新高考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專練熱點(diǎn)9-1 計(jì)數(shù)原理綜合10大題型-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
熱點(diǎn)9-1 計(jì)數(shù)原理綜合10大題型
排列組合問題往往以實(shí)際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計(jì)數(shù)原理，難度基本穩(wěn)定在中等。二項(xiàng)式定理問題是高考的熱門考點(diǎn)，主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)和及各項(xiàng)系數(shù)和等問題，從近幾年來看，圍繞二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式命題，考查某一項(xiàng)或考查某一項(xiàng)的系數(shù)較多。
一、排列組合常見問題的解題策略
1、特殊優(yōu)先法：優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置；
2、相鄰捆綁法：相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，注意捆綁元素的內(nèi)部排列；
3、不相鄰插空法：先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中；
4、定序倍除法：全部排列后，除以有順序要求的排列；
5、定序排他法：有順序要求部分只有一種排法，只要把剩下部分排列即可；
6、間接法：正面分類太多從反面入手；
7、直接法：分排問題直排處理；
8、重排求冪法：可以重復(fù)的排列問題實(shí)際以元素為研究對(duì)象，元素不受位置限制，可以逐一安排各個(gè)元素；
9、多排問題直排法：元素分為多排的排列問題，可以看出一排問題，再分段研究；
10、分組分配
（1）解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題；
（2）分組方法： = 1 \* GB3 ①完全均勻分組，分組后除以組數(shù)的階乘； = 2 \* GB3 ②部分均勻分組，有組元素個(gè)數(shù)相同，則分組后除以； = 3 \* GB3 ③完全非均勻分組，只要分組即可；
（3）分配： = 1 \* GB3 ①相同元素的分配問題，常用“擋板法”； = 2 \* GB3 ②不同元素的分配問題，分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分組后分配； = 3 \* GB3 ③有限制條件的分配問題，采用分類求解；
11、相同元素隔板法：將個(gè)相同的元素分成份，每份至少一個(gè)元素，可以用塊隔板插入個(gè)元素排成一排的個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為
二、求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常用方法
1、對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng))；
2、對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫出通項(xiàng)公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)．解這類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)集，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；
3、對(duì)于二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致．
【題型1 兩種計(jì)數(shù)原理】
【例1】（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）現(xiàn)要從A，B，C，D，E這5人中選出4人，安排在甲、乙、丙、丁4個(gè)崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，則安排的方法有（）
A．56種 B．64種 C．72種 D．96種
【答案】D
【解析】由題意可知：根據(jù)是否入選進(jìn)行分類：
若入選：則先給從乙、丙、丁3個(gè)崗位上安排一個(gè)崗位有種，
再給剩下三個(gè)崗位安排人有種，共有種方法；
若不入選：則4個(gè)人4個(gè)崗位全排有種方法，
所以共有種不同的安排方法，故選：.
【變式1-1】（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）2022年10月22日，中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會(huì)勝利閉幕．某班舉行了以“禮贊二十大、奮進(jìn)新征程”為主題的聯(lián)歡晚會(huì)，原定的5個(gè)學(xué)生節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又臨時(shí)增加了兩個(gè)教師節(jié)目，如果將這兩個(gè)教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，則這兩個(gè)教師節(jié)目相鄰的概率為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知，先將第一個(gè)教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，有6種插入法，
再將第二個(gè)教師節(jié)目插入到這6個(gè)節(jié)目中，有7種插入法，
故將這兩個(gè)教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，共有（種）情況，
其中這兩個(gè)教師節(jié)目恰好相鄰的情況有（種），所以所求概率為.故選:D.
【變式1-2】（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測）某單位擬安排6位員工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位員工中的甲不值9日，乙不值11日，則不同的安排方法共有（）
A．30種 B．36種 C．42種 D．48種
【答案】C
【解析】若甲在11日值班，則在除乙外的4人中任選1人在11日值班，有種選法，
9日、10日有種安排方法，共有（種）安排方法；
若甲在10日值班，乙在9日值班，
余下的4人有種安排方法，共有12種安排方法；
若甲、乙都在10日值班，則共有（種）安排方法．
所以總共有（種）安排方法．故選：C
【變式1-3】（2022秋·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2022年9月5日，四川甘孜州瀘定縣發(fā)生6.8級(jí)地震，某醫(yī)院決定派遣5名醫(yī)生前往3個(gè)區(qū)域參與救援，其中男醫(yī)生3名，女醫(yī)生2名.要求每個(gè)區(qū)域至少要有1名男醫(yī)生，則不同的派遣法有（）
A．18 B．36 C．54 D．72
【答案】C
【解析】3名男醫(yī)生各去一個(gè)區(qū)域，有種去法，2名女醫(yī)生有種去法，
共有種.故選：C.
