1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標(biāo)記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進行限時訓(xùn)練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
熱點5-1 平面向量的概念、線性運算與基本定理5大題型
平面向量屬于高考的必考內(nèi)容，主要以客觀題的形式出現(xiàn)，也與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等。這部分內(nèi)容在備考時應(yīng)注意加強對向量加法、減法的平行四邊形法則與三角形法則的理解、掌握兩向量共線與垂直的條件，熟記平面向量的相關(guān)公式。
一、平面向量多邊形法則
一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即,特別地,一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
二、向量共線問題的注意事項
1、向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運用．
2、證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線．
三、“爪”子定理
形式1：在△ABC中，D是BC上的點，如果，，則，其中，，知二可求一．特別地，若D為線段BC的中點，則．

形式2：在△ABC中，D是BC上的點，且，則，其中，，知二可求一．特別地，若D為線段BC的中點，則．
形式1與形式2中eq \(AC,\s\up7(→))與eq \(AB,\s\up7(→))的系數(shù)的記憶可總結(jié)為：對面的女孩看過來(歌名，原唱任賢齊)
四、利用平面向量的線性運算把一個向量表示為兩個基向量的一般方法
向量的確定方法
1、在幾何圖形中通過三點共線即可考慮使用“爪”子定理完成向量用，的表示．
2、若所給圖形比較特殊(正方形、矩形、直角梯形、等邊三角形、等腰三角形或直角三角形等)，則可通過建系將向量坐標(biāo)化，從而得到與的方程組，再進行求解．
五、利用平面向量的線性運算求參數(shù)的一般方法
向量方程中x，y的確定方法
1、在幾何圖形中通過三點共線即可考慮使用“爪”子定理完成向量的表示，進而確定x，y．
2、若所給圖形比較特殊(正方形、矩形、直角梯形、等邊三角形、等腰三角形或直角三角形等)，則可通過建系將向量坐標(biāo)化，從而得到關(guān)于x，y的方程組，再進行求解．
3、若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對于向量方程，可考慮兩邊對同一向量作數(shù)量積運算，從而得到關(guān)于于x，y的方程組，再進行求解．
3、對于求x＋y的值的有關(guān)問題可考慮平面向量的等和線定理法。
【題型1 平面向量的基本概念】
【例1】（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）下列說法中正確的是（ ）
A．單位向量都相等 B．平行向量不一定是共線向量
C．對于任意向量，必有 D．若滿足且與同向，則
【答案】C
【解析】依題意，對于A，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯誤；
對于B，平行向量就是共線向量，故錯誤；
對于C，若同向共線，，
若反向共線，，
若不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及
兩邊之和大于第三邊知.
綜上可知對于任意向量，必有，故正確；
對于D，兩個向量不能比較大小，故錯誤.故選：C.
【變式1-1】（2022秋·四川成都·高三?？计谥校╆P(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，，則
【答案】B
【解析】A.由平面向量的定義可知，向量的模相等，向量不一定相等，故A錯誤；
B.兩個向量是相反向量，則兩個向量平行，故B正確；
C.向量不能比較大小，故C錯誤；
D.當(dāng)向量時，與不一定平行，故D錯誤；故選：B
【變式1-2】（2022秋·吉林·高三?？计谀ǘ噙x）下列命題正確的有（ ）
A．方向相反的兩個非零向量一定共線
B．單位向量都相等
C．若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同
D．“若是不共線的四點，且'“四邊形是平行四邊形”
【答案】AD
【解析】對于A，方向相同或相反的兩個非零向量為共線向量，故A正確；
對于B：單位向量的模為，但是方向不一定相同，故B錯誤；
對于C：若兩個向量相等，它們的起點不一定相同，終點也不一定相同，故C錯誤；
對于D：若是不共線的四點，且，則且，
所以四邊形是平行四邊形，故充分性成立，
若四邊形是平行四邊形，則，故必要性也成立，故D正確.故選：AD
【變式1-3】（2022秋·湖北省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）下列說法中，正確的是（ ）
A．若向量，滿足，與同向，則
B．若兩個非零向量，滿足，則，是互為相反向量
C．的充要條件是與重合，與重合
D．模為是一個向量方向不確定的充要條件
【答案】BD
【解析】對A：向量不可比較大小，故A錯誤；
對B：若兩個非零向量，滿足，則，且方向相反，
故，互為相反向量，B正確；
對C：與重合，與重合，故，充分性成立；但，
根據(jù)向量可平移性，不一定有與重合，與重合，必要性不滿足，C錯誤；
對D：模為的向量是零向量，其方向不確定，故充分性成立；
一個向量方向不確定，是零向量，其模為，必要性成立，
即模為是一個向量方向不確定的充要條件，D正確.故選：BD.
