最新高考數(shù)學二輪復習（新高考）【專題突破精練】第09講二次函數(shù)的雙參數(shù)問題與整體加絕對值問題-試卷下載-教習網(wǎng)

1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復習中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調整及考后心理的調整。以平和的心態(tài)面對高考。
第09講二次函數(shù)的雙參數(shù)問題與整體加絕對值問題
【典型例題】
例1．（2022秋?湖州期末）設，，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：函數(shù)函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，
即方程在區(qū)間上兩個不相等的實根，
，
如圖畫出數(shù)對所表示的區(qū)域，目標函數(shù)
的最小值為過點時，的最大值為：
過點時，
的取值范圍為
故選：．
例2．（2022?上海）設、，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，則（1）的取值范圍為．
【解析】解：函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，
即方程在區(qū)間上兩個不相等的實根，，
則有，
（1），
，，，1．
（1）的取值范圍為，
故答案為：．
例3．（2022春?下城區(qū)校級期中）設二次函數(shù)，，在，上至少有一個零點，則的最小值為．
【解析】解：把等式看成關于，的直線方程：，
由于直線上一點到原點的距離大于等于原點到直線的距離，
即，
，
因為在，是減函數(shù)，上述式子在，，時取等號，
故的最小值為．
故答案為：
例4．（2022?浙江模擬）已知函數(shù)，對一切，，都有，則當，時，的最大值為 7 ．
【解析】解：由題意，
有得
所以（1）
對一切，，都有
所以當時，
當時，
綜上所述，當，時，的最大值為7．
例5．（2022?浙江）設函數(shù)．
（Ⅰ）當時，求函數(shù)在，上的最小值（a）的表達式．
（Ⅱ）已知函數(shù)在，上存在零點，，求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）當時，，對稱軸為，
當時，函數(shù)在，上遞減，則（a）（1）；
當時，即有，則（a）；
當時，函數(shù)在，上遞增，則（a）．
綜上可得，（a）；
（Ⅱ）設，是方程的解，且，
則，
由于，
由此，
當時，，
由，由，
得，
所以；
當時，，
由于和，所以，
故的取值范圍是，．
例6．（2022?衢州模擬）已知二次函數(shù)，，，
（Ⅰ）當時，的解集與不等式的解集相同，求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）若，恒成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下若，求證：當時，．
【解析】解：的解集是，
的兩根為2，3，
，解得：，，
；
，（1），，
（1），
又，，
（1），，，
（1）（1），
；
，（1），，
由得，
（1）（1）（1）
（1），
（1）（1）
（1），
，（1），，，
（1）（1）
（1）
是關于的一次函數(shù)，由一次函數(shù)的單調性得：當時，．
例7．已知二次函數(shù)
（1）若不等式的解集為，，，求不等式的解集；
（2）若函數(shù)的圖象與的圖象沒有公共點，求證：，都有；
（3）若當時，都有，求證：當時，都有．
【解析】解：（1）根據(jù)條件知，，，3為方程的兩實根；
根據(jù)韋達定理，；
，；
代入得：，，整理得：
；
解得，或；
原不等式的解集為：；
（2）證明：根據(jù)條件知，，且當?shù)膶ΨQ軸為軸，即，且和相切時取到最大值；
對稱軸，，設，
將代入得，，該方程有二重根；
△；
；
和沒有公共點；
此時，函數(shù)；
；
即；
（3）證明：由已知條件知，且，（1），，定義域為，；
，，；
（2）；
（2）；
時，有．
【同步練習】
一．選擇題
1．（2022春?寧波期末）已知關于的二次方程，，在區(qū)間內有兩個實根，若，則實數(shù)的最小值為
A．1B．C．D．
【解析】解：設，，
，
，，
，，
，
，當且僅當時取等號，
，
，
實數(shù)的最小值為，
故選：．
2．（2022春?濉溪縣期末）用反證法證明命題“在函數(shù)中，（1），（2），（3）至少有一個不小于”時，假設正確的是
A．假設（1），（2），（3）至多有一個小于
B．假設（1），（2），（3）至多有兩個小于
C．假設（1），（2），（3）都不小于
D．假設（1），（2），（3）都小于
