1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復習中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調整及考后心理的調整。以平和的心態(tài)面對高考。
熱點2-4 函數(shù)的圖象與函數(shù)的零點10大題型
函數(shù)圖象問題依舊以考查圖象識別為重點和熱點，難度中檔，也可能考查利用函數(shù)圖象解函數(shù)不等式等。函數(shù)的零點問題一般以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，有時候也會結合導數(shù)在解答題中考查，此時難度偏大。
一、函數(shù)圖象辨識的方法步驟
圖象辨識題的主要解題思想是“對比選項，找尋差異，排除篩選”
1、求函數(shù)定義域（若各選項定義域相同，則無需求解）；
2、判斷奇偶性（若各選項奇偶性相同，則無需判斷）；
3、找特殊值： = 1 \* GB3 ①對比各選項，計算橫縱坐標標記的數(shù)值； = 2 \* GB3 ②對比各選項，函數(shù)值符號的差別，自主取值（必要時可取極限判斷符號）；
4、判斷單調性：可取特殊值判斷單調性.
二、作函數(shù)圖象的一般方法
1、直接法：當函數(shù)表達式是基本函數(shù)或函數(shù)圖象是解析幾何中熟悉的曲線時，就可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出．
2、轉化法：含有絕對值符號的函數(shù)，可去掉絕對值符號，轉化為分段函數(shù)來畫圖象．
3、圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱變換得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序．對不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應注意平移變換的順序對變換單位及解析式的影響．
4、如何制定圖象變換的策略
（1）在尋找到聯(lián)系后可根據(jù)函數(shù)的形式了解變換所需要的步驟，其規(guī)律如下：
①若變換發(fā)生在“括號”內(nèi)部，則屬于橫坐標的變換；
②若變換發(fā)生在“括號”外部，則屬于縱坐標的變換．
例如：：可判斷出屬于橫坐標的變換：有放縮與平移兩個步驟．
：可判斷出橫縱坐標均需變換，其中橫坐標的為對稱變換，縱坐標的為平移變換．
（2）多個步驟的順序問題：在判斷了需要幾步變換以及屬于橫坐標還是縱坐標的變換后，在安排順序時注意以下原則：
①橫坐標的變換與縱坐標的變換互不影響，無先后要求；
②橫坐標的多次變換中，每次變換只有發(fā)生相應變化．
三、零點個數(shù)的判斷方法
1、直接法：直接求零點，令，如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點.
2、定理法：利用零點存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，
結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.
3、圖象法：
（1）單個函數(shù)圖象：利用圖象交點的個數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)就是函數(shù)的零點個數(shù)；
（2）兩個函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點個數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點個數(shù)
4、性質法：利用函數(shù)性質，若能確定函數(shù)的單調性，則其零點個數(shù)不難得到；
若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個周期內(nèi)的零點的個數(shù)
四、已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍的方法
1、直接法：利用零點存在的判定定理構建不等式求解；
2、數(shù)形結合法：將函數(shù)的解析式或者方程進行適當?shù)淖冃危押瘮?shù)的零點或方程的根的問題轉化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的交點問題，再結合圖象求參數(shù)的取值范圍；
3、分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解．
【題型1 函數(shù)圖象的畫法與圖象變換】
【例1】（2022秋·甘肅白銀·高三?？茧A段練習）作出下列函數(shù)圖象
（1）
（2）
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析
【解析】（1）因為，
所以，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，關于軸對稱，
因此只需要畫時的函數(shù)圖形即可，，
再利用對稱性即可得解.
（2）將函數(shù) 的圖象向左平移 1個單位，
再將 軸下方的部分沿 軸翻折上去, 即可得到函數(shù) 的圖象,
如圖所示.
【變式1-1】（2022秋·廣東廣州·高三廣東實驗中學校考階段練習）為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（ ）
A．縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的倍 B．縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的
C．向下平移兩個單位長度 D．向上平移兩個單位長度
【答案】BD
【解析】,
可將函數(shù)的圖象向上平移兩個單位長度得到，
可將函數(shù)的圖象縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的得到.故選：BD
【變式1-2】（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)的圖象如圖1所示，則圖2所表示的函數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由圖知，將的圖象關于軸對稱后再向下平移個單位即得圖2，
又將的圖象關于軸對稱后可得函數(shù)，
再向下平移個單位，可得
所以解析式為，故選：C.
