最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考）【專題突破精練】第29講離心率問(wèn)題速解-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過(guò)一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過(guò)程也就是反思的過(guò)程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無(wú)一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問(wèn)題不可怕，可怕的是不知道問(wèn)題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題越多，說(shuō)明你距離成功越近，及時(shí)處理問(wèn)題，爭(zhēng)取“問(wèn)題不過(guò)夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
第29講離心率問(wèn)題速解
【題型歸納目錄】
題型一：焦點(diǎn)三角形
題型二：黃金三角形
題型三：齊次化
題型四：圓
題型五：共焦點(diǎn)（烏龜圖）
題型六：頂角最大問(wèn)題
題型七：定比分點(diǎn)模型
題型八：第三定義
【典型例題】
題型一：焦點(diǎn)三角形
例1．已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，則的離心率為
A．B．C．D．
【解析】解：，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，，
設(shè)，，由雙曲線的定義可得，即，
所以，，因?yàn)?，?br>所以，整理得，
所以．
故選：．
例2．已知橢圓分別為其左、右焦點(diǎn)，過(guò)作直線軸交橢圓于，兩點(diǎn)，將橢圓所在的平面沿軸折成一個(gè)銳二面角，設(shè)其大小為，翻折后，兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，記．若，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【解析】解：將代入中，解得：，
所以，且，
則在△，△中分別由余弦定理得，，
所以，
又由得，
所以，即，所以，即離心率為．
故選：．
例3．已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，若在線段上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為
A．B．C．D．
【解析】解：，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，
可得，，，，
可得，，
在線段上取一點(diǎn)，，滿足，則，
，．
，
整理得，
由題意可知，關(guān)于的方程為在時(shí)有兩個(gè)不等的實(shí)根，
．
可得，
可得，
所以．
故選：．
變式1．已知橢圓，焦距為，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，若過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，且，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【解析】解：由橢圓，焦距為，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，若過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，且，
，，，
故，
在中，由，有，
故，得：，
有，
化為：，有，得，
解得．故選：．
變式2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與相交于，兩點(diǎn)在第一象限）．若，，，四點(diǎn)共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【解析】解：由橢圓的中心對(duì)稱性和，，，四點(diǎn)共圓，則四邊形為矩形，
因?yàn)橹本€傾斜角為，所以，
在直角三角形中，可得，，
則，即，
橢圓的離心率為，
故選：．
變式3．已知橢圓，是橢圓上的點(diǎn)，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：設(shè)，，
則，，，
表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
所以，
所以，
若恒成立，則，
所以，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
故選：．
變式4．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為上一點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【解析】解：因?yàn)?，且?br>所以，，
由橢圓的定義知，，即，
化簡(jiǎn)得，
所以橢圓的離心率．
故選：．
變式5．如圖，已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作直線，交雙曲線于，，，四點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過(guò)，則雙曲線的離心率為
A．B．C．D．
【解析】解：設(shè)，則，
由雙曲線的對(duì)稱性和平行四邊形的對(duì)稱性可知：，
連接，則有，
，
由于在以為直徑的圓周上，，
為平行四邊形，，，
在直角三角形中，，，
解得：，，；
在直角三角形中，，，
得，，
故選：．
變式6．（多選題）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過(guò)作的切線與交于，兩點(diǎn)，且，則的離心率為
A．B．C．D．
【解析】解：當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為，
設(shè)過(guò)的切線與圓相切于點(diǎn)，
則，，又，
所以，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
所以，又為的中點(diǎn)，
所以，，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，則，
