類型一、倍長中線模型
目的： = 1 \* GB3 ①構(gòu)造出一組全等三角形； = 2 \* GB3 ②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個三角形中。
例1．【閱讀理解】
課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到點E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：
（1）如圖2，由已知和作圖能得到的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
（2）如圖2，長的取值范圍是 ．
A． B． C． D．
【感悟】
解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．
【問題解決】
（3）如圖3，是的中線，交于點E，交于F，且．求證：．
【變式訓(xùn)練3】（1）閱讀理解：
如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是_______；
（2）問題解決：
如圖②，在中，D是邊上的中點，于點D，交于點E，DF交于點F，連接，求證：；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點作一個的角，角的兩邊分別交于E、F兩點，連接EF，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
類型二、截長補短模型
截長補短法使用范圍：線段和差的證明（往往需證2次全等）
【變式訓(xùn)練3】閱讀下面材料：
【原題呈現(xiàn)】如圖1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長．
【思考引導(dǎo)】因為CD平分∠ACB，所以可在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到DEC≌DAC，經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖2）．
【問題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問題；
（2）拓展提升：如圖3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的長．
類型三、一線三等角模型
應(yīng)用：①通過證明全等實現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對應(yīng)的幾何問題；
②與函數(shù)綜合應(yīng)用中有利于點的坐標的求解。
例2．在正方形中，點在射線上（不與點，重合），連接，，過點作，并截?。c，在同側(cè)），連接．
（1）如圖1，點在邊上．
①依題意補全圖1；
②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，點在邊的延長線上，其他條件均不變，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．
【變式訓(xùn)練1】通過對數(shù)學模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學習，解決下列問題：
[模型呈現(xiàn)]如圖1，，，過點B作于點C，過點D作于點E．求證：．
[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為________________．
[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點F，與直線交于點G．若，，則的面積為_____________．
【變式訓(xùn)練2】（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過點A，直線l，直線l，垂足分別為點D，E．求證：．
（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長HA交EG于點I．若，則______．
類型四、手拉手模型
例2．（培優(yōu)）如圖1，在中，，，點D、E分別在邊AB，上，，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．
(1)觀察猜想：
圖中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；
(2)探究證明：
把繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；
(3)拓展延伸：
把繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．
【變式訓(xùn)練2】已知在中，，過點B引一條射線，D是上一點
【問題解決】
(1)如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：，小明同學展示的做法是：在上取一點E使得，通過已知的條件，從而求得的度數(shù)，請你幫助小明寫出證明過程；
【類比探究】
(2)如圖2，已知．
①當射線在內(nèi)，求的度數(shù)
②當射線在下方，如圖3所示，請問的度數(shù)會變化嗎?若不變，請說明理由，若改變，請求出的度數(shù)；
類型五、半角模型
例1．已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，
∠E'AF＝ 度，……
根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
類比探究：
(2)如圖2，當點E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；
拓展應(yīng)用：
(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．
【變式訓(xùn)練1】已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E、F．
（1）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請將三條線段分別填入后面橫線中： ＋ ＝ ．（不需證明）
（2）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖2）時，上述（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由．
（3）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖3）時，上述（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明．
類型六、旋轉(zhuǎn)模型
例2．（培優(yōu)）已知點C為線段上一點，分別以為邊在線段AB同側(cè)作和，且．，，直線與交于點F．

(1)如圖1，可得___________；若，則___________．
(2)如圖2，若，則___________．（用含a的式子表示）
(3)設(shè)，將圖2中的繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點F至少在中的一條線段上），如圖3．試探究與a的數(shù)量關(guān)系，并予以說明．
【變式訓(xùn)練1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．
（1）操作發(fā)現(xiàn)
如圖1，當點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為 ；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）猜想論證
當點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進行證明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．
課后訓(xùn)練
1．已知：如圖，在中，，、分別為、上的點，且、交于點．若、為的角平分線．
(1)求的度數(shù)；
(2)若，，求的長．
2．在與中，，，．

(1)如圖1，若點D，B，C在同一直線上，連接，，則與的關(guān)系為________．
(2)如果將圖1中的繞點B在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，那么請你判斷與的關(guān)系，并說明理由
(3)如圖3，若，，連接，分別取，，的中點M，P，N，連接，，，將繞點B在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中的面積最大值和最小值．
3．問題背景：
如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．
實際應(yīng)用：
如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達，經(jīng)測量得，BE＝10米，DF＝15米，試求兩涼亭之間的距離EF．
4．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、BC上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．如圖①，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點D與點B重合，得到，連接AM、AN、MN．
（1）試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．
（2）如圖②，點M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上，，連接MN，請寫出MN、DM、BN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．
（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，，，點N，M分別在邊BC，CD上，，請直接寫出線段BN，DM，MN之間的數(shù)量關(guān)系．
5．如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點C、D分別在邊OA、OB上的點．連接AD，BC，點H為BC中點，連接OH．
（1）如圖1，求證：OH＝AD，OH⊥AD；
（2）將△COD繞點O旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時，⑴中結(jié)論是否仍成立？若成立，證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由．

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