【變式1-3】（2022秋·北京·高三首都師范大學附屬中學?？茧A段練習）函數(shù)的圖像可看作是把函數(shù)經(jīng)過以下哪種變換得到（ ）
A．把函數(shù)向右平移一個單位
B．先把函數(shù)的圖像關于軸對稱，然后把所得函數(shù)圖像向左平移一個單位
C．先把函數(shù)的圖像關于軸對稱，然后把所得函數(shù)圖像向左平移一個單位
D．先把函數(shù)的圖像關于軸對稱，然后把所得函數(shù)圖像上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標不變
【答案】D
【解析】選項A：函數(shù)向右平移一個單位得到；
選項B：先把函數(shù)的圖像關于軸對稱得到，
然后向左平移一個單位得到；
選項C：先把函數(shù)的圖像關于軸對稱得到，
然后向左平移一個單位得到；
選項D：先把函數(shù)的圖像關于軸對稱得到，
然后把各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標不變得到；故選：D
【變式1-4】（2022秋·江西宜春·高三江西省豐城中學?？茧A段練習）定義在上的函數(shù)滿足，且在單調遞增，，，則函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以的圖象關于直線對稱，
則的圖象關于直線即軸對稱，是偶函數(shù)，
為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，
所以是偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，排除AD選項.
，
由于在上遞增，在上遞減，
所以有且僅有個零點：和，另外有，
所以有且僅有個零點：和，有唯一零點：，
所以有且僅有個零點：、和.
當時，，，
從而排除C選項，故B選項正確.故選：B
【變式1-5】（2022秋·北京海淀·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)．甲同學將的圖象向上平移個單位長度，得到圖象；乙同學將的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），得到圖象．若與恰好重合，則下列給出的中符合題意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】對于A，，，A錯誤；
對于B，，，B正確；
對于C，，，C錯誤；
對于D，，，D錯誤.故選：B.
【題型2 由復雜函數(shù)解析式選擇圖象】
【例2】（2022·四川資陽·統(tǒng)考二模）函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，C、D錯誤；
又∵若時，，
當時，，當時，，
∴當時，，當時，，A錯誤，B正確；
故選：B.
【變式2-1】（2022秋·江西·高三九江一中校聯(lián)考階段練習）函數(shù)的大致圖像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】注意到過點，故可排除C，D選項.
因在上單調遞增，在上單調遞增，
則由復合函數(shù)單調性相關知識點可知，在上單調遞增，故排除B選項.
故選：A
【變式2-2】（2022·河南·安陽一中校聯(lián)考模擬預測）函數(shù)圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易得函數(shù)定義域為，已知函數(shù)，
，
函數(shù)為奇函數(shù)，排除A選項；
當時，，，，則，
所以，排除C選項；
當時，，，，則，
所以，排除D選項；故選：B.
【變式2-3】（2022秋·江蘇南京·高三南京師大附中?？计谥校┖瘮?shù)的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，則其定義域為，
因為，故函數(shù)為偶函數(shù)，
，，
令，解得，可得下表：
故選：A.
【變式2-4】（2022秋·山東青島·高三山東省萊西市第一中學?？茧A段練習）函數(shù)在,上的大致圖像可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】①當時，，，函數(shù)為奇函數(shù)，
由時，時等性質可知A選項符合題意；
②當時，令，作出兩函數(shù)的大致圖象，
由圖象可知在內(nèi)必有一交點，記橫坐標為，此時，故排除D選項；
當時，，時，，
若在內(nèi)無交點，則在恒成立，
則圖象如C選項所示，故C選項符合題意；
若在內(nèi)有兩交點，同理得B選項符合題意.故選：ABC.
【題型3 根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式】
【例3】（2022秋·福建南平·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)的部分圖象如圖所示，則下列可能是的解析式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A. ，故錯誤；
B.因為，且，則在R上遞增，故正確；
C.的定義域為關于原點對稱，
又 ，則是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故錯誤；
D. 的定義域為關于原點對稱，
又，則是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故錯誤；
故選：B
【變式3-1】（2022秋·湖北宜昌·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題圖：的定義域為，排除A；
當，
故是奇函數(shù)，排除B.
