第15講 max函數(shù)與min函數(shù)問題-2022年新高考數(shù)學(xué)二輪專題突破精練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第15講 max函數(shù)與min函數(shù)問題
參考答案與試題解析
一．解答題（共24小題）
1．（2021春?東莞市期末）已知函數(shù)，．
（1）證明恒成立；
（2）用，表示，中的最大值．已知函數(shù)，記函數(shù)，，若函數(shù)在上恰有2個零點，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】（1）證明：由題得的定義域為，
則在上恒成立等價于在上恒成立，．（1分）
記，則，．（2分）
當(dāng)時，；時，，
故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，．（3分）
所以（1），即恒成立．（4分）
（2）解：由題得，
①當(dāng)時，，此時無零點．（5分）
②當(dāng)時，（e），（e）
．當(dāng)（e），即時，是的一個零點；
．當(dāng)（e），即時，不是的一個零點；．（6分）
③當(dāng)時，恒成立，因此只需考慮在上的零點情況．
由
．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，且（e），
當(dāng)時，（e），則在上無零點，故在上無零點；
當(dāng)時，（e），則在上無零點，故在上有1個零點；
當(dāng)時，由（e），，得在上僅有一個零點，故在上有2個零點；
所以，．（9分）
．當(dāng)時，由得，
由時，；當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
由（e），，得在上僅有一個零點，故在上有2個零點；
所以，．（11分）
綜上所述，時，在上恰有兩個零點．（12分）
2．（2021?南平模擬）已知函數(shù)，，其中．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性，并求不等式的解集；
（2）若，證明：當(dāng)時，；
（3）用，表示，中的最大值，設(shè)函數(shù)，，若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1），（1分）
當(dāng)時，，，，
當(dāng)時，，，，
當(dāng)時，，（2分）
所以當(dāng)時，，即在上是增函數(shù)；（3分）
又（3），所以的解集為．（4分）
（2）．（5分）
由，得，，，（6分）
則，即在上為增函數(shù)．（7分）
故，即．（8分）
（3）由（1）知，
當(dāng)時，恒成立，故恒成立；
當(dāng)時，，因為，，要使得恒成立，
只要在上恒成立即可．（9分）
由，得．
設(shè)函數(shù)，，，
則．（10分）
令，得．
隨著變化，與的變化情況如下表所示：

0

單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（11分）
在上唯一的一個極大值，即極大值，故．

綜上所述，所求實數(shù)的取值范圍為，．（12分）
3．（2021?衡水模擬）已知函數(shù)，，其中．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性，并求不等式的解集；
（2）用，表示，的最大值，記，，討論函數(shù)的零點個數(shù)．
【解答】解：（1），
當(dāng)時，，，則，
當(dāng)時，，，則，
當(dāng)時，（1），
所以當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，
又（1），所以的解集為．
（2）函數(shù)的定義域為，
由（1）得函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1），
當(dāng)時，，又，，
所以當(dāng)時，恒成立，即時，無零點，
當(dāng)時，恒成立，
所以的零點即為函數(shù)的零點，
下面討論函數(shù)在的零點個數(shù)：
，
所以，
①當(dāng)時，因為，，
又函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，
所以，
即當(dāng)時，，，
所以單調(diào)遞減，由得：
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，
所以，
當(dāng)時，，
有（1），（1），
當(dāng)（1）時，函數(shù)有1個零點，
當(dāng)（1）時，函數(shù)有2個零點，
當(dāng)（1）時，函數(shù)有3個零點，
②當(dāng)時，，
由①得當(dāng)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，（1），
所以當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，
③當(dāng)時，，
，，即成立，由（1），
所以當(dāng)時，函數(shù)有1個零點，
綜上所述：當(dāng)或時，函數(shù)（1）有1個零點，
當(dāng)或時，函數(shù)有2個零點，
當(dāng)時，函數(shù)有3個零點．
4．（2021?臨沂一模）已知函數(shù)，．
（1）判斷的單調(diào)性，并求的最值；
（2）用，表示，的最大值，記函數(shù)，，討論的零點個數(shù)．