【變式1-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列五個命題：
①向量與共線，則必在同一條直線上；
②如果向量與平行，則與方向相同或相反；
③四邊形P1P2OA是平行四邊形的充要條件是；
④若，則、的長度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不確定，故零向量與任何向量不平行.
其中正確的命題有______個.
【答案】0
【解析】對于①，向量與共線，則直線與直線可能平行，故①錯；
對于②，若為零向量，零向量與任意向量平行，故②錯；
對于③，，則四點可能共線，故③錯；
對于④，，只能說明、的長度相等但確定不了方向，故④錯；
對于⑤，零向量與任何向量平行，故⑤錯.
所以正確的命題有0個，故答案為：0
【題型2 平面向量的線性運算】
【例2】（2023·高三課時練習(xí)）如圖，設(shè)D、E、F分別為的三邊BC、CA、AB的中點，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可知，，
故選：A
【變式2-1】（2023秋·湖北·高三統(tǒng)考期末）（多選）如圖所示，在邊長1為的正六邊形ABCDEF中，下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由正六邊形性質(zhì)可知，正六邊形ABCDEF對邊平行且相等，
對角線交于O將正六邊形分成六個全等正三角形.
對A，，A錯；
對B,，B對；
對C，，C對；
對D，，，
，D錯.故選：BC
【變式2-2】（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，滿足，，
，B不正確；
，，A不正確；
，C正確；
，，，D不正確.故選：C
【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）如圖，是所在平面內(nèi)任意一點，是的重心，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】對于A選項，由題意可知，、、分別為、、的中點，
所以，，
同理可得，，
所以，，A錯；
對于B選項，由重心的性質(zhì)可知，，，
由A選項可知，，
所以，，B對；
對于C選項，由重心的性質(zhì)可知，，，
所以，，C對；
對于D選項，，
同理可得，，
因此，，D對.故選：BCD.
【變式2-4】（2022秋·江蘇南京·高三?？计谀┮阎矫嫠倪呅螡M足，平面內(nèi)點滿足，與交于點，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，因為，所以,
又因為，所以，所以，
又因為，所以，
所以，在平面四邊形中，,
所以且
所以相似于相似比為，所以,
,
所以，故選:B.
【題型3 平面向量的共線定理】
【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，分別為上的點，且，連接，與交于點，若，則的值為______.
【答案】
【解析】在中，不共線，因為，
則有，
又三點共線，于是得，解得，
所以的值為.
【變式3-1】（2021秋·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在中，為直線上的任意一點，為的中點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為為的中點，且，所以
所以，且，，三點共線，
所以，則．故選：A．
【變式3-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O是內(nèi)一點，，若與的面積之比為，則實數(shù)m的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，
設(shè)，則.
由于，所以A，B，D三點共線，如圖所示，
∵與反向共線，，
∴，∴，
∴.故選：D
【變式3-3】（2022·浙江·模擬預(yù)測）（多選）如圖，已知，點M，N滿足，，BN與CM交于點P，AP交BC于點D，.則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】三點共線，設(shè)，三點共線，設(shè)，A選項：
，
，
∴，解得，，
所以A選項錯誤；
B選項：由，得，
三點共線，則，
即，得，即，
有，得，所以B選項正確；
C選項：
，所以C選項正確；
D選項：
，
所以D選項錯誤.故選：BC
【變式3-4】（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，已知.
（1）用向量分別表示與；
（2）證明：三點共線.
【答案】（1），；（2）證明見解析
【解析】（1）因為，
則，
.
（2）因為，所以.
又因為與有公共點，所以三點共線.
【題型4 平面向量的基本定理】
【例4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（ ）
A．若實數(shù)m，n使，則
B．平面內(nèi)任意一個向量都可以表示成，其中m，n為實數(shù)
C．對于m，，不一定在該平面內(nèi)
D．對平面內(nèi)的某一個向量，存在兩對以上實數(shù)m，n，使
【答案】AB
【解析】根據(jù)基底的定義知AB正確；
對于C，對于m，，在該平面內(nèi)，故C錯誤；
對于D，m，n是唯一的，故D錯誤.故選:AB.
