新高考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專練熱點(diǎn)4-1 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)6大題型-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭(zhēng)取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
熱點(diǎn)4-1 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)6大題型
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性之間邏輯關(guān)系則是重心。隨著新高考改革的推進(jìn)，更加注重對(duì)以周期性為核心的三大性質(zhì)之間的邏輯關(guān)系的考查，要求考生能用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算來研究三角函數(shù)。高考中的相關(guān)試題多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏下。
一、三角函數(shù)性質(zhì)問題相關(guān)方法
1、周期的計(jì)算公式:
函數(shù)的周期為，
函數(shù)的周期為求解.
2、奇偶性的判斷方法:
三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為或的形式，
而偶函數(shù)一般可化為的形式.
3、解決對(duì)稱性問題的關(guān)鍵：熟練掌握三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心.
方法：整體處理法、代入驗(yàn)證法
對(duì)于函數(shù)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線或點(diǎn)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過檢驗(yàn)的值進(jìn)行判斷.
確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法
采用“換元”法整體代換，將‘’看作一個(gè)整體，可令“”，即通過求的單調(diào)區(qū)間而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.若，則可利用誘導(dǎo)公式先將x的系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù)，再求單調(diào)區(qū)間.
二、三角函數(shù)圖形變換問題
解決三角函數(shù)圖像變換問題的兩種方法分別為先平移后伸縮和先伸縮后平移.破解此類題的關(guān)鍵如下：
1、定函數(shù)：一定要看準(zhǔn)是將哪個(gè)函數(shù)的圖像變換得到另一個(gè)函數(shù)的圖像.
2、變同名：函數(shù)的名稱要一樣.
3、選方法：即選擇變換方法.要注意：對(duì)于函數(shù)的圖像，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的是函數(shù)的圖象，而不是函數(shù)的圖像.
【題型1 三角函數(shù)的圖象辨析】
【例1】（2023·湖南湘潭·統(tǒng)考二模）函數(shù)的部分圖象大致為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故排除C,D,
又，所以排除B,故選：A
【變式1-1】（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，
圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除C，D選項(xiàng)；
，排除B選項(xiàng).
所以A選項(xiàng)正確.故選：A
【變式1-2】（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象大致為（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意得函數(shù)定義域?yàn)?，且?br>∴為偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)B，
∵，，為最大值，∴排除選項(xiàng)D，
∵，
∴是為周期的周期函數(shù)，∴排除選項(xiàng)A.故選：C
【變式1-3】（2022秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在上的圖象大致為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以f（x）是奇函數(shù)，排除A，D，
當(dāng)時(shí)，，，所以，排除C，故選：B．
【變式1-4】（2022秋·四川遂寧·高三遂寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象大致為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
設(shè)，
所以，
所以函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除選項(xiàng)D.
又，所以排除選項(xiàng)B.
當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí).故選：A
【題型2 根據(jù)圖象求三角函數(shù)解析式】
【例2】（2023秋·湖南懷化·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】觀察函數(shù)圖象得，函數(shù)的周期，則，
而，即，則有，
因此，即有，
所以.故選：C
【變式2-1】（2022秋·貴州銅仁·高三?？茧A段練習(xí)）已知A，B，C，D，E是函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖像上的五個(gè)點(diǎn)，如圖，A，B為y軸上的點(diǎn)，C為圖像上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，在x軸上的投影為，則的值為（）
A． B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】因B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，在x軸上的投影為，
則與圖像最高點(diǎn)（最靠近點(diǎn)）連線所對(duì)應(yīng)向量在x軸上的投影為，
又A，
則A與圖像最高點(diǎn)(最靠近點(diǎn))連線對(duì)應(yīng)向量在x軸上的投影為，
故函數(shù)最小正周期為，又，則.
又因函數(shù)圖像過點(diǎn)，則，得，
又，則，得.
綜上，有，.故選：A
【變式2-2】（2023秋·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖，軸，當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，則m的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)檩S，所以圖象的一條對(duì)稱軸方程為，
所以，則，所以，
又，，且，所以，故，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，
所以，
令，
因?yàn)?，則，所以
所以的最小值為，
所以，即．故選：．
【變式2-3】（2023秋·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，且函數(shù)的部分圖象如圖所示，則等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圖可知，函數(shù)過點(diǎn)和點(diǎn)，即，
又因?yàn)?，所以?br>結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，，解得，
所以，解得，因?yàn)椋?br>所以，所以，即，解得，
因?yàn)?，所以，故選：B.
【變式2-4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則的值可以是（）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由圖象可知：，最小正周期，，
，，解得：，
又，，，，
，
，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選：AD.
【題型3 三角函數(shù)圖象變換問題】
【例3】（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)（其中，）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有點(diǎn)（）
A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】C
【解析】由圖象可知，，所以，
又因?yàn)?，所以，所以?br>又因?yàn)?，又，所?