【變式1-4】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）為了迎接“第32屆菏澤國際牡丹文化旅游節(jié)”，某宣傳團(tuán)體的六名工作人員需要制作宣傳海報(bào)，每人承擔(dān)一項(xiàng)工作，現(xiàn)需要一名總負(fù)責(zé)，兩名美工，三名文案，但甲，乙不參與美工，丙不能書寫文案，則不同的分工方法種數(shù)為（）
A．9種 B．11種 C．15種 D．30種
【答案】C
【解析】若丙是美工，則需要從甲、乙、丙之外的三人中再選一名美工，
然后從剩余四人中選三名文案，剩余一人是總負(fù)責(zé)人，共有種分工方法；
若丙不是美工，則丙一定是總負(fù)責(zé)人，
此時(shí)需從甲、乙、丙之外的三人中選兩名美工，
剩余三人是文案，共有種分工方法；
綜上，共有種分工方法，故選：C．
【題型2 涂色問題】
【例2】（2023·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，這是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)的大致圖案，它是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.現(xiàn)給這5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，且每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色.若有5種顏色可供選擇，則恰用4種顏色的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若按要求用5種顏色任意涂色：
先涂中間塊，有5種選擇，再涂上塊，有4種選擇.
再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊和右塊均有3種選擇；
若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有3種選擇，左塊和右塊均有2種選擇.
則共有種方法.
若恰只用其中4種顏色涂色：
先在5種顏色中任選4種顏色，有種選擇.
先涂中間塊，有4種選擇，再涂上塊，有3種選擇.
再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊有2種選擇，
為恰好用盡4種顏色，則右塊只有1種選擇；
若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有2種選擇，左塊和右塊均只有1種選擇.
則共有種方法，
故恰用4種顏色的概率是.故選：C.
【變式2-1】（2022秋·四川成都·高三成都七中校考階段練習(xí)）對(duì)如下編號(hào)為1，2，3，4的格子涂色，有紅，黑，白，灰四種顏色可供選擇，要求相鄰格子不同色，則在1號(hào)格子涂灰色的條件下，4號(hào)格子也涂灰色的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可知，整個(gè)事件需要分四步，按照格子標(biāo)號(hào)依次涂色即可；
若在1號(hào)格子涂灰色，則2號(hào)格子還有3種選色方案，
同時(shí)3號(hào)格子也有3種選色方案，4號(hào)格子還剩2種選色方案，
即1號(hào)格子涂灰色的方案總數(shù)為種；
若1號(hào)格子和4號(hào)格子同時(shí)涂灰色，
則2號(hào)格子還有3種選色方案，3號(hào)格子還有2種選方案，
即1號(hào)和4號(hào)格子同時(shí)涂灰色的方案總數(shù)為種；
所以，在1號(hào)格子涂灰色的條件下，4號(hào)格子也涂灰色的概率是.故選：A.
【變式2-2】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，現(xiàn)要對(duì)某公園的4個(gè)區(qū)域進(jìn)行綠化，有5種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，共有________種不同的綠化方案（用數(shù)字作答）.
【答案】180
【解析】如圖：
從A開始擺放花卉，A有5種顏色花卉擺放方法，
B有4種顏色花卉擺放方法，C有3種顏色花卉擺放方法；
由D區(qū)與B，C花卉顏色不一樣，與A區(qū)花卉顏色可以同色也可以不同色，
則D有3種顏色花卉擺放方法.
故共有種涂色方法.故答案為：180
【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）七巧板是古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括5個(gè)等腰直角三角形?一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨(dú)一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有______種.
【答案】
【解析】由題意，一共4種顏色，板塊需單獨(dú)一色，
剩下6個(gè)板塊中每2個(gè)區(qū)域涂同一種顏色.
又板塊兩兩有公共邊不能同色，故板塊必定涂不同顏色.
①當(dāng)板塊與板塊同色時(shí)，
則板塊與板塊或板塊分別同色，共2種情況；
②當(dāng)板塊與板塊同色時(shí)，
則板塊只能與同色，板塊只能與同色，共1種情況.
又板塊顏色可排列，故共種.故答案為：
【變式2-4】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有五種不同的顏色，要給四棱錐P－ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)所涂顏色不能相同，一共有_________種涂色方法.
【答案】420
【解析】五個(gè)頂點(diǎn)涂五種不同的顏色，有（種）涂法；
五個(gè)頂點(diǎn)涂四種不同的顏色，其中A、C同色或B、D同色，有（種）涂法；
五種頂點(diǎn)涂三種不同的顏色，其中A、C同色且B、D同色，有（種）涂法.
綜上，共有120＋240＋60=420（種）涂色方法.
故答案為：420
【題型3 排序問題】
【例3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁在內(nèi)的6名同學(xué)在比賽后合影留念，若甲、乙二人必須相鄰，且丙、丁二人不能相鄰，則符合要求的排列方法共有 __種．（用數(shù)字作答）
【答案】144
【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①將甲乙看成一個(gè)整體，與甲、乙、丙、丁之外的兩人全排列，有種情況，
②排好后，有4個(gè)空位，在其中任選2個(gè)，安排丙、丁，有種情況，
則有種排法，
故答案為：144．
【變式3-1】（2023秋·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)校考期末）五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，把這五個(gè)音階排成一列，形成一個(gè)的音序，若徵、羽兩音階相鄰且在宮音階之后，則可排成不同的音序的種數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）.
【答案】24
【解析】解：先將徵、羽兩音階相鄰捆綁在一起有，
然后與宮、商、角進(jìn)行全排有，考慮到順序問題,
則可排成不同的音序的種數(shù)為.