當，
故是奇函數(shù)，排除C.故選：D
【變式3-2】（2022秋·廣西桂林·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)圖像可得：所求函數(shù)為奇函數(shù)，且當時，；
對CD：定義域關于原點對稱，且都有，均為偶函數(shù)，故錯誤；
對A：當時，，故錯誤；故選：B.
【變式3-3】（2022秋·江蘇揚州·高三期末）已知函數(shù)的部分圖像如圖，則函數(shù)的解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于圖像關于原點對稱，所以為奇函數(shù)，
對于A：由得：，
為偶函數(shù)，故可排除A；
對于D：由得：，
為偶函數(shù)，故可排除D；
由圖知圖象不經(jīng)過點，
而對于C：，故可排除C；故選：B
【變式3-4】（2022秋·湖北·高三棗陽一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，，，則圖像為下圖的函數(shù)可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對于A，該函數(shù)為奇函數(shù)，
由已知圖象可得函數(shù)的圖象不關于原點對稱，故A不符合；
對于B，該函數(shù)為奇函數(shù)，
由已知圖象可得函數(shù)的圖象不關于原點對稱，故B不符合；
對于C，由于，所以，
由于已知圖象的值域中存在負值，故C不符合；
對于D，不是奇函數(shù)，，所以，故D圖象符合.故選：D.
【題型4 根據(jù)實際問題作函數(shù)圖象】
【例4】（2022·北京·人大附中校考模擬預測）如圖為某無人機飛行時，從某時刻開始15分鐘內(nèi)的速度（單位：米/分鐘）與時間（單位：分鐘）的關系．若定義“速度差函數(shù)”為無人機在時間段內(nèi)的最大速度與最小速度的差，則的圖像為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意可得，當時，無人機做勻加速運動，
，“速度差函數(shù)”；
當時，無人機做勻速運動，，“速度差函數(shù)”；
當時，無人機做勻加速運動，，“速度差函數(shù)”；
當時，無人機做勻減速運動，“速度差函數(shù)”，
結合選項C滿足“速度差函數(shù)”解析式，故選：C.
【變式4-1】（2022·四川瀘州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，一高為H且裝滿水的魚缸，其底部裝有一排水小孔，當小孔打開時，水從孔中勻速流出，水流完所用時間為若魚缸水深為h時，水流出所用時間為t，則函數(shù)的圖象大致是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函數(shù)是關于t的減函數(shù)，故排除C，D，
則一開始，h隨著時間的變化，而變化變慢，超過一半時，h隨著時間的變化，
而變化變快，故對應的圖象為B，故選B．
【變式4-2】（2022秋·安徽合肥·高三?？计谥校ǘ噙x）水滴進玻璃容器，如圖所示（單位時間內(nèi)進水量相同），則下列選項匹配正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】在a中，容器是圓柱形的，水高度的變化速度應是直線型，與（2）對應，故A正確；
在b中，容器下粗上細，水高度的變化先慢后快，與（3）對應，故B正確；
在c中，容器為球型，水高度的變化為快—慢—快，與（1）對應，故C錯誤；
在d中，容器上粗下細，水高度的變化為先快后慢，與（4）對應，故D錯誤.
故選：AB.
【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習）如圖，正△ABC的邊長為2，點D為邊AB的中點，點P沿著邊AC，CB運動到點B，記∠ADP＝x．函數(shù)f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，則y＝f（x）的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．
在區(qū)間（0，）上，P在邊AC上，|PB|＞|PA|，則f（x）＞0，排除C；
在區(qū)間上，P在邊BC上，|PB|＜|PA|，則f（x）＜0，排除B，
又由當時，有，的圖象關于點對稱，排除D，
故選：A
【變式4-4】（2022·全國·高三專題練習）在《九章算術》中,將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑,在鱉臑中,平面,且,,點在棱上運動,設的長度為,若的面積為,則的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作于點,作于點,連接到,
由已知可得,且平面,
所以平面,又平面,所以,
平面，平面,
平面，,
設,
則,
,
,
故,
其函數(shù)圖像是關于直線對稱的圖像且開口上,故選項B,C,D錯誤．故選:A．
【題型5 函數(shù)零點所在區(qū)間問題】
【例5】（2022秋·湖南長沙·高三長郡中學校考階段練習）函數(shù)零點所在的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為函數(shù)在上單調遞減，
所以函數(shù)最多只有一個零點，
因為，
，
，
，
所以函數(shù)零點所在的區(qū)間是.故選：C
【變式5-1】（2022秋·廣東深圳·高三紅嶺中學?？茧A段練習）函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間是（ ）
A．(1，2) B．(2，3) C．(3，3.5) D．(3.5，4)
【答案】A
【解析】因為函數(shù)在上單調遞增，
所以，在上單調遞增，
因為，，
所以，函數(shù)只有一個零點，且位于區(qū)間內(nèi).故選：A．
【變式5-2】（2022秋·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考階段練習）若函數(shù)有零點，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為函數(shù)與均在上單調遞增，
所以在上單調遞增.