【解析】解：用反證法證明數(shù)學命題時，應先假設要證的結論的反面成立，而“（1），（2），（3）至少有一個不小于”的否定為：
（1），（2），（3）都小于，
故選：．
二．填空題
3．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）若函數(shù)在，上有零點，則的最小值為．
【解析】解：函數(shù)在，上有零點，
可得△，即，
且（1），即；
或，（1），，
即，，．
即有，
當且僅當時，取得最小值，
故答案為：．
4．（2022秋?金山區(qū)期末）關于的方程在，上有實根，則的最小值為 2 ．
【解析】解：由，知，
所以
，
因為，，所以，
當，，時，等號成立，
所以的最小值為2．
故答案為：2．
5．（2022春?湖州期末）若關于的方程在區(qū)間，有實根，則最小值是
【解析】解：由題意，將，看作關于，的直線方程，
則表示點到的距離的平方，
因為點到直線的距離，
又函數(shù)在，上遞增，
所以當時，，
所以最小值為．
故答案為：．
6．（2022秋?沭陽縣校級月考）已知函數(shù)，當，時，恒成立，則最小值為．
【解析】解：方法一：由題意，成立，所以．
①時，則問題等價于（1）或（2）或（3）
（1），對應的區(qū)域如圖所示，
由圖知，直線經(jīng)過點時，取得最小值0；
（2）對應的區(qū)域如圖所示，
由圖知，直線經(jīng)過點，時，取得最小值；
（3），對應的區(qū)域如圖所示，
由圖知，直線經(jīng)過點，時，取得最小值；
②時，問題等價于，，對應的區(qū)域如圖所示，
由圖知，直線經(jīng)過點時，取得最小值，
綜上，，時，取得最小值．
方法二：由，，，得，
令，則或，
因為當，時，恒成立，
所以當時，；
當時，，
所以，
所以最小值為．
故答案為：．
7．（2022?溫州模擬）已知函數(shù)、在區(qū)間，上有零點，則的最大值是．
【解析】解：函數(shù)、在區(qū)間，上有零點，
△，
（1）若△，即時，的零點為，
，即，
，
當時，取得最大值0；
（2）若△，即，
①若函數(shù)、在區(qū)間，上有一個零點，則（1），
，
即，
，
的最大值是；
②若函數(shù)、在區(qū)間，上有兩個零點，
，即
顯然，
綜上，的最大值為．
8．（2022?紹興一模）已知，且，函數(shù)在，上至少存在一個零點，則的取值范圍為，．
【解析】解：由題意，要使函數(shù)在區(qū)間，有零點，
只要，或，
其對應的平面區(qū)域如下圖所示：
則當，時，取最大值1，
當，時，取最小值0，
所以的取值范圍為，；
故答案為：，．
9．（2022春?寧波期末）已知函數(shù)在區(qū)間，上有零點，則的最大值是．
【解析】解：由得，
．（當且僅當即時取等號）
，
令，則，
在上單調遞增，在，上單調遞減，在，上單調遞增，
又，（1），
的最大值為．
的最大值為．
故答案為：．
10．（2022秋?臺州期末）關于的方程有實根，則的最小值為．
【解析】解：設有實根
即有實根，即方程至少有一根大于等于2或小于等于，
令，
設，
則有：
△，，①
由①可得或且，
，
有兩根，分別為、，
分析可得有或，
化簡得其中，
若則可化為相等情況為
則可設其中
則，分析可得時，的最小值為，
故答案為：．
11．（2022春?沛縣校級月考）若函數(shù)、在區(qū)間上有兩個零點，則的取值范圍是．
【解析】解：的兩個零點為，，
不妨設為：，
則．
又，（1）
（1），
而（1），
即，
故答案為：．
12．已知關于的方程在，上有實根，且，則的最大值為 2 ．
【解析】解：設方程的根為，則，
，
，
，
，
設，則，
則，
，，，，
，
，
即的最大值為2．
故答案為：2．
13．（2022?杭州模擬）已知對任意實數(shù)，二次函數(shù)恒非負，且，則的最小值是 3 ．
【解析】解：二次函數(shù)恒非負
所以且
所以
所以
即時，取等號
故答案為3
三．解答題
14．（2022秋?紹興期末）設函數(shù)．
（Ⅰ）若在區(qū)間，上的最大值為，求的取值范圍；
（Ⅱ）若在區(qū)間，上有零點，求的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）因為的圖象是開口向上的拋物線，所以在區(qū)間，上的最大值必是和（1）中較大者，
而，所以只要（1），即，得．
（Ⅱ）設方程的兩根是，，且，
則，
所以
，當且僅當時取等號，
設，
則，
由，得，因此，
所以，
此時，由知，
所以當且時，取得最小值．
15．（2022秋?天山區(qū)校級期中）已知函數(shù)．
（1）若關于的不等式的解集是，求實數(shù)，的值；
（2）若，，函數(shù)，，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求（1）的取值范圍．
【解析】解：（1）因為不等式的解集是，
所以，為方程的兩個根，
所以由根與系數(shù)的關系可得，解得，．
（2）若，，則，
，