故答案為：24．
【變式3-2】國龍外校第一屆班主任節(jié)上，有3名高二學(xué)生給3位高二優(yōu)秀班主任獻(xiàn)花，獻(xiàn)花后師生共同合影，要求6人站在一排，如果要求老師與學(xué)生相間站，那么站法有（）
A．36種 B．72種 C．108種 D．144種
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：
第一步，將3名學(xué)生全排列，有種排法；
第二步，將3名老師全排列，有種排法；
第三步，老師與學(xué)生相間站，有2種排法；
所以老師與學(xué)生相間站，那么站法有種，故選：B
【變式3-3】（2023秋·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）已知甲、乙兩個(gè)家庭排成一列測核酸，甲家庭是一對(duì)夫妻帶1個(gè)小孩，乙家庭是一對(duì)夫妻帶2個(gè)小孩.現(xiàn)要求2位父親位于隊(duì)伍的兩端，3個(gè)小孩要排在一起，則不同的排隊(duì)方式的種數(shù)為（）
A．288 B．144 C．72 D．36
【答案】C
【解析】方法1：2位父親的排隊(duì)方式種數(shù)為，2位母親的排隊(duì)方式種數(shù)為，
3個(gè)小孩的排隊(duì)方式種數(shù)為，將3個(gè)小孩當(dāng)成一個(gè)整體，
放進(jìn)父母的中間共有種排隊(duì)方式，所以不同的排隊(duì)方式種數(shù)為.
方法2：2位父親的排隊(duì)方式種數(shù)為，
將3個(gè)小孩當(dāng)成一個(gè)整體與2位母親的排隊(duì)方式種數(shù)為，
3個(gè)小孩的排隊(duì)方式種數(shù)為，所以不同的排隊(duì)方式種數(shù)為.故選：C.
【變式3-4】（2023春·山西晉城·高三?？茧A段練習(xí)）某文藝演出團(tuán)從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名演員中選派4名參加演出，要求甲、乙、丙這3名演員中至少有1人參加，且當(dāng)這3名演員都參加時(shí)，甲和乙的演出順序不能相鄰，丙必須排在前兩位，則所選派的這4名演員不同的演出順序有（）
A．680種 B．720種 C．744種 D．768種
【答案】C
【解析】當(dāng)甲乙丙中有1人參加時(shí)：種順序；
當(dāng)甲乙丙中有2人參加時(shí)：種順序；
當(dāng)甲乙丙中有3人參加時(shí)：種順序；
綜上所述：共有種順序.故選：C
【題型4 排數(shù)問題】
【例4】（2022秋·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字組成五位數(shù)，則數(shù)字2和4不相鄰的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)事件為2和4不相鄰的情況，則其對(duì)立事件為2和4相鄰的情況；
首先1,3,5進(jìn)行排序，共有種，而形成4個(gè)空，使用捆綁法，將2,4看成整體，
則2和4相鄰總共有種，所有的情況共有種，
，故選：D.
【變式4-1】（2023·廣東汕頭·高三校考階段練習(xí)）如果一個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，且各位數(shù)字之和等于10，則稱此四位數(shù)為“完美四位數(shù)（如1036），則由數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7構(gòu)成的“完美四位數(shù)”中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為___．
【答案】44
【解析】若尾數(shù)為1，前三位的數(shù)字為，或，或時(shí)，0放在百位或十位上，
剩余兩個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列，故共有個(gè)完美四位數(shù)，
若前三位數(shù)字為時(shí)，則有個(gè)完美四位數(shù)；
若尾數(shù)為3，前三位的數(shù)字為，或時(shí)，0放在百位或十位上，
剩余兩個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列，故共有個(gè)完美四位數(shù)，
若前三位數(shù)字為時(shí)，有個(gè)完美四位數(shù)；
若尾數(shù)為5，若前三位數(shù)字為或時(shí)，0放在百位或十位上，
剩余兩個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列，共有個(gè)完美四位數(shù)，
若尾數(shù)為7，若前三位數(shù)字為時(shí)，0放在百位或十位上，剩余兩個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列，
有個(gè)完美四位數(shù)；
綜上所述：共有個(gè)完美四位數(shù).
故答案為：44
【變式4-2】（2023春·山西忻州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）從1，2，3，0這四個(gè)數(shù)中取三個(gè)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這些三位數(shù)的和為___________．
【答案】3864
【解析】分三種情況：
（1）在所有不含0的三位數(shù)中，百位上的所有數(shù)字之和為，
十位上的所有數(shù)字之和為，百個(gè)位上的所有數(shù)字之和為，
所以所有不含0的三位數(shù)的和為；
（2）在含0且0在十位上的三位數(shù)中，百位上的所有數(shù)字之和為，
個(gè)位上的所有數(shù)字之和為，
所以含0且0在十位上的三位數(shù)的和為；
（3）在含0且0在個(gè)位上的三位數(shù)中，百位上的所有數(shù)字之和為，
十位上的所有數(shù)字之和為，
所以含0且0在個(gè)位上的三位數(shù)的和為；
那么可得符合條件的這些三位數(shù)之和為．
故答案為：
【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）用0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字五位數(shù)？
（1）偶數(shù)：
（2）左起第二?四位是奇數(shù)的偶數(shù)；
（3）比21034大的偶數(shù).
【答案】（1）個(gè)；（2）個(gè)；（3）個(gè)
【解析】（1）末位是0，有個(gè)，
末位是2或4，有個(gè)，
故滿足條件的五位數(shù)共有個(gè).