【解答】解：（1），
①當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，
②當(dāng)時，，在上是減函數(shù)，
所以最小值為；
（2）函數(shù)的定義域為，其中（1），
①當(dāng)時，（1），則函數(shù)，無零點；
②當(dāng)時，，下面討論的零點情況，（當(dāng)時取等號），，
當(dāng)時，，
此時在，上無零點，因為的零點為，故有一個零點；
當(dāng)時，，，（1）（1），
所以在，上有一個零點，故有兩零點；
當(dāng)時，，
所以，
因為，所以，所以在，上單調(diào)遞減，
又，所以在上恒成立，在上恒成立，
所以在取得極大值，此時，
又因為當(dāng)時，，所以在上有一個零點，又（1），
當(dāng)（1），即時，在，上有一個零點，故有一個零點；
當(dāng)（1），即時，在，上有兩個零點，故有兩個零點；
當(dāng)（1），即時，在，上有兩個零點，故有三個零點；
綜上所述，當(dāng)或時，有一個零點；
當(dāng)或時，有兩個零點；
當(dāng)時，有三個零點．
5．（2021?信陽模擬）已知函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）用，表示，中的最大值，若函數(shù)，只有一個零點，求的取值范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)的定義域為，且．
當(dāng)時，對恒成立，所以在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，令，得，
當(dāng)，時，．當(dāng)，時，．
所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
（2）①當(dāng)時，，
從而，，
所以在上無零點．
②當(dāng)時，（1），
若，（1）（1），（1）（1），所以是的零點，
若，（1）（1），（1）（1），所以不是的零點，
③當(dāng)時，，
所以在上零點個數(shù)只需要考慮在上的零點個數(shù)．
在上的零點個數(shù)在上實根的個數(shù)在上實根的個數(shù)，
令函數(shù)，，
則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，（1），，
當(dāng)或時，在上無零點，
當(dāng)或時，在上有兩個零點，
當(dāng)時，在上有兩個零點，
綜上可得時，在上有1個零點，
當(dāng)時，在上有兩個零點，
當(dāng)時，在上有1個零點，
則在上有唯一零點，所以的取值范圍為，．
6．（2020秋?新華區(qū)校級期中）已知函數(shù)．
（1）求證：；
（2）用，表示，中的最大值，記，，討論函數(shù)零點的個數(shù)．
【解答】證明：（1）：設(shè)，定義域為，
則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
故在內(nèi)是遞減函數(shù)，在內(nèi)遞增函數(shù)，
所以是的極小值點，也是的最小值點，所以（1），
所以．
解：（2）函數(shù)的定義域為，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在內(nèi)是遞減函數(shù)，在內(nèi)是遞增函數(shù)，
所以是的極小值點，也是的最小值點，即（1），
若，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以，于是只有一個零點．
當(dāng)時，則，
當(dāng)時，，此時；
當(dāng)時，，，此時．
所以沒有零點．
當(dāng)時，根據(jù)（1）知：，而，所以，
又因為（1），所以在上有一個零點，
從而一定存在，，使得（c）（c），即，即，
當(dāng)時，，
所以，從而，
于是有兩個零點和1．當(dāng)時，有兩個零點．
綜上：當(dāng)時，有一個零點；當(dāng)時，沒有零點；當(dāng)時，有兩個零點．
7．（2020?衡陽三模）已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)，且時，證明：；
（2）定義，設(shè)函數(shù)，，試討論零點的個數(shù)．
【解答】（1）證明：當(dāng)時，，
要證，需證，即，
即證：當(dāng)時，；當(dāng)時，．
令，則，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，（1），此時；
當(dāng)時，（1），此時．
故，且時，．
（2）解：當(dāng)時，，，在上無零點；
當(dāng)時，（1）（1），則（1），是的唯一零點；
當(dāng)時，，在上無零點，
在上的零點個數(shù)等價于在上的零點個數(shù)．
，
①若時，，在上單調(diào)遞增，（1），此時無零點；
②若即時，令，得；令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
令（a），則（a），（a）在上單調(diào)遞增，
（a）（1），即，即，
兩邊取指數(shù)，有，即，
，
又，
由零點存在性定理可知，在上存在唯一的零點，且．
綜上所述：
當(dāng)時，僅有一個零點；
當(dāng)時，有兩個零點．
8．（2020春?廣陵區(qū)校級期中）已知函數(shù)，，其中．
（1）若，證明：；
（2）用，表示和中的較大值，設(shè)函數(shù)，，討論函數(shù)在上的零點的個數(shù)．
