污染越嚴(yán)重，點(diǎn)的位置越低空氣質(zhì)量越好.可以通過將點(diǎn)計(jì)數(shù)來確定中位數(shù)的大概位置，以及空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù).
【詳解】由折線圖知以上有個(gè)，以下有個(gè)，中位數(shù)是兩邊兩個(gè)數(shù)的均值，觀察比的數(shù)離遠(yuǎn)點(diǎn)，因此兩者均值大于但小于150,A錯(cuò); 空氣質(zhì)量為優(yōu)的有天，占，B正確;
10月4日到10月11日，空氣質(zhì)量越來越差，C錯(cuò); 10月上旬的空氣質(zhì)量指數(shù)值在以下的多，
中旬的空氣質(zhì)量指數(shù)值在以上的多，上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好，D錯(cuò).故選：B.
【點(diǎn)睛】對(duì)表格和圖表的解讀是做題的關(guān)鍵，通過對(duì)A,B,C,D的逐項(xiàng)判斷來選出正確答案.
3．（2021·福建·三模）中國是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地.中國茶的發(fā)現(xiàn)和利用已有四千七百多年的歷史，且長盛不衰，傳遍全球.為了弘揚(yáng)中國茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，為了解每壺“金萱排骨茶”中所放茶葉量克與食客的滿意率的關(guān)系，通過試驗(yàn)調(diào)查研究，發(fā)現(xiàn)可選擇函數(shù)模型來擬合與的關(guān)系，根據(jù)以下數(shù)據(jù)：
茶葉量克
1
2
3
4
5

4.34
4.36
4.44
4.45
4.51
可求得y關(guān)于x的回歸方程為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)所給四個(gè)選項(xiàng)，分別取對(duì)數(shù)化簡變形，由線性回歸方程經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，將表中數(shù)據(jù)求得代入即可檢驗(yàn).
【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，，
對(duì)于A，化簡變形可得，同取對(duì)數(shù)可知，將代入可得，而，因而A正確；
對(duì)于B，化簡變形可得，同取對(duì)數(shù)可知，將代入可得，而，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，兩邊同取對(duì)數(shù)可知，而表中所給為的相關(guān)量，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，兩邊同取對(duì)數(shù)可知，而表中所給為的相關(guān)量，所以D錯(cuò)誤；綜上可知，正確的為A，故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的性質(zhì)及簡單應(yīng)用，注意利用回歸方程經(jīng)過樣本中心點(diǎn)的性質(zhì)，可代入回歸方程檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題.
4．（2021·廣東佛山·二模）A、B兩個(gè)物理興趣小組在實(shí)驗(yàn)室研究某粒子運(yùn)動(dòng)軌跡.共同記錄到粒子的13個(gè)位置的坐標(biāo)信息如下表：