（2）法一：可分兩類，0是末位數(shù)，有個(gè)，
2或4是末位數(shù)，則個(gè).故共在個(gè).
法二：四位從奇數(shù)1，3中取，有；
首位從2，4中取，有個(gè)：余下的排在剩下的兩位，有個(gè)；
故共有個(gè).
（3）法一：可分五類，當(dāng)末位數(shù)是0，而首位數(shù)是2時(shí)，有個(gè)；
當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是3或4時(shí)，有個(gè)；
當(dāng)末位數(shù)字是2，而首位數(shù)字是3或4時(shí)，有個(gè)；
當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是2時(shí)，有個(gè)；
當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是3吋，有個(gè).
故有個(gè).
法二：不大于21034的偶數(shù)可分為三類：
萬位數(shù)字為1的偶數(shù)，有個(gè)；
萬位數(shù)字為2，而千位數(shù)字是0的偶數(shù)，有個(gè)：還有21034本身.
而由組成的五位偶數(shù)有個(gè).
故滿足條件的五位偶數(shù)共有個(gè).
【變式4-4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）由數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).
（1）一共可以組成多少個(gè)五位偶數(shù)？
（2）在組成的所有五位數(shù)中，比32145大的五位數(shù)有幾個(gè)？
【答案】（1）48；（2）65
【解析】（1）先考慮個(gè)位數(shù)，從2或4中選擇1個(gè)，有種，再考慮其余4個(gè)數(shù)位，即余下的4個(gè)數(shù)字進(jìn)行全排列，有種，所以一共有=48個(gè)五位偶數(shù)；
（2）若萬位數(shù)是3，千位是4或5，共有個(gè)符合要求；
若萬位數(shù)是3，千位是2，則百位須是4或5，共有個(gè)符合要求；
若萬位數(shù)是4或5，則有個(gè)符合要求，32154符合要求；
綜上：在組成的所有五位數(shù)中，比32145大的五位數(shù)有12+4+48+1=65個(gè).
【題型5 分組分配問題】
【例5】（2023·陜西銅川·?？家荒＃?名新招聘的工人分配到A，B兩個(gè)生產(chǎn)車間，每個(gè)車間至少安排1名工人，則不同安排方案有（）
A．36種 B．14種 C．22種 D．8種
【答案】B
【解析】將4名工人，安排到兩個(gè)車間：分為其中一個(gè)車間安排1名工人，另一車間安排3名工人和兩個(gè)車間都安排兩名工人，兩種情況.
其中一個(gè)車間安排1名工人，另一車間安排3名工人的方案有：；
兩個(gè)車間都安排兩名工人的方案有：.
所以，不同的安排方案有.故選：B.
【變式5-1】（2023春·江蘇南京·高三南京市寧海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將5名學(xué)生志愿者分配到成語大賽、詩詞大會(huì)、青春歌會(huì)、愛心義賣4個(gè)項(xiàng)目參加志愿活動(dòng)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）
A．60種 B．120種 C．240種 D．480種
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①將5名大學(xué)生分為4組，有種分組方法，
②將分好的4組安排參加4個(gè)項(xiàng)目參加志愿活動(dòng)，有種情況，
則有種分配方案；故選：．
【變式5-2】（2023·重慶·統(tǒng)考一模）2022年8月某市組織應(yīng)急處置山火救援行動(dòng)，現(xiàn)從組織好的5支志愿團(tuán)隊(duì)中任選1支救援物資接收點(diǎn)服務(wù)，另外4支志愿團(tuán)隊(duì)分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個(gè)不同項(xiàng)目，每支志愿團(tuán)隊(duì)只能分配到1個(gè)項(xiàng)目，且每個(gè)項(xiàng)目至少分配1個(gè)志愿團(tuán)隊(duì)，則不同的分配方案種數(shù)為（）
A．36 B．81 C．120 D．180
【答案】D
【解析】先從5支志愿團(tuán)隊(duì)中任選1支救援物資接收點(diǎn)服務(wù)，有種不同的選派方案，
再將剩下的4支志愿團(tuán)隊(duì)分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個(gè)不同項(xiàng)目，
有種不同的選派方案，
所以，根據(jù)分步乘法原理，不同的安排方案有種.故選：.
【變式5-3】（2023秋·福建廈門·高三廈門外國語學(xué)校?？计谀╅L郡中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強(qiáng)中有3個(gè)種子選手，將這12人任意分成3個(gè)組（每組4個(gè)人），則3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的概率為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知條件得
將12人任意分成3組，不同的分組方法有種，
3個(gè)種子選手分在同一組的方法有種，
故3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的概率為，故選：.
【變式5-4】（2022秋·吉林長春·高三長春外國語學(xué)校?？计谀慕衲?月開始，南充高中教師踴躍報(bào)名志愿者參加各街道辦、小區(qū)、學(xué)校的防疫工作，彰顯師者先行、師德?lián)?dāng)?shù)木?，防疫工作包含掃描健康碼、取咽拭子、后勤協(xié)調(diào)三項(xiàng)工作，現(xiàn)從6名教師自愿者中，選派4人擔(dān)任掃描健康碼、取咽拭子、后勤協(xié)調(diào)工作，要求每項(xiàng)工作都有志愿者參加，不同的選派方法共有（）種
A．90 B．270 C．540 D．1080
【答案】C
【解析】用分步乘法計(jì)數(shù)原理：
第一步，從6名教師自愿者中選派4人，不同的選派方法種類為；
第二步，將選出的4人分為3組，不同的分組方法種類為；
第三步，將分好的3組，分配到不同的3項(xiàng)工作，不同的分配方法種類為.
