新高考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專練熱點(diǎn)8-1 直線與圓8大題型-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無(wú)一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭(zhēng)取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
熱點(diǎn)8-1 直線與圓8大題型
1、直線方程、直線的平行與垂直、點(diǎn)到直線的距離公式等多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；
2、圓是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)命題，常與圓錐曲線相結(jié)合，求圓的方程、弦長(zhǎng)、面積等，此類試題難度中等，多以選擇題或填空題的形式考查；
3、直線與圓偶爾單獨(dú)命題，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在壓軸題的位置，多與導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線相結(jié)合，難度較大，對(duì)直線與圓的方程的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上。
一、平行和垂直的直線的設(shè)法
1、平行：與直線垂直的直線方程可設(shè)為
2、垂直：與直線垂直的直線方程可設(shè)為
二、直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)求法：
1、幾何法：利用圓的半徑，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)之間的關(guān)系，
整理出弦長(zhǎng)公式為：
2、代數(shù)法：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算弦長(zhǎng)；
3、弦長(zhǎng)公式法：設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為，，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到弦長(zhǎng)
三、直線與圓相切時(shí)的切線問題
1、求過某點(diǎn)的圓的切線問題時(shí)，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求切線方程。
（1）若點(diǎn)在圓上（即為切點(diǎn)），則過該點(diǎn)的切線只有一條；
（2）若點(diǎn)在圓外，過該點(diǎn)的切線有兩條，此時(shí)應(yīng)注意切線斜率不存在的情況
【注意】過圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線。
2、求過圓上一點(diǎn)的切線方程
法一：先求出切點(diǎn)與圓心的連線斜率，
若不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程；
若，則結(jié)課圖形可直接寫出切線方程；
若存在且，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為，由點(diǎn)斜式寫出切線方程。
法二：若不存在，驗(yàn)證是否成立；
若存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到直線的距離等于半徑列方程，解出方程即可。
3、過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程
法一：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為，則切線方程為，即
由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出的值，進(jìn)而寫出切線方程；
法二：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為，則切線方程為，即
代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，由，求得，切線方程即可求出。
四、與圓的切線相關(guān)的結(jié)論
1、過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為；
2、過上一點(diǎn)的圓的切線方程為
3、過外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，
則切點(diǎn)弦所在直線方程為：
4、若圓的方程為，
則過圓外一點(diǎn)的切線長(zhǎng)為.
5、圓心的三個(gè)重要幾何性質(zhì)：
（1）圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；
（2）圓心在某一條弦的中垂線上；
（3）兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線。
五、兩圓的公切線
1、定義：與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，包括外公切線和內(nèi)公切線；
2、公切線的條數(shù)
【題型1 直線方程、傾斜角與斜率】
【例1】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，兩直線平行，無(wú)交點(diǎn)，不合題意，故，
由，得，
則兩直線的交點(diǎn)為，
依題意得，解得，
所以直線l的傾斜角的取值范圍是.故選：B
【變式1-1】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)），，，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)射到上的點(diǎn)，經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點(diǎn)），則的斜率的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)直線方程為，
則，解得，即，即，
設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
則，解得，即，，
同理可得：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
如圖所示：利用光線反射的性質(zhì)可知，當(dāng)這束光線反射后最終經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，
則其先經(jīng)過點(diǎn)；當(dāng)這束光線反射后最終經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，則其先經(jīng)過點(diǎn)；
所以點(diǎn)之間為點(diǎn)的變動(dòng)范圍，
因?yàn)?，，所以直線，即直線斜率不存在，而，
所以，即.故選：D
【變式1-2】（2023秋·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知直線：，直線：，過點(diǎn)的直線與，的交點(diǎn)分別為.且，則直線的方程為（）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因?yàn)?，所以，且直線與直線之間的距離.
設(shè)直線的傾斜角為，斜率，所以，
又，所以直線的傾斜角為或.
當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，設(shè)斜率為，
則，
所以直線的方程為，即；
當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，設(shè)斜率為，
則.
所以直線的方程為，即.故選：AC.
【變式1-3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）直線過相異兩點(diǎn)和，則的傾斜角的范圍是______.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)重合，不合題意，直線斜率存在；
設(shè)直線斜率為，傾斜角為，則；
，又，.