-0.93
-0.82
-0.77
-0.61
-0.55
-0.33
-0.27
0.10
0.42
0.58
0.64
0.67
0.76

-0.26
-0.41
-0.45
0.45
-0.60
-0.67
-0.68
-0.71
0.64
0.55
0.55
0.53
0.46
A小組根據(jù)表中數(shù)據(jù)，直接對(duì)y，x作線性回歸分析，得到：回歸方程為，相關(guān)指數(shù)；B小組先將數(shù)據(jù)依變換，進(jìn)行整理，再對(duì)，u作線性回歸分析，得到：回歸方程為，相關(guān)指數(shù)根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，下列方程中，最有可能是該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)可知，越大，擬合效果越好，由此可得擬合效果好的回歸方程，然后整理變換可得答案.
【詳解】由統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)可知，越大，擬合效果越好.
又A小組的相關(guān)指數(shù)，B小組相關(guān)指數(shù)
所以B小組擬合效果好，擬合效果越好越能反映該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，其回歸方程為
又，，則，即故選：C
5．（2021·四川·樹德中學(xué)高三期中）已知直線：將圓：分為，兩部分，且部分的面積小于部分的面積，若在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在部分的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，根據(jù)題意可分析出，從而求出；然后利用幾何概型的概率公式即可求出答案.
【詳解】把圓：，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以圓的圓心，半徑.點(diǎn)到直線的距離為，
設(shè)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，則，所以，
所以，所以該點(diǎn)落在部分的概率為.故選：D.
6．（2021·山東肥城·模擬預(yù)測(cè)）某公司為了促進(jìn)技術(shù)部門之間良好的競爭風(fēng)氣，公司決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，三個(gè)技術(shù)部門分別為麒麟部，龍吟部，鷹隼部，比賽規(guī)則如下：①每場(chǎng)比賽有兩個(gè)部門參加，并決出勝負(fù)；②每場(chǎng)比賽獲勝的部門與未參加此場(chǎng)比賽的部門進(jìn)行下一場(chǎng)的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)部門首先獲勝兩場(chǎng)，則本次比賽結(jié)束，該部門就獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝部門”．已知在每場(chǎng)比賽中，麒麟部勝龍吟部的概率為，麒麟部勝鷹隼部的概率為，龍吟部勝鷹隼部的概率為．當(dāng)麒麟部與龍吟部進(jìn)行首場(chǎng)比賽時(shí)，麒麟部獲得“優(yōu)勝部門”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題設(shè)，麒麟部與龍吟部進(jìn)行首場(chǎng)比賽且麒麟部獲得“優(yōu)勝部門”的情況有：
1、首場(chǎng)麒麟部勝，第二場(chǎng)麒麟部勝；2、首場(chǎng)麒麟部勝，第二場(chǎng)鷹隼部勝，第三場(chǎng)龍吟部勝，第四場(chǎng)麒麟部勝；3、首場(chǎng)龍吟部勝，第二場(chǎng)鷹隼部勝，第三場(chǎng)麒麟部勝，第四場(chǎng)麒麟部勝；
再由獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率即可.
【詳解】設(shè)事件：麒麟部與龍吟部先比賽麒麟部獲勝；
由于在每場(chǎng)比賽中，麒麟部勝龍吟部的概率為，麒麟部勝鷹隼部的概率為，龍吟部勝鷹隼部的概率為，
∴麒麟部獲勝的概率分別是：，故選：D．
7．（2021·山東棗莊·二模）醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內(nèi)、中、外三層.內(nèi)層為親膚材質(zhì)（普通衛(wèi)生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細(xì)聚丙烯纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）.根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率.若，則，，.有如下命題：甲：；乙：；丙：；?。杭僭O(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的50只口罩中過濾率大于的數(shù)量，則.其中假命題是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)判斷A，B，C；先計(jì)算出一只口罩過濾率小于等于的概率，然后根據(jù)即可計(jì)算出的值并進(jìn)行判斷.
【詳解】由題意可知，正態(tài)分布的；
甲．因?yàn)?，所以，故正確；
乙．因?yàn)?，所以，故正確；
丙．因?yàn)?，且?br /> 所以，故正確；
丁．因?yàn)橐恢豢谡诌^濾率小于等于的概率為，
又因?yàn)椋叔e(cuò)誤；故選：D.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決正態(tài)分布問題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）對(duì)稱軸；（2）標(biāo)準(zhǔn)差；（3）分布區(qū)間.
利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為的特殊區(qū)間，從而求出所求概率.
8．（2021·湖北·襄陽四中模擬預(yù)測(cè)）電視機(jī)的使用壽命與顯像管開關(guān)的次數(shù)有關(guān)，某品牌的電視機(jī)的顯像管開關(guān)了次還能繼續(xù)使用的概率是，開關(guān)了次后還能繼續(xù)使用的概率是，則已經(jīng)開關(guān)了次的電視機(jī)顯像管還能繼續(xù)使用到次的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】記事件電視機(jī)的顯像管開關(guān)了次還能繼續(xù)使用，記事件電視機(jī)的顯像管開關(guān)了次后還能繼續(xù)使用，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】記事件電視機(jī)的顯像管開關(guān)了次還能繼續(xù)使用，記事件電視機(jī)的顯像管開關(guān)了次后還能繼續(xù)使用，則，，所以，已經(jīng)開關(guān)了次的電視機(jī)顯像管還能繼續(xù)使用到次的概率為.故選：D.
9．（2021·遼寧大連·高三期末）2020年12月4日，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)宣布該校潘建偉等科學(xué)家成功構(gòu)建光子的量子計(jì)算原型機(jī)“九章”，求解數(shù)學(xué)算法“高斯玻色取樣”只需要秒，而目前世界最快的超級(jí)計(jì)算機(jī)要用億年，這一突破使我國成為全球第二個(gè)實(shí)現(xiàn)“量子優(yōu)越性”的國家.“九章”求得的問題名叫“高斯玻色取樣”，通俗的可以理解為量子版本的高爾頓釘板，但其實(shí)際情況非常復(fù)雜.高爾頓釘板是英國生物學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的，如圖，每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每個(gè)釘子水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進(jìn)一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白球向下降落的過程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子.如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個(gè)格子內(nèi)為止.現(xiàn)從入口放進(jìn)一個(gè)白球，則其落在第③個(gè)格子的概率為