所以，不同的選派方法種類為.故選：C.
【變式5-5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某校安排5名同學(xué)去A，B，C，D四個(gè)愛國主義教育基地學(xué)習(xí)，每人去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少安排一人，則甲同學(xué)被安排到A基地的排法總數(shù)為______．
【答案】60
【解析】當(dāng)A基地只有甲同學(xué)在時(shí)，那么總的排法是種；
當(dāng)A基地有甲同學(xué)還有另外一個(gè)同學(xué)也在時(shí)，那么總的排法是種；
則甲同學(xué)被安排到A基地的排法總數(shù)為種.
故答案為：60.
【題型6 最短路徑問題】
【例6】（山東省泰安肥城市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）某小區(qū)的道路網(wǎng)如圖所示，則由A到C的最短路徑中，經(jīng)過B的走法有（）
A．6種 B．8種 C．9種 D．10種
【答案】C
【解析】由題意，從點(diǎn)到點(diǎn)，共走三步，需向上走一步，向右走兩步，共有種走法；
從點(diǎn)到點(diǎn)，共走三步，需向上走一步，向右走兩步，共有種走法，
由分步計(jì)數(shù)原理，可得共有種不同的走法.故選：C.
【變式6-1】（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）一只小蟲子欲從A點(diǎn)不重復(fù)經(jīng)過圖中的點(diǎn)或者線段，而最終到達(dá)目的地E，這只小蟲子的不同走法共有（）
A．12種 B．13種 C．14種 D．15種
【答案】C
【解析】由題意這只小蟲子的不同走法共有：ABCDE,ABCDPE, ABCDPFE,ABPDE,
共14種，故選：C
【變式6-2】（2022秋·廣東惠州·高三校考期末）如圖，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從A到B的最短路徑有（）
A．23 條 B．24 條 C．25條 D．26 條
【答案】D
【解析】先假設(shè)是實(shí)線，
則從到，向上次，向右次，最短路徑有條，
其中經(jīng)過的，即先從到，然后到，最后到的最短路徑有條，
所以，當(dāng)不通時(shí)，最短路徑有條.故選：D
【變式6-3】（上海市南洋模范中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）有一道路網(wǎng)如圖所示，通過這一路網(wǎng)從A點(diǎn)出發(fā)不經(jīng)過C、D點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的最短路徑有___________種.
【答案】24
【解析】如圖，由已知可得，應(yīng)從點(diǎn)，先到點(diǎn)，再到點(diǎn)，最后經(jīng)點(diǎn)到點(diǎn)即可.
第一步：由點(diǎn)到點(diǎn)，最短路徑為4步，最短路徑方法種類為；
第二步：由點(diǎn)到點(diǎn)，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為；
第三步：由點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到點(diǎn)，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為.
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，最短路徑有種.
故答案為：24.
【變式6-4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）方形是中國古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國文化中以綱常倫理為代表的社會(huì)生活規(guī)則，中國古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個(gè)大正方體（由個(gè)大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著竹棍到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】D
【解析】由題意可知，從到最少需要步完成，
其中有步是橫向的，步是縱向的，步是豎向的，
則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有種.故選：D.
【變式6-5】（上海市向明中學(xué)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在某城市中，兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中是道路網(wǎng)中的一點(diǎn)．今在道路網(wǎng)處的甲、乙兩人分別要到處，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走．
（1）求甲從到達(dá)處的走法總數(shù)；
（2）求甲乙兩人在相遇的方法數(shù)．
【答案】（1）924種；（2）50625種
【解析】（1）甲從出發(fā)走到需要走12步，向右、向上各走6步，走法總數(shù)為種.
（2）甲經(jīng)過的方法數(shù)為種，乙經(jīng)過的方法數(shù)為種，
所以甲乙兩人在相遇的方法數(shù)為種.
【題型7 二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)求解】
【例7】（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_____________．
【答案】240
【解析】常數(shù)項(xiàng)為：.故答案為：240.
【變式7-1】（2023春·北京·高三?？茧A段練習(xí)）在的展開式中，第四項(xiàng)為（）
A．160 B． C． D．
【答案】D
【解析】在的展開式中，
第四項(xiàng)為.故選：D.
【變式7-2】（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）
A． B．50 C． D．61
【答案】A
【解析】，
所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.
【變式7-3】（2023秋·浙江湖州·高三安吉縣高級(jí)中學(xué)校考期末）的展開式中的系數(shù)是__________.
【答案】14
【解析】的展開式的通項(xiàng)為，
令，則，
令，則，
故的系數(shù)是.
故答案為：14.
【變式7-4】（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）
【答案】100
【解析】中只有的展開式中才含有，
故中的項(xiàng)與展開式中含的項(xiàng)相乘得到，
展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，
故的項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案為:100.
【變式7-5】（2023秋·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）若，則_________.
