第二十八章學(xué)情評(píng)估 一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的) 1．4 cos 45°的值為(　　) A．2 B．2 eq \r(2) C．2 eq \r(3) D．4 2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，則sin B的值為(　　) A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C.eq \f(5,12) D.eq \f(12,5) (第2題)　 (第3題) 　 (第4題) 3．如圖，A，B，C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若將△ACB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tan B′的值為(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(2),4) 4．西周時(shí)期，丞相周公旦設(shè)置過(guò)一種通過(guò)測(cè)定日影長(zhǎng)度來(lái)確定時(shí)間的儀器，稱為圭表．如圖是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表，其中，立柱AC高為a.已知冬至?xí)r北京的正午日光入射角∠ABC約為26.5°，則立柱底部與圭表的冬至線的距離(即BC的長(zhǎng))約為(　　) A．a(chǎn) sin 26.5° B.eq \f(a,tan 26.5°) C.eq \f(a,cos 26.5°) D．a(chǎn) cos 26.5° 5．在Rt△ABC中，各邊都擴(kuò)大5倍，則∠A的三角函數(shù)值(　　) A．不變 B．?dāng)U大5倍 C．縮小為原來(lái)的eq \f(1,5) D．不能確定 6．在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，若AC＝6 eq \r(2)，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，則BD等于(　　) A．2 B．3 C．3 eq \r(2) D．2 eq \r(3) 7．α是銳角，且cos α＝eq \f(3,4)，則(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)P(a，a)(a>0)，連接AP交y軸于點(diǎn)B.若AB∶BP＝3∶2，則tan∠PAO的值是(　　) A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C.eq \f(2,5) D.eq \f(5,2) (第8題)　 　 (第9題) 　　 (第10題) 9．如圖，將矩形ABCD放置在一組等距的平行線中，恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在平行線上，已知相鄰平行線間的距離為1，若∠DCE＝β，則矩形ABCD的周長(zhǎng)可表示為(　　) A．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,cos β)＋\f(5,sin β))) B．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,sin β)＋\f(5,cos β))) C．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,sin β)＋\f(5,tan β))) D．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,tan β)＋\f(5,cos β))) 10．春天是放風(fēng)箏的好時(shí)節(jié)．小明為了讓風(fēng)箏順利起飛，特地將風(fēng)箏放在坡度為1∶2.4的山坡上，并站在視線剛好與風(fēng)箏起飛點(diǎn)A齊平的B處，起風(fēng)后小明開(kāi)始往下跑26 m至坡底C處，并繼續(xù)沿平地向前跑16 m到達(dá)D處后站在原地開(kāi)始調(diào)整，小明將手中的線軸剛好舉到與視線齊平處測(cè)得風(fēng)箏的仰角是37°，此時(shí)風(fēng)箏恰好升高到起飛時(shí)的正上方E處，如圖．若小明視線距地面的高度為1.5 m，圖中E，A，B，C，D五點(diǎn)在同一平面內(nèi)，則風(fēng)箏上升的垂直距離AE約為(參考數(shù)據(jù)：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)(　　) A．34.2 m B．32.7 m C．31.2 m D．22.7 m 二、填空題(本題共6小題，每小題3分，共18分) 11．如圖，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，eq \r(3))，則∠1＝________． (第11題) 　　　 (第14題) 12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝eq \f(12,13)，則tan B的值為_(kāi)_______． 13．等腰三角形ABC的周長(zhǎng)是32 cm，底邊長(zhǎng)為10 cm，則底角的余弦值是_____． 14．如圖，在平行四邊形ABCD中，將△ABC沿AC折疊后，點(diǎn)B恰好落在BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．若tan D＝eq \f(4,3)，則sin∠ACE的值為_(kāi)_______． 15．水務(wù)人員為考察水情，乘快艇以每秒10 m的速度沿平行于岸邊的航線AB由西向東行駛．