所以
又因?yàn)椋?br>所以只需把的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得的圖象.
故選：C.
【變式3-1】（2022·四川·高三統(tǒng)考對(duì)口高考）為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）
A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位
C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位
【答案】A
【解析】依題意，，
所以把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位
可以得到函數(shù)的圖象，A正確.故選：A
【變式3-2】（2022·陜西漢中·統(tǒng)考一模）為得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）
A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】A
【解析】
故可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到.故選：A.
【變式3-3】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與其導(dǎo)函數(shù)的圖象重合，則的值為（）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋裕?br>而函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到
，
由題意得，所以,解得且，
所以，故選：D
【變式3-4】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則（）
A． B．3 C．1 D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋裕?br>而
，
由題意得，所以 ,解得，
所以，故選：B.
另解：因?yàn)椋裕?br>由題意知對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，所以令，
得，故選：B.
【變式3-5】（2023·河南信陽(yáng)·河南省信陽(yáng)市第二高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），然后再將其圖象向左平移單位得到圖象，若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,
由，橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變）得到，
將其圖象向左平移單位得到圖象，
而圖象關(guān)于軸對(duì)稱，∴，
∵，∴當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：C.
【題型4 三角函數(shù)的四種性質(zhì)】
【例4】（2023秋·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是偶函數(shù),則______．
【答案】
【解析】由題知數(shù)是上偶函數(shù)，所以,
即，
即，即，,
所以.
故答案為:
【變式4-1】（2023秋·河北邢臺(tái)·高三邢臺(tái)市第二中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為______.
【答案】
【解析】由＝cs＝cs，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (k∈Z).
故答案為：.
【變式4-2】（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）
A．的最小正周期為
B．點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
C．的值域?yàn)?br>D．不等式的解集為
【答案】C
【解析】，
作出的圖象，如圖，
觀察圖象，的最小正周期為，A錯(cuò)誤；
的圖象沒有對(duì)稱中心，B錯(cuò)誤；
的值域?yàn)?，C正確；
不等式，即時(shí)，，得，
解得，
所以的解集為，故D錯(cuò)誤.故選：C
【變式4-3】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不能?。? ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?br>由，，得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
所以，，因?yàn)?，所以，?br>當(dāng)時(shí)，得，得，不成立；所以不可??；
當(dāng)時(shí)，得，得,因?yàn)椋詴r(shí)，可取到；
當(dāng)時(shí)，得，得，因?yàn)?，所以時(shí)，可取到；
當(dāng)時(shí)，得，得，因?yàn)?，所以時(shí)，可取到.
綜上所述：不能取.故選：A
【變式4-4】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）（多選）設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則（）
A． B．
C．在上單調(diào)遞增 D．在上存在唯一的極值點(diǎn)
【答案】BC
【解析】函數(shù)的最小正周期為，
由及得：，則，
而，即有，解得，即或，
當(dāng)時(shí)，，由得，
有，而，顯然不存在整數(shù)，使得，
當(dāng)時(shí)，，由得，
有，而，于是得，符合題意，
所以，A不正確，B正確；
，當(dāng)時(shí)，，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確；
當(dāng)時(shí)，，
而函數(shù)在上兩個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)，一個(gè)極小值點(diǎn)，
所以函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)，一個(gè)極小值點(diǎn)，D不正確.
故選：BC
【變式4-5】（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）（多選）已知函數(shù)圖像過點(diǎn)，且存在，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．的周期為
B．圖像的一條對(duì)稱軸方程為
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．在區(qū)間上有且僅有4個(gè)極大值點(diǎn)
【答案】ACD
【解析】因?yàn)閳D像過點(diǎn)且，所以，解得，
因?yàn)榇嬖冢?dāng)時(shí)，，
所以，即，，又因?yàn)椋?，所以?br>選項(xiàng)A：的周期，正確；
選項(xiàng)B：圖像的對(duì)稱軸為，解得，，
令，無整數(shù)解，B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，
所以由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；
選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，所以由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得
在區(qū)間有4個(gè)極大值點(diǎn)，3個(gè)極小值點(diǎn)，D正確；故選：ACD
【變式4-6】（2023秋·湖北·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A．是的一個(gè)周期
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C．在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4
D．的最大值為
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以是的一個(gè)周期，故A正確；
對(duì)于B，，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；
對(duì)于C，由，得或，，得或，，
由及得或或，所以或或，
由及得或或或或，
所以或或或或，
所以在區(qū)間的零點(diǎn)為，，，，,共5個(gè),故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
所以，
設(shè)，，
則，
令，得，令，得，
所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為，或時(shí)，取得最小值為，
所以，所以，
所以的最大值為，故D正確；故選：ABD
【變式4-7】（2023春·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）已知函數(shù)，則（）
A． B．的最小正周期為
C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增
【答案】BD
【解析】，故A錯(cuò)誤；
函數(shù)的最小正周期為，故B正確；
時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：．
【題型5 三角函數(shù)的最值問題】
【例5】（2022秋·北京·高三北京市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義運(yùn)算例如，，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)題設(shè)中的新定義，得，
由可得，所以，
所以，，即，，
由可得，所以，
所以，，即，，
所以，
當(dāng)，，，
當(dāng)，時(shí)，，
所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，
作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象（實(shí)線部分），
觀察圖象，可知函數(shù)的值域?yàn)?，故選:D.