【答案】
【解析】，
設(shè)展開式通項(xiàng)為，
令，則.
設(shè)展開式通項(xiàng)為，
令，則.
則.
故答案為：
【題型8 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)最值】
【例8】（2023秋·浙江寧波·高三期末）若二項(xiàng)式的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，則此展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以，所以，即，
所以，
所以二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為.故選：B.
【變式8-1】（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）若二項(xiàng)式的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）
A． B． C．1792 D．1120
【答案】D
【解析】因?yàn)檎归_式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以.
通項(xiàng)為，
令，得，所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)為．故選：D．
【變式8-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的展開式中，第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第（）項(xiàng).
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】的展開式通項(xiàng)公式為，
則第3項(xiàng)的系數(shù)為，倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為，
因?yàn)榈?項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)之比為，
所以，所以，解得，
所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，故選：C
【變式8-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，若，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，可得；
當(dāng)時(shí)，可得．
又，所以，得，
所以的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，即,故選：B
【變式8-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義函數(shù)，若（i為虛數(shù)單位），則的展開式中系數(shù)最大項(xiàng)為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，兩邊取模，得，所以n＝10．
二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，
因?yàn)閚＝10，則．
令第r＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，則，即，解得，
因?yàn)椋詒＝3，所以，
故系數(shù)最大的項(xiàng)為．故選：C．
【題型9 系數(shù)和問題】
【例9】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則的值為（）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】A
【解析】令得，
令得，
所以．
故選：A．
【變式9-1】（2022秋·江蘇常州·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）已知，則（）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由，
令得，A選項(xiàng)正確.
令得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，
由此可知是負(fù)數(shù)，為正數(shù)，
所以令得，
，
即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤
由，
兩邊求導(dǎo)得，
令得，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD
【變式9-2】（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）設(shè)，則（）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，令得，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
分別令和得和，
所以選項(xiàng)B和選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng) D，
，選項(xiàng)D正確；故：BCD．
【變式9-3】（2023秋·湖南長沙·高三?？茧A段練習(xí)）若，則______.
【答案】
【解析】令，則；
令，則；
故.
故答案為：.
【變式9-4】（2023·甘肅蘭州·校考一模）若，則的值為______．
【答案】8
【解析】令，則；
令，則，
兩式相加除以2可得．
故答案為：8
【題型10 楊輝三角形】
【例10】（2022·全國·高三專題練習(xí)）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《解析九章算法》一書中，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年，“楊輝三角”在數(shù)學(xué)史上具有重要的地位．若將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成，就得到一個(gè)如下表所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形．萊布尼茨三角形同“楊輝三角”一樣，具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，比如從第0行開始每一個(gè)數(shù)均等于其“腳下”兩個(gè)數(shù)之和等．現(xiàn)有關(guān)于萊布尼茨三角形性質(zhì)的4個(gè)描述，則其中正確個(gè)數(shù)為（）
①當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最小值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最小值；
②；
③；
④．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】D
【解析】①根據(jù)楊輝三角的特點(diǎn)，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最大值；
所以與的最值情況相反，
故當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最小值；
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最小值；故①正確；
②，，故②正確；
③根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，故③正確；
④根據(jù)每一個(gè)數(shù)均等于其“腳下”兩個(gè)數(shù)之和，
即，故④正確．故選：D．
【變式10-1】（2023春·山西晉城·高三?？茧A段練習(xí)）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在他所著的《解析九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.從第1行開始，第行從左至右的數(shù)字之和記為，如：為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和________________.
【答案】
【解析】根據(jù)“楊輝三角”中的幾何排列規(guī)則可得
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
又?jǐn)?shù)列為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，
由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，
即，又，所以，
即數(shù)列的通項(xiàng)公式為
可得數(shù)列的前項(xiàng)和
可得
所以
故答案為：
【變式10-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）楊輝三角在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《解析九章算法》一書中被記載.它的開頭幾行如圖所示，它包含了很多有趣的組合數(shù)性質(zhì)，如果將楊輝三角從第1行開始的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，得到的三角形稱為“萊布尼茨三角形”，萊布尼茨由它得到了很多定理，甚至影響到了微積分的創(chuàng)立，請(qǐng)問“萊布尼茨三角形”第10行第5個(gè)數(shù)是___________.
【答案】
【解析】由題意知，將楊輝三角中從第1行開始的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，
就得到的三角形稱為“萊布尼茨三角形”，
觀察表中數(shù)字，題中要求第10行第5個(gè)數(shù)，
所以，（表中每一行的第1個(gè)數(shù)是0，所以第5個(gè)數(shù)是，
所以第10行第5個(gè)數(shù)為：．
故答案為：．
【變式10-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在楊輝三角形中，斜線的上方從1按箭頭所示方向可以構(gòu)成一個(gè)“鋸齒形”的數(shù)列：，記此數(shù)列的前項(xiàng)之和為，則的值為__________.
【答案】452
【解析】設(shè)數(shù)列為{}，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，易知；前23項(xiàng)里面有偶數(shù)項(xiàng)11項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)12項(xiàng)，
偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，且，
所以偶數(shù)項(xiàng)之和為：；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，，，…，
所以，則，
所以前23項(xiàng)里面奇數(shù)項(xiàng)和為：
====364，
所以.
故答案為：452.
