最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考）【專題突破精練】第08講等高線問(wèn)題與函數(shù)的整數(shù)解問(wèn)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書(shū)寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過(guò)程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過(guò)一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過(guò)程也就是反思的過(guò)程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無(wú)一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問(wèn)題不可怕，可怕的是不知道問(wèn)題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題越多，說(shuō)明你距離成功越近，及時(shí)處理問(wèn)題，爭(zhēng)取“問(wèn)題不過(guò)夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
第08講等高線問(wèn)題與函數(shù)的整數(shù)解問(wèn)題
【典型例題】
例1．設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：設(shè)，，
由題意知存在唯一的整數(shù)使得在直線的下方，
因?yàn)椋?br>令，可得，單調(diào)遞增，
令，可得，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
當(dāng)時(shí)，（1）（1），
當(dāng)時(shí)，，，
由可得，即，
由可得，可得，
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
故選：．
例2．（2022?襄城區(qū)校級(jí)模擬）若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．D．
【解析】解：令，，
則，
令，得或；，得，
在和，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，且（2），
當(dāng) 時(shí)，至多有一個(gè)整數(shù)解．
當(dāng) 時(shí)，在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，
只需，即，
解得：，
故選：．
例3．（2022秋?呂梁月考）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，，B．，
C．，，D．，，
【解析】解：由解析式得：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增，
所以不等式可化為：
，
即，即，
若原不等式的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，
則時(shí)，，有且僅有三個(gè)整數(shù)，解得：，，
時(shí)，，有且僅有三個(gè)整數(shù)，解得：，，
綜上可得：，，，
故選：．
例4．（2022?全國(guó)Ⅰ卷模擬）若不等式的解集中有且僅有兩個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：設(shè)；，顯然當(dāng)時(shí)，在，恒成立，即不等式?jīng)]有正整數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，與的大致圖象如圖所示，兩個(gè)函數(shù)的圖象均過(guò)原點(diǎn)，則原不等式的解集中的兩個(gè)正整數(shù)解必然是和，
所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：．
例5．（2022?北海一模）已知函數(shù)，，若存在唯一的正整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
由得或，此時(shí)為增函數(shù)，
由得，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，
當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極小值，
當(dāng)時(shí)，不滿足條件．，
當(dāng)時(shí)，（2），（1），（3），
若存在唯一的正整數(shù)，使得，
則唯一的正整數(shù)，
則滿足，即，得，得，
則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
故選：．
例6．（2022秋?德州期中）已知函數(shù)，關(guān)于的不等式只有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，
C．，D．，
【解析】解：由，，
令，解得：，
令，解得：，
的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故的最大值是（e）；
時(shí)，，時(shí)，，（1），故在時(shí)，，在時(shí)，，
函數(shù)的圖象如下：
①時(shí)，由不等式得或，
而時(shí)無(wú)整數(shù)解，的解集為，整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，不合題意；
②時(shí)，由不等式，得，解集為，，，
整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，不合題意；
③時(shí)，由不等式，得或，
的解集為無(wú)整數(shù)解，而的解集整數(shù)解只有一個(gè)，
且在遞增，在遞減，
而，（2）（4）（3），這一個(gè)正整數(shù)只能為3，
（2）（3），；
綜上，的取值范圍是，．
故選：．
例7．（2022秋?重慶期末）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的根，，，，且，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：作函數(shù)圖象，，，，的橫坐標(biāo)分別為，，，，
故，，，
所以，即，
所以，即，，
因?yàn)?，，，所以?br>又，所以，
所以，
令，
，，
故選：．
例8．（2022?西城區(qū)一模）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，2，3，，其中，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．