如圖，在A處測(cè)得岸邊一建筑物P在北偏東30°方向上，繼續(xù)行駛40 s到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得建筑物P在北偏西60°方向上，則建筑物P到航線AB的距離為_(kāi)_______m. (第15題) 　　　 (第16題) 16．如圖，在△ABD中，C為BD的中點(diǎn)，連接AC，點(diǎn)E在AC上，連接BE，若AB＝AC，tan∠BAC＝eq \f(3,4)，∠BAC＝2∠EBC，BC＝eq \r(10)，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 三、解答題(本題共6小題，共52分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17．(8分)計(jì)算： (1)－23＋eq \r(16)－2sin 30°＋(2 024－π)0； (2)sin2 45°－cos 60°－eq \f(cos 30°,tan 45°)＋2sin2 60°·tan 60°. 18．(8分)榕樹(shù)被評(píng)為福建省省樹(shù)，也被福州、贛州評(píng)為市樹(shù)．小明和他的學(xué)習(xí)小組開(kāi)展“測(cè)量榕樹(shù)的高度”的實(shí)踐活動(dòng)，他們按擬定的測(cè)量方案進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，完成如下的測(cè)量報(bào)告： 請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量報(bào)告中的數(shù)據(jù)，求榕樹(shù)AB的高度．(結(jié)果精確到0.1 m) 19．(8分)如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O, AB＝10，AC＝12. (1)求BD的長(zhǎng)； (2)求sin∠ABC的值． 20．(8分)福建某游樂(lè)園有一座勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪，其前方有一座三層建筑物，小明想利用該建筑物的高度來(lái)估計(jì)摩天輪的高度．如圖是其示意圖．他通過(guò)實(shí)際體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摩天輪旋轉(zhuǎn)一周需要24 min，從最低點(diǎn)A處坐上摩天輪，經(jīng)過(guò)3 min到點(diǎn)B處時(shí)，該建筑物的屋頂正好在水平視線上．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，該建筑物的第一層約為5 m，其余兩層每層約為3.5 m，摩天輪最低點(diǎn)A離地面2 m．在不考慮其他因素的前提下，估計(jì)摩天輪最高點(diǎn)的高度是多少米．(參考數(shù)據(jù)：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732，eq \r(5)≈2.236，最后結(jié)果保留整數(shù)) 21．(10分)如圖，某山山腳下西端A處與東端B處相距800(1＋eq \r(3))m，小軍和小明同時(shí)分別從A處和B處出發(fā)向山頂C勻速行走．已知山的西端的坡角是45°，東端的坡角是30°，小軍的行走速度為eq \f(\r(2),2) m/s.若小明與小軍同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C處，則小明的行走速度是多少？ 22．(10分)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAC為銳角． (1)將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于90°)得到AE，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，在圖中求作AE，使得CE＝eq \f(1,2)BC；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡) (2)在(1)的條件下，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF，EC，若sin∠ECA＝eq \f(4,5)，探究線段EF與BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 答案 一、1.B　2.A　3.B　4.B　5.A　6.A　7.B　8.C　9.B 10．D 二、11.60°　12.eq \f(5,12)　13.eq \f(5,11)　14.eq \f(3,5)　15.100 eq \r(3) 16．3 eq \r(5)　點(diǎn)撥：作AF⊥BC于點(diǎn)F，∴∠AFD＝90°. ∵AB＝AC，∴AF平分∠BAC，BF＝CF， ∴∠CAF＝eq \f(1,2)∠BAC， 即2∠CAF＝∠BAC.∵∠BAC＝2∠EBC， ∴∠CAF＝∠EBC.∵∠CAF＋∠ACF＝90°， ∴∠EBC＋∠ACF＝90°，∴∠BEC＝90°， ∴∠AEB＝90°，∴tan∠BAC＝eq \f(3,4)＝eq \f(BE,AE). 