【變式5-1】（2023秋·湖南株洲·高三校聯(lián)考期末）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且
，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
所以，得，，
所以，，
所以，，得的最小值為.故選：A.
【變式5-2】（2022秋·安徽·高三石室中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是函數(shù)的部分圖象，則在上的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由圖象知函數(shù)的周期，即，即，
由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法得，得，則，
因?yàn)?，所以，所?故選：D
【變式5-3】（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值為（）.
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】，
所以，
故的最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到與的距離之差的最大值，
因?yàn)椋?，?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，，
所以，即的最大值為.故選：D.
【變式5-4】（2023秋·北京豐臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則___________．
【答案】
【解析】由于若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，
，則，
所以，
又，
由于，所以的值為.
故答案為：
【變式5-4】（2020秋·吉林白城·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量，，設(shè)函數(shù)．
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）最大值1,最小值.
【解析】（1）由題意得，
所以函數(shù)的最小正周期為.
（2）因?yàn)?，所以，所以?br>所以當(dāng)即時(shí)函數(shù)有最大值為1，
當(dāng)即時(shí)函數(shù)有最小值為.
【題型6 三角函數(shù)的零點(diǎn)問題】
【例6】（2022·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)，則在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_______．
【答案】4
【解析】令，則，
所以或，
所以或，
又，所以，
則在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4，
故答案為：4
【變式6-1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
可以轉(zhuǎn)化為：方程在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根．
令，因?yàn)?，所以?br>利用的圖像可以得出，解得.
故答案為：．
【變式6-2】（2022秋·河南濮陽(yáng)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【解析】由函數(shù)，且，令
則，故函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)
所以，解得.
故答案為：.
【變式6-3】（2023秋·福建寧德·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>令，則
因?yàn)?，所?br>若函數(shù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，
問題轉(zhuǎn)化為與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)
如圖
由圖可得：，解得：，故選：B.
【變式6-4】（2023秋·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).若在上恰好有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，
在上至多有2個(gè)零點(diǎn)，不合題意，所以.
函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.
①當(dāng)，即時(shí)，則在上無零點(diǎn).
所以在上恰有5個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，則，
由正弦曲線可得，解得，此時(shí)不存在；
②當(dāng)，即時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn).且當(dāng)時(shí)，
，
又，則在上只有2個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，不合題意；
③當(dāng)，即時(shí).
（?。┊?dāng)，即，即時(shí).
根據(jù)二次函數(shù)的圖象知，在上有2個(gè)零點(diǎn)，
則在上有3個(gè)零點(diǎn).
又，所以，
所以應(yīng)有，解得，所以；
（ⅱ）當(dāng)，即時(shí).
根據(jù)二次函數(shù)的圖象知，在上有1個(gè)零點(diǎn)，
則在上有4個(gè)零點(diǎn).
又，所以，
所以應(yīng)有，解得.
綜上所述，的取值范圍是.故選：D.
【變式6-5】（2022秋·廣西桂林·高三?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程，有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知，函數(shù)的圖像如下圖所示：
根據(jù)函數(shù)圖像，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
且時(shí)取最大值2，在時(shí)取最小值0，是部分圖像的漸近線.
令，則關(guān)于的方程即可寫成
此時(shí)關(guān)于的方程應(yīng)該有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（其他情況不合題意），
設(shè)為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，顯然，有以下兩種情況符合題意：
①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則
②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.
【變式6-6】（2023秋·山東煙臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足：為偶函數(shù)，且；函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
……
函數(shù)為的圖象向左平移個(gè)單位，
的圖象如下圖所示，
均關(guān)于對(duì)稱，有14個(gè)交點(diǎn)，
所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為：.故選：A.