【解析】解：函數(shù)的圖象如右：
關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，
可得的圖象與直線有四個(gè)交點(diǎn)，
可以判斷，，
，
且，，可得，
即，
即有，
，
故，
又由函數(shù)在，上遞增，
可得函數(shù)在，上的值域?yàn)?，?br>可知的取值范圍為，．
故選：．
例9．（2022?巴中模擬）已知函數(shù)對(duì)任意都有，當(dāng)時(shí)，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若存在實(shí)數(shù)，，，滿足（a）（b）（c）（d），則的取值范圍為
A．B．C．D．
【解析】解：由函數(shù)對(duì)于任意，均滿足，
可知的對(duì)稱軸方程為．
當(dāng)時(shí)，，
作出函數(shù)的圖象，如圖：
由圖可知，與，與關(guān)于直線對(duì)稱，則．
又（a）（b），所以，即，
因此．
由題意知，，
令（b），，
則（b），
令（b），得，
故（b）在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
故（b），
由，，由，可得，
所以得的取值范圍是，．
故選：．
例10．（2022春?東湖區(qū)校級(jí)期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）（3）與（2）的大??；
（2）定義在上的函數(shù)滿足，，且當(dāng)，時(shí)：．若關(guān)于的不等式在，上有且只有151個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）由于函數(shù)為冪函數(shù)，故，即，又函數(shù)過(guò)點(diǎn)，
則，即，故，此時(shí)
（3），（2），故（3）（2）．
（2）由于函數(shù)滿足，則為偶函數(shù)，又，則圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
由此可以得到，又，則有，即，故函數(shù)的周期為，
然后由，以及奇偶性和對(duì)稱性和周期性做出示意圖如右圖，
其中函數(shù)的單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)方法判斷，限于篇幅，只給出結(jié)論，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，最大值為，
由不等式可得，
則得到，或者，結(jié)合圖象舍去第二種情形．
故只有可能成立，
①當(dāng)時(shí)，，由上述不等式組可得，即時(shí)在，上有且只有151個(gè)整數(shù)解，
結(jié)合圖象可知，則在，上有且只有個(gè)整數(shù)解，則在區(qū)間，上有且只有3個(gè)整數(shù)解，
我們?cè)O(shè)想直線在區(qū)間，和相交，當(dāng)滿足條件且時(shí)，整數(shù)解在區(qū)間，上有或者或者三個(gè)，滿足題意，其中，
這樣有，即，滿足；
②當(dāng)時(shí)，由題意在，上有且只有151個(gè)整數(shù)解，我們結(jié)合圖象可知，在一個(gè)周期，內(nèi)，滿足的整數(shù)解有2、3、4、5、6、8，顯然不滿足題意，故舍去；
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【同步練習(xí)】
一．選擇題
1．（2022春?荔城區(qū)校級(jí)期中）設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是
A．，B．C．D．
【解析】解：令，，，顯然直線恒過(guò)點(diǎn)，
則“存在唯一的整數(shù)，使得 “等價(jià)于存在唯一的故數(shù)使得點(diǎn)，在直線下方，
，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，在上遞增，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，
即當(dāng)時(shí)，不存在整數(shù)使得點(diǎn)，在直線下方，
當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)為，，則切線方程為：，
而切線過(guò)點(diǎn)，即有，整理得：，而，解得，
因（1）（1），又存在唯一整數(shù)使得點(diǎn)，在直線下方，則此整數(shù)必為2，
即存在唯一整數(shù)2使得點(diǎn)，（2）在直線下方，
因此有，解得，
所以的取值范圍是．
故選：．
2．（2022?雨花區(qū)校級(jí)模擬）若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．D．
【解析】解：令，，則
，
令，得或；，得，
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
（1），且
如圖所示，
當(dāng) 時(shí)，至多有一個(gè)整數(shù)解．
當(dāng) 時(shí)，在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，
只需，即，
解得．
故選：．
3．（2022?臨沂二模）已知函數(shù)，時(shí)，若不等式的解集中有且僅有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
作出的函數(shù)圖象如圖所示：
由僅有一個(gè)整數(shù)解得只有一整數(shù)解，
設(shè)，
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，若只有1個(gè)整數(shù)解，則此整數(shù)解必為1，
，即，解得．
故選：．
4．（2022?九江一模）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，
C．，D．，
【解析】解：，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)不等式有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，或，要使不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，必須滿足
（3）（2），得，
故選：．
5．（2022秋?浙江期末）設(shè)函數(shù)，若存在唯一的正整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：設(shè)，，
，所以或者時(shí)函數(shù)遞增，時(shí)遞減，