【變式4-1】（2023秋·湖南益陽·高三統(tǒng)考期末）如圖所示的矩形中，滿足，為的中點，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】連接，
由題可知，
又因為為的中點，所以，
所以，
所以，所以.故選：A.
【變式4-2】（2023春·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在平行四邊形中，，，設(shè)，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為四邊形為平行四邊形，所以，，，
因為，，所以，
所以，
,
因為，，所以，解得 ，
所以，故選：B.
【變式4-3】（2023秋·河南三門峽·高三統(tǒng)考期末）向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則（ ）
A． B． C．-4 D．4
【答案】A
【解析】設(shè)網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，在網(wǎng)格線上取互相垂直的單位向量，如圖所示，
則有，，，
由，得，
則，解得，∴.故選：A
【變式4-4】（2022秋·河南·高三信陽高中校聯(lián)考期末）如圖，在平行四邊形中，，，點為與的交點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，知，分別為，的中點.
如圖，設(shè)與的交點為，易得，
所以，所以.
因為點是的中點，所以.
由，，三點共線知，
存在，滿足.
由，，三點共線知，
存在，滿足.
所以.
又因為，為不共線的非零向量，
所以，解得，
所以.故選：.
【題型5 平面向量的坐標(biāo)運算】
【例5】（2022秋·河北滄州·高三統(tǒng)考期末）已知向量，若，則實數(shù)m的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【解析】由，得，解得.故選：A.
【變式5-1】（2023秋·廣西南寧·高三南寧二中?？计谀┮阎矫嫦蛄?，且，則（ ）
A． B．（0，0） C． D．（1，2）
【答案】B
【解析】由于，所以，
所以.故選：B
【變式5-2】（2022秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)向量，若表示向量的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題可知：，
即.故選：D.
【變式5-3】（2023秋·江西·高三校聯(lián)考期末）已知向量，，，若，，三點共線，則______．
【答案】
【解析】因為向量，，則，而，
又，，三點共線，則有，
因此，解得，所以.
【變式5-4】（2022·四川樂山·統(tǒng)考一模）向量，則 _______.
【答案】
【解析】因為，所以，所以
【變式5-5】（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，若，則實數(shù)______．
【答案】
【解析】由已知可得，，
若，則，解得.
【變式5-6】（2022秋·江西九江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，若與共線，則___________.
【答案】-1
【解析】設(shè)，由與共線，所以.
由，得，，
則，解得.
（建議用時：60分鐘）
1．（2022秋·上海寶山·高三上海市行知中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，，若，則（ ）
A．，中至少有一個為非零向量 B．，垂直
C．，反向 D．
【答案】D
【解析】向量，都為零向量，也成立，A不正確；
由得：，整理得，D正確；
當(dāng)向量，均為非零向量時，，，不可能垂直，
，不反向，B，C都不正確.故選：D
2．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐廬中學(xué)期末）已知向量，若與共線，則（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【解析】因為與共線，所以．故選:A．
3．（2022秋·河北保定·高三校考階段練習(xí)）與向量共線的單位向量是（ ）
A． B． C． D．(0，1)
【答案】B
【解析】由可得，
與向量共線的單位向量是和，
分別為和，故選：B
4．（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知向量，，若，則（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】C
【解析】因為，所以，即，所以．故選：C．
5．（2021秋·河南周口·高三?？茧A段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則是銳角三角形
B．若，則
C．，
D．若三點滿足，則三點共線
【答案】D
【解析】A選項，若滿足，可以是鈍角，A錯誤；
B選項，若，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，B錯誤；
C選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，C錯誤；
D選項，，故，
即，故三點共線，D正確.故選：D
6．（2023秋·江蘇南京·高三南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考期末）已知平面四邊形ABCD滿足，平面內(nèi)點E滿足，CD與AE交于點M，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，因為，所以,
又因為，所以，所以，
又因為,所以
且所以相似于相似比為，
所以,
,
所以，故選:B.
7．（2023春·江蘇南京·高三南京市寧海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知非零向量、不共線，如果，，，則四點、、、D，（ ）
A．一定共線 B．恰是空間四邊形的四個頂點
C．一定共面 D．肯定不共面
【答案】C
【解析】因為非零向量不共線，所以，
由平面向量基本定理可知，四點A，，，共面．故選：C．
8．（2023秋·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）在四邊形中,,,點在線段上,且,設(shè),,則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題知,,，畫出示意圖如下:
因為,,,
所以
.故選:C
9．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，平行四邊形中，M為中點，與相交于點P，若，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因為平行四邊形中，M為中點，與相交于點P，
所以，所以，
又，所以，.故選：B.