故答案為：.
【變式1-4】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線與的夾角為________．
【答案】
【解析】直線的斜率，即傾斜角滿足，
直線的斜率，即傾斜角滿足，
所以，所以，
又兩直線夾角的范圍為，所以兩直線夾角為，
故答案為：.
【題型2 直線的平行與垂直問題】
【例2】（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知，若直線與直線垂直，則的最小值為（）
A．1 B．3 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由題可知，兩條直線斜率一定存在，
又因?yàn)閮芍本€垂直，所以斜率乘積為，
即，即，整理可得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；因此的最小值為.故選：D
【變式2-1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）是直線與直線垂直的（）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】若直線與直線垂直，
則，解得或，
所以由能夠推出兩直線垂直，故充分性成立；
由兩直線垂直得不到，故必要性不成立，
故是直線與直線垂直的
充分不必要條件.故選：A
【變式2-2】（2023春·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若直線與直線平行，其中、均為正數(shù)，則的最小值為______．
【答案】4
【解析】由已知兩直線平行可得，則，
因?yàn)?、均為正?shù)，利用基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故的最小值為.
故答案為：.
【變式2-3】（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在處的切線與直線平行，則a＝______．
【答案】1
【解析】因?yàn)椋裕?br>所以函數(shù)在處的切線斜率為，
因?yàn)樵撉芯€與直線平行，故，解得
故答案為：1
【變式2-4】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)______．
【答案】5
【解析】∵，則，∴，
若切線與直線平行，則，解得.
故答案為：5.
【題型3 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程】
【例3】（2023·陜西咸陽(yáng)·?？家荒＃﹫A心在軸，半徑為1，且過點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____.
【答案】
【解析】由題，可設(shè)圓心坐標(biāo)為，
因?yàn)樗髨A的圓心在軸，半徑為1，且過點(diǎn)，
所以，，解得，
所以，圓心坐標(biāo)為，半徑為1，
所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
故答案為：
【變式3-1】（2022秋·福建泉州·高三?？奸_學(xué)考試）是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是____________.
【答案】
【解析】設(shè)，則，解得，
即，則，整理得，
故點(diǎn)的軌跡方程是.
故答案為：.
【變式3-2】（2023·山東威?！そy(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，過四點(diǎn)的圓的方程為______.
【答案】
【解析】設(shè)圓的方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入可得，
，解得
則可得圓的方程為
故答案為:
【變式3-3】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）寫出以原點(diǎn)為圓心且與圓C：相切的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
【答案】或
【解析】圓C：的圓心為，半徑為1．
因?yàn)閮蓤A圓心距為，
故若兩圓外切，則所求圓的半徑為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為；
若兩圓內(nèi)切，則所求圓的半徑為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：或
【變式3-4】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)A，B是半徑為3的球體O表面上兩定點(diǎn)，且，球體O表面上動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以所在的平面建立直角坐標(biāo)系，為軸，的垂直平分線為軸，
，則，，設(shè)，，
則，整理得到，
故軌跡是以為圓心，半徑的圓，
轉(zhuǎn)化到空間中：當(dāng)繞為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，
不變，依然滿足，
故空間中的軌跡為以為球心，半徑為的球，
同時(shí)在球上，故在兩球的交線上，為圓.
球心距為，
為直角三角形，對(duì)應(yīng)圓的半徑為，
周長(zhǎng)為.故選：D
【題型4 圓的切線方程與切線長(zhǎng)】
【例4】（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】由題意可知：圓的圓心，半徑，
∵，∴點(diǎn)在圓上，
又∵，則切線的斜率，
∴切線方程為，即.故選：C.
【變式4-1】（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）已知直線與圓相切，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由圓的方程，則其圓心為，半徑為，
由直線方程，整理可得，則，
整理可得，由配方法可得，
，，
由，則，即，解得.故選：C.
【變式4-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線是圓：的對(duì)稱軸，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則等于（）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】圓即，圓心為，半徑為，
由題意可知過圓的圓心，
則，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
作示意圖如圖所示：
，切點(diǎn)為，則，
所以．故選：B．
【變式4-3】（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）直線l過點(diǎn)且與圓相切，則直線l的方程為______________．
【答案】或.