【解答】解：（1），
令，則或（舍，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
（1）．
（2）在區(qū)間上，，，，
在區(qū)間上不可能有零點．
下面只考慮區(qū)間上和處的情況．
由題意的定義域為，．
令可得（負(fù)值舍去）．
在上為增函數(shù)，在，上，為減函數(shù)，
．
①當(dāng)時，，（1）．
在區(qū)間上，，且（1），
此時存在唯一的零點．
②當(dāng)時，．
，．
，
于是恒成立，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，
可知此時存在唯一的零點．
③當(dāng)時，，在上遞增．
又（1），，
在區(qū)間上存在唯一的零點．
結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，可知是唯一的零點．
綜上，當(dāng)時，在上有唯一的零點；
當(dāng)時，在上也有1個零點．
9．（2020?白云區(qū)模擬）設(shè)函數(shù)，其中．
（Ⅰ）當(dāng)時，求的極值點；
（Ⅱ）當(dāng)存在兩個正極值點，時，符號，分別表示，中較大的，令，，求證：，且．
【解答】解：，．
當(dāng)時，．
解得，或2．
的極值點為，或2．
證明：當(dāng)存在兩個正極值點，時，．
△，，，
解得．
不妨設(shè)，
，，．
．
．
令，
，
函數(shù)在上單調(diào)遞減．
（1）．
．
10．（2019秋?遼陽期末）已知函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）用，表示，中的最大值，已知，求函數(shù)，的零點的個數(shù)．
【解答】解：（1）定義域為，因為，當(dāng)時，恒成立，所以單調(diào)遞增，
當(dāng)，令，即，解得，，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減；
綜上所述：，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
（2）時，，
當(dāng)，，從而函數(shù)，，
所以函數(shù)無零點，
時，（1），（1），所以是函數(shù)的一個零點；
，，所以函數(shù)的零點個數(shù)就考慮的零點個數(shù)，
由（1）得：在上單調(diào)遞減，
所以，從而函數(shù)在無零點，
綜上所述函數(shù)的零點只有一個．
11．（2020秋?歷下區(qū)校級期中）已知函數(shù)，，其中．
（1）求函數(shù)在的值域；
（2）用，表示實數(shù)，的最大值，記函數(shù)，，討論函數(shù)的零點個數(shù)．
【解答】解：（1），
，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞增，
，（2）
故函數(shù)在上的值域為，．
（2）的定義域，
由（1）可知，在上單調(diào)遞增，且（1），
故當(dāng)時，，當(dāng)時，，
，，
故當(dāng)時，恒成立，沒有零點，
當(dāng)時，恒成立，沒有零點，因此的零點即為的零點，
下面討論時，的零點個數(shù)，
，
，，，
①當(dāng)時，因為，，
又在單調(diào)遞減，故，
故當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，且由可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
又時，，，
當(dāng)時，，
又（1），（1），
當(dāng)（1）即時，有1個零點，
當(dāng)（1）即時，有2個零點，
當(dāng)（1）即時，有3個零點，
②當(dāng)時，由可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，取得最大值，（1），
此時函數(shù)有2個零點，
③當(dāng)時，，
，，即，
又（1），
故有1個零點，
綜上，或時，有1個零點，或時，有2個零點，時，有3個零點，
12．（2020?興慶區(qū)校級二模）已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）用，表示，中較大者，記函數(shù)，，．若函數(shù)在上恰有2個零點，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1），
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，
當(dāng)，，，，單調(diào)遞增，
當(dāng)，，單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)時，，，在無零點，
當(dāng)時，（e），（e），
若（e），即，則是的一個零點，
若（e），即，則不是的零點，
當(dāng)時，，所以此時只需考慮函數(shù)的零點的情況．因為，
①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．
所以：（?。┊?dāng)時，（e），在上無零點；
（ⅱ）當(dāng)時，（e），又，所以此時在上恰有一個零點；
②當(dāng)時，由（1）知，在遞減，，遞增，
又因為（e），，所以此時恰有一個零點．
綜上，．
