最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考）【專題突破精練】第06講函數(shù)最值的靈活運(yùn)用-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
第06講函數(shù)最值的靈活運(yùn)用
【典型例題】
例1．（2022秋?河北月考）已知，，且，若不等式恒成立，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：，
，
．
，，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號），
．
故選：．
例2．（2022秋?懷寧縣校級月考）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在，上的最大值與最小值的和為
A．B．C．2D．3
【解析】解：函數(shù)，，，
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，
在上沒有零點(diǎn)，舍去；
當(dāng)時(shí)，由，得，
在上遞減，在，遞增，
又只有一個(gè)零點(diǎn)，
，解得，
則，，，，
的解集為，
在上遞增，在上遞減，
，，（1），
，，
在，上的最大值與最小值的和為：
．
故選：．
例3．（2022?江西模擬）對任意，若不等式恒成立，則的取值范圍為
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：，
設(shè)，則，（1），
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，取得極小值也是最小值，
即，
令，則，
所以，
而，，且僅當(dāng)，，
所以
故選：．
例4．（2022?海南）用，，表示，，三個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)，，，則的最大值為
A．7B．6C．5D．4
【解析】解：
解法一：
畫出，，的圖象，
觀察圖象可知，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
的最大值在時(shí)取得為6，
故選．
解法二：
由，得．
時(shí)2^，，；
時(shí)，，，；
由得
時(shí)，時(shí)，．
綜上，
（4）．
故選：．
例5．（2022春?渝中區(qū)校級期中）設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：依題意，，即，即，
設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，
在上恒成立，即在上恒成立，
設(shè)，易知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，則．
故選：．
例6．（2022秋?江西月考）設(shè)函數(shù)，若無最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．，C．，D．，
【解析】解：因?yàn)椋?br>作出函數(shù)與直線的圖象，
它們的交點(diǎn)時(shí)，，，
由，則令，可得或，
當(dāng)或時(shí)，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
所以是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，有最大值，
當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)無最大值，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：．
例7．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）已知函數(shù)為，其中，若對任意的恒成立，且函數(shù)存在零點(diǎn)，則的最小值為．
【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)滿足對任意的恒成立，且函數(shù)存在零點(diǎn)，
必有△，則有，
則，
又由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
即的最小值為；
故答案為：．
例8．（2022?太原一模）已知函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)，求在，上的最小值；
（Ⅱ）若不等式在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】解：，
時(shí)，，，
則，，
故在，上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，在，上的最小值；
，
因?yàn)樵冢虾愠闪ⅲ?br>①當(dāng)時(shí)，由知在，上單調(diào)遞增，且，，
故存在唯一的使得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，此時(shí)與已知矛盾，
②當(dāng)時(shí)，
若，由（1）知，，
所以在，上單調(diào)遞增，恒成立，此時(shí)原不等式恒成立，符合題意；
若，則，，
因?yàn)樵?，上為增函?shù)且，，
故存在唯一的使得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，，
故存在唯一的，，使得，
故當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，，
故當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，，
即在，上恒成立，
綜上的范圍，．
例9．（2022春?渝中區(qū)校級月考）已知函數(shù)．
（1）若時(shí)，不單調(diào)，求的取值范圍；
（2）設(shè)，，若，時(shí)，時(shí)，有最小值，求最小值的取值范圍．
【解析】解：（1），
時(shí)，不單調(diào)，在上有解，
，
．
（2），．
設(shè)，則，又，
，單調(diào)遞增，又（1），，
存在，使得，即．時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，，單調(diào)遞增，
．
設(shè)，則
，單調(diào)遞減，又，（1），
．
【同步練習(xí)】
一．選擇題
1．（2022秋?濱江區(qū)校級期末）已知，，若不等式恒成立，則的最小值為
A．B．C．D．
【解析】解：，，
不等式等價(jià)為，
令，，
令，
令，（負(fù)值舍去）
函數(shù)在上單調(diào)增，在，上單調(diào)減
時(shí)，函數(shù)取得最大值為
實(shí)數(shù)的最小值為
故選：．
2．（2022?山西自主招生）若不等式恒成立，則的取值范圍是
A．，B．，C．，，D．，，
【解析】解：令，．
，
時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．
時(shí)，，不滿足不等式恒成立，舍去．
時(shí)，，在上恒成立．
時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，存在，使得，
可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值．
由可得，，
則，
解得．
綜上可得：的取值范圍是，．
故選：．
3．（2022秋?道里區(qū)校級月考）已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，C．，D．
【解析】解：當(dāng)時(shí)，恒成立，即為
恒成立，
令，，
，，
當(dāng)時(shí)，，遞減，
當(dāng)時(shí)，，遞增，
即有時(shí)，取得最大值，
即為，
即有，
令，導(dǎo)數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，
當(dāng)時(shí)，（e），即時(shí)，（e），
則有的取值范圍是．
故選：．
4．（2022?大慶模擬）已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由函數(shù)，，
所以不等式恒成立，等價(jià)于恒成立；