要使函數(shù)有零點，則只需要即可，
即，解得.故選：D.
【變式5-3】（2022秋·上海浦東新·高三上海市實驗學校?？茧A段練習）已知，函數(shù)的零點從小到大依次為，若），請寫出所有的所組成的集合___________.
【答案】
【解析】的零點可以轉化為函數(shù)和圖象交點的橫坐標，
圖象如右所示，由圖可知共三個零點，
，，所以在上存在一個零點；
，則在上存在一個零點；
，，則在上存在一個零點；
所以.
【變式5-4】（2022秋·安徽·高三合肥一六八中學校聯(lián)考階段練習）（多選）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】BCD
【解析】設在區(qū)間上零點為，則，
所以點在直線上，
由，其中О為坐標原點．
又，
記函數(shù)，，
因為，所以在上單調遞增
所以最小值為，所以，故選：BCD.
【題型6 函數(shù)的零點與零點個數(shù)問題】
【例6】（2022秋·上海楊浦·高三同濟大學第一附屬中學?？茧A段練習）若函數(shù)，滿足，且時，，則函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點的個數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由題意得的周期為2，
作出與的函數(shù)圖象，數(shù)形結合得共有6個交點，故選：C
【變式6-1】（2022·天津河西·統(tǒng)考二模）已知定義在R上的函數(shù)滿足：①；②；③在上的解析式為，則函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上的交點個數(shù)為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由知的圖象關于對稱，
由知的圖象關于對稱，
作出與在,上的圖象：
由圖可知函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上的交點個數(shù)為4．故選：B．
【變式6-2】（2022秋·上海閔行·高三上海市七寶中學校考期中）定義域為的函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，，且對任意只有，，則方程實數(shù)根的個數(shù)為（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】D
【解析】由于函數(shù)的圖象關于直線對稱，當，時，,
對任意都有，得，
所以函數(shù)在，上以4為周期，,
做出函數(shù)一個周期，的圖象：
當時， ，由得：
令，則，
因為，而在第一個周期有3個交點，后面每個周期有2個交點，
所以共有個交點，
當時， ，由得：,
令，得，由上述可知，有個交點，
故有個交點，
又時，，
所以方程實數(shù)根的個數(shù)為．故選：D．
【變式6-3】（2022秋·河北·高三期中）函數(shù)零點的個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】,
是上的偶函數(shù)，,
①當時,令,得或，
令,得.
在和上單調遞增,在上單調遞減.
,使得在上有兩個零點.
②當時,，
在上沒有零點，
由①②及是偶函數(shù)可得在上有三個零點.故選：D.