【解析】由，得圓心為，半徑，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線恰好與圓相切，符合題意，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
則，，解得，
所以直線的方程為，即，
綜上，直線l的方程為或，
故答案為：或.
【變式4-4】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過點(diǎn)且圓心在射線上，被軸截得弦長(zhǎng)為，點(diǎn).
（1）求圓的方程；
（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由題可設(shè)圓的圓心為，
又圓經(jīng)過點(diǎn)，且被軸截得弦長(zhǎng)為，
所以，又，解得，
所以圓的方程為；
（2）由題可知圓心為，半徑為2，點(diǎn)，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，與相切，故滿足題意
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)切線為，即，
則，解得，
所以切線為，即；
綜上，過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.
【題型5 圓的切點(diǎn)弦與弦長(zhǎng)問題】
【例5】（2023·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線被圓截得的線段長(zhǎng)為，則（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圓方程得：圓心，半徑，
圓心到直線的距離，
，解得：.故選：B.
【變式5-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若直線與直線被圓截得的弦長(zhǎng)之比為，則圓C的面積為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以圓心到直線的距離為，
到直線的距離分別為，
所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)
為，
直線被圓截得的弦長(zhǎng)
為，
由題意可得，解得，滿足，
所以圓C的半徑為，面積為.故選：B．
【變式5-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P為直線l：上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)為______.
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)，則
∵過點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)分別是A，B，
∴，
∴P、A、O、B四點(diǎn)共圓，其中OP為直徑
所以圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為
∴P、A、O、B四點(diǎn)確定的圓的方程為：
化為一般方程為：
即
與聯(lián)立，求得AB所在直線方程為：①
又因?yàn)槠渲?，即代入①中，得?br>所以，所以解得：
直線AB恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為
故答案為：
【變式5-3】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第二中學(xué)校考期末）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的直線方程為______.
【答案】
【解析】圓的圓心，半徑，
方程化為一般式方程為，
則，
以為圓心，為半徑作圓，
其方程為，方程化為一般式方程為，
∵，則是圓與圓的交點(diǎn)，
兩圓方程作差可得：，
∴直線的方程為
故答案為：
【變式5-4】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則的面積是______.
【答案】2
【解析】由得，
所以圓心，半徑，
圓心到直線的距離，
所以，
所以的面積是.
故答案為：2
【題型6 兩圓的公共弦問題】
【例6】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓O1：x2+y2-2x=0與圓O2：x2+y2+4y=0的公共弦所在的直線方程是（）
A．x+2y=0 B．x-2y=0 C．2x+y=0 D．2x-y=0
【答案】A
【解析】因?yàn)閤2+y2-2x=0，x2+y2+4y=0，所以(x2+y2-2x)-(x2+y2+4y)=0，所以x+2y=0，
即所求直線方程為x+2y=0.故選：A
【變式6-1】（2023秋·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則__________.
【答案】
【解析】將圓與圓的方程相減，
即得的方程為，
則的圓心為，半徑為，
則到直線的距離為，
故，
故答案為：
【變式6-2】（2023秋·黑龍江大慶·高三鐵人中學(xué)校考期末）圓與圓的公共弦長(zhǎng)為______．
【答案】
【解析】由，得圓心，
且一般式為，
公共弦方程為，
，則弦長(zhǎng)，
故答案為：.
【變式6-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則公共弦的長(zhǎng)度是___________．
【答案】
【解析】由題意所在的直線方程為：，
即，因?yàn)閳A的圓心，半徑為，
所以圓心到直線的距離為1，所以．
故答案為：
【變式6-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓和.
（1）取何值時(shí)與內(nèi)切？
（2）求時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng).
【答案】（1）；（2）公共弦所在直線的方程為，公共弦的長(zhǎng)為
【解析】（1）因?yàn)閮蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
所以圓心分別為，半徑分別為和
當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因定圓的半徑小于兩圓圓心間距離
，
故有，解得.