13．（2021?肥城市模擬）已知函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，，，用，表示，的最小值，記函數(shù)，，，，討論函數(shù)的零點個數(shù)．
【解答】解：（1）由已知可得函數(shù)的定義域為，，
當(dāng)時，，故，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，時，，在上單調(diào)遞減，
時，，在上單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，的單調(diào)遞增區(qū)間是．
（2）由（1）可知當(dāng)時，，
所以，所以，
所以，時，函數(shù)的零點個數(shù)即為函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)的零點個數(shù)，
，
任取，，因，
所以是偶函數(shù)．，
因為，
當(dāng)時，在，上恒成立，所以，時，，
所以在，上單調(diào)遞增，
又因為，所以在，上有0個零點，
又因為是偶函數(shù)，所以在，上有0個零點，
當(dāng)時，令，得，
由可知存在唯一使得，
所以當(dāng)，時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，
因為，，
所以當(dāng)，即時，在，上有0個零點，
由是偶函數(shù)，知在，上有0個零點，
所以當(dāng)，即時，在，上有1個零點，
由是偶函數(shù)，知在，上有2個零點，
綜上，當(dāng)時，有2個零點，當(dāng)時，有0個零點；
即當(dāng)時，有2個零點，當(dāng)時，有0個零點．
14．（2021?日照二模）已知，其中且．
（1）若，，曲線在點，處的切線為，求直線斜率的取值范圍：
（2）若在區(qū)間有唯一極值點，
①求的取值范圍；
②用，，表示，，的最小值．證明：，．
【解答】解：（1）當(dāng)時，，
，令，，，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
直線斜率的取值范圍為；
（2）①設(shè)，則，
若，令，則在區(qū)間內(nèi)，且使，
在內(nèi)至少有兩個變號零點，
在區(qū)間內(nèi)至少有兩個極值點，不符合題意；
若，令，得，
令，解得，故只能取1；
令，解得，此時無解；
故僅當(dāng)時，，
，，
當(dāng)時，，當(dāng)，時，，
在有唯一極大值點；
綜上，實數(shù)的取值范圍為；
②證明：由①知，，
此時，
當(dāng)，即，由不等式時，知，，故；
當(dāng)，即時，；
綜上，，，即得證．
15．（2021?成都模擬）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間內(nèi)的零點為，記，（其中，表示，中的較小值），若在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，，證明：．
【解答】解：（1）的定義域是，
，
當(dāng)時，恒成立，在遞增，
當(dāng)時，令，解得：，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，
綜上：當(dāng)時，在遞增，
當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減；
（2）證明：，定義域是，
，而，故，在單調(diào)遞增，
又（1），（2），且在內(nèi)的圖像連續(xù)不斷，
故根據(jù)零點存在性定理，有在上有且只有1個零點，
故存在，使得，即，
且當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故，
當(dāng)時，，
由得單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，由得單調(diào)遞減，
若在區(qū)間內(nèi)有2個不相等的實數(shù)根，，
要證，即證，
又，而在區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞減，
故可證，又由，
即證，即，
記，，其中，
記，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故的最大值是，而，故，
而，故，
故，
即單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，
即，故．
16．（2021?湖北模擬）已知函數(shù)在時取到極大值．
（1）求實數(shù)、的值；
（2）用，表示，中的最小值，設(shè)函數(shù)，，若函數(shù)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1），
在時取得極大值，
，
解得，．
（2）設(shè)，
當(dāng)時，恒成立．
，
在上恒成立，
故在上單調(diào)遞減．
不間斷，
故由函數(shù)零點存在定理及其單調(diào)性知，存在唯一的，使得，
當(dāng)時，，當(dāng)，時，．
，
，
故；
由于函數(shù)為增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不間斷，
在和，上恒成立．
①時，在，上恒成立，即在，上恒成立，
令，，，
則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以（3），
故，
即，
②當(dāng)．
綜合①、②知，的范圍，．