【變式6-4】（2022秋·江蘇南京·高三期末）若函數(shù) 的定義域為，且 ， ，則曲線與的交點個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由題意函數(shù) 的定義域為，且，
，
令，則，
令，則，即，
令，則，即，
令，則，即，
令，則，即，
令，則，即，
令，則，即，
令，則，即，
依次類推，可發(fā)現(xiàn)此時當，且x依次取時，
函數(shù)的值依次為 ，即每四個值為一循環(huán)，
此時曲線與的交點為；
令，則，
令，則，
令，則，
令，則，
令，則，
令，則，
令，則，
依次類推，可發(fā)現(xiàn)此時當，且x依次取時，
函數(shù)的值依次為 ，即每四個值為一循環(huán)，
此時曲線與的交點為；
故綜合上述,曲線與的交點個數(shù)為3，故選：B
【題型7 根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍】
【例7】（2022秋·廣東中山·高三小欖中學校考階段練習）已知函數(shù)，若方程有4個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為_________．
【答案】
【解析】由題知：方程有4個不同的實數(shù)解，即有4個不同的實數(shù)解．
作出圖像（如圖所示），即直線與曲線有4個公共點．
易知：．
【變式7-1】（2022秋·新疆喀什·高三新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，即，
令，當時，，
，令得：或，
結合，所以，令得：，
結合得：，所以在處取得極大值，也是最大值，
，當時，，且，
當時，，則恒成立，
單調遞增，且當時，，當時，，
畫出的圖象，如下圖：
要想有3個零點，則故選：B
【變式7-2】（2022·江西南昌·南昌市八一中學校考三模）定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當時，，若關于x的方程恰有5個解，則m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴函數(shù)關于直線對稱，又為定義在R上的偶函數(shù)，
故函數(shù)關于直線對稱，
作出函數(shù)與直線的圖象，
要使關于x的方程恰有5個解，
則函數(shù)與直線有5個交點，
∴，即.故選：B.
【變式7-3】（2022秋·北京順義·高三牛欄山一中校考期中）若函數(shù)滿足存在使有兩個不同的零點，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】如圖所示，畫出函數(shù)的圖象.
結合圖象可知，
【變式7-4】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)恰有3個零點，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】設函數(shù)，根據(jù)題意函數(shù)恰有3個零點，
即為函數(shù)的圖象與直線有3個公共點，
當時，可得，令，得，
當時，函數(shù)單調遞減；
當時，函數(shù)單調遞增，
所以當時，函數(shù)取得極小值，極小值為，
又由，作出的圖象，如圖所示，
由圖可知，實數(shù)的取值范圍是．
【題型8 復合函數(shù)的零點問題】
【例8】（2022秋·貴州黔東南·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為______.
【答案】2
【解析】先由函數(shù)畫出草圖如圖，函數(shù)的零點為，令，得，
函數(shù)的零點個數(shù)就是方程解的個數(shù)，也就是函數(shù)的
圖像與直線交點的個數(shù)，
由圖可知函數(shù)的圖像與直線有兩個不同的交點，，
的零點個數(shù)為2，
【變式8-1】（2022秋·上海普陀·高三曹楊二中校考期中）已知函數(shù)，關于x的方程，給出下列四個命題：
①存在實數(shù)k，使得方程恰有2個不同的實根；
②存在實數(shù)k，使得方程恰有3個不同的實根；
③存在實數(shù)k，使得方程恰有5個不同的實根；
④存在實數(shù)k，使得方程恰有8個不同的實根．
其中真命題的序號為（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】設，則，當時，,當時，有兩解．
則原方程等價為，即．
畫出以及的圖象，
由圖象可知，（1）當時，，此時方程恰有2個不同的實根；
（2）當時，或或，
當時，有兩個不同的解，
當時，有兩個不同的解，
當時，只有一個解，所以此時共有5個不同的解．
（3）當時，或或或，此時對應著8個解．
（4）當時，或．此時每個對應著兩個，所以此時共有4個解．
綜上正確的是①③④．故選：C
【變式8-2】（2022秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．
（1）求的單調遞增區(qū)間；
（2）若，討論函數(shù)的零點個數(shù)．
【答案】（1），；（2）答案詳見解析
【解析】（1），
由，，
解得，，
故遞增區(qū)間為，.
（2），則，則，
所以，
畫出在區(qū)間上的圖象如下圖所示，
令，則，，
由，結合圖象得：
①當時，，，即，此時零點唯一；
②當時，或或，此時三個零點；
③當時，或或，此時兩個零點；
④當時，或或（無解），此時只有一個零點；
⑤當時，或或，此時兩個零點；
⑥當，時，或或，此時有兩個零點；
⑦當時，或或（無解），此時有一個零點；
綜上所述：當時，只有一個零點；
時，只有兩個零點；，有三個零點.
【變式8-3】（2022秋·河南焦作·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，方程（其中）有6個不同的實根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為當時，有，
故在上圖象與在上的圖象關于對稱，
故在上有3個不同的實數(shù)根.
下面僅在上討論的解.