所以，
由雙曲線的定義可知，
所以，可得，即，
所以的離心率．
情況二：當(dāng)直線與雙曲線交于一支時(shí)，
如圖，記切點(diǎn)為，連接，則，，
過(guò)作于，則，因?yàn)椋?，?br>，即，
所以，正確．
故選：．
變式7．（理已知橢圓，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，滿足那么，且到直線的距離等于橢圓的短軸長(zhǎng)，則橢圓的離心率為．
【解析】解：點(diǎn)在橢圓上，
又，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則到直線的距離為，
因?yàn)?，可得是的中點(diǎn)，所以，
△中，，即
整理得：，即
不為0，，得
因此橢圓的離心率為
故答案為：
題型二：黃金三角形
例4．已知雙曲線與橢圓．過(guò)橢圓上一點(diǎn)作橢圓的切線，與軸交于點(diǎn)，與雙曲線的兩條漸近線分別交于、，且為的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為
A．B．C．D．
【解析】解：設(shè)切線的方程為，即，
聯(lián)立切線方程和橢圓，可得，
由直線和橢圓相切可得△，
解得，
所以切線的方程為，令，可得，
雙曲線的漸近線方程為，
聯(lián)立切線的方程與漸近線方程，可得，，
聯(lián)立切線的方程與漸近線方程，可得，，
由為的中點(diǎn)可得，
化為，
則雙曲線的離心率為．
故選：．
例5．如圖，設(shè)、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，分別在兩條漸近線上，且滿足，，則雙曲線的離心率為
A．B．2C．D．
【解析】解：漸近線的方程為，點(diǎn)，
因?yàn)?，所以直線的斜率為，其方程為，
聯(lián)立，可得點(diǎn)，，
設(shè)點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，，?br>解得，，
將其代入漸近線，有，化簡(jiǎn)可得，
所以離心率．
故選：．
例6．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，的一條漸近線為，以為圓心的圓與相交于，兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則雙曲線的離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：由題意做出圖象，如圖所示，由題意知，且設(shè)，
取為的中點(diǎn)，結(jié)合為等腰直角三角形，則，．
又在中，．
，．
又，，
整理得：，
，即．
．
故選：．
變式8．已知雙曲線的焦距為4，直線過(guò)右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，．設(shè)，到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的離心率為．
【解析】解：由焦距為4可得，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，
過(guò)、、分別作漸近線的垂線，垂足分別為、、，
過(guò)作，垂足為，交于，
可得到漸近線的距離為，
，即，
由，，，
在中，，
即為，化為，
即，則，
則雙曲線的離心率為．
故答案為：．
變式9．已知雙曲線的一條漸近線為，左、右焦點(diǎn)分別是，，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為．
【解析】解：由題：把代入可得，
，
，
即，
，
可得．
故答案為：．
變式10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的離心率為．
【解析】解法一：由題得，不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)作雙曲線漸近線的垂線，
則由點(diǎn)到直線的距離得，又，所以，所以，
在中，，又在△中，，
所以，所以，又，所以，所以．
解法二：由題得，，
不妨過(guò)點(diǎn)作雙曲線漸近線的垂線，則直線的方程為，
聯(lián)立方程組得，所以，，
所以，化簡(jiǎn)得，所以．
故答案為：．
變式11．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為．若直線與雙曲線的另一條漸近線交于點(diǎn)，且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為．
【解析】解：法一：點(diǎn)到漸近線的距離為，在中，，，
所以，設(shè)，則，，
因?yàn)?，所以，所以，所以?br>在中，，所以，
解得，故雙曲線的離心率為．
法二：點(diǎn)到漸近線的距離為，
因?yàn)?，所以，所以，所以?br>因?yàn)槭堑钠椒志€，故可得，
所以，所以，
所以，故雙曲線的離心率為．
故答案為：．
題型三：齊次化
例7．已知，為雙曲線的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，為等腰三角形，其中一角為，則雙曲線的離心率為
A．B．2C．D．
【解析】解：設(shè)雙曲線方程為，
若，為等腰三角形，其中一角為，
則只能是，，
過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則，
在中，，，
即有，，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
代入雙曲線方程得，
即為，即，
則．
故選：．
例8．已知，為雙曲線的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為
A．B．C．D．
【解析】解：不妨取點(diǎn)在第一象限，如右圖：
設(shè)雙曲線的方程為：，
是頂角為的等腰三角形，
，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
又點(diǎn)在雙曲線上，
將坐標(biāo)代入坐標(biāo)得，
整理上式得，，而，
，因此，
故選：．
例9．已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)為，，點(diǎn)在上，為等腰三角形，且頂角滿足，則的離心率為
A．B．2C．D．
【解析】解：不妨取點(diǎn)在第一象限，如右圖：
是頂角滿足的等腰三角形，
，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即，，