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】小球從起點(diǎn)到第③個(gè)格子一共跳了7次，其中要向右邊跳動(dòng)2次，由二項(xiàng)分布概率即可求解.
【詳解】小球從起點(diǎn)到第③個(gè)格子一共跳了7次，其中要向左邊跳動(dòng)5次，向右邊跳動(dòng)2次，而向左或向右的概率均為，則向右的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，所以所求的概率為 故答案為：C.
【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是判斷小球向右邊跳動(dòng)的次數(shù)服從二項(xiàng)分布.
二、多選題
10．（2021·遼寧丹東·高三期中）假設(shè)某市場(chǎng)供應(yīng)的職能手機(jī)中，市場(chǎng)占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下
品牌
甲
乙
其他
市場(chǎng)占有率




優(yōu)質(zhì)率



在該市場(chǎng)中任意買一部手機(jī)，用，，分別表示買到的智能手機(jī)為甲品牌?乙品牌，其他品牌，表示可買到的優(yōu)質(zhì)品，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)條件概率公式及相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；
【詳解】解：依題意可得，，，，
因?yàn)?，所以，，故正確的有ABD；故選：ABD
11．（2021·福建·三模）某校研究性學(xué)習(xí)小組根據(jù)某市居民人均消費(fèi)支出的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，制作年人均消費(fèi)支出條形圖（單位：元）和年人均消費(fèi)支出餅圖（如圖）.已知年居民人均消費(fèi)總支出比年居民人均消費(fèi)總支出提高，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．年的人均衣食支出金額比年的人均衣食支出金額高
B．年除醫(yī)療以外的人均消費(fèi)支出金額等于年的人均消費(fèi)總支出金額
C．年的人均文教支出比例比年的人均文教支出比例有提高
D．年人均各項(xiàng)消費(fèi)支出中，“其他”消費(fèi)支出的年增長率最低
【答案】ACD
【分析】利用條形圖和餅狀圖的性質(zhì)逐項(xiàng)分析，可得出正確的選項(xiàng).
【詳解】年居民人均消費(fèi)總支出比年居民人均消費(fèi)總支出提高，
年居民人均消費(fèi)總支出為（元），
對(duì)于A，年的人均衣食支出金額為元，
年的人均衣食支出金額比年的人均衣食支出金額高，故A正確；
對(duì)于B，年除醫(yī)療以外的人均消費(fèi)支出金額為，
年的人均消費(fèi)總支出金額為元，
年除醫(yī)療以外的人均消費(fèi)支出金額不等于年的人均消費(fèi)總支出金額，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，年的人均文教支出比例為，年的人均文教支出比例為，
年的人均文教支出比例比年的人均文教支出比例有提高，故C正確；
對(duì)于D，其他支出元，年其他支出（元），
“其他”消費(fèi)支出的年增長率為，
衣食支出的年增長率為：，
住支出的年增長率為：，
文教支出的年增長率為：，
醫(yī)療支出的年增長率為：，
年人均各項(xiàng)消費(fèi)支出中，“其他”消費(fèi)支出的年增長率最低，故D正確.故選：ACD.
12．（2021·福建·廈門外國語學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）下列說法正確的是（ ）
A．設(shè)隨機(jī)變量X等可能取，…，n，如果，則
B．設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則
C．設(shè)離散型隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則
D．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則
【答案】ABC
【分析】對(duì)于A：由，解之可判斷；
對(duì)于B，根據(jù)二項(xiàng)分布可判斷；對(duì)于C，根據(jù)兩點(diǎn)分布計(jì)算可判斷；對(duì)于D：根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可判斷；
【詳解】對(duì)于A：對(duì)于，故A正確；
對(duì)于B，設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)榍?，故C正確；
對(duì)于D：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是.
，D錯(cuò)誤；故選：ABC.
三、填空題
13．（2021·湖南·高三專題練習(xí)）對(duì)平面直角坐標(biāo)系中的兩組點(diǎn)，如果存在一條直線使這兩組點(diǎn)分別位于該直線的兩側(cè)，則稱該直線為“分類直線”.對(duì)于一條分類直線，記所有的點(diǎn)到的距離的最小值為，約定：越大，分類直線的分類效果越好.某學(xué)校高三（2）班的7位同學(xué)在2020年期間網(wǎng)購文具的費(fèi)用(單位：百元)和網(wǎng)購圖書的費(fèi)用(單位：百元)的情況如圖所示，現(xiàn)將，，和為第Ⅰ組點(diǎn).將，和歸為第Ⅱ點(diǎn).在上述約定下，可得這兩組點(diǎn)的分類效果最好的分類直線，記為.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①直線比直線的分類效果好；②分類直線的斜率為2；
③該班另一位同學(xué)小明的網(wǎng)購文具與網(wǎng)購圖書的費(fèi)用均為300元，則小明的這兩項(xiàng)網(wǎng)購花銷的費(fèi)用所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與第Ⅱ組點(diǎn)位于的同側(cè)；④如果從第Ⅰ組點(diǎn)中去掉點(diǎn)，第Ⅱ組點(diǎn)保持不變，則分類效果最好的分類直線不是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.
【答案】②③④
【分析】根據(jù)分類直線的定義判斷.
【詳解】由圖象知：，
①當(dāng)直線為分類直線時(shí)，，當(dāng)直線為分類直線時(shí)，所以直線分類效果好，故錯(cuò)誤；
②由圖知定位L的位置由確定，所以直線L過點(diǎn)的外心，設(shè)直線方程為 則 ，解得，故正確；
③當(dāng)?shù)絃的距離與到L的距離相等時(shí)為L的臨界值，此時(shí)點(diǎn)在L的右側(cè)，故正確；
④去掉點(diǎn)后，，解得，故正確；故答案為：②③④
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是理解分類直線的定義，如本題L的位置由確定.
14．（2021·北京昌平·二模）下圖是國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2020年2月至2021年2月全國居民消費(fèi)價(jià)格漲跌幅折線圖；則給出下列三個(gè)結(jié)論：①2020年11月居民消費(fèi)價(jià)格低于2019年同期；②2020年3月至7月居民的消費(fèi)價(jià)格持續(xù)增長；③2020年7月的消費(fèi)價(jià)格低于2020年3月的消費(fèi)價(jià)格.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.