因為，故或，
當時，則有：，解得.
因為方程在上有3個不同的實數(shù)根.
故在上有2個不同的實數(shù)根且與相異，
故有兩個不同的解，整理得到有兩個不同的解.
設，則，解得，
故.故選：C.
【變式8-4】（2022秋·江西撫州·高三金溪一中校考階段練習）已知函數(shù)，若方程的所有實根之和為4，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，
當時，方程為，即，
作出函數(shù)及的圖象，
由圖象可知方程的根為或，
即或，
作出函數(shù)的圖象，
結合圖象可得所有根的和為5，不合題意，故BD錯誤；
當時，方程為，即，
由圖象可知方程的根，即，
結合函數(shù)的圖象，可得方程有四個根，
所有根的和為4，滿足題意，故A錯誤.故選：C.
【題型9 函數(shù)零點的大小與范圍】
【例9】（2022秋·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習）已知，函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為單調遞增,
且
由零點的存在性定理可知有唯一零點且;
因為在單調遞增,
且,
由零點的存在性定理可知有唯一零點且;
因為在單調遞增，且,
由零點的存在性定理可知有唯一零點，所以.故選:C.
【變式9-1】（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的零點分別為，則的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題可得即為的圖象分別與，，的交點的橫坐標，
如圖，畫出函數(shù)圖象，由圖可得，.故選：A.
【變式9-2】（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則方程，在區(qū)間[-5,7]上所有解的和為（ ）
A ．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解析】第一步：判斷函數(shù)與的圖象的特征并作出圖象
∵為奇函數(shù)，∴，即，
∴的圖象關于點(1,0)對稱．
又
，
∴是周期為4的周期函數(shù)，顯然，函數(shù)的圖象關于點(1,0)對稱，
在同一直角坐標系中，分別作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示．
（畫出函數(shù)圖象，注意“草圖不草”）
第二步：確定交點個數(shù)，進而求解
由可知，函數(shù)與的圖象在[-5,7]上共有8個交點，且兩兩關于點(1,0)對稱，
∴方程在[-5,7]上所有解的和為．故選：B
【變式9-3】（2022秋·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)若直線與的圖像有四個交點，且從左到右四個交點的橫坐標依次為，則（ ）
A．12 B．16 C．18 D．32
【答案】C
【解析】作出函數(shù)的圖像如圖所示：
的圖像關于直線對稱.由圖可知：，且.
所以.
由可得：，所以.
同理可得，所以.
于是.故選：C
【變式9-4】（2022·全國·高三專題練習）（多選）已知函數(shù)的兩個零點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】令，則，
令，，
則函數(shù)的兩個零點為，
即為函數(shù)，交點的橫坐標，
作圖如下圖所示：
故，故A正確；
根據(jù)題意得，即，
因為，所以，
故，即，
所以，即，所以，故B正確；
因為，所以，即，
所以，當且僅當時取等號，
又因，所以，故C錯誤；
，
當且僅當，即時，取等號，故D正確.故選：ABD.
【變式9-5】（2022秋·天津武清·高三校考階段練習）已知函數(shù)，如果互不相等的實數(shù)，滿足，則實數(shù)的取值范圍_____.
【答案】
【解析】，畫出函數(shù)圖象，如圖所示：
不妨設，其中，故，且，所以的取值范圍是.
【題型10 二分法及其應用】
【例10】（2022·陜西西安·西安中學校考模擬預測）某同學用二分法求函數(shù)的零點時，計算出如下結果：，，下列說法正確的有（ ）
A．是滿足精度為的近似值.
B．是滿足精度為的近似值
C．是滿足精度為的近似值
D．是滿足精度為的近似值
【答案】B
【解析】，又,A錯誤；
，又，
滿足精度為的近似值在內(nèi)，則B正確，D錯誤；
，C錯誤.故選：B.
【變式10-1】（2022·全國·高三專題練習）在用二分法求方程在上的近似解時，構造函數(shù)，依次計算得，，，，，則該近似解所在的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)已知，，，，，
根據(jù)二分法可知該近似解所在的區(qū)間是．故選：C.
