最新高考數學二輪復習（新高考）【專題突破精練】第02講取整函數-試卷下載-教習網

1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結。出現問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復習中出現的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調整及考后心理的調整。以平和的心態(tài)面對高考。
第02講取整函數
【典型例題】
例1．（2022?廣元模擬）已知函數其中表示不超過的最大整數，若直線與的圖象恰有三個不同的交點，則的取值范圍是
A．，B．C．D．
【解析】解：作出的函數圖象如下：
，恒過點
若與的圖象有3個交點，則必須滿足：
，解得．
故選：．
例2．（2022秋?焦作期中）設函數，其中表示不超過的最大整數，如，，，若直線與函數的圖象恰有2個不同的交點，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：當，，此時，
當，，，
當時，函數的周期為1，作出函數的圖象如圖：
直線過定點，
由圖象可知當直線經過點時，兩個函數的圖象有2個交點，此時，
解得，
當直線經過點時，兩個圖象有3個交點，此時，解得，但此時不滿足條件，
故要使直線與函數的圖象恰有2個不同的交點，
則，
故選：．
例3．（2022春?平頂山期末）設，記不超過的最大整數為，例如，，令，則
A．是等差數列但不是等比數列
B．既是等差數列也是等比數列
C．是等比數列但不是等差數列
D．既不是等差數列也不是等比數列
【解析】解：根據題意，，
則，，
則，即，1，，
分析可得：，成等比數列，
，不成等差數列，
故選：．
例4．（2022?浙江模擬）設表示不超過的最大整數，例如，，．設集合，集合，則表示的平面區(qū)域的面積為．
【解析】解：集合表示一個以原點為圓心的單位圓（即半徑為1的圓）．
集合可以這樣考慮，當時，，所以，的取值范圍為，或，與無交集．
當時，，所以的取值范圍為，或，在第三象限于相交，所以交所表示的平面區(qū)域為一個在第三象限的四分之一單位圓．面積為．
故答案為：
例5．（2022秋?上海月考）設表示不超過的最大整數，若，．給出下列命題：
①對任意的實數，都有．
②對任意的實數、，都有．
③．
④若函數，當，時，令的值域為，記集合中元素個數為，則的最小值為，其中所有真命題的序號為 ①②④ ．
【解析】解：對于①，由表示不超過的最大整數，則對任意的實數，都有，命題①正確；
對于②，記，，
則，故②正確；
對于③，，，，．
，
，
，
，
，命題③錯誤；
對于④，根據題意：，
．
在各區(qū)間中的元素個數是：1，1，2，3，，．
，則，
當時，最小值為，命題④正確．
故答案為：①②④．
【同步練習】
1．（2022?湖南一模）設函數，表示不超過的最大整數，如，，則函數的值域為
A．B．，C．，0，D．，
【解析】解：
當
當
當
所以：當
當不等于0
所以，的值域：，
故選：．
2．（2022?陜西）設表示不大于的最大整數，則對任意實數，，有
A．B．C．D．
【解析】解：對，設，則，，所以選項為假．
對，設，，，所以選項為假．
對，設，對，，，所以選項為假．
故選項為真．
故選：．
3．（2022秋?潞州區(qū)校級期中）為實數，表示不超過的最大整數，則函數在上
A．為奇函數B．為偶函數C．為增函數D．值域為，
【解析】解：根據題意，，則，
則在上為周期是1的函數，
在區(qū)間，上，，則，其值域為，，正確，
同時既不是奇函數又不是偶函數，正確，在上為周期是1的函數，不是增函數，錯誤，
故選：．
4．（2022?陜西）設表示不大于的最大整數，則對任意實數，有
A．B．C．D．
【解析】解：對，設，則，，所以選項為假．
對，設，則，，所以選項為假．
對，，則，，所以選項為假．
故選項為真．
故選：．
5．已知函數，其中表示不超過實數的最大整數，若函數有4個零點，則實數的取值范圍是
A．，B．，
C．，，D．，
【解析】解：函數有4個零點，
函數與函數的圖象有4個不同的交點，
作函數與函數的圖象如下，
結合圖象可知，，，，，
故實數的取值范圍是，，；
故選：．
6．（2022?鹽湖區(qū)校級二模）設函數，其中表示不超過的最大整數，如，，，若有三個不同的根，則實數的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：
函數的圖象如下圖所示：
，故函數圖象一定過點
若有三個不同的根，
則與的圖象有三個交點