并且（1），（2），（3），（4），
圖象如圖，函數(shù)經(jīng)過(guò)，要使存在唯一的正整數(shù)，使得，
即有唯一正整數(shù)解，
所以只要并且，即，解得：；
故選：．
6．（2022?杏花嶺區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)若存在唯一的正整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，
C．，D．
【解析】解：由題意，，
設(shè)，則，
設(shè)，
，
恒成立，恒成立，單調(diào)遞減，
，（1），
在上存在唯一的零點(diǎn)，
即在上有唯一的極值點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)，
（1），（2），
要使不等式有唯一的正整數(shù)解，需．
故選：．
7．（2022?中衛(wèi)二模）已知函數(shù)，若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（理解為閉區(qū)間）中包含且僅包含兩個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．，B．，
C．，D．，
【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（理解為閉區(qū)間）中包含且僅包含兩個(gè)正整數(shù)，
所以的解集中恰有兩個(gè)正整數(shù)，
由可得，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
作出函數(shù)與的大致圖象如圖所示：
當(dāng)恰有兩個(gè)正整數(shù)解時(shí)，即為1和2，
所以，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
故選：．
8．（2022秋?新余期末）已知函數(shù)，若的解集中恰有一個(gè)整數(shù)，則的取值范圍為
A．B．
C．D．
【解析】解：，即，即，
因?yàn)椋裕?br>令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
畫(huà)出的大致圖象如圖所示：
當(dāng)直線與圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，，
則，解得，故，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，
故的取值范圍是，．
故選：．
9．（2022秋?莊河市校級(jí)月考）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，若關(guān)于的不等式的解集中恰有唯一一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：，
，
，
，，解得
，
．
令，解得或，
當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減增，
可得：時(shí)，函數(shù)取得極大值，時(shí)，函數(shù)取得極小值，
，，，
時(shí)，的解集中恰有唯一一個(gè)整數(shù)．
故的取值范圍是，，
故選：．
10．（2022?瀘州模擬）已知函數(shù)，關(guān)于的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：（1），令，解得：，
令，解得：，
的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故的最大值是（e）．
時(shí)，，時(shí)，，（1），故在時(shí)，，在時(shí)，，
函數(shù)的圖象如下：
①時(shí)，由不等式得或，
而的解集為無(wú)整數(shù)解，的解集整數(shù)解一個(gè)，
在遞增，在遞減，
而，（2）（4）（3），這一個(gè)正整數(shù)只能為3，
（2）（3），
②時(shí)，由不等式，得，解集為，，，
整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，不合題意；
③時(shí)，由不等式，得或，
的解集為無(wú)整數(shù)解，而的解集為，整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，不合題意；
綜上，
故選：．
11．（2022?瓊海模擬）已知函數(shù)，函數(shù)，直線分別與兩函數(shù)交于，兩點(diǎn)，則的最小值為
A．B．1C．D．2
【解析】解：由題意：兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖：作出的平行線，
使得直線與函數(shù)相切，
則直線分別與兩函數(shù)交于，兩點(diǎn)，此時(shí)取得最小值，
設(shè)切點(diǎn)，則，
切線的斜率為：，解得，
切點(diǎn)為，即則，，
則的最小值為：．
故選：．
12．（2022春?南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）已知直線分別與函數(shù)和函數(shù)（實(shí)常數(shù)，交于，兩點(diǎn)，則的最小值為
A．B．C．D．
【解析】解：設(shè)，，，，可設(shè)，
則，
，
，
令，
則，
，，
，，
令，解得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
時(shí)，函數(shù)取得極小值，且為最小值2，
，
函數(shù)在，上單調(diào)遞減，
．
故選：．
13．（2022秋?錫山區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根、、，則的取值范圍為
A．，B．
C．D．
【解析】解：，
當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，，
則，
令，，
則，
易得在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，
故的取值范圍為，．
故選：．
14．（2022?廣東四模）已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，且，則的最小值是
A．2B．C．D．
【解析】解：的定義域?yàn)椋?br>且，
可得為奇函數(shù)，
，，，
當(dāng)時(shí)，，遞增，可得，
遞增，可得，
即在遞增，進(jìn)而在上遞增，
作出的圖象；
作出的圖象．
設(shè)，由，
可得，即有，
且，
可得，
則，，
由的導(dǎo)數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，遞增，時(shí)，遞減，
可得處取得極小值，且為最小值，
則的最小值是．
故選：．