又點(diǎn)在雙曲線上，
將坐標(biāo)代入坐標(biāo)得，
整理上式得，，
而，
，
因此，
故選：．
變式12．已知橢圓，焦距為，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，若過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，且，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【解析】解：由橢圓，焦距為，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，若過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，且，
，，，
故，
在中，由，有，
故，得：，
有，
化為：，有，得，
解得．
故選：．
變式13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，若△的周長(zhǎng)為54，且橢圓的短軸長(zhǎng)為18，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【解析】解：設(shè)的焦距為．因?yàn)椤鞯闹荛L(zhǎng)為54，所以，
所以，
因?yàn)榈亩梯S長(zhǎng)為18，所以，
因?yàn)椋裕?br>所以，，
故的離心率為．
故選：．
變式14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和為上一點(diǎn)，且△的內(nèi)心為，，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【解析】解：連接，，，延長(zhǎng)交軸于，
則，又，，，，
所以，
故，即，
又，
所以，即，
故選：．
變式15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，若，，，四點(diǎn)共圓，則橢圓的離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的中心對(duì)稱性和，，，四點(diǎn)共圓，
則四邊形為矩形，
所以以為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，
則，
所以，
故．
故選：．
變式16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與橢圓相交，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【解析】解：設(shè)，，橢圓的焦距為，
則，，可得，解得，
由，，
由勾股定理可得：，可得，
得．
故選：．
題型四：圓
例10．設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，，
則，
，
故，，，
又對(duì)稱軸，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，
故只需要滿足，即，則，
所以，
又，
故的范圍為，，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，最大，
此時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
又，所以，即，
故不滿足題意，
綜上所述的的范圍為，，
方法二：根據(jù)題意，有，設(shè)，，則，
也即，
不妨設(shè)，則，，，
也即，，，
也即，，，
從而可得，，
從而離心率的取值范圍為，，
故選：．
例11．已知雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，若的漸近線上存在點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由題意設(shè)一條漸近線為：，取點(diǎn)，且，．
因?yàn)?，?br>整理得，該方程有解時(shí)，存在符合題意的點(diǎn)，
故，化簡(jiǎn)得，
．
故選：．
例12．設(shè)以原點(diǎn)為圓心的圓與軸交，兩點(diǎn)，如果以，為焦點(diǎn)的橢圓與圓總有公共點(diǎn)，那么橢圓的離心率取值范圍是．
【解析】解：若以，為焦點(diǎn)的橢圓與圓總有公共點(diǎn)，則橢圓的上、下頂點(diǎn)在圓內(nèi)或圓上，
所以，即，
所以，即，
所以離心率，
因?yàn)?，所以?br>所以橢圓離心率的取值范圍為，．
故答案為：，．
變式17．設(shè)，是橢圓的左右焦點(diǎn)，若該橢圓上一點(diǎn)滿足，且以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與直線有公共點(diǎn)，則該橢圓離心率的取值范圍是．
【解析】解：點(diǎn)在橢圓上，根據(jù)橢圓的定義，可得．
又，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
△是等腰三角形，可得是的中點(diǎn)，，
△中，，
．
△中，是中位線，．
又以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與直線有公共點(diǎn)，
原點(diǎn)到直線的距離小于，即，得，
化簡(jiǎn)得，即，兩邊都除以得，解之得．
結(jié)合橢圓的離心率，可得．
又等腰△中，，
，得，所以．
綜上所述，橢圓的離心率的取值范圍是．
故答案為：
變式18．如圖，設(shè)橢圓．
（Ⅰ）求直線被橢圓截得到的弦長(zhǎng)（用，表示）
（Ⅱ）若任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓的離心率的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）由題意可得：，可得：，
得或，
直線被橢圓截得到的弦長(zhǎng)為：．
（Ⅱ）假設(shè)圓與橢圓有4個(gè)公共點(diǎn)，由對(duì)稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，，滿足，
記直線，的斜率分別為：，；且，，，由（1）可知，
，
故：，
所以，，由，
，，可得：，
因此①，
因?yàn)棰偈疥P(guān)于，的方程有解的充要條件是：，
所以．
因此，任意點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為：，
得，所求離心率的取值范圍是：．
題型五：共焦點(diǎn)（烏龜圖）