【變式10-2】（2022·全國·高三專題練習）用二分法求如圖所示的函數(shù)的零點時，不可能求出的零點是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由二分法的思想可知，零點x1，x2，x4左右兩側的函數(shù)值符號相反，
即存在區(qū)間(a，b)，使得x1，x2，x4∈(a，b)，f(a)·f(b)0，故不可以用二分法求該零點．故選：C
【變式10-3】（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示：
那么函數(shù)的一個零點近似值（精確度為0.1）為（ ）
A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89
【答案】B
【解析】根據(jù)給的數(shù)據(jù)知道方程的根在區(qū)間內(nèi)，所以近似解為0.57，故選：B
【變式10-4】（2022·黑龍江·高三嫩江市高級中學開學考試）已知f(x)＝－lnx在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個零點x0，若用二分法求x0的近似值(精確度0.1)，則需要將區(qū)間等分的次數(shù)為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由求解方程近似解的步驟可知，需將區(qū)間等分4次．
（建議用時：60分鐘）
1．（2023秋·福建泉州·高三?？茧A段練習）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，其定義域為關于原點對稱，
，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，即圖像關于原點對稱，故排除AC，
當時，，，，即，故排除D，故選：B.
2．（2022秋·四川·高三川大附中?？计谥校┓匠痰慕馑诘膮^(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，設 ，
則方程的解等同于函數(shù) 的零點；
，所以函數(shù)是單調遞增的，
又 ， ， ，
∴函數(shù)的零點在 內(nèi)；故選：C.
3．（2022秋·北京·高三統(tǒng)考階段練習）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向上平移個單位長度 D．向下平移個單位長度
【答案】C
【解析】因為，
所以只需把函數(shù)的圖像向上平移個單位長度即可.故選：C
4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)則函數(shù)的圖象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意得，當，即時，；
當，即時，
所以
結合函數(shù)圖象可知：自變量的分界線為，故排除A,C,D故選：B．
5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，若函數(shù)在上的大致圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知為偶函數(shù)，由，則為奇函數(shù)，
由圖象可知，該函數(shù)是奇函數(shù)，因為是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，
所以是非奇非偶函數(shù)，A，B不符合題意.
因為當時，無意義，所以C不符合題意.故選：D.
6．（2022秋·黑龍江雞西·高三雞東縣第二中學校考階段練習）函數(shù)的圖像大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函數(shù)的定義域為，關于原點對稱
，
函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，故排除A選項；
又，故排除D選項；
，
當時，，即在上單調遞增，故排除C選項.故選：B.
7．（2022·黑龍江雞西·雞西市第四中學校考三模）若兩個函數(shù)的圖象經(jīng)過若干次平移后能夠重合，則稱這兩個函數(shù)為“同形”函數(shù)，給出下列三個函數(shù)：，，，則（ ）
A．，，為“同形”函數(shù)
B．，為“同形”函數(shù)，且它們與不為“同形”函數(shù)
C．，為“同形”函數(shù)，且它們與不為“同形”函數(shù)
D．，為“同形”函數(shù)，且它們與不為“同形”函數(shù)
【答案】A
【解析】，，
故，的圖象可分別由的圖象向左平移個單位、
向右平移1個單位得到，
故，，為“同形”函數(shù)．故選：A．
8．（2022秋·河南洛陽·高三校聯(lián)考階段練習）函數(shù)若方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程有三個不同的實數(shù)根
函數(shù)與的圖象有三個不同的交點．
當時，，令，得，
則當時，，函數(shù)單調遞增，
當時，，函數(shù)單調遞減，
所以當時，且，
則函數(shù)的圖象如圖所示：