15．（2022春?上饒期末）已知，關(guān)于的一元二次不等式的解集中有且僅有5個(gè)整數(shù)，則所有符合條件的的值之和是
A．13B．15C．21D．26
【解析】解：設(shè)，其圖象為開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為的拋物線，
因?yàn)榻饧杏星覂H有5個(gè)整數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性可得，
，解得，又，
所以，2，3，4，5，
所以符合題意的的值之和，
故選：．
16．（2022秋?湖北校級(jí)月考）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同解，，，，且，則的取值范圍為
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：作函數(shù)的圖象如右，
方程有四個(gè)不同的解，，，，且，
，關(guān)于對(duì)稱，即，
由得或，
由得或，
即，，
則，
即，
則
即
則；
故，；
則函數(shù)，在上為減函數(shù)，
則故取得最大值，為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為．
即函數(shù)取值范圍是，．
故選：．
17．（2022春?龍巖期末）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象相交于不同的兩點(diǎn)，，，，若存在唯一的整數(shù)，，則實(shí)數(shù)的最小值是
A．0B．C．D．1
【解析】解：由得，
設(shè)，
求導(dǎo)，
令，解得，
時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，且，
又時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，故；
作出函數(shù)大致圖像，如圖所示：
又，
因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)，，使得與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖可知：（2）（1），
即，
所以的最小值為．
故選：．
18．（2022?海淀區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得成立，則滿足條件的整數(shù)的個(gè)數(shù)為
A．2B．3C．4D．無(wú)數(shù)
【解析】解：作出的函數(shù)圖象如圖所示：
表示點(diǎn)，與點(diǎn)所在直線的斜率，可得曲線上只有一個(gè)點(diǎn)，為整數(shù)）和點(diǎn)所在直線的斜率大于0，
而點(diǎn)在到直線上運(yùn)動(dòng)，
由，（1），（2），
可得當(dāng)時(shí)，只有點(diǎn)滿足；
當(dāng)時(shí)，只有點(diǎn)滿足．
綜上可得的范圍是，，．
故滿足條件的整數(shù)有：，0，1，2共四個(gè)．
故選：．
二．填空題
19．（2022秋?浙江期中）已知函數(shù)，若集合中有且只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
【解析】解：，
即，
分別令，
，易知過(guò)定點(diǎn)，
分別畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示：
集合中有且只有一個(gè)元素，結(jié)合圖象可得
，
解得
故答案為：，
20．（2022春?孝義市期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
【解析】解：因?yàn)椋?br>所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
（1），
時(shí)，；時(shí)，；
函數(shù)的草圖如下：
當(dāng)時(shí)，，或，
此時(shí)不等式有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)不等式有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，或，
要使得恰有兩個(gè)整數(shù)解，必須滿足
（3）（2），得．
故答案為：，．
21．（2022春?船營(yíng)區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是．
【解析】解：方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
即函數(shù)的圖象與直線有4個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，，，且，
由題意可得，，即，
又，即，
則，
又在單調(diào)遞減，
即，
故答案為：．
22．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，．則的取值范圍為，．
【解析】解：作函數(shù)的圖象如下，方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，
結(jié)合圖象，
，，，的橫坐標(biāo)分別為，，，，
故，，，，，，
故，，
，，
故答案為：，．
23．（2022春?淮安期末）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，，且，則的取值范圍是，．
【解析】解：作函數(shù)草圖如下，
可以判斷，，且，根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，，且，
故，且，
又由函數(shù)在，遞減，可知所求取值范圍為，．
故答案為：，．
24．（2022秋?尚志市校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，，，，且，則的取值范圍是，．
【解析】解：函數(shù)的圖象如右：
關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，
可得的圖象與直線有四個(gè)交點(diǎn)，
可以判斷，，
，
且，，可得，
即，
即有，
，
故，
又由函數(shù)在，上遞增，
可得函數(shù)在，上的值域?yàn)?，?br>可知的取值范圍為，．
故答案為：，．
25．（2022秋?常熟市校級(jí)月考）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，且，則的取值范圍為，．
【解析】解：存在實(shí)數(shù)，滿足，且，
即與函數(shù)在，上有兩個(gè)交點(diǎn)；
由圖可得：；
且；
所以；
設(shè)，，，則，令，得，
