第二十七章學情評估 一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的) 1．下列圖形中，屬于相似圖形的是(　　) 2．下列四組線段中，不是成比例線段的是(　　) A．a(chǎn)＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝2，d＝4 C．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a(chǎn)＝1，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(3)，d＝eq \r(6) 3．順次連接三角形三邊的中點，所圍成的三角形與原三角形的對應(yīng)面積的比是(　　) A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶eq \r(2) 4．小明用地理中所學的等高線的知識在某地進行野外考察，他根據(jù)當?shù)氐匦萎嫵隽恕暗雀呔€示意圖”，如圖所示(注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數(shù)值)，若A，B，C三點均在相應(yīng)的等高線上，且三點在同一直線上，則eq \f(AB,AC)的值為(　　) A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(3,5) D.eq \f(2,3) (第4題) 　　　 (第5題) 5．如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AB交AD于點E，交DB于點F，若DE∶EA＝3∶4，EF＝3，則CD的長為(　　) A．4 B．7 C．3 D．12 6．如圖所示的是某家用晾衣架的實物圖及側(cè)面示意圖，已知AB∥PQ，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，P，Q兩點間的距離是(　　) A．0.6 m B．0.8 m C．0.9 m D．1 m (第6題) 　　 (第7題) 7．下列四個三角形中，與如圖所示的三角形相似的是(　　) 8．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作，其中有一個這樣的問題：“今有竿不知其長，量得影長一丈五尺．立一標桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？”大意為：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺．同時立一根一尺五寸的標桿，它的影子長五寸(1丈＝10尺，1尺＝10寸)，則竹竿的長為(　　) A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺 9．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，則在下列五個條件：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C中，能滿足△ADE∽△ACB的條件有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 (第9題) 　　 (第10題) 10．如圖，半圓O的直徑BC＝7，延長CB到A，D是半圓O上一點，連接AD，交半圓O于點E，若AE＝ED＝3，則AB的長為(　　) A.eq \f(9,7) B．2 C.eq \r(11) D．9 二、填空題(本題共6小題，每小題3分，共18分) 11．如果eq \f(x,y)＝eq \f(2,5)，那么eq \f(y－x,y＋x)＝________. 12．已知D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，若要使△ABC與△ADE相似，則只需添加一個條件：________．(只需填寫一個) 13．如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE＝35 cm，EF＝20 cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.3 m，CD＝7 m，則樹高AB為________m. 14．在平面直角坐標系中，點C，D的坐標分別為(2，3)，(1，0)，現(xiàn)以原點為位似中心，將線段CD放大得到線段AB.若點D的對應(yīng)點B在x軸上，且OB＝2，則點C的對應(yīng)點A的坐標為__________________． 15．如圖，已知在△ABC中，AB＝2，AC＝3，D為邊AC上一點，P是線段BD的中點，如果∠ABD＝∠ACP，那么AD的長是________． 16．如圖，已知矩形ABCD中，AD＝2CD，點E在BD上，△CEF是以點E為直角頂點的等腰直角三角形，若G是AD的中點，則eq \f(GE,BF)＝________． 三、解答題(本題共6小題，共52分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(8分)如圖，D為△ABC的邊AB上一點，AD＝2，BD＝6，AC＝4.求證：△ACD∽△ABC. 18．(8分)如圖，△ABC在方格紙中，每個小正方形的邊長均為1. (1)請在方格紙上建立平面直角坐標系，使點A的坐標為(3，4)，點C的坐標為(7，3)，并寫出點B的坐標； (2)在(1)的條件下，以原點O為位似中心，相似比為2:1，在第一象限內(nèi)將△ABC放大，畫出放大后的△A′B′C′； (3)計算(2)中所得△A′B′C′的面積． 19．(8分)清朝《數(shù)理精蘊》中有一首小詩《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都開門，南門直行八里止，腳下有座塔聳立．又出西門二里停，切城角恰見塔形，請問諸君能算者，方城每邊長是幾？大意是：如圖，有一座正方形的城池，四面城墻的正中都有門，從南門口(點D)直行8里有一塔(點A)，自西門(點E)直行2里至點B，切城角(點C)恰好可以看見塔，問這座正方形城池的每面城墻的長是多少？ 20．(8分)如圖，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)至△AB′C′的位置，點B′恰好在BC上，AC與B′C′交于點E，連接CC′.求證： (1)eq \f(EC,EC′)＝eq \f(EB′,EA)； (2)△ABB′∽△ACC′. 21．(10分)如圖，已知矩形ABCD中，BE⊥AC于點E，BE＝eq \r(2)AE. (1)若AE＝3，求CE的長； (2)設(shè)點C關(guān)于直線AD的對稱點為F，求證：B，E，F(xiàn)三點共線． 22．(10分)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，O點在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD，CD，過點D作BC的平行線，與AB的延長線相交于點P. (1)求證：PD是⊙O的切線； (2)求證：△PBD∽△DCA； (3)當AB＝6，AC＝8時，求線段PB的長． 