要使函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，需，
故實數(shù)m的取值范圍是．故選：D．
9．（2022秋·黑龍江牡丹江·高三?？茧A段練習）（多選）關于函數(shù)，下列描述正確的有（ ）
A．在區(qū)間上單調遞增 B． 的圖象關于直線對稱
C．若則 D．有且僅有兩個零點
【答案】ABD
【解析】根據(jù)圖象變換作出函數(shù)的圖象（，作出的圖象，
再作出其關于軸對稱的圖象，然后向右平移2個單位，
最后把軸下方的部分關于軸翻折上去即可得），如圖，
由圖象知在是單調遞增，A正確，函數(shù)圖象關于直線對稱，B正確；
，直線與函數(shù)圖象相交可能是4個交點，如圖，
如果最左邊兩個交點橫坐標分別是，則不成立，C錯誤，
與軸僅有兩個公共點，即函數(shù)僅有兩個零點，D正確．故選：ABD．
10．（2022·吉林長春·長春吉大附中實驗學校校考模擬預測）（多選）定義域和值域均為（常數(shù)）的函數(shù)和圖像如圖所示，給出下列四個命題，那么，其中正確命題是（ ）
A．方程有且僅有3個解 B．方程有且僅有3個解
C．方程有且僅有7個解 D．方程有且僅有1個解
【答案】ACD
【解析】對于A中，設，則由，即，
由圖像知方程有三個不同的解，設其解為，，，
由于是減函數(shù)，則直線與函數(shù)只有1個交點，
所以方程，，分別有且僅有一個解，
所以有且僅有3個解，故A正確；
對于B中，設，則由，即，
由圖像可得有且僅有一個解，設其解為b，可知，
則直線與函數(shù)只有2個交點，
所以方程只有兩個解，所以方程有兩個解，故B錯誤；
對于C中，設，若，即，
方程有三個不同的解，設其解為，，，設，
則由函數(shù)圖像，可知，，
由圖可知，直線和直線分別與函數(shù)有3個交點，
直線與函數(shù)只有1個交點，
所以或或共有7個解，
所以共有7個解，故C正確；
對于D中，設，若，即，
由圖像可得有且僅有一個解，設其解為b，可知，
因為是減函數(shù)，則直線與函數(shù)只有1個交點，
所以方程只有1解，所以方程只有一個解，故D正確.故選：ACD.
11．（2022秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習）函數(shù)的零點的個數(shù)為____．
【答案】２
【解析】當時，
根據(jù)二次函數(shù)的性質可知，此時單調遞減，零點為
當時，
∵單調遞增，單調遞增，
∴單調遞增.
,
由零點存在定理，在區(qū)間必有唯一零點.
綜上所述，函數(shù)的零點個數(shù)為２．
12．（2023秋·江西贛州·高三贛州市贛縣第三中學?？计谥校┮阎x域為R的奇函數(shù)滿足：，若方程在上恰有三個根，則實數(shù)k的取值范圍是________．
【答案】
【解析】定義為的奇函數(shù)滿足：，
方程在上恰有三個根，
即直線與函數(shù)的圖像有三個交點，
由是上的奇函數(shù)，則，
當時，，則，
當時，，當時，，
在上遞減，在上遞增，
結合奇函數(shù)的對稱性和“周期現(xiàn)象”得在，上的圖像如下：
由于直線過定點，
如圖，連接，兩點作直線，
過點作的切線，
設切點，，其中，，則斜率，
切線過點，
則，即，則，
當直線繞點在與之間旋轉時，
直線與函數(shù)在，上的圖像有三個交點，故．
13．（2023·全國·高三專題練習）已知偶函數(shù)，當時，，若函數(shù)恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為__________
【答案】
【解析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，令，則，
若函數(shù)恰有4個不同的零點，
則需函數(shù)與有4個不同的交點，所以實數(shù)的取值范圍為，
14．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若關于的方程有3個不同的實數(shù)根，則的取值范圍為______．
【答案】
【解析】當，，則，
令，得，
當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增，，
作出函數(shù)的大致圖象，
設，則有兩個不同的實數(shù)根，
由可知，與異號，
不妨設，要使方程有3個不同的實數(shù)根，
則或，
①當時，，得；
②當時，設，則，得，
綜上，的取值范圍為．
15．（2022·全國·高三專題練習）設為實數(shù)，函數(shù).
（1）若，求的取值范圍；
（2）討論的單調性；
（3）當時，討論在上的零點個數(shù).
【答案】（1），；（2）在上單調遞增，在上單調遞減；（3）有2個零點
【解析】（1），,
當時，不等式為恒成立，滿足條件，
當時，不等式為，，
綜上所述的取值范圍為，；
（2）當時，函數(shù)，
其對稱軸為，此時在時是減函數(shù)，
當時，，
其對稱軸為：，在時是增函數(shù)，
綜上所述，在上單調遞增，在上單調遞減，
（3）設g(x)=f(x)+|x|=x2+(2?2a)x,x?ax2?2ax+2a,0?x

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