（2）由題可得兩圓的公共弦所在直線方程為
整理得，
所以公共弦長(zhǎng)為
【題型7 兩圓的公切線問題】
【例7】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列直線中，不是圓和公切線的一條直線是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)為，
若直線是圓和公切線
則滿足，所以
所以直線是圓和公切線
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為
若直線是圓和公切線
則滿足即，所以
即，即
所以或，所以切線方程是和
綜上：切線方程有和和故選：C
【變式7-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，圓，則同時(shí)與圓和圓相切的直線有（）
A．4條 B．3條 C．2條 D．0條
【答案】B
【解析】由圓，則圓心，半徑；
由圓，整理可得，
則圓心，半徑；
由，
則兩圓外切，同時(shí)與兩圓相切的直線有3條.故選：B.
【變式7-2】（2022·廣西北?！そy(tǒng)考一模）已知圓：與：恰好有4條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)閳A：與：恰好有4條公切線，
所以圓與外離，所以，解得或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.
【變式7-3】（2023秋·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）“”是“圓與圓有公切線”的（）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】由已知有，圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為1，兩圓圓心距，
當(dāng)兩圓有公切線時(shí)，兩圓的位置關(guān)系為：內(nèi)切、相交、外切和相離，
此時(shí)兩圓的半徑與圓心之間的距離滿足，
即，又，故解得，
當(dāng)時(shí)，兩圓的位置關(guān)系可能為：內(nèi)切、相交、外切和相離，
此時(shí)兩圓有公切線，
所以圓與圓有公切線的充要條件為，
所以“”是“兩圓有公切線”的既不充分也不必要條件，故選：D．
【變式7-4】（2023·河北·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）圖為世界名畫《蒙娜麗莎》.假設(shè)蒙娜麗莎微笑時(shí)的嘴唇可看作半徑為的圓的一段圓弧，且弧所對(duì)的圓周角為.設(shè)圓的圓心在點(diǎn)與弧中點(diǎn)的連線所在直線上.若存在圓滿足：弧上存在四點(diǎn)滿足過這四點(diǎn)作圓的切線，這四條切線與圓也相切，則弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離的取值范圍為（）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如圖，弧的中點(diǎn)為弧所對(duì)的圓周角為，則弧所對(duì)的圓心角為，
圓的半徑為，在弧上取兩點(diǎn)、，則，
分別過點(diǎn)、作圓的切線，并交直線于點(diǎn)，
當(dāng)過點(diǎn)、的切線剛好是圓與圓的外公切線時(shí)，
劣弧上一定還存在點(diǎn)、，使過點(diǎn)、的切線為兩圓的內(nèi)公切線，
則圓的圓心只能在線段上，且不包括端點(diǎn)，
過點(diǎn)，分別向、作垂線，垂足為、，則即為圓的半徑，
此時(shí)圓與圓皆滿足題意：弧上存在四點(diǎn)、、、，
過這四點(diǎn)作圓的切線，這四條切線與圓也相切.
線段交圓于點(diǎn)，則弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離即為線段的長(zhǎng)度.
在直角中，，
，
即弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離的取值范圍為. 故選：.
【題型8 與圓有關(guān)的最值問題】
【例8】（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）若為圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)街本€的距離取得最大值時(shí)，直線的斜率為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，
將直線的方程變形為，
由得，故直線過定點(diǎn)，如下圖所示：
當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)且時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，
因?yàn)?，則直線的斜率為.故選：B.
【變式8-1】（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由題意可得的圓心到直線的距離為
，即與圓相離；
設(shè)為直線上的一點(diǎn)，則，
過點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)分別為，
則有，
則點(diǎn)在以為直徑的圓上，
以為直徑的圓的圓心為，
半徑為，
則其方程為，
變形可得，
聯(lián)立，可得：，
又由，則有，
變形可得，
則有，可得，故直線恒過定點(diǎn)，
設(shè)，由于，故點(diǎn)在內(nèi)，
則時(shí)，C到直線的距離最大，
其最大值為,故選∶B
【變式8-2】（2023春·北京海淀·高三清華附中?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，已知，設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為（）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】因?yàn)椋O(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，
所以點(diǎn)在圓內(nèi)部和圓周上，
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，
所以點(diǎn)的軌跡是以的直徑的圓，
如圖，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，
設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，
則，
若點(diǎn)在圓上時(shí)，兩點(diǎn)重合，兩點(diǎn)重合，
若點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，取等號(hào)，
則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)，取等號(hào)，
因?yàn)?，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)在圓與軸的交點(diǎn)處時(shí)，
取等號(hào)，所以的最大值為.故選：C.