【變式10-4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）“楊輝三角”是我國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．如圖所示，第行的數(shù)字之和為__________，去除所有1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…,則此數(shù)列的前28項(xiàng)和為_____________．
【答案】 494
【解析】由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得：第n行的數(shù)字之和為，
去除所有1的項(xiàng)后所得三角數(shù)陣的第n行有n個(gè)數(shù)字，其和為，
而，
所以數(shù)列的前28項(xiàng)和.
故答案為：；494
（建議用時(shí)：60分鐘）
1．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）把5個(gè)相同的小球分給3個(gè)小朋友，使每個(gè)小朋友都能分到小球的分法有（）
A．4種 B．6種 C．21種 D．35種
【答案】B
【解析】利用隔板法：由題可知使每個(gè)小朋友都能分到小球的分法有種.故選：.
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）導(dǎo)師制是高中新的教學(xué)探索制度，班級(jí)科任教師作為導(dǎo)師既面向全體授課對(duì)象，又對(duì)指定的若干學(xué)生的個(gè)性、人格發(fā)展和全面素質(zhì)提高負(fù)責(zé)．已知有3位科任教師負(fù)責(zé)某學(xué)習(xí)小組的6名同學(xué)，每2名同學(xué)由1位科任教師負(fù)責(zé)，則不同的分配方法的種數(shù)為（）
A．90 B．15 C．60 D．180
【答案】A
【解析】先將6名同學(xué)平均分為3組，不同的分組方式為，
然后再將分好的3組，分配給3位科任教師，不同的分配方式為.
所以，不同的分配方法的種數(shù)為.故選：A.
3．（2023·全國·模擬預(yù)測）1至10中的質(zhì)數(shù)能夠組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）
A．4 B．12 C．24 D．64
【答案】D
【解析】1至10中的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，
由2，3，5，7組成的沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)可以為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)，
這4個(gè)數(shù)字可組成的一位數(shù)有（個(gè)），
可組成的沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)有（個(gè)），
可組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有（個(gè)），
可組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有（個(gè)），
則1至10中的質(zhì)數(shù)能夠組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)的個(gè)數(shù)為．
故選：D．
4．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？计谀┤袅焕蠋熐叭ツ橙粚W(xué)生家中輔導(dǎo)，每一位學(xué)生至少有一位老師輔導(dǎo)，每一位老師都要前去輔導(dǎo)且僅能輔導(dǎo)一位同學(xué)，由于就近考慮，甲老師不去輔導(dǎo)同學(xué)1，則有（）種安排方法
A．335 B．100 C．360 D．340
【答案】C
【解析】把6位老師按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人數(shù)分為三組；
①把6為老師平均分為3組的不同的安排方法數(shù)有
在把這三組老師安排給三位不同學(xué)生輔導(dǎo)的不同安排方案數(shù)為：，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得共有不同安排方案為：
如果把甲老師安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為：
所以把6位老師平均安排給三位學(xué)生輔導(dǎo)
且甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為
②把6位老師按照4，1，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)的方法數(shù)為：
若1同學(xué)只安排了一位輔導(dǎo)老師則
若1同學(xué)安排了四位輔導(dǎo)老師則
所以把6位老師按照4，1，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)，
甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為
③把6位老師按照3，2，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)的方法數(shù)為；
若1同學(xué)只安排了一位輔導(dǎo)老師則
若1同學(xué)只安排了兩位輔導(dǎo)老師則
若1同學(xué)只安排了三位輔導(dǎo)老師則
所以把6位老師按照3，2，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)，
甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為
綜上把6位老師安排給三位學(xué)生輔導(dǎo)，
甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為故選：C
5．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）某學(xué)校為了豐富同學(xué)們的寒假生活，寒假期間給同學(xué)們安排了6場線上講座，其中講座只能安排在第一或最后一場，講座和必須相鄰，問不同的安排方法共有（）
A．34種 B．56種 C．96種 D．144種
【答案】C
【解析】由題意知講座只能安排在第一或最后一場，有種結(jié)果，
講座和必須相鄰，共有種結(jié)果，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有種結(jié)果.故選:C．
6．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）六名同學(xué)排成一排照相，則其中甲?乙?丙三人兩兩不相鄰，且甲和丁相鄰的概率為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】六名同學(xué)排成一排照相，共有中不同的排列方法.
甲?乙?丙三人兩兩不相鄰，且甲和丁相鄰共有：
先確定除甲乙丙三人外的位置，共有種方式，
再確定甲在丁的兩邊有種方式，最后將乙丙放入3個(gè)空中，（甲旁邊不能放入），
有種方式，故共有種不同的排法，故概率，故選：D
7．（2023·全國·模擬預(yù)測）某大學(xué)生在剛開學(xué)時(shí)制訂了一個(gè)季度的讀書計(jì)劃：從4本不同的哲學(xué)書和6本不同的心理學(xué)書中選4本閱讀，且至少要選1本哲學(xué)書和1本心理學(xué)書.則該大學(xué)生這個(gè)季度不同的選書方法有（）
A．672種 B．210種 C．194種 D．336種
【答案】C
【解析】由題意，選書的方法可以分三類：
①1本哲學(xué)書和3本心理學(xué)書；
②2本哲學(xué)書和2本心理學(xué)書；
③3本哲學(xué)書和1本心理學(xué)書.