說明：1.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，同比是指本期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與上一年同期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相比較，例如年2月與2020年2月相比較；環(huán)比是指本期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與上期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相比較，例如2020年4月與年3月相比較.
2.同比增長率=，環(huán)比增長率=.
【答案】①③
【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)，根據(jù)環(huán)比、同比增長率的概念，即可判斷①②的正誤；設(shè)2020年3月居民消費(fèi)價(jià)格為，4月消費(fèi)價(jià)格為，5月消費(fèi)價(jià)格為，6月消費(fèi)價(jià)格為，7月消費(fèi)價(jià)格為，根據(jù)環(huán)比增長率的公式，即可求得與的關(guān)系，同理可求得與的關(guān)系，即可判斷③的正誤，即可得答案.
【詳解】對(duì)于①：由圖可知2020年11月同比增長率為-0.5，由同比增長率的計(jì)算公式可得，2020年11月居民消費(fèi)價(jià)格低于2019年同期，故①正確；對(duì)于②：由圖可知，2020年3月至6月的環(huán)比增長率為負(fù)，由環(huán)比增長率的計(jì)算公式可得消費(fèi)價(jià)格下降，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：設(shè)2020年3月居民消費(fèi)價(jià)格為，4月消費(fèi)價(jià)格為，5月消費(fèi)價(jià)格為，6月消費(fèi)價(jià)格為，7月消費(fèi)價(jià)格為，
由題意得：，解得，
，解得，
，解得，
，解得，所以，
所以2020年7月消費(fèi)價(jià)格低于2020年3月消費(fèi)價(jià)格，故③正確.故答案為：①③
15．（2021·江蘇如皋·高三期中）某同學(xué)高考后參加國內(nèi)3所名牌大學(xué)，，的“強(qiáng)基計(jì)劃”招生考試，已知該同學(xué)能通過這3所大學(xué)，，招生考試的概率分別為，，，該同學(xué)能否通過這3所大學(xué)的招生考試相互獨(dú)立，且該同學(xué)恰好能通過其中2所大學(xué)招生考試的概率為，則該同學(xué)至少通過1所大學(xué)招生考試的概率為___________；該同學(xué)恰好通過，兩所大學(xué)招生考試的概率最大值為___________.
【答案】
【分析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可求出該同學(xué)恰好能通過其中2所大學(xué)招生考試的概率，從而求出該同學(xué)至少通過1所大學(xué)招生考試的概率，再結(jié)合基本不等式即可得的最小值，進(jìn)而求出該同學(xué)恰好通過，兩所大學(xué)招生考試的概率最大值．
【詳解】該同學(xué)能否通過這3所大學(xué)的招生考試相互獨(dú)立，
該同學(xué)恰好能通過其中2所大學(xué)招生考試的概率，
該同學(xué)至少通過1所大學(xué)招生考試的概率為，
由得，，，即，解得或，
又，，，，
該同學(xué)恰好通過，兩所大學(xué)招生考試的概率為，最大值為．故答案為：，．
四、解答題
16．（2021·山東濰坊·高三期中）2021年7月18日第屆全國中學(xué)生生物學(xué)競賽在浙江省蕭山中學(xué)隆重舉行．為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛谥林g，將數(shù)據(jù)按照，，，，，分成組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這名學(xué)生成績的中位數(shù)；
（2）在這名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績?cè)?，，，的三組中抽取了人，再從這人中隨機(jī)抽取人，記的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績?cè)诘臑锳等級(jí)，成績?cè)诘臑榈燃?jí)，其它為等級(jí)．以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率，從所有參加生物競賽的同學(xué)中隨機(jī)抽取人，其中獲得等級(jí)的人數(shù)設(shè)為，記等級(jí)的人數(shù)為的概率為，寫出的表達(dá)式，并求出當(dāng)為何值時(shí)，最大？