【變式8-3】（2023秋·遼寧營(yíng)口·高三統(tǒng)考期末）若M，N為圓上任意兩點(diǎn)，P為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)為M，N，
根據(jù)切線的性質(zhì)得，
在中，根據(jù)已知可得，
則當(dāng)越小，則越大，
，
越大，越大，
則當(dāng)PC與直線垂直時(shí)，此時(shí)最大，
根據(jù)切線的性質(zhì)可得此時(shí)最大，
此時(shí)，則，即，
則的最大值為，故選：B.
【變式8-4】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值.
【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）最大值為，最小值為
【解析】（1）表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，
設(shè)直線與圓相切，
則圓心到直線的距離，解得：，，
即的最大值為，最小值為.
（2）設(shè)，，，
則，
，，，，
即的最大值為，最小值為.
（建議用時(shí)：60分鐘）
1．（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知直線，直線，其中實(shí)數(shù)，則直線與的交點(diǎn)位于第一象限的概率為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以，直線與無(wú)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，由，解得：，
由題意，解得，
又，由幾何概型的概率公式知，所求的概率為.故選：A.
2．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若直線與直線平行，
則，解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)或時(shí)兩直線平行．
故“”能得到“直線與直線平行”，
但是 “直線與直線平行”不能得到“”，故選：A
3．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)AC反射后，再經(jīng)BC上點(diǎn)D反射，落到點(diǎn)上．則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)入射光線與反射光線關(guān)系可知，分別作出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),
連接，交于，則D點(diǎn)即為所求，如圖，
因?yàn)樗谥本€方程為，，設(shè)，
則，解得，即，
由所在直線方程為，，同理可得，
所以直線方程為，由解得，故選：C
4．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）兩圓和的位置關(guān)系是（）
A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切
【答案】B
【解析】由題知, 的圓心為,半徑為3,
因?yàn)?
即,圓心為,半徑為4,
所以兩圓心之間的距離為,
因?yàn)?所以兩圓相交.故選:B
5．（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）圓與圓公共弦長(zhǎng)為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，
兩式相減可得公共弦方程，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
圓心到公共弦的距離為，
公共弦長(zhǎng)為.故選:.
6．（2023秋·廣西南寧·高三南寧二中?？计谀┮阎獔A及直線，則直線l與圓C的位置關(guān)系是（）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【答案】A
【解析】直線，即，
由解得，于是得直線l恒過定點(diǎn)，
而當(dāng)時(shí)，，因此點(diǎn)在圓C內(nèi)，
所以直線l與圓C的位置關(guān)系是相交.故選：A
7．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知向量，滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）
A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以，即．
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓．故選：B．
8．（2023春·天津紅橋·高三統(tǒng)考期末）若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則的值為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可得，
即圓心，半徑，
則圓心到直線的距離，
所以，即，解得，故選：A
9．（2023秋·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）（多選）下述四個(gè)結(jié)論正確的是（）
A．過點(diǎn)與圓相切的直線方程為
B．直線與圓相交的充分不必要條件是
C．直線表示過點(diǎn)的所有直線
D．過點(diǎn)且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是
【答案】AB
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線方程為：
，
由題設(shè)得：，即，解得，
所以過點(diǎn)與圓相切的直線方程為，故A正確，
選項(xiàng)B，若直線與圓相交，則，
所以是直線與圓相交的充分不必要條件，故B正確，
選項(xiàng)C，點(diǎn)在軸上，但是無(wú)論取何值，
直線不能表示軸上的直線，故C不正確，
選項(xiàng)D，若截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為，
將點(diǎn)代入得：，所以方程為：，
若截距不為0時(shí)，設(shè)在坐標(biāo)軸上的截距為，
則設(shè)直線方程為：，將點(diǎn)代入得：，
所以所求方程為：.故選項(xiàng)D不正確，故選：AB.