17．（2020春?沙坪壩區(qū)校級月考）已知函數(shù)．為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）當(dāng)時，設(shè)，求函數(shù)在上的最值；
（2）當(dāng)時，證明：，其中，，表示，中較小的數(shù)．
【解答】解：（1）當(dāng)時，，，所以，
令，得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在上的最小值為（1）．
因為，，
所以，
所以，
故在上的最大值為．
綜上，函數(shù)在上的最小值為0，最大值為．
（2）①當(dāng)，即時，，
因為，所以，
設(shè)，則．
令，則，
因為，所以，
因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且時，等號成立，
所以在，上單調(diào)遞增．
由于（1），所以，即在，上單調(diào)遞增，
又因為（1），所以，即原不等式成立．
②當(dāng)，即時，．
因為，所以，
由（1）知，，
因為，，所以．
設(shè)，，則，
所以在，上單調(diào)遞增，
因為（1），所以，即原不等式成立．
綜上所述，當(dāng)時，，，．
18．（2020?廈門一模）已知函數(shù)，．
（1）若直線與曲線相切，求實數(shù)的值；
（2）用，表示，中的最小值，設(shè)函數(shù)，，討論零點的個數(shù)．
【解答】解：（1）依題意，，則曲線在點，處的切線方程為，
又，代入整理得，此直線與重合，得，消去得：
①，令，則，當(dāng)時單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，（1）．由①知，，解得；
（2）①當(dāng)時，，所以，無零點；
②當(dāng)時，（1）（1），從而（1），故為的一個零點；
③當(dāng)時，，則的零點即為的零點．
又，
所以①當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增，（1），此時無零點；
②當(dāng)時，令，解得：，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又（1），
在上無零點，另外，由（1）可知（1）恒成立，
即對恒成立，則，
所以，故存在，
進(jìn)而存在，使得，即，此時在上存在唯一零點；
綜上可得：當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)時，有2個零點．
19．（2020?南充模擬）已知函數(shù)，，曲線在點，（1）處的切線與直線平行．
（1）求證：方程在內(nèi)存在唯一的實根；
（2）設(shè)函數(shù)，，表示，中的較小者），求的最大值．
【解答】解：（1）由題意知，曲線在點，（1）處的切線斜率為2，
所以（1），又，所以．
設(shè)，
當(dāng)，時，，又（2），
所以存在，使．
因為，
當(dāng)時，，
，所以，所以，
所以，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以方程在內(nèi)存在唯一的實根．
（2）由（1）知，方程在內(nèi)存在唯一的實根，且時，，
又當(dāng)，時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)，時，，
所以當(dāng)，時，，
所以，
當(dāng)時，若，，則；
若，，由，可知，
故當(dāng)，時，．
當(dāng)，時，由，
可得當(dāng)，時，，單調(diào)遞增；
時，，單調(diào)遞減．
可知（2），且（2）．
綜上可得，函數(shù)的最大值為．
20．（2019秋?信陽期末）已知函數(shù)，函數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)的極值；
（Ⅱ）已知函數(shù)，，若函數(shù)在上恰有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）的定義域為，，
當(dāng)時，在恒成立，在單調(diào)遞減，故無極值，
當(dāng)時，由得．
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
在處取得極小值，無極大值．
綜上，當(dāng)時，無極值，
當(dāng)時，有極小值，，無極大值．
（Ⅱ）若是的零點，則必有或，
的零點必為或的零點，
而有且僅有一個零點，且，時．
①當(dāng)時，由（Ⅰ）知在單調(diào)遞減，至多只有一個零點，此時至多只有兩個零點，不合題意，舍去；
②當(dāng)時，由（Ⅰ）知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則．
當(dāng)即時，至多只有一個零點，此時至多只有兩個零點，不合題意，舍去；
當(dāng)即時，，（1），
由零點存在性定理知使得，
令，，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
（1），，，
當(dāng)時，，
，又，
由零點存在性定理知使得，
（1），（1）；，；，，
當(dāng)時，有三個零點，滿足題意，
綜上，實數(shù)的取值范圍為．
21．（2019?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）記，表示，中的最小值，設(shè)，，若函數(shù)至少有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）的定義域為，