【答案】（1），中位數(shù)68.（2）分布列見解析；期望.
（3），當(dāng)k=40時(shí)，最大
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積和為1，代入數(shù)據(jù)，即可求得m值，根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)的求法，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.（2）根據(jù)三組數(shù)據(jù)頻率比，可求得三組數(shù)據(jù)的人數(shù)，則可取0,1,2,3，分別求得各個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，代入公式，即可得期望.
（3）先求得等級(jí)B的概率，代入公式，可得的表達(dá)式，計(jì)算分析，即可得答案.
（1）由題意得：，解得，
因?yàn)椋?br /> 所以中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x， 則，解得，
所以這名學(xué)生成績的中位數(shù)為68.
（2），，三組數(shù)據(jù)頻率比為，
所以從，，三組中分別抽取7人，3人，1人，則可取0,1,2,3，
，，，，
則的分布列

0
1
2
3
P




期望
（3）B等級(jí)的概率為，則B等級(jí)有40人，
所以，所以，
即，解得，
所以當(dāng)k=40時(shí)，有最大值.
17．（2021·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）十三屆全國人大四次會(huì)議3月11日表決通過了關(guān)于國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要的決議，決定批準(zhǔn)這個(gè)規(guī)劃綱要.綱要指出：“加強(qiáng)原創(chuàng)性引領(lǐng)性科技攻關(guān)”.某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術(shù)，已成功實(shí)現(xiàn)離子注入機(jī)全譜系產(chǎn)品國產(chǎn)化，包括中束流?大束流?高能?特種應(yīng)用及第三代半導(dǎo)體等離子注入機(jī)，工藝段覆蓋至28，為我國芯片制造產(chǎn)業(yè)鏈補(bǔ)上重要一環(huán)，為全球芯片制造企業(yè)提供離子注入機(jī)一站式解決方案.此次技術(shù)的突破可以說為國產(chǎn)芯片的制造做出了重大貢獻(xiàn).該企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn).（1）在試產(chǎn)初期，該款芯片的批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.已知該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為，，.
①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).已知批次的芯片智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品的概率（百分號(hào)前保留兩位小數(shù)）.
（2）已知某批次芯片的次品率為，設(shè)個(gè)芯片中恰有個(gè)不合格品的概率為，記的最大值點(diǎn)為，改進(jìn)生產(chǎn)工藝后批次的芯片的次品率.某手機(jī)生產(chǎn)廠商獲得批次與批次的芯片，并在某款新型手機(jī)上使用.現(xiàn)對(duì)使用這款手機(jī)的用戶回訪，對(duì)開機(jī)速度進(jìn)行滿意度調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計(jì)，回訪的名用戶中，安裝批次有部，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有人；安裝批次有部，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有人.求，并判斷是否有的把握認(rèn)為芯片質(zhì)量與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意度有關(guān)？
附：.