當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，的值無(wú)限趨于；
所以當(dāng)時(shí)，取極大值也是最大值，即，
（1）；
所以最大值為；最小值為0
故答案為：，．
26．已知直線與函數(shù)和分別交于，兩點(diǎn)，若的最小值為2，則 2 ．
【解析】解：設(shè)，，，，可設(shè)，
則，
，
，
令，
則，
由的最小值為2，
可得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
時(shí)，函數(shù)取得極小值，且為最小值2，
即有，
解得，
由，
則，
可得．
故答案為：2．
27．（2022春?日照期末）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，，滿足則的最小值為
【解析】解：根據(jù)題意，
作出函數(shù)的圖象如圖所示：
存在實(shí)數(shù)，，滿足，
根據(jù)函數(shù)圖象可得，．
，即．，
令，，
則，
當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)；
當(dāng)，，即在上為增函數(shù)．
（2），
故答案為：．
三．解答題
28．（2022春?張家港市期中）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最大值；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若不等式僅有一個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（1）函數(shù)，
則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值為（1）．
（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
結(jié)合（1）中結(jié)論，可得．
（3）因?yàn)?，所以不等式僅有一個(gè)整數(shù)解，
即只有一個(gè)整數(shù)解，因?yàn)榈臉O大值為（1），，
（2），
所以當(dāng)，時(shí)，只有一個(gè)整數(shù)解，
即當(dāng)，時(shí)，不等式僅有一個(gè)整數(shù)解．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
29．（2022?鏡湖區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，．
（Ⅰ）記，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的情況；
（Ⅱ）若有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，求的取值范圍．
【解析】解：，．
令在上單調(diào)遞增，
又，（1）．
存在唯一，使得，即．
，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．，，，函數(shù)單調(diào)遞增．
為極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)．
（Ⅱ）化為：，即．
①當(dāng)時(shí)，由不等式有整數(shù)解，
在時(shí)，，
有無(wú)窮多整數(shù)解．
②當(dāng)時(shí)，，又，（1）．
不等式有兩個(gè)整數(shù)解為0，1．即，解得：．
③當(dāng)時(shí)，，又，
在時(shí)小于或等于1，不等式無(wú)整數(shù)解．
綜上可得：．
30．（2022秋?雙峰縣校級(jí)月考）已知函數(shù)，，．
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，不等式有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，求的取值范圍．
【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
由得：，即，
令，
則，
可得在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，
則有，，
函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
則；
（也可用過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，可求得兩切線的斜率分別是1和，由直線與曲線的位置可得）
（2）當(dāng)時(shí)，由得．
令，則．
令，則，所以在上單調(diào)遞增，
又，（1），所以在上有唯一零點(diǎn)，
此時(shí)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
，
易證，．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（1）．
①若，則，此時(shí)有無(wú)窮多個(gè)整數(shù)解，不合題意；
②若，即，因?yàn)樵?，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，，（1），所以無(wú)整數(shù)解，不合題意；
③若，即，此時(shí)（1），故0，1是的兩個(gè)整數(shù)解，
又只有兩個(gè)整數(shù)解，因此（1）且（2），解得．
所以，．
31．已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，
①求函數(shù)在處的切線方程；
②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若有且只有唯一整數(shù)，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，
①，又，
函數(shù)在處的切線方程為：，即：；
②，
由于，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）由得，
當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，，
函數(shù)在和，上為增函數(shù)，在和上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，，由得，，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，
，即，，
②當(dāng)時(shí)，，由得，，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，且，
，解得：，
綜上所述，的取值范圍為，，．

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