設(shè)BE＝3x，則AE＝4x，∴AB＝eq \r(（3x）2＋（4x）2)＝5x， ∴AC＝5x，∴CE＝x， 在Rt△BEC中，BC2＝BE2＋CE2，∴10＝(3x)2＋x2， 解得x1＝1，x2＝－1(不合題意，舍去)，∴AB＝5x＝5. ∵∠AFB＝90°，BF＝FC＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(\r(10),2)， ∴AF＝eq \r(AB2－BF2)＝eq \r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))\s\up12(2))＝eq \f(3 \r(10),2). ∵C為BD的中點(diǎn)，∴CD＝BC＝eq \r(10)， ∴FD＝FC＋CD＝eq \f(\r(10),2)＋eq \r(10)＝eq \f(3 \r(10),2). ∵∠AFD＝90°， ∴AD＝eq \r(AF2＋FD2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3 \r(10),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3 \r(10),2)))\s\up12(2))＝3 eq \r(5). 三、17.解：(1)原式＝－8＋4－2×eq \f(1,2)＋1＝－8＋4－1＋1＝－4. (2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)×eq \r(3)＝eq \r(3). 18．解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G. 易得四邊形EFBG是矩形，∴EF＝BG，EG＝BF. 在Rt△ECG中，∵i＝eq \f(EG,CG)＝eq \f(3,4)，CE＝5 m， ∴易得EG＝3 m，CG＝4 m， ∴EF＝BG＝8＋4＝12(m)，BF＝EG＝3 m. 在Rt△AEF中，AF＝EF·tan∠1＝12·tan 48°≈12×1.11＝13.32(m)， ∴AB＝AF＋BF≈13.32＋3≈16.3(m)． 答：榕樹(shù)AB的高度約為16.3 m. 19．解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，AC＝12， ∴AC⊥BD，OA＝eq \f(1,2)AC＝6，BD＝2OB. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB＝eq \r(AB2－OA2)＝8， ∴BD＝2OB＝16. (2)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E. ∵四邊形ABCD是菱形，AB＝10， ∴BC＝AB＝10，AC⊥BD. ∵AC＝12，BD＝16， ∴S菱形ABCD＝BC·AE＝eq \f(1,2)AC·BD＝eq \f(1,2)×12×16＝96， ∴AE＝eq \f(48,5).在Rt△ABE中，sin∠ABC＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(24,25). 20．解：延長(zhǎng)DB交OA于點(diǎn)E，延長(zhǎng)OA交地面于點(diǎn)F. 由題意知BE⊥OA，∠AOB＝eq \f(3,24)×360°＝45°. 設(shè)摩天輪的半徑為R m，在Rt△BEO中，OE＝OB·cos∠AOB＝eq \f(\r(2),2)R m， ∴AE＝OA－OE＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(\r(2),2)R)) m．易知EF＝CD， ∴R－eq \f(\r(2),2)R＋2＝5＋3.5×2，解得R＝eq \f(20,2－\r(2))≈34.1. 34．1×2＋2≈70(m)． 答：摩天輪最高點(diǎn)的高度約為70 m. 21．解：如圖，過(guò)C作CD⊥AB于點(diǎn)D， 則∠ADC＝∠CDB＝90°. 設(shè)AD＝x m，小明的行走速度是a m/s. ∵∠A＝45°，∴易得CD＝AD＝x m，AC＝eq \r(2)x m. 在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝eq \f(CD,sin 30°)＝2x m. ∵小軍的行走速度為eq \f(\r(2),2) m/s，小明與小軍同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C處， ∴eq \f(\r(2)x,\f(\r(2),2))＝eq \f(2x,a)，解得a＝1. 答：小明的行走速度是1 m/s. 22．解：(1)如圖①. 　 (2)如圖②，連接DF. 在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝eq \f(1,2)BC. 由(1)可知，CE＝eq \f(1,2)BC，AE＝AD，∴CE＝CD. 又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACD.∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠DCA. 又∵AF＝AF，∴△AEF ≌△ADF.∴EF＝DF.∵BF⊥AC， ∴在Rt△BCF中，sin∠BCF＝sin∠ECA＝eq \f(BF,BC)＝eq \f(4,5).設(shè)BF＝4a，BC＝5a， ∵CD＝eq \f(1,2)BC，∴DF＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(5,2)a.∴EF＝eq \f(5,2)a.∴eq \f(EF,BF)＝eq \f(\f(5,2)a,4a)＝eq \f(5,8). 課題測(cè)量榕樹(shù)的高度測(cè)量工具測(cè)角儀和皮尺測(cè)量示意圖 及說(shuō)明說(shuō)明：BC為水平地面，榕樹(shù)AB垂直于地面，斜坡CD的坡度i＝3∶4，在斜坡CD上的點(diǎn)E處測(cè)榕樹(shù)頂端A的仰角∠1的度數(shù).測(cè)量數(shù)據(jù)BC＝8 m，CE＝5 m，∠1＝48°.參考數(shù)據(jù)sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11.

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