例13．已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則的最大值為
A．B．C．D．
【解析】解：設(shè)橢圓方程是，雙曲線方程是，
由定義可得，，
，，
在△中由余弦定理可得，
，
即，
，
由柯西不等式得，
即，
即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)．
故選：．
例14．已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率的平方之和的最小值為
A．B．C．D．
【解析】解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距長(zhǎng)為，
在△中，由余弦定理可得，
而，則，
在橢圓中，，可得，①
在雙曲線中，，可得，②
①②可得，
整理可得：，
所以，
故選：．
例15．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則
A．2B．3C．4D．5
【解析】解：如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：
，解得，，
設(shè)，，則：
在△中由余弦定理得，，
化簡(jiǎn)得：，該式可變成：，
即．
故選：．
變式19．已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且．記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為
A．B．C．D．
【解析】解：不妨取點(diǎn)在第一象限，設(shè)，，，
在△中，由余弦定理知，，即①，
由橢圓的定義知，，即②，
由雙曲線的定義知，，即③，
由①②可得，，，
由①③可得，，，
，化簡(jiǎn)得，，
兩邊同時(shí)除以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
，
的最大值為．
故選：．
變式20．已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則，的關(guān)系為
A．B．
C．D．
【解析】解：如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：
，解得，，
設(shè)，，則：
在△中由余弦定理得，，
化簡(jiǎn)得：，該式可變成：．
．
故選：．
變式21．已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為
A．B．C．D．1
【解析】解：不妨設(shè)橢圓的方程為，雙曲線方程為，
可設(shè)點(diǎn)在第一象限，，，，
由橢圓和雙曲線的定義得，，
解得，，
在△中，由余弦定理得，
即，化為，
即，即為，
由，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，
所以的最大值為，
故選：．
變式22．（多選題）將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)同時(shí)增加個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為的雙曲線，則
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
【解析】解：由題意，雙曲線，；
雙曲線，，
，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故選：．
變式23．已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且．設(shè)橢圓，雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為．
【解析】解：由題意，可設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，雙曲線的實(shí)半軸為，
由橢圓和雙曲線的定義可知，，，
則，，
又，由余弦定理可得，
整理得，即，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故答案為：．
變式24．已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓、雙曲線的離心率分別為，，則的最小值是．
【解析】解：設(shè)橢圓方程是，雙曲線方程是，
由定義可得，，
，，
在△中由余弦定理可得，
即，
．
．
故答案為：．
題型六：頂角最大問(wèn)題
例16．已知橢圓的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)，滿足，則橢圓的離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：由橢圓的對(duì)稱性可知，當(dāng)為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，
故只需即可滿足題意，
設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則只需，則有，
所以，，
故選：．
例17．已知，是橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．若上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是．
【解析】解：當(dāng)軸為長(zhǎng)軸，即時(shí)，，，，
當(dāng)點(diǎn)為軸與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，最大，
要使橢圓上存在一點(diǎn)滿足，則，
即，所以，
故，
當(dāng)軸為長(zhǎng)軸時(shí)，同理可得，
綜上，的取值范圍為，
故答案為：．
例18．設(shè)，是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是．
【解析】解：假設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則時(shí)，
假設(shè)位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，取最大值，要使橢圓上存在點(diǎn)滿足，
，，，
解得：；
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，
假設(shè)位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，取最大值，要使橢圓上存在點(diǎn)滿足，