【答案】（1）①；②；（2），有的把握認(rèn)為芯片質(zhì)量與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意度有關(guān).
【分析】（1）①利用對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件概率乘法公式求得所求的次品率.
②根據(jù)條件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.
（2）先求得的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得，填寫列聯(lián)表，計(jì)算，由此作出判斷.
【詳解】（1）①Ⅰ批次芯片的次品率為.
②設(shè)批次Ⅰ的芯片智能自動(dòng)檢測(cè)合格為事件，人工抽檢合格為事件，
由己知得，，
則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品為事件，
.
（2）個(gè)芯片中恰有個(gè)不合格的概率.
因此，
令，得.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的最大值點(diǎn)為.
由（1）可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片質(zhì)量優(yōu)于批次.由數(shù)據(jù)可建立2×2列聯(lián)表如下：（單位：人）
開機(jī)速度滿意度
芯片批次
合計(jì)
I
J
不滿意
12
3
15
滿意
28
57
85
合計(jì)
40
60
100
根據(jù)列聯(lián)表得
.
因此，有的把握認(rèn)為芯片質(zhì)量與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意度有關(guān).
【點(diǎn)睛】求解最值點(diǎn)有關(guān)的題目，是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此來求得最值點(diǎn).
18．（2021·山東肥城·模擬預(yù)測(cè)）我國為全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃．某企業(yè)為響應(yīng)國家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金．現(xiàn)該企業(yè)為了了解年研發(fā)資金投入額(單位：億元)對(duì)年盈利額(單位：億元)的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近年年研發(fā)資金投入額和年盈利額的數(shù)據(jù)．通過對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①；②，若對(duì)于任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作與軸垂直的直線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，定義：，，若則用函數(shù)來擬合與之間的關(guān)系更合適，否則用函數(shù)來擬合與之間的關(guān)系．
（1）給定一組變量，對(duì)于函數(shù)與函數(shù)，試?yán)枚x求，的值，并判斷哪一個(gè)更適合作為點(diǎn)中的與之間的擬合函數(shù)；
（2）若一組變量的散點(diǎn)圖符合圖象，試?yán)孟卤碇械挠嘘P(guān)數(shù)據(jù)與公式求與的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，的值為多少．














表中的，
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，
【答案】（1）；；函數(shù)更適合；（2）；．
【分析】（1）由分別取時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，再根據(jù)變量，分別求得，比較下結(jié)論；
（2）在中，令，得到，然后利用最小二乘法求得，寫出關(guān)于的線性回歸方程，進(jìn)而得到關(guān)于的回歸方程即可.
【詳解】（1）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)分別取時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，
此時(shí)
對(duì)于函數(shù)，當(dāng)分別取時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，
此時(shí)從而有，
因此由定義得選用函數(shù)更適合作為點(diǎn)中的與之間的擬合函數(shù)．
（2）在中，令，所以有，于是可建立關(guān)于的線性回歸方程為，
所以，，
所以關(guān)于的線性回歸方程為，因此關(guān)于的回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，，即可預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，的值為．
19．（2021·山東·模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)擬在年末進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券“的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點(diǎn)數(shù)不超2點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為19分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計(jì)得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行20輪游戲．
（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，總分為X，求X的期望；（2）若累計(jì)得分為i的概率為，（初始得分為0分，）．①證明數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是等比數(shù)列；②求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率．
【答案】（1）5；（2）①證明見解析；②．
【分析】（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，而每輪游戲的結(jié)果互相獨(dú)立，設(shè)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，得1分的次數(shù)為，所以，，即可求出X的期望；
（2）①根據(jù)累計(jì)得分為i的概率為，分兩種情形討論得分情況，從而得到遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可證出數(shù)列是等比數(shù)列；
②根據(jù)①可求出，再根據(jù)累加法即可求出，然后由從而解出．
【詳解】（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，設(shè)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，得1分的次數(shù)為，所以，，而，即隨機(jī)變量X可能取值為3，4，5，6，
，，，．
∴X的分布列為：
X
3
4
5
6
P