答案 一、1.D　2.C　3.A　4.D　5.B　6.A　7.B　8.B　9.C 10．B　點撥：連接BE，CD. ∵∠ABE＋∠EBC＝180°，∠EBC＋∠ADC＝180°， ∴∠ABE＝∠ADC. 又∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ADC，∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AE,AC)， ∴AB·AC＝AE·AD，即AB·(AB＋7)＝3×(3＋3)， 解得AB＝2或AB＝－9(不合題意，舍去)．故選B. 二、11.eq \f(3,7)　12.DE∥BC(答案不唯一)　13.5.3 14．(4，6)或(－4，－6) 15．3－eq \r(5)　點撥：取AD中點E，連接PE，通過證明△ABD∽△ECP，可得eq \f(PE,AD)＝eq \f(EC,AB)，進而求得AE的長，最后求得AD的長． 16.eq \f(\r(2),2)　點撥：如圖，連接CG，∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC，AD∥BC. ∵AD＝2CD，G是AD的中點， ∴DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG＝45°， ∴∠BCG＝∠DGC＝45°. ∵△CEF是以點E為直角頂點的等腰直角三角形， ∴CE＝EF，∠ECF＝∠EFC＝45°， ∴∠BCG＝∠ECF，∴∠ECG＝∠BCF. ∵CG＝eq \r(DC2＋DG2)＝eq \r(2)DC，DC＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)BC， ∴CG＝eq \f(\r(2),2)BC，即eq \f(CG,BC)＝eq \f(\r(2),2). ∵CF＝eq \r(CE2＋EF2)＝eq \r(2)CE，∴eq \f(CE,CF)＝eq \f(\r(2),2)，∴eq \f(CG,BC)＝eq \f(CE,CF)， 又∠ECG＝∠BCF，∴△GEC∽△BFC，∴eq \f(GE,BF)＝eq \f(CG,BC)＝eq \f(\r(2),2)， 故答案為eq \f(\r(2),2). 三、17.證明：∵AD＝2，BD＝6，AC＝4， ∴AB＝8，eq \f(AD,AC)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AC,AB)， 又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC. 18．解：(1)建立平面直角坐標系如圖所示． 點B的坐標為(3，2)． (2)如圖，△A′B′C′即為所求作的三角形． (3)△A′B′C′的面積為eq \f(1,2)×4×8＝16. 19．解：設(shè)這座正方形城池的每面城墻的長是x里， 則CE＝CD＝eq \f(1,2)x里， 由題意得，BE∥CD，∠BEC＝∠ADC＝90°， BE＝2里，AD＝8里，∴∠B＝∠ACD， ∴△CEB∽△ADC，∴eq \f(BE,CD)＝eq \f(CE,AD)，∴eq \f(2,\f(1,2)x)＝eq \f(\f(1,2)x,8). 解得x＝8(負值舍去)． 答：這座正方形城池的每面城墻的長是8里． 20．證明：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠AC′B′＝∠ACB， 又∵∠AEC′＝∠B′EC，∴△AEC′∽△B′EC， ∴eq \f(EC,EC′)＝eq \f(EB′,EA). (2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAB′＝∠CAC′， AB＝AB′，AC′＝AC， ∴∠B＝∠AB′B＝eq \f(1,2)(180°－∠BAB′)， ∠AC′C＝∠ACC′＝eq \f(1,2)(180°－∠CAC′)， ∴∠B＝∠ACC′，∴△ABB′∽△ACC′. 21．(1)解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠CBE＝90°. ∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°， ∴∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠ABE＝∠BCE， ∴△ABE∽△BCE，∴eq \f(AE,BE)＝eq \f(BE,CE). ∵AE＝3，BE＝eq \r(2)AE，∴BE＝3 eq \r(2)， ∴eq \f(3,3 \r(2))＝eq \f(3 \r(2),CE)，∴CE＝6. (2)證明：如圖，連接EF.由(1)可知eq \f(AE,BE)＝eq \f(BE,CE)， 又∵BE＝eq \r(2)AE，∴CE＝eq \r(2)BE， ∴CE＝2AE，∴eq \f(CE,AE)＝2. ∵C，F(xiàn)關(guān)于直線AD對稱，∴CF＝2CD. ∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠FCE，CF＝2AB， ∴eq \f(CF,AB)＝2＝eq \f(CE,AE)， ∴△ABE∽△CFE， ∴∠CEF＝∠AEB＝90°. ∵∠BEC＝90°， ∴∠CEF＋∠BEC＝180°， ∴B，E，F(xiàn)三點共線． 22．(1)證明：∵圓心O在BC上，∴BC是⊙O的直徑． ∴∠BAC＝90°.連接OD. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC. ∵∠DOC＝2∠DAC， ∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC. 又∵PD∥BC，∴OD⊥PD. 又∵OD為⊙O的半徑，∴PD是⊙O的切線． (2)證明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC. ∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC. ∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°， ∴∠PBD＝∠ACD.∴△PBD∽△DCA. (3)解：∵∠BAC＝90°， ∴BC＝eq \r(AB2＋AC2)＝eq \r(62＋82)＝10. 易知OD垂直平分BC，∴DB＝DC. ∵BC為⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°. 在Rt△DBC中，DB2＋DC2＝BC2， 即2DC2＝BC2＝100，∴DC＝DB＝5 eq \r(2)(負值舍去)． 由(2)知△PBD∽△DCA，∴eq \f(PB,DC)＝eq \f(BD,AC)， ∴PB＝eq \f(DC·BD,AC)＝eq \f(5 \r(2)×5 \r(2),8)＝eq \f(25,4).

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