10．（2023春·全國(guó)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）與圓和都相切的直線的方程為（）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
則兩圓心的距離，
故兩圓外切，則兩圓的公切線有3條，且斜率都存在，
設(shè)兩圓的公切線方程為，即，
則，解得或或
故公切線方程為或或故選：ABD.
11．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）（多選）已知圓，下列說法正確有（）
A．對(duì)于，直線與圓都有兩個(gè)公共點(diǎn)
B．圓與動(dòng)圓有四條公切線的充要條件是
C．過直線上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線（為切點(diǎn)），則四邊形的面積的最小值為4
D．圓上存在三點(diǎn)到直線距離均為1
【答案】BC
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋矗海?br>所以，所以直線恒過定點(diǎn)，
又因?yàn)椋远c(diǎn)在圓O外，
所以直線與圓O可能相交、相切、相離，
即交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0個(gè)、1個(gè)、2個(gè).故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閳AO與動(dòng)圓C有4條公切線，所以圓O與圓C相離，
又因?yàn)閳AO的圓心，半徑，圓C的圓心，半徑，
所以，即：，解得：.故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，，
又因?yàn)镺到P的距離的最小值為O到直線的距離，即：，
所以四邊形PAOB的面積的最小值為.故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)閳AO的圓心，半徑，
則圓心O到直線的距離為，
所以，所以圓O上存在兩點(diǎn)到直線的距離為1.
故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.
12．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）（多選）已知，，為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．以為直徑的圓與圓相交所得的公共弦所在直線方程為
B．若點(diǎn)，則的面積為
C．過點(diǎn)且與圓相切的圓的圓心軌跡為圓
D．的最小值為
【答案】AB
【解析】A:由，，則其中點(diǎn)為，所以，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，化為一般式方程為①，
又圓的一般式方程為②，
而，
①-②得為兩圓相交弦所在的直線方程．故A正確；
B：由直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離，
．故B正確；
C:由圖可知，設(shè)過點(diǎn)且與圓內(nèi)切的圓的圓心為，且切點(diǎn)為，
則滿足橢圓定義，
故圓心的軌跡為橢圓．故C錯(cuò)誤；
D：設(shè)，，
則可轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，
所以的最小值為，
故．故D錯(cuò)誤.故選：AB.
13．（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）寫出與圓和都相切的一條直線的方程___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，
則，因此圓相外切，它們有3條公切線，而軸，，
則兩圓的每條公切線斜率都存在，設(shè)公切線方程為，為常數(shù)，
于是得，整理得或，
解得，解得：或，
因此圓的公切線方程為：或或，
所以與圓和都相切的一條直線的方程可以為.
故答案為：
14．（2022秋·河北邯鄲·高三大名縣第一中學(xué)?？计谀┻^點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線的方程為_______________．
【答案】
【解析】圓，所以圓心為，半徑，,
所以切線長(zhǎng)，
以為圓心，為半徑的圓的方程為：，
直線為圓與圓的公共弦，
所以由得.
故答案為: .
15．（2023秋·天津·高三統(tǒng)考期末）若雙曲線的漸近線與圓相切，則_______．
【答案】
【解析】由雙曲線方程，則其漸近線方程，
由圓方程，整理可得，其圓心為，半徑，
由兩個(gè)漸近線關(guān)于對(duì)稱，則不妨只探究漸近線，整理可得，
由題意，可得，解得.
故答案為：.
16．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓O：與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，C，D，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到A，B，C，D四點(diǎn)的距離分別為，，，，若，則的取值范圍為______.
【答案】
【解析】由題意知，，，，
設(shè)，則由，
得，整理得，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.
在平面直角坐標(biāo)系中作出圓，
如圖所示，設(shè)圓心為E，半徑為r，連接ED，則，
由圖可得P點(diǎn)到D點(diǎn)的最大距離，
即的最大值為，
P點(diǎn)到D點(diǎn)的最小距離，即的最小值為，
故.
故答案為：.位置關(guān)系
外離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
圖示
公切線條數(shù)
4條
3條
2條
1條
無(wú)公切線

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