E（X）＝＝5．
（2）①證明：n＝1，即累計(jì)得分為1分，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過2點(diǎn)，，則，累計(jì)得分為i分的情況有兩種：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累計(jì)得i﹣2分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)超過2點(diǎn)，其概率為，
（Ⅱ）累計(jì)得分為i﹣1分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒超過2點(diǎn)，得1分，其概率為，
∴，∴，（i＝2，3，???，19），∴數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是首項(xiàng)為﹣，公比為﹣的等比數(shù)列．
②∵數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是首項(xiàng)為﹣，公比為﹣的等比數(shù)列，∴，
∴，，???，，各式相加，得：，
∴，（i＝1，2，???，19），
∴活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率為：．
【點(diǎn)睛】本題第一問解題關(guān)鍵是明確得1分的次數(shù)為服從二項(xiàng)分布，從而找到所求變量與的關(guān)系，列出分布列，求得期望；第二問①主要是遞推式的建立，分析判斷如何得到分的情況，進(jìn)而得到，利用數(shù)列知識(shí)即可證出，②借由①的結(jié)論，求出，分析可知，從而解出．
20．（2021·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）2020年以來，新冠病毒疫情肆虐全球我國在抗擊新冠肺炎疫情中取得了世界矚目的成績，為其他國家提供了大量的醫(yī)療經(jīng)驗(yàn)和防控措施.根據(jù)疫情防控需要現(xiàn)在要對(duì)某地區(qū)的份樣本進(jìn)行核酸檢驗(yàn)，檢測(cè)過程中每個(gè)樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次；②混合檢驗(yàn)，將其中（且）份樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這份的樣本全為陰性，因而這份樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這份樣本究竟哪幾份為陽性，就要對(duì)這份樣本再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份樣本的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.（1）假設(shè)有10份樣本，其中只有2份樣本為陽性，現(xiàn)采用逐份檢驗(yàn)方式對(duì)每一份樣本進(jìn)行檢測(cè)，求經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；（2）現(xiàn)取其中（且）份樣本，每份樣本是陽性結(jié)果的概率.記采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望；并說明采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望少的的最大值是多少?
（參考數(shù)據(jù)：，，，.）
【答案】（1）；（2）分布列見解析，，的最大值是8.
【分析】（1）10份樣本只有2份樣本為陽性，經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來，則最后一次檢驗(yàn)出的是陽性，前兩次一陰一陽，檢驗(yàn)的可能組合有種，而所有檢驗(yàn)的可能組合有種，即可求概率.（2）由混合檢驗(yàn)的方式知，而每份為陽性的概率為，即可寫出分布列，進(jìn)而求期望；由混合檢驗(yàn)方式的總次數(shù)的期望比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望少則，即有，構(gòu)造應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，找到的自變量區(qū)間，進(jìn)而確定的最大值.
【詳解】（1）設(shè)恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)?zāi)馨殃栃詷颖救繖z驗(yàn)出來為事件A，
∴P(A)＝＝，即恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率為．
（2）由已知，的所有可能取值為，．∴，，
故分布列為






∴，
若采用混合檢驗(yàn)方式檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值少，則，得，
∵，∴，即，設(shè)，則，
∴當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
∵，又，∴的最大值為8．
【點(diǎn)睛】第二問，由題設(shè)確定，利用獨(dú)立事件乘法公式求可能值的概率，寫出分布列并求期望，由期望值的大小關(guān)系，確定不等式關(guān)系，由此構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求參數(shù)的最值.
21．（2021·江蘇·常州市新橋高級(jí)中學(xué)三模）一個(gè)國家的數(shù)學(xué)實(shí)力往往影響著國家的科技發(fā)展，幾乎所有的重大科技進(jìn)展都與數(shù)學(xué)息息相關(guān)，我國第五代通訊技術(shù)的進(jìn)步就是源于數(shù)學(xué)算法的優(yōu)化.華為公司所研發(fā)的Single算法在部署基站時(shí)可以把原來的、基站利用起來以節(jié)省開支，華為創(chuàng)始人任正非將之歸功于“數(shù)學(xué)的力量”，近年來，我國加大基站建設(shè)力度，基站已覆蓋所有地級(jí)市，并逐步延伸到鄉(xiāng)村．
（1）現(xiàn)抽樣調(diào)查英市所軸的地和地基站覆蓋情況，各取100個(gè)村，調(diào)查情況如下表：