，
令，得．
①當(dāng)，即時，；
②當(dāng)，即時，；
③當(dāng)，即時，，
綜上，當(dāng)時，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為；
當(dāng)時，的單減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為．
（2）的唯一一個零點是，
，，
由（1）可得：
當(dāng)時，，
此時至多有兩個零點，不符合題意；
（ⅱ）當(dāng)時，在定義域上單減遞減，
此時至多有兩個零點，不符合題意；
（ⅲ）當(dāng)時，
若（2），即，此時至多有兩個零點，不符合題意；
若（2），即，此時，
即，
此時恰好有三個零點，符合題意；
若（2），即，此時，，
記，
所以，
所以（a）在上單調(diào)遞增，所以，
此時恰好有四個零點，符合題意，
綜上，．
22．（2019?南通模擬）已知函數(shù)，，．
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若函數(shù)存在極值點，且，其中，求證：；
（3）用，表示，中的最小值，記函數(shù)，，若函數(shù)有且僅有三個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)時，，，
，
令得，，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2），，
函數(shù)存在極值點，，
令得，，
不妨設(shè)，，
，其中，
，即，又，
，即，
分解因式得：，又，
；
（3）①當(dāng)時，，
，，
故函數(shù)在時無零點，
②當(dāng)時，（1），（1），
若，則（1），（1），故是函數(shù)的一個零點，
若，則（1），，故不是函數(shù)的一個零點，
③當(dāng)時，，因此只需考慮在內(nèi)的零點個數(shù)即可，
，令得，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，而，
在上恒成立，
函數(shù)在內(nèi)無零點，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，而，（1），
函數(shù)在上有1個零點，
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
，
若，即時，在內(nèi)無零點，
若，即時，在內(nèi)有唯一零點，
若，即時，由，（1），
當(dāng)時，在內(nèi)有2個零點，
當(dāng)時，在內(nèi)有1個零點，
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)有3個零點．
23．（2019秋?南京期中）已知函數(shù)在處的切線方程為，函數(shù)．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)的極值；
（3）設(shè)，，表示，中的最小值），若在上恰有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1），
因為在處的切線方程為，
所以，
解得，
所以．
（2）的定義域為，，
①若時，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，無極值．
②若時，則當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
所以當(dāng)時，有極小值，無極大值．
（3）因為僅有一個零點1，且恒成立，所以在上有僅兩個不等于1的零點．
①當(dāng)時，由（2）知，在上單調(diào)遞增，在上至多一個零點，不合題意，舍去，
②當(dāng)時，，在無零點，
③當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，在僅一個零點，
④當(dāng)時，，（e），所以（e），
又圖象不間斷，在上單調(diào)遞減，
故存在，使，
又，
下面證明，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增，
所以，，
又圖象在上不間斷，在上單調(diào)遞增，
故存在，使，
綜上可知，滿足題意的的范圍是，．
24．（2019?延吉市校級開學(xué)）已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)與的定義域都是．
（1）求函數(shù)在點，（1）處的切線方程；
（2）判斷函數(shù)零點個數(shù)
（3）用，表示，的最小值，設(shè)，，，若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）由，得，
切線的斜率，．
函數(shù)在點處的切線方程為；
（2），，
，，（1）（2），
存在零點，且．
，當(dāng)時，；
當(dāng)時，由，
得，
在上是減函數(shù)．
若，，，則，
函數(shù)只有一個零點，且；
（3），故，
函數(shù)只有一個零點，，
，，
在為增函數(shù)在，，恒成立．
當(dāng)時，在區(qū)間，上恒成立．
設(shè)，則只需，
，在，單調(diào)減，在單調(diào)增，
，．
當(dāng)時，，
由上述得，則在恒成立．
綜上，實數(shù)的取值范圍是

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