10．（2023春·河南洛陽·高三欒川縣第一高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知AB是的直徑，C，D是半圓弧AB上的兩個三等分點，設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是的直徑，C，D是半圓弧AB上的兩個三等分點，
且，．故選：A．
11．（2022秋·廣東廣州·高三校聯(lián)考期中）（多選）有下列說法，其中正確的說法為（ ）
A．為實數(shù)，若，則與共線
B．若，則在上的投影向量為
C．兩個非零向量，若，則與垂直
D．若分別表示的面積，則
【答案】BCD
【解析】對于A，當(dāng)時，很顯然，但是與不共線，故A錯誤；
對于B，因為在上的投影向量為
故B正確；
對于C，因為向量為非零向量，且，
即，故與垂直，即C正確；
對于D，如圖所示取中點為，則,
由，可知，
所以三點共線，且，故，故D正確.故選:BCD.
12．（2022·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）給出下面四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．若線段，則向量
B．若向量，則線段
C．若向量與共線，則線段
D．若向量與反向共線，則
【答案】AD
【解析】選項A：由得點B在線段上，則，A正確：
選項B；三角形，，但，B錯誤；
對于C：，反向共線時，，故，C錯誤；
選項D：,反向共線時，，故D正確．故選：AD．
13．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）在菱形中，為的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】對于選項A，，所以該選項錯誤；
對于選項B，，所以該選項正確；
對于選項C，，所以該選項錯誤；
對于選項D，，所以該選項正確.
故選：BD
14．（2022秋·山西晉中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）如圖，正方形中，為中點，為線段上的動點，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)為線段上的中點時， B．的最大值為
C．的取值范圍為 D．的取值范圍為
【答案】ABC
【解析】以為原點，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
因為，所以，
所以，即，
對于選項A，因為為線段上的中點，所以，故，A正確；
對于選項B，，，當(dāng)時，取最大值為，B正確；
對于選項C，因為，，所以，的取值范圍為，C正確；
對于選項D，，，所以，
所以的取值范圍為，D錯誤.故選：ABC.
15．（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知向量，若，則實數(shù)a＝___.
【答案】
【解析】，由，得，解得.
16．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？计谥校└鶕?jù)畢達(dá)哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊上作出的正方形面積之和.現(xiàn)在對直角三角形按上述操作作圖，得到如圖所示的圖形.若，則______.
【答案】
【解析】如圖，以A為原點，分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方形的邊長為，則正方形的邊長為，正方形邊長為
可知，，，
則，，即
又，即，
即，即，化簡得
故答案為：.
17．（2022秋·湖北省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量．
（1）求；
（2）求滿足的實數(shù)和的值；
（3）若，求實數(shù)k的值．
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】（1）因為，
故，故.
（2）因為，，即，
故可得，解得，
故實數(shù)分別為.
（3）因為，
則，，
因為，
故可得，解得，
故實數(shù)的值為.
18．（2023·高三課時練習(xí)）如圖，在中，點A在BC上，且點B關(guān)于點A的對稱點是點C，點D是將分成的一個內(nèi)分點，DC與OA交于點E，設(shè)，．
（1）用、表示向量、；
（2）若，求實數(shù)的值．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）由題意知是的中點，則，
又點是將分成的一個內(nèi)分點，得，
于是，
．
（2）由題圖知、、三點共線，可設(shè)，
又，，
于是，得，解得，所以．
19．（2020秋·安徽六安·高三?？茧A段練習(xí)）在中，，點在邊上且，，
（1）若，求的長；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由余弦定理得：，
因為，所以，所以，
且，
在三角形ABE中，由余弦定理得：
，
因為，所以
（2），
，
則，
即，
，
化簡得：，
20．（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）如圖所示，在中，點D是邊BC的中點，點E是線段AD的中點.過點E的直線與邊AB，AC分別交于點P，Q.設(shè)，，其中
（1）試用與表示、；
（2）求證：為定值，并求此定值；
（3）設(shè)的面積為，的面積為，求的取值范圍.
【答案】（1）；；（2）證明見解析；定值為2；（3）
【解析】（1）由題意可得，；
（2）因為，，所以，
所以，
∵三點共線，∴即，
故為定值，定值為2；
（3）設(shè)，∵，，，
∴，，
∴，
∵，，∴，
所以當(dāng)時，取得最大值；
當(dāng)或時，取得最小值，即，
∴

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