因?yàn)?，所以?br>設(shè)函數(shù)，，
則，計(jì)算（1），且；
所以，
當(dāng)，時(shí)，令，解得，
所以時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
所以（1）；
設(shè)（a），，
則（a），
所以（a）在上單調(diào)遞增，且；
要使恒成立，需使（a）恒成立，即，
所以的取值范圍是，．
故選：．
5．用，，表示，，三個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)，，，則的最大值為
A．4B．5C．6D．7
【解析】解：，
當(dāng)，即時(shí)，
，，
當(dāng)，即時(shí)，
，．
時(shí)，；
時(shí)，．
綜上可得，的最大值為5．
故選：．
6．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍為
A．B．C．D．
【解析】解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，且，
即，
的值域?yàn)椋?br>，且
，
故選：．
7．（2022秋?武昌區(qū)校級月考）已知函數(shù)，，設(shè)，，，，（其中，表示、中的較大值，，表示、中的較小值，記的最小值為，的最大值為，則為
A．B．C．16D．
【解析】解：，
，
當(dāng)時(shí)，或；
又，，
，；
，，
．
故選：．
8．（2022秋?遵義月考）若對任意，，不等式恒成立，則的取值范圍為
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：令，，則，對任意的，恒成立，
所以在，上單調(diào)遞增，從而（1），
①若，則當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意，
②若，，易知在，上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以，所以?），即，
所以，
因?yàn)?，，所以，，所以?br>因?yàn)樵?，上單調(diào)遞增，其圖象是一條連續(xù)的曲線，
且（1），所以存在唯一的，使得，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，（1），不符合題意，舍去，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
故選：．
9．（2022春?瑞金市月考）設(shè)函數(shù)的最大值為，若對任意，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：，函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng) 時(shí)，，，
函數(shù)單調(diào)遞減，故，
故恒成立，
即，
故，解得，
故選：．
10．（2022春?武邑縣校級期末）設(shè)，，，則的最小值為
A．2B．4C．D．
【解析】解：因?yàn)?，，?br>所以，
由基本不等式，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，等號成立）
所以，，故，
故的最小值為．
故選：．
11．（2022?曲阜市校級模擬）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的最大值是
A．9B．14C．15D．16
【解析】解：的圖象關(guān)于直線對稱，
（1）（3），（5），
即，解得，，
即，
則，
由，解得或或，
由，解得或，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由，解得或，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
作出對應(yīng)的函數(shù)圖象如圖：
則當(dāng)或時(shí)，函數(shù)取得極大值同時(shí)也是最大值
則，
故選：．
二．填空題
12．（2022秋?吳忠校級月考）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是，1，2，．
【解析】解：，
，
，
，1，2或3，
即函數(shù)的值域是，1，2，．
故答案為：，1，2，．
13．（2022春?梅河口市校級期中）已知，，且，則的最小值為．
【解析】解：因?yàn)?，，且?br>則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即且，此時(shí)，或，時(shí)取等號，
所以的最小值為．
故答案為：．
14．（2022秋?秦淮區(qū)校級月考）已知，，且，則的最小值為 6 ．
【解析】解：由，，且，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，又，即，，或，，上式取得等號．
所以的最小值為6．
故答案為：6．
15．（2022?鄭州二模）已知，不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
【解析】解：不等式對任意的恒成立，
令，則，所以不等式等價(jià)于對恒成立，
變形可得不等式對恒成立，
令，，則不等式等價(jià)于對恒成立，
，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，
所以不等式轉(zhuǎn)化為對恒成立，即對恒成立，
令，所以，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值（e），
所以，又，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
故答案為：，．
16．（2022秋?太原期末）已知函數(shù)在，上的最小值為1，若對于任意，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為．
【解析】解：由的導(dǎo)數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，，遞增；
當(dāng)時(shí)，，遞減，
則在處取得極小值0，且為最小值0，
則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號，
即，故時(shí)取等號，
不等式恒成立即為，
令，，，，，
故在，遞增，而，
故在遞減，在，遞增，
故的最大值是（1）或（2），
而（1）（2），故，
故答案為：．
17．（2022秋?道里區(qū)校級月考）若函數(shù)的值域是，則的取值范圍是，．
【解析】解：當(dāng)時(shí)，的最小值為1，
；
當(dāng)時(shí)，的最大值為，
保證值域是，
，即
綜上，可得的取值范圍是．
故答案為：．
18．（2022秋?龍華區(qū)校級期中）設(shè)函數(shù)．
①若，則的最大值為 0 ；
②若無最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【解析】解：①若，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，為．
②當(dāng)時(shí)，，
圖像如圖所示：
，
由圖可知存在最大值，
②當(dāng)時(shí)，，
圖像如圖所示：
，
由圖可知不存在最大值，
由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，
綜上所述，若無最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故答案為：0，．
19．（2022秋?貴陽月考）已知函數(shù)，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的最小值是 12 ．
【解析】解：函數(shù)，所以，故函數(shù)為奇函數(shù)，
由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，
所以只有一個(gè)根，可得只有一個(gè)根，
由于在上單調(diào)遞增，所以，化簡可得只有一個(gè)根，
故△，解得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，
故函數(shù)的最小值是12．
故答案為：12．
20．（2022秋?沈陽期末）已知函數(shù)若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的最小值是 5 ．