于是該大學(xué)生這個(gè)季度不同的選書方法有：，
∴有194種不同的方法。故選：C.
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖是某屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，現(xiàn)在有4種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案種數(shù)為（）
A．72 B．48 C．36 D．24
【答案】A
【解析】由圖知：兩組顏色可以相同，
若涂4種顏色：顏色相同，則4種選一種涂有，
余下3種顏色涂3個(gè)區(qū)域有，共種，
同理顏色相同也有24種；
若涂3種顏色，則、分別涂相同的顏色，
首先4種顏色選3種有種，再所選3種中選一種涂5有種，
余下2種顏色涂、個(gè)區(qū)域有，共有種；
綜上，共有72種.故選：A
9．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）過去的一年，我國載人航天事業(yè)突飛猛進(jìn)，其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航天員選拔時(shí)要接受特殊環(huán)境的耐受性測試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項(xiàng).若這五項(xiàng)測試每天進(jìn)行一項(xiàng)，連續(xù)5天完成.且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測試，超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測試，則選拔測試的安排方案有（）
A．24種 B．36種 C．48種 D．60種
【答案】B
【解析】①若失重飛行安排在第一天則前庭功能安排第二天，
則后面三天安排其他三項(xiàng)測試有種安排方法，
此情況跟失重飛行安排在第五天則前庭功能安排第四天安排方案種數(shù)相同；
②若失重飛行安排在第二天，則前庭功能有種選擇，
超重耐力在第四、第五天有種選擇，剩下兩種測試全排列，
則有種安排方法，
此情況與失重飛行安排在第四天方安排方案種數(shù)相同；
③若失重飛行安排在第三天，則前庭功能有種選擇，
超重耐力在第一、第五天有種選擇，剩下兩種測試全排列，
則有種安排方法；
故選拔測試的安排方案有種.故選：B.
10．（2022·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若5名女生和2名男生去兩地參加志愿者活動(dòng)，兩地均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（）種．
A．20 B．40 C．60 D．80
【答案】C
【解析】第一步，先安排2名男生，有種排法；
第二步，安排5名女生：
第1種情況，5名女生分兩組，一組1人，一組4人，有種分法，
第2種情況，5名女生分兩組，一組2人，一組3人，有種分法，
所以5名女生分兩組去兩地參加志愿者活動(dòng)共有：種排法，
所以，總共有種分配方案.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.
11．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）安排5名大學(xué)生到三家企業(yè)實(shí)習(xí)，每名大學(xué)生只去一家企業(yè)，每家企業(yè)至少安排1名大學(xué)生，則大學(xué)生甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的概率為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】5名大學(xué)生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人；
當(dāng)分為3,1,1人時(shí)，有種實(shí)習(xí)方案，
當(dāng)分為2,2,1人時(shí)，有種實(shí)習(xí)方案，
即共有種實(shí)習(xí)方案，
其中甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的情況有種，
故大學(xué)生甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的概率為，故選：D.
12．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）展開式中的系數(shù)為（）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】，
含的項(xiàng)為，
所以展開式中的系數(shù)為.故選：D．
13．（2023春·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則（）
A．34 B．30 C． D．
【答案】D
【解析】令，得，
展開式的通項(xiàng)公式為，
令，則，
故，所以.故選：D.
14．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知二項(xiàng)式，的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的值為（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，其中，
由（其中），即，
，，
依題意可知使上式成立，即，所以.故選：A
15．（2023春·天津紅橋·高三統(tǒng)考期末）街道上有編號(hào)1，2，.3，的十盞路燈，為節(jié)省用電又能看清路面，可以把其中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的情況下，滿足條件的關(guān)燈方法有__________種.
【答案】
【解析】10只燈關(guān)掉3只，實(shí)際上還亮7只燈，而又要求不關(guān)掉兩端的燈和相鄰的燈，
此題可以轉(zhuǎn)化為在7只亮著的路燈之間的6個(gè)空擋中放入3只熄滅的燈，
有種方法，
故答案為：.
16．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，也稱為歐拉數(shù)，它是數(shù)學(xué)中重要的常數(shù)之一，和一樣是無限不循環(huán)小數(shù)，的近似值約為.若用歐拉數(shù)的前6位數(shù)字設(shè)置一個(gè)六位數(shù)的密碼，則不同的密碼共有__________個(gè).
【答案】180
【解析】因?yàn)?出現(xiàn)2次，8出現(xiàn)2次，
所以不同的密碼共有個(gè).
故答案為：180.
17．（2023·河南·長葛市第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）的展開式中x的系數(shù)為___．
【答案】-3
【解析】，
的展開式通項(xiàng)公式為，
當(dāng)時(shí)，，故，
當(dāng)時(shí)，，故，
故，所以的展開式中x的系數(shù)為-3.
故答案為：-3
18．（2023秋·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為____________．
【答案】
【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，
而，
令，得；令，得，舍去.
所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．
故答案為：
19．（2023秋·天津·高三統(tǒng)考期末）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_______．（結(jié)果用數(shù)字表示）
【答案】-405
【解析】的展開式通項(xiàng)為，
令，可得，
因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：.
20．（2022·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則__________．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>令，可得，
令，，
，
，
所以.
故答案為：.A
B
D
C

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