當過點是，
當過點是，
故有三個不同的根，則實數的取值范圍是
故選：．
7．（多選題）（2022秋?歷城區(qū)校級月考）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，．已知函數，，則下列說法正確的有
A．是奇函數B．在上是增函數
C．是偶函數D．的值域是，
【解析】解：對于，，為奇函數，正確；
對于，在上單調遞增，在上單調遞減，
，在上單調遞減，即在上是減函數，錯誤；
對于，，（1）（1），
（1），不是偶函數，錯誤；
對于，，
，，，，，
當，時，，
當，時，，
的值域是，，正確．
故選：．
8．（2022?漳浦縣校級模擬）設，記不超過的最大整數為，令，若已知給出下列結論：（1）（2）；（3）（4）（5）．其中正確的結論是（1）（3）．
【解析】解：因為不超過的最大整數為，令，
所以，
對于①，，所以①對；
對于②，因，所以，所以②錯；
對于③，所以③對；
對于④，因為，所以，所以④不對，
對于⑤，，所以⑤錯；
故答案為（1）（3）
9．（2022?開化縣校級模擬）設為不超過的最大整數，如，．設集合，，，則所表示的平面區(qū)域的面積是．
【解析】解：由題意知：
集合表示以原點為圓心，以1為半徑的單位圓，
表示坐標軸上的點，
其中軸上是，的線段長，軸上也是，的線段長；
表示坐標軸上的點，
其中軸上是，的線段長，軸上也是，的線段長，
所表示的平面區(qū)域是以1為半徑的單位圓，
所表示的平面區(qū)域的面積是：
．
故答案為：．
10．（2022春?宜春期末）已知表示不超過實數的最大整數，如：，，．定義，給出如下命題：
①使成立的的取值范圍是；
②函數的定義域為，值域為，；
③；
④設函數，則函數，，的不同零點有7個．
其中正確的命題的序號為 ①③④ ．
【解析】解：對于①，有，解得，故①正確
對于②，，函數的值域是，，故②錯誤；
對于③，，，，
所以；，故③正確
對于④當時，，當，則，
當，則，
當，則
當，則，則，
當，則，則，
當，則，則，
令，則，在同一個坐標系中，畫出函數和
的圖象，顯然有7個交點，故④正確．
故其中正確的命題的序號為①③④．
故答案為：①③④
11．設，記不超過的最大整數為，令，則以，，為前三項的數列的通項公式．
【解析】解：，
，
，
，，
是以為首項，以為公比的等比數列，
．
故答案為：．
12．（2022?武侯區(qū)校級開學）設，定義表示不超過的最大整數，如，等，則稱為高斯函數，又稱取整函數．現令，設函數的零點個數為，函數的零點個數為，則的和為 127 ．
【解析】解：由得．
則或，
即或．
即或．
若，，
當時，，由，解得，即，此時有16個零點，
若，，
當時，不成立，由，解得，此時有16個零點，
綜上的零點個數為個．
，
，由得，分別作出函數和的圖象如圖：
由圖象可知當和時，函數和沒有交點，
但時，函數和在每一個區(qū)間上只有一個交點，
，
的零點個數為個．
故，．
．
故答案為：127．
13．（2022秋?渭濱區(qū)校級月考）設是不大于的最大整數．若函數存在最大值，則正實數的取值范圍是．
【解析】解：記為實數的小數部分，即．
當時，，因此，是以1為周期的周期函數，
因此當，時，，
當，時，，在處達到最大值．
當時，，類似可知沒有最大值．
當時，若，，
若，，．
于是當時，有最大值；當時，沒有最大值．
綜上知時，有最大值，
故答案為：．
14．（2022秋?仙游縣校級月考）（附加題）
（1）設為實數，定義為不小于的最小整數，例如，．關于實數的方程的全部實根之和等于．
（2）若表示不大于的最大整數，方程的所有解為．
【解析】解：（1）設，則，，
于是原方程等價于，即，
從而，即或．
相應的為．于是所有實根之和為
（2），，
，，；
，，與矛盾；
，，與矛盾；
，，與矛盾；
，，；
，，；
，，
綜上知，方程的所有解為，
故答案為：（1）；（2），
15．（2022秋?白云區(qū)校級期中）函數的函數值表示不超過的最大整數，如，，已知．
（Ⅰ）求函數的表達式；
（Ⅱ）記函數，在給出的坐標系中作出函數的圖象；
（Ⅲ）若方程且有且僅有一個實根，求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）由題意，
①當時，；②當時，；
③當時，；④當時，；
所以．
（Ⅱ），圖象如圖所示：
（Ⅲ）方程僅有一根等價于與圖象僅有一個交點，
由圖象可知時，（1），解得；
時，（2）或，解得或．
綜上，的范圍是，，，．

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