【解析】解：函數(shù)滿足，
且恒成立，
故是上的單調(diào)奇函數(shù)，
令，
所以，即只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
則△，解得，
，；
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號；
所以的最小值為5，
故答案為：5．
21．（2022秋?河西區(qū)期末）已知，，則的最小值為 2 ．
【解析】解：因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立；
故答案為：2．
22．（2022春?忻州校級期中）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的最大值是 16 ．
【解析】解：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
且（1），
即且，
解之得，，
因此，，
求導(dǎo)數(shù)，得
當(dāng)，，時(shí)，，
當(dāng)，，時(shí)，，
在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，
故當(dāng)和時(shí)取極大值，
．
故答案為：16．
23．（2022?新疆模擬）不等式對，恒成立，則的最大值為．
【解析】解：，，恒成立，
設(shè)，，
則，
設(shè)，則在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，又（1），
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
（1），，，
，的最大值為．
故答案為：．
三．解答題
24．（2022秋?南城縣校級期中）已知函數(shù)，，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>（1）求的值；
（2）若，試判斷函數(shù)在，上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）若函數(shù)的最大值是，求的值．
【解析】解：（1），．
（2）由（1）及得，．
任取，則，
，，
，
，
即，
即，
在，上是減函數(shù)，
（3）設(shè)，，
．
．
，．
①當(dāng)，即時(shí)，，；
②當(dāng)，即時(shí)，，，（舍；
③當(dāng)，即時(shí)，，（舍．
綜上
25．（2022春?雅安校級期末）已知函數(shù)，其中．
（1）若對一切，恒成立，求的取值集合；
（2）在函數(shù)的圖象上去定點(diǎn)，，，，記直線的斜率為，證明：存在，，使恒成立．
【解析】（1）解：，令得．
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取最小值．
于是對一切，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)．①
令，則．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
故當(dāng)時(shí)，大值（1）．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，①式成立．
綜上所述，的取值集合為．
（2）證明：由題意知，．
令，
則，
．
令，則．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
故當(dāng)，，即．
從而，，
又，，所以，．
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在，使，即成立．
26．（2022?廣西一模）設(shè)，，其中，，且．
（1）試討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（1）由題意得：，
①時(shí)，的定義域是，
令，解得：，令，解得：，
故在遞減，在遞增，
②時(shí)，的定義域是，
令，解得：，令，解得：，
故在遞減，在遞增；
綜上：時(shí)，在遞減，在遞增，
時(shí)，在遞減，在遞增．
（2）當(dāng)時(shí)，，恒成立，
等價(jià)于恒成立，即恒成立，
即恒成立，設(shè)，
則，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，
故在遞減，在，遞增，
故，故，
又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故（1），
故，即的取值范圍是，．
27．（2022?九江一模）已知函數(shù)，，且直線和函數(shù)的圖象相切．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）設(shè)，若不等式對任意恒成立，為的導(dǎo)函數(shù)），求的最大值．
【解析】解：（Ⅰ）設(shè)切線的坐標(biāo)為，由得，
切線方程為，即，
由已知和為同一條直線，
，，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，，
（Ⅱ）由于，，
，，，
令，，，
令，，，
在單調(diào)遞增，且（1），（2），
在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，且，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，
，
由，，
，
又，，
的最大值為2．
28．（2022秋?天心區(qū)校級月考）已知函數(shù)對一切實(shí)數(shù)，，等式都成立，且（1）．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）已知，，，當(dāng)時(shí)，使不等式恒成立的的集合記為；當(dāng)，時(shí)，使是單調(diào)函數(shù)的的集合記為．求．
（3）設(shè)，，，，記的最小值為，求的最大值．
【解析】解：（1）令，則（1），，
故．
（2），
則，恒成立，
所以，，；，，為單調(diào)函數(shù)，
所以或，即或，，，；
所以，．
（3），，，分情況討論：
①當(dāng)，時(shí)，，；
②當(dāng)，時(shí)，（2），（5）；
③當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)（1）；
綜上所述，的最大值為．
29．（2022?天河區(qū)二模）已知函數(shù)，在點(diǎn)，（e）處的切線方程為．
（1）求，的值及函數(shù)的極值；
（2）若．且對任意的恒成立，求的最大值．
【解析】解：（1），，
函數(shù)在點(diǎn)，（e）處的切線方程為，
，解得，．
，則，
由，得．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，．
在上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)，
則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值為；
（2）當(dāng)時(shí)，
由，得．
令，
則，
設(shè)，則，
在上為增函數(shù)，
（3），（4），
，且，
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)，時(shí)，，，在，上單調(diào)遞增．
，
，
，，
，的最大值為3．
30．（2022?呼和浩特模擬）已知函數(shù)，，．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若，對任意恒成立，求的最大值．
【解析】解：（Ⅰ），
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）即為，即，
設(shè)，則，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而，所以，即，當(dāng)時(shí)，即為，
設(shè)，則，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
（e），
，即的最大值為．

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