，即，
又由，，當時，符合題意；
當時，原不等式等價于，
必有，
設，在，上單調遞增，則（2），
設，有，當且僅當時等號成立，即，
必有，即的取值范圍為，．
（3）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，則方程在區(qū)間上有兩個不同的實根，
所以，所以（1），
所以，
由（1），由（1）得（1），得（1），
綜上所述，（1）．
所以（1）的取值范圍是．
（3）另解：由題意可設，
則（1），
因為，則，，
所以，即（1）的取值范圍是．
16．已知函數(shù)．
（1）若對任意的實數(shù)，都有，求的取值范圍；
（2）當，時，的最大值為，求的取值范圍．
（3）已知，對于任意的，，都有．請用表示的取值范圍．
【解析】解：（1）根據(jù)條件，恒成立；
恒成立；
①若，，顯然對任意都成立；
②若，；
；
；
；
③若，；
；
；
；
的取值范圍為：，；
（2）根據(jù)條件：；
；
，兩式相加得；
；
的取值范圍為：，；
（3）；
；
；
的最小值為，最大值為（1）；
對任意的，，都有，即；
；
；
的取值范圍為：．
17．已知函數(shù)．
（1）（1）成立，求的取值范圍；
（2）若在區(qū)間上有兩個零點，求證：．
【解析】解：（1）（1），
，
即，
滿足約束條件的可行域如下圖所示：
又表示動點到原點距離的平方，
由圖可知：當，時，取最小值，
當，時，取最大值，
故的取值范圍為，
證明：（2）的兩個零點為，，
則．
又，（1）
（1），
而（1），
即．
18．（2022秋?嘉興期末）已知函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間，上的最大值記為，求；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間，上存在零點，求的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）當，即時，（2），
當，即，（1），
所以，
（Ⅱ）因為函數(shù)在區(qū)間，上存在零點，
設方程的兩根為，，令，，
則，，
，
令，則令，，
在，上遞增，
時，取得最小值，此時，，
所以的最小值為．
19．（1996?全國）已知，，，函數(shù)，，當時，，
求證：①．
②當時，．
【解析】證明：①當時，，
令得，即．②當時，在，上是增函數(shù)，
（1），
又，，
（1）（1）（1），
，
由此得；
同理當時，在，上是減函數(shù)，
（1），
又，，
，
（1）（1）（1），
由此得；
當時，，．
，
（1）（1）．
綜上得．
20．例4．已知，、、，當，時，
（1）證明：．
（2），時，證明．
（3）設，當時，，求．
【解析】證明：（1）由條件當時，，
取得，即
（2）證法一：（利用函數(shù)的單調性）
由（1）得
當時，在，上是增函數(shù)，
于是（1），
，，，
（1）（1）（1），
，
因此得；
當時，在，上是減函數(shù)，
于是（1），，
，
（1）（1）
綜合以上結果，當時，都有
證法二：（利用絕對值不等式的性質）
，（1），，
，，，，
因此，根據(jù)絕對值不等式性質得
，
，
，，
函數(shù)的圖象是一條直線，
因此在，上的最大值只能在區(qū)間的端點或處取得，
于是由得，
解：（3），在，上是增函數(shù)，
當時取得最大值2，即（1）（1）①
（1），
因為當時，，即，
根據(jù)二次函數(shù)的性質，直線為的圖象的對稱軸，
由此得，即
由①得，
21．已知，，是實數(shù)，函數(shù)，．
（1）證明：若無實根，則也無實根；
（2）若當時，，證明：；
（3）設，在（2）的條件下，若的最大值為2，求．
【解析】解：（1）無實根，
且，
無實根，
△，
若，則函數(shù)的圖象在軸上方，
，即恒成立，即：對任意實數(shù)恒成立．
對，有恒成立，
無實根
（2）設，而，
，
當時，在，上為單調增函數(shù)，
所以（1），
，，
（1）（1）（1），
，
，
當時，在，上為單調減函數(shù)，
所以（1），
，，
（1）（1），
；
（3），
在，上為單調增函數(shù)，
當時，函數(shù)取得最大值為2，
即（1），①
（1），
，
當時，，
直線是二次函數(shù)圖象的對稱軸，
，
，
結合①得
，
．
22．已知，的定義域為，．
（1）記．（2）求出（1）中的的表達式．
【解析】解：（1）
（1）
，，同號時取等號
（2）．若，，均，，則：
①
②
③
①②：，
③：
代回①：，②：
．若，，均，，則：
①
②
③
①③：，
②③：，
無解
綜上：
23．已知二次函數(shù)，當時，有，求證：時，有．
【解析】證明：由已知條件知，且，（1），，定義域為，
，，；
（2）
（2），
時，有．

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