，，，解得：，
的取值范圍是，，
故答案為：，，．
變式25．已知，是橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為，則橢圓的離心率為．
【解析】解：由題意可得當(dāng)在橢圓的短軸的端點(diǎn)時(shí)最大，
因?yàn)榈淖畲笾禐椋裕?br>即，
所以橢圓的離心率，
故答案為：
變式26．在平面直角坐標(biāo)系中，，是橢圓的焦點(diǎn)．若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為．
【解析】解：由落在橢圓上，則，
又，得，
，
由得：，即，解得：，
又，．
故答案為：．
變式27．已知橢圓的焦點(diǎn)為，，如果橢圓上存在一點(diǎn)，使得，且△的面積等于6，則實(shí)數(shù)的值為．
【解析】解：由橢圓的定義可知：，
又，△的面積等于6，
，即，
由，，可得，
．
由，得，①
而橢圓，②
由①②得，，從而，
故（舍去），或，
的取值范圍為，．
故答案為：；，．
題型七：定比分點(diǎn)模型
例19．過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【解析】解：直線經(jīng)過(guò)且傾斜角為，
的斜率，得直線方程為
將直線方程與橢圓聯(lián)解，消去得：
設(shè)，，，，得，
，
，
消去，得（1）
又橢圓的焦點(diǎn)
，代入（1）式化簡(jiǎn)整理，得，解之得
由此可得，，所以橢圓的離心率
故選：．
例20．已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)．若，，則的方程為
A．B．C．D．
【解析】解：法一：由已知可設(shè)，則，，由橢圓的定義有，
．
在△和△中，由余弦定理得，
又，互補(bǔ)，，兩式消去，，
得，解得．
，
所求橢圓方程為，
故選：．
法二：如圖，由已知可設(shè)，則，，
由橢圓的定義有，．
在△中，由余弦定理推論得．
在△中，由余弦定理得，解得．
，
所求橢圓方程為，
故選：．
例21．過(guò)橢圓左焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【解析】解：如圖，設(shè)橢圓的左準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)作于，
過(guò)點(diǎn)作于，再過(guò)點(diǎn)作于，
直角中，，所以，①
由圓錐曲線統(tǒng)一定義得：，
，
直角梯形中，②
①、②比較，可得，
又
故所求的離心率為．
故選：．
變式28．過(guò)橢圓左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率等于
A．B．C．D．
【解析】解：作準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，過(guò)準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，過(guò)作，垂足為，交軸于．
設(shè)，因?yàn)椋瑒t，，
因?yàn)閮A斜角為，所以，則，
，
所以，
故選：．
變式29．過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若，且直線傾斜角為，則橢圓的離心率．
【解析】解：作準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，過(guò)，準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，過(guò)作，垂足為，交軸于，
設(shè)，因?yàn)?，則，，
因?yàn)閮A斜角為，所以，則，
，
所以．
故答案為：．
變式30．已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)．若，，則橢圓的方程為．
【解析】解：設(shè)，則，，
由橢圓定義知，
所以，所以，
故點(diǎn)為橢圓的上（下頂點(diǎn)，設(shè)，
由，得，
點(diǎn)在橢圓上，故，
解得，
又由，可得，
故橢圓方程為．
故答案為：．
變式31．設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．
【解析】解：因?yàn)椋謩e為橢圓的焦點(diǎn)，則，，，，
設(shè)，，，．
，
，，
解得，，
點(diǎn)，在橢圓上，
代入橢圓方程，解得，．
，
，．
故答案為：，．
題型八：第三定義
例22．（2022春·四川巴中·高二四川省平昌中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓，的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)P，Q均在上，且關(guān)于軸對(duì)稱，若直線AP，AQ的斜率之積為，則的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取，則有，
可得，
，
故，化簡(jiǎn)得，
解之(2舍去).
故選：C
例23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：()相交于?兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，，
所以，作差得，
所以，即，
所以該橢圓的離心率.
故選：A.
例24．（2022春·吉林長(zhǎng)春·高二德惠市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）橢圓：的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)，均在上，且關(guān)于軸對(duì)稱.若直線，的斜率之積為，則的離心率為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】已知，設(shè)，則，
，，
故①，
∵，即②，
②代入①整理得：，
．
故答案為：．
變式32．（2022·廣東珠海·統(tǒng)考一模）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：相交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】設(shè)，由題得
故填.

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