已覆蓋
未覆蓋
A地
20
80
B地
25
75
視樣本的頻率為總體的概率，假設(shè)從地和地所有村中各隨機(jī)抽取2個(gè)村，求這4個(gè)村中地已覆蓋的村比地多的概率；
（2）該市2020年已建成的基站數(shù)與月份的數(shù)據(jù)如下表：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

283
340
428
547
701
905
1151
1423
1721
2109
2601
3381
探究上表中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，因年初受新冠疫情影響，基站建設(shè)進(jìn)度比較慢，隨著疫情得到有效控制，基站建設(shè)進(jìn)度越來越快，根據(jù)散點(diǎn)圖分析，已建成的基站數(shù)呈現(xiàn)先慢后快的非線性變化趨勢(shì)，采用非線性回歸模型擬合比較合理，請(qǐng)結(jié)合參考數(shù)據(jù)，求基站數(shù)關(guān)于月份的回歸方程．（的值精確到0.01）．附：設(shè)，則，，，，，，，對(duì)于樣本，的線性回歸方程有，．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用二項(xiàng)分布和互斥事件的概率計(jì)算，即可得到答案；（2）利用換元，設(shè)，則，可得與是線性相關(guān)關(guān)系，再根據(jù)最小二乘法求回歸直線方程．
【詳解】（1）用樣本估計(jì)總體，抽到地覆蓋的村概率為，抽到地覆蓋的村概率為，
地抽到的2個(gè)村中基站覆蓋的村個(gè)數(shù)為，則滿足二項(xiàng)分布
，
地抽到的2個(gè)村中基站覆蓋的村個(gè)數(shù)為，則滿足二項(xiàng)分布
，，
從地和地各隨機(jī)抽取2個(gè)村，這4個(gè)村中地覆蓋的村比地覆蓋的村多的概率為

．
（2）由指數(shù)模型，設(shè)，則，則與是線性相關(guān)關(guān)系．
因?yàn)?，，，?br /> 所以，，
即，即．
【點(diǎn)睛】本題考查回歸分析、隨機(jī)變量分布列、二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，求解時(shí)注意概率模型的應(yīng)用，特別是第一問，在抽取時(shí)總體是未知的，不能誤以為是在樣本中抽導(dǎo)致求解出錯(cuò).
22．（2021·山東·煙臺(tái)二中三模）為紀(jì)念中國共產(chǎn)黨成立100周年，加深青少年對(duì)黨的歷史、黨的知識(shí)、黨的理論和路線方針的認(rèn)識(shí)，激發(fā)愛黨愛國熱情，堅(jiān)定走新時(shí)代中國特色社會(huì)主義道路的信心，某校舉辦了黨史知識(shí)競賽．競賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答3道題，若答對(duì)題目不少于5道題，則獲得一個(gè)積分．已知甲乙兩名同學(xué)一組，甲同學(xué)和乙同學(xué)對(duì)每道題答對(duì)的概率分別是和，且每道題答對(duì)與否互不影響．（1）若，，求甲乙同學(xué)這一組在一輪競賽中獲得一個(gè)積分的概率；
（2）若，且每輪比賽互不影響，若甲乙同學(xué)這一組想至少獲得5個(gè)積分，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪競賽？
【答案】（1）；（2）15
【分析】（1）根據(jù)可求得；（2）得出獲得一個(gè)積分的，由已知可得，進(jìn)而求得，根據(jù)甲乙兩同學(xué)在輪比賽中獲得的積分?jǐn)?shù)滿足，根據(jù)即可解得.
【詳解】（1）假設(shè)甲和乙答對(duì)的題目個(gè)數(shù)分別為和，
故所求概率
，
所以甲乙同學(xué)這一組在一輪競賽中獲得一個(gè)積分的概率為；
（2）由（1）得
，
整理得，
因?yàn)榍?，所以?br /> 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，
令，則，所以，則，
當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，
甲乙兩同學(xué)在輪比賽中獲得的積分?jǐn)?shù)滿足，
所以由，即解得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以至少為15，
所以若甲乙同學(xué)這一組想至少獲得5個(gè)積分，那么理論上至少要進(jìn)行15輪競賽.
【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是先求得獲得一個(gè)積分的，且根據(jù)求得其最大值，再由甲乙兩同學(xué)在輪比賽中獲得的積分?jǐn)?shù)服從二項(xiàng)分布求解.

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