（建議用時(shí)：60分鐘）
1．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到函數(shù)的圖象，所以，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以有，
因此的最大值為，故選：B
2．（2022秋·廣西欽州·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)且，則函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?，即?br>所以，所以，所以，，
又，令，，解得，，
所以函數(shù)的對(duì)稱軸為，，，
故函數(shù)的一條對(duì)稱軸為.故選：A
3．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的部分圖像如圖所示，且．則下列選項(xiàng)正確的是（）
A． B．
C．在區(qū)間上為減函數(shù) D．
【答案】D
【解析】觀察圖像可知，且，
且，解得或，
觀察圖像可知,故，
則，綜上，故A錯(cuò)誤；
則，則，故B錯(cuò)誤；
時(shí)，，單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
，又結(jié)合圖像可知在區(qū)間上為減函數(shù)，
，故，故D正確；故選：D
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且恒成立，則的值為（）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【解析】，所以，
由于恒成立，所以，，
所以.故選：D
5．（2022·四川成都·成都市第二十中學(xué)校校考一模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）
A．為函數(shù)的一個(gè)周期
B．是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最大值為
D．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象
【答案】C
【解析】對(duì)于選項(xiàng)：由已知可得，
所以，
所以為函數(shù)的一個(gè)周期，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：令，解得，
當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：由，得，
令，得，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以實(shí)數(shù)的最大值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，
得到的圖象，
因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故D正確.故選：C.
6．（2022·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考一模）已知，周期是的對(duì)稱中心，則的值為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>由可得，且，所以，
又因?yàn)槭堑膶?duì)稱中心，故解得
且，即，
所以，當(dāng)時(shí)，，即，
所以，故選:D
7．（2023秋·山東東營(yíng)·高三東營(yíng)市第一中學(xué)?？计谀ǘ噙x）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）
A．函數(shù)在上的最大值為6
B．函數(shù)在上的最小值為-2
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．函數(shù)在上單調(diào)遞減
【答案】BCD
【解析】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，最大值為，
最小值為．
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
而二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減．故選：.
8．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）設(shè)，，則（）.
A．在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)
B．的單調(diào)遞增區(qū)間為，
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．的值域?yàn)?br>【答案】ABD
【解析】因?yàn)?，所以是以為周期的周期函?shù)，
當(dāng)時(shí)，，
．
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
根據(jù)函數(shù)的周期性作出的大致圖象，由圖知ABD項(xiàng)正確．故選：ABD．
9．（2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考一模）已知函數(shù),若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,且關(guān)于直線軸對(duì)稱,則的最小值為______．
【答案】3
【解析】由題知的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,且關(guān)于直線軸對(duì)稱,
則與之間的距離為，即,，即,,
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，的最小值為3.
故答案為:3
10．（2022秋·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)的對(duì)稱中心_________
【答案】
【解析】由題知,
故的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)為:,,即,,
故函數(shù)的對(duì)稱中心為.
故答案為:
11．（2021·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，
（1）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的值；
（2）在（1）條件下，求函數(shù)圖像的對(duì)稱中心和單調(diào)區(qū)間.
【答案】（1）；
（2）對(duì)稱中心為，單調(diào)減區(qū)間為，
的單調(diào)增區(qū)間為.
【解析】（1）
，，
，又，
，因此，
∴，解得：.
（2）由（1）知，
令，整理得，
的圖像的對(duì)稱中心為，
令，整理得：，
得單調(diào)減區(qū)間為，
令，整理得：，
故的單調(diào)增區(qū)間為.
12．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的最小正周期為，且直線是其圖像的一條對(duì)稱軸.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，再將所得的圖像上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍后所得到的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)記作，已知常數(shù)，，且函數(shù)在內(nèi)恰有2021個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)與的值.
【答案】（1）；（2），.
【解析】（1）由三角函數(shù)的周期公式可得，
，
令，得，
由于直線為函數(shù)的一條對(duì)稱軸，
所以，得，
由于，，則，
因此，.
（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，
得到函數(shù)，
再將所得的圖像上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍后
所得到的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.
.
令，可得，
令，得，，
則關(guān)于t的二次方程必有兩不等實(shí)根?，則，，異號(hào).
當(dāng)且時(shí)，
則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個(gè)根，
從而方程在也有偶數(shù)個(gè)根，不合題意
當(dāng)，則，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，只有一根，有兩根，
所以，關(guān)于的方程在上有三個(gè)根，
由于，則方程在上有個(gè)根，
由于方程在區(qū)間上只有一個(gè)根，
在區(qū)間上無實(shí)解，
方程在區(qū)間上無實(shí)數(shù)解，在區(qū)間上有兩個(gè)根，
因此，關(guān)于x的方程在區(qū)間上有2020個(gè)根，
在區(qū)間上有2022個(gè)根，不合題意
當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，只有一根，有兩根，
所以，關(guān)于x的方程在上有三個(gè)根，
由于，
則方程在上有個(gè)根，
由于方程在區(qū)間上無實(shí)數(shù)根，
在區(qū)間上只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
在區(qū)間上無實(shí)數(shù)解，
因此，關(guān)于x的方程在區(qū)間上有2021個(gè)根，滿足題意.
若有一根絕對(duì)值大于1，則另一根絕對(duì)值大于0且小于1，
有偶數(shù)個(gè)